正弦函数图像与性质

正弦函数的性质与图像

一、 基础知识精析：

1、正弦函数的性质：

函数 y=sinx

定义域 R

值域 [-1,1]

最值 当x=2k+2(kZ)时，ymax=1;

当x=2k+23(kZ)时，ymin=-1;

周期性 最小正周期为2的周期函数

单调性 在每一个区间[2k-2,2k+2](kZ)上是增加的；

在每一个区间[2k+2,2k+23](kZ)上是减少的

奇偶性 奇函数

对称性

正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程为x=k+2(kZ);

正弦曲线也是中心对称图形，其对称中心坐标为（k，0）(kZ);

2、利用正弦线或正弦函数的图像解简单的三角不等式：

（1）利用正弦线解sinx>a的方法：

①找出使sinx=a的角x的终边所在位置；

②根据变化趋势，确定不等式的解集。

（2）利用正弦函数的图像解sinx>a的方法：

①作出直线y=a和正弦函数y=sinx的图像;

②确定sinx=a的x值；

③确定sinx>a的解集。

二、 基础强化训练：

1、 求满足条件sinx≤23的角x的取值范围。

2、 根据y=sinx的图像，解不等式-23≤sinx≤21。

3、 求下列函数的定义域：

（1）y=1sin1log2x; (2)y=lg(3-4sin2x); 4、若sinx=3212mm,且xR,则m的取值范围是________________.

5、若sinx=mm231,且x[-6,6],则m的取值范围是____________

6、函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f（x）≤417对一切xR恒成立，求a的取值范围。

7、求函数y=-2 sin2x+5 sinx-2的最大值及最小值。

8、求下列函数的值域：

（1）y=sin2x- sinx+1,x[3,43];

(2)y=2sinsinxx.

中等职业学校教材试用本

数学 第一册（上海教育出版社 版本）配套教案

sj08-1

sj08_5.5正弦函数的图像与性质

课题名称 5.5正弦函数的图像与性质

课时 1 课型 新授

一 教学目标 知识与技能：

1.会用“五点法”作正弦函数在一个周期内的图像.， 2.借助正弦函数的图像，理解正弦函数的性质（单调性，最大值；最小值，图像与x轴的交点），理解正弦函数的周期，奇偶性.

3.能运用正弦函数的性质解决一些简单的问题.

过程与方法：

通过五点法的作图，让学生主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解，培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法.

情感态度与价值观：

1.培养学生合作学习和数学交流的能力.

2.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点.

二 教学重点与难点 教学重点：

1.用“五点法”画一个周期内的闭区间上的正弦函数图像.

2. 掌握正弦函数的性质.

教学难点：

正弦函数性质的理解与应用.

三 教学方法 分组讨论法与启发式教学.

四 教学手段 利用多媒体课件sj08、黑板等.

五 教学过程

【新课导入】

我们来看下面这个图，发挥你的想象，说说它像什么？

中等职业学校教材试用本 数学 第一册（上海教育出版社 版本）配套教案

sj08-2

任意一个实数x，有唯一确定的值sinx与之相对应.由这个对应法则所确定的函数sinyx叫做正弦函数.

【双基讲解】

下面我们先用描点法画出sinyx在0,2上的图像.

第一步：列表

第二步：描点，并用光滑的曲线连接.

下图知识正弦函数sinyx的图像的一部分，由于sin2sinkxx，k，所以sinyx在下列区间4,2，2,0，2,4，4,6，……上的图像与在0,2上的图像完全相同.

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）

神木职教中心 数学组 刘伟

教学目标：1、理解正弦函数的周期性；

2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；

3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；

4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；

5、初步理解“数形结合”的思想；

6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等

教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；

2、利用函数图像观察正弦函数的性质；

3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想

教学难点：正弦函数性质的理解和应用

教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学

教学过程：

Ⅰ 知识回顾

终边相同角的诱导公式：

)(sin)2sin(kk

所以正弦函数是周期函数，即,6-,4-,2-,6,4,2及都是它的周期，其中2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为2

Ⅱ 新知识

1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象

xysin，2,0x

（1）、列表 x 0 6 3 2 32 65  67 34 23 35

611 2

y 0 21 23 1 23 21 0 -21 -23 -1 -23 -21 0

（2）、描点

（3）、连线

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以xysin的图像在…，4,2,2,0,0,2,2,4 ，…与xysin，2,0x的图像相同

2、正弦函数的奇偶性

由诱导公式xxsin)sin(，Rx得：

①定义域关于原点对称 ②满足)()(xfxf

所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称）

3、正弦函数单调性 、值域

1定义

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数学术语

正弦函数是三角函数的一种.

定义与定理

定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a/sin A=b/sin

B=c/sin C

在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）

2性质

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图像

图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）， 叫做正弦曲线(sine curve)

正弦函数x∈&

定义域

实数集R

值域

[-1，1] （正弦函数有界性的体现）

最值和零点

①最大值：当x=2kπ+（π/2） ，k∈Z时，y(max)=1

②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1

零值点：（kπ,0) ，k∈Z

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称

2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称

周期性

最小正周期：y=sinx T=2π

奇偶性

奇函数 （其图象关于原点对称）

单调性

在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.

在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.

3正弦型函数及其性质

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正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h

各常数值对函数图像的影响：

φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）

ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）

A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）

h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

作图方法运用“五点法”作图