2020版高考数学大二轮复习专题 数列增分强化练 理

- 1 - 增分强化练

一、选择题

1．(2019·海口质检)等差数列{an}的首项为2，公差不等于0，且a23＝a1a7，则数列1anan＋1的前2 019项和为( )

A.1 0092 020 B.2 0194 042

C.1 0094 042 D.2 0192 021

解析：设等差数列{an}的公差为d，

由a1＝2，a23＝a1a7，可得(2＋2d)2＝2(2＋6d)，所以d＝1，因此an＝n＋1，

所以1anan＋1＝1n＋1－1n＋2，

所以S2 019＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋12 020－12 021＝12－12 021＝2 0194 042.故选B.

答案：B

2．(2019·三明质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2n＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，设数列1anan＋1的前n项和为Tn，则Tn的取值范围为( )

A.0，12 B．(0,1)

C.12，1 D.12，1

解析：因为a2n＋1＝2Sn＋n＋1，

所以a2n＝2Sn－1＋n(n≥2)，

因此a2n＋1－a2n＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，即a2n＋1＝(an＋1)2，

又{an}为正项数列，所以an＋1＝an＋1，

故数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n，(n∈N*)

因此1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，

所以Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，

因为n∈N*，所以12≤Tn<1.

故选D.

答案：D

3．等差数列{an}的前n项和Sn，若(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 018(a2 011－1) - 2 - ＝－1，则下列结论正确的是( )

A．S2 018＝2 018，a2 011

B．S2 018＝2 018，a2 011>a8

C．S2 018＝－2 018，a2 011≤a8

D．S2 018＝－2 018，a2 011≥a8

解析：设f(x)＝x3＋2 018x，则由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)是奇函数．

由f′(x)＝3x2＋2 018＞0知函数f(x)＝x3＋2 018x在R上单调递增．

因为(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，

(a2 011－1)3＋2 018(a2 011－1)＝－1，

所以f(a8－1)＝1，f(a2 011－1)＝－1，

得a8－1＝－(a2 011－1)，

即a8＋a2 011＝2，且a2 011＜a8，

所以在等差数列{an}中，S2 018＝2 018·a1＋a2 0182＝2 018·a8＋a2 0112＝2 018.

故选A.

答案：A

4．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn. 若点Snn，Sn＋1n＋1在直线y＝2x－1上，则a9等于( )

A．1 290 B．1 280

C．1 281 D．1 821

解析：由已知可得Sn＋1n＋1－1＝2Snn－1，又S11－1＝a1－1＝1，

所以数列Snn－1是首项为1公比为2的等比数列，

所以Snn－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，

故a9＝(n＋1)2n－2＋1＝10×128＋1＝1 281.

答案：C

二、填空题

5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an>0，且a2n＋1－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0 (n∈N*)，则S2 019＝________.

解析：a2n＋1－2an＋1·an＋an＋1－2an＝0，则(an＋1＋1)(an＋1－2an)＝0，因为an>0，则an＋1＋1≠0，故an＋1－2an＝0，故{an}为首项为1，公比为2的等比数列，an＝2n－1则S2 019＝1－22 0191－2＝22 019－1. - 3 - 答案：22 019－1

6．(2019·滨州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n，Sn为其前n项和，则数列an＋1SnSn＋1的前8项和为________．

解析：由等差数列前n项和公式可得Sn＝nn＋12，则Sn＋1＝n＋1n＋22，

由数列的通项公式可得an＋1＝n＋1，

∴an＋1SnSn＋1＝4nn＋1n＋2

＝21nn＋1－1n＋1n＋2，

则数列an＋1SnSn＋1的前8项和为

2 11×2－12×3＋12×3－13×4＋…

＋18×9－19×10＝2×12－190＝4445.

答案：4445

7．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，点An2n，n＋－1n·n2(n∈N*)，记△A2n－1A2nA2n＋1的面积为Sn，则i＝1nSi＝________.

解析：结合题意，得到A2n－1(22n－1,0)，A2n(22n,2n)，A2n＋1(22n＋1,0)，所以该三个点组成的三角形面积为S＝12·3·22n－1·2n＝3n·22n－1，

对面积求和设i＝1nSi＝Tn得到，Tn＝2n－23·4n＋23.

答案：2n－23·4n＋23

三、解答题

8．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.

(1)求数列{an}公比q；

(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．

解析：(1){an}是正项等比数列，∴q>0，

若q＝1时，则Sn＝na1＝n， - 4 - ∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意，

∴q≠1，从而Sn＝a11－qn1－q，

由S2＋4S4＝S6得a11－q21－q＋4·a11－q41－q＝a11－q61－q，

∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，又q≠1，

∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，

∴(q2－4)(q2＋1)＝0，又q>0，

∴q＝2.

(2)由(1)知an＝2n－1，则{an}的前n项和Sn＝1－2n1－2＝2n－1，

当n≥5时，bn＝2n－1－15>0；n≤4时，bn＝2n－1－15<0，

∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)

＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)

＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30

＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29

＝1024－32－29＝963.

9．(2019·湘潭模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3an，若数列1bnbn＋1的前n项和为Tn，证明：Tn<1.

解析：(1)因为an＋1＝2Sn＋3，①

可得an＝2Sn－1＋3.②

①－②得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，

所以{an}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3，

又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{an}的通项公式为an＝3n(n≥2)．

当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n.

(2)证明：由(1)知bn＝log3an＝log33n＝n，

所以1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，

所以Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1<1得证．

10．(2019·青岛模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝3，且对任意n∈N*,2an为a2n＋1＋3和1的等比中项，数列{bn}满足bn＝a2n－1(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}为等比数列，并求{an}通项公式；

(2)若cn＝log2bn，{cn}的前n项和为Tn，求使Tn不小于360的n的最小值． - 5 - 解析：(1)证明：由题意得(2an)2＝(a2n＋1＋3)×1，即a2n＋1＝4a2n－3，

∴a2n＋1－1＝4a2n－3－1＝4a2n－4＝4(a2n－1)，

∵bn＝a2n－1，

∴bn＋1＝4bn，

∴数列{bn}成等比数列，首项为b1＝a21－1＝8，公比为4，

∴bn＝b1·4n－1＝8×22n－2＝22n＋1，

∴a2n－1＝22n＋1，又{an}为正项数列，

∴an＝22n＋1＋1.

(2)由(1)得：cn＝log2bn＝log222n＋1＝2n＋1，

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝2×nn＋12＋n＝n2＋2n，

∴Tn＝n2＋2n≥360，即n2＋2n－360≥0⇒(n＋20)(n－18)≥0，

∴n≥18或n≤－20(舍去)，

所以Tn不小于360的n的最小值为18.

增分强化练(十三)

考点一 等差、等比数列的基本运算

1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4a1，则公比q＝( )

A.12 B.13

C．2 D．3

解析：由题意，根据等比数列的性质，可得S2＝a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1，∴q＝a2a1＝3，故选D.

答案：D

2．(2019·甘肃质检)在等差数列{an}中，已知a1与a11的等差中项是15，a1＋a2＋a3＝9，则a9＝( )

A．24 B．18

C．12 D．6

解析：由题得 a1＋a11＝2a1＋10d＝30a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝9，解得 a1＝0d＝3， 则a9＝8d＝24，故选A.

答案：A

3．(2019·三明质检)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝42，则a8＝________.