三角函数图像变换-专题学案

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5.4 三角函数的图象与性质

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】

1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．

3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．

【自主学习】

一．正弦函数的图象

正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．

五点法：在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，



π

2，1

， ，



3π

2，－1

，

在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定

了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正

弦函数的简图．

二．余弦函数图象

1.变换法

将正弦函数的图象向左平移π

2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．

余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光

滑曲线．

2.五点法：y＝cos x，x∈[－π，π]的五个关键点为： ，





－π

2，0

， ，



π

2，0

， ，

用光滑曲线连接这五个点可得到x∈[－π，π]的简图．

注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦

函数、余弦函数图象最常用的方法．

(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( )

(2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )

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(3)将正弦曲线向右平移π

2个单位就得到余弦曲线．( )

(4)函数y＝sinx，x∈



π

2，5π

2的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )

(5)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )

1 三角函数图象变换二

1、函数cosyxx的部分图象是（ ）

2、要得到函数cos23fxx的图象，只需将函数sin23gxx的图象（ ）

A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度

C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度

3、要得到)42sin(3xy的图象只需将y=3sin2x的图象（ ）

A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位

C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位

4、为了得到函数sin(2)6yx的图像，只需把函数sin(2)3yx的图像（ ）

A．向左平移4个长度单位 B．向右平移4个长度单位

C．向左平移2个长度单位 D．向右平移2个长度单位

5、方程sinx= lgx的实根有（ ）

A．1个 B．3个 C．2个 D． 无穷多个

6、方程sinx= x的实根有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D． 无穷多个

7、有以下四种变换方式：

①向左平移4，再将横坐标变为原来的21；②将横坐标变为原来的21，再向左平移8；

③将横坐标变为原来的21，再向左平移4；④向左平移8，再将横坐标变为原来的21。

其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+4）的图象的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

y

x O y

x O y

x O y

x O

B A C D 2 8、函数)2,0)(sin(xy在同一个周期内，当4x时y取最大值1，当127x时，y取最小值1。

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)

【素养目标】

1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)

2．从φ、ω、A的变化总结图象．(直观想象)

3．能由y＝sinx平移和伸缩变换为y＝Asin(ωx＋φ)及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理)

【学法解读】

在本节学习中，借助实例构建三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的形式，利用PPT观察φ，A，ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，学会由y＝sinx如何变化为y＝Asin(ωx＋φ)，提升数学素养中的直观想象．

必备知识·探新知

基础知识

知识点1 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响．

(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响．

(3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．

思考1：(1)如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？

(2)函数y＝sinωx的图象是否可以通过y＝sinx的图象得到？

提示：(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度．

(2)可以，只要横向“伸”或“缩”1ω倍y＝sinx的图象即可． 知识点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A，ω，φ的物理意义

(1)简谐运动的振幅就是A．

(2)简谐运动的周期T＝2πω.

(3)简谐运动的频率f＝1T＝ω2π.

(4)ωx＋φ称为相位．

(5)x＝0时的相位φ称为初相．

思考2：若函数y＝Asin(ωx＋φ)中的A<0或ω<0时怎么办？

提示：当A<0或φ<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.

知识点3 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

名称 性质

定义域 R

值域 [－A，A]

周期性 T＝2πω

对称中心 (kπ－φω，0)(k∈Z)

对称轴 x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)

1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)

[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．

[知识链接]

由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象？

答 y＝sin x的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：

途径一：先相位变换，再周期变换

先将y＝sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．

途径二：先周期变换，再相位变换

先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．

[预习导引]

函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：

定义域 R

值域 [－A，A]

周期性 T＝2πω

奇偶性 φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数；φ＝π2＋kπ (k∈Z)时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是非奇非偶函数

单调性 单调增区间可由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2 (k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)得到

要点一 “五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图

例1 用“五点法”作出函数y＝2sin2x＋π3的简图，并指出该函数的单调区间．

解 (1)列表如下：

2x＋π3 0 π2 π

3π2

2π

x －π6 π12 π3 7π12 5π6

y 0 2 0 －2

0

(2)描点、连线，如图

由图象知，在一个周期内，函数在π12，7π12上单调递减，函数在－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，

所以函数的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)；单调递增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)．