自动控制原理第7章离散系统题库习题
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⾃动控制原理第7章离散系统题库习题
7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()C z 。 （a ）2
()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()at
c t t te -=
（e ）()1()sin atc t t e
t ω-= （f ）()1()cos at
c t t te t ω-=
7-2已知()x t 的拉⽒变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()X z 。 （a ）21()C s s
= （b ）()()a
C s s s a =
+
（c ）2()()a
C s s s a =
+
（d ）1()()()()C s s a s b s c =
+++
（e ）2221()()
C s s s a =
+
（f ）()1()1sT C s e s
-=
-
7-3求下列函数的z 反变换。 （a ）
0.5(1)(0.4)z
z z --
（b ）2()()
T T z
z e z e ----
（c ）22
(1)(2)
z z z ++
7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所⽰的有理分式
120121212()1n
n n
n b b z b z b z C z a z a z a z
------++++=++++L L 则有
0(0)c b =
以及[]1
()()n
k i i c kT b a c k i T ==--∑
式中k n >时，0k b =。 （a ）试证明上⾯的结果。 （b ）设23220.5
()0.5 1.5
z z C z z z z +-=-+-
应⽤（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。7-5试⽤部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的z 反变换： （a ）10()(1)(2)
z
E z z z =
--
（b ）112
3()12z E z z z ----+=-+
（c ）2()(1)(31)zE z z z =
++
（d ）2()(1)(0.5)
z
E z z z =
-+
7-6⽤z 变换法求下⾯的差分⽅程
(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===并与⽤迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相⽐较。7-7求传递函数为
（a ）1()Ts e aG s s s a --=+
（b ）1()()Ts e a
G s s s s a --=+
的部件的脉冲传递函数。7-8试应⽤终值定理确定下列函数的终值。
（a ）112
()(1)Tz E z z --=- （b ）2
()(0.8)(0.1)
z E z z z =--
7-9图中()h G s 为零阶保持器的传递函数，即
1()Ts
h e G s s
--=
试证明()
1()C z E z =
图 习题7-9图7-10⼀阶保持器的输⼊输出波形如图所⽰。在⼀阶保持器中，当(1)kT t k T ≤<+时，输出是前两个采样时刻采样值((1))x k T -和()x kT 外推得到的直线，即
[]()()((1))(),(1)t kT
y t x kT x k T x kT kT t k T T
-=
--+≤<+
图 习题7-10图
假设输⼊()x t 是0t =时的单位脉冲函数，绘制⼀阶保持器的输出波形，求⼀阶保持器的传递函数。7-11设开环离散系统如图所⽰，试求开环脉冲传递函数()G z 。
（a ）
（b ）
图 习题7-11图7-12试求图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或()C z 。
（a ）
（b ）
（c ）
图 习题7-12图7-13设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数为
21
()(5)
G s s s =
+
输⼊()1()r t t =，采样周期1T =秒。试求： （a ）输出z 变换()C z 。（b ）采样瞬时的输出响应()c t *
。 （c ）输出响应的终值()c ∞。7-14试判断下列系统的稳定性。
（a ）已知闭环离散系统的特征⽅程为()(1)(0.5)(2)0D z z z z =+++=
（b ）已知闭环离散系统的特征⽅程为432()0.2
0.360.80D z z z z z =++++=
（c ）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期1T s =，开环传递函数222.57
()(1)
G s s s =
+
7-15采样系统如图所⽰，采样周期0.5T =秒。
图 习题7-15图
（a ）绘制0K >时系统的闭环根轨迹图，求分离点坐标。 （b ）根据闭环根轨迹图，求系统稳定时K 的取值范围。7-16离散时间系统如图所⽰，采样周期1T =秒，试确定 （a ）求系统的开环脉冲传递函数
（b ）求系统稳定时K 的取值范围。
（b ）当1K =，()1()r t t t =时，求系统的稳态误差1ss e 。()e k ()
e k
图 习题7-16图7-17采样系统如图所⽰，采样周期1T =秒。
图 习题7-17图
（a ）求闭环脉冲传递函数。
（2）设0b =，求使闭环特征根在z 平⾯原点时k 和a 的取值。 （3）求此时系统阶跃响应和稳态误差。7-18采样系统如图所⽰，采样周期0.69T =秒（0.5Te
-=）。求()D z 使闭环脉冲传递函数
2
1()z z Φ=
图 习题7-18图7-19离散时间控制系统如图所⽰，其中采样周期0.2T s =，2
()1r t t t
=++。
图 习题7-19图
（a ）求系统的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数()()E z R z 。 （b ）确定闭环系统为稳定时K 的取值范围。 （c ）求系统的稳态误差。7-20已知离散系统如图所⽰，采样周期0.25T =秒。当()2r t t =+时，要使稳态误差⼩于
0.1，求K 的值。
图 习题7-20图7-21某离散时间系统如图所⽰，图中采样周期1T =秒，控制算法()D z 的差分⽅程描述为()(1)()u k u k e k =-+。
图 习题7-21图
（a ）求使系统为稳定的K 的取值范围。
（b ）求当1K =，()r t t =时系统的稳态误差。
（c ）为使系统的阶跃响应是单调⽆振荡的，K 的取值范围等于多少7-22采样控制系统如图所⽰，采样周期1T =秒，数字调节器()D G z 为PI 调节器，即
()1
i D p k z
G z k z =+
-
图 习题7-22图
（a ）试写出被控对象的脉冲传递函数和系统的开环脉冲传递函数。
（b ）为使1,20.70.4z j =±成为系统闭环的⼀对共轭极点，给出应满⾜的条件。 （c ）应⽤（b ）中给出的条件求出p k 和i k 的具体取值。7-23脉冲传递函数
12012112
0121m m m m m
n n n n n
b z b z b z b z b a z a z a z a z a ------++++++++++L L 分母多项式的阶次与分⼦多项式的阶次之差n m -称为它的相对阶次。⼀个离散环节如果它当前拍的输出只是当前拍和过去拍输⼊，以及过去拍输出的函数，这个环节就称为是因果的。显然，当脉冲传递函数的相对阶数0n m -≥，它代表的环节就是因果的。实际中被控对象的脉冲传递函数都是因果的。在图所⽰的采样控制系统中，设串联调节器()G z 和反馈调节器()H z 都是因果的，试证明系统闭环脉冲传递函数的相对阶数总⼤于等于被控对象[]00()()G z Z G s =的相对阶数。
图 习题7-23图7-24采样控制系统如图所⽰，采样周期1T =秒，试设计数字调节器()D z ，实现
（a ）阶跃输⼊下的最⼩拍控制。 （b ）斜坡输⼊下的最⼩拍控制。 （c ）抛物线输⼊下的最⼩拍控制。
（d ）最⼩拍设计只适⽤于被控对象的脉冲传递函数为最⼩相位的情况，⽤根轨迹的⽅法说明其原因。
图 习题7-24图7-25 被控对象环节如图所⽰。
图 习题7-25图
（a ）试求它的脉冲传递函数。
（b ）给定采样周期0T >、0a >⼏组参数值，验证（a ）中得到的脉冲传递函数的零点都是在单位圆内的。
（c ）证明对于任意的0T >、0a >，（b ）中的结论总是对的。7-26采样控制系统如图所⽰，采样周期1T =秒。 （a ）试设计数字调节器()D z 使闭环脉冲传递函数1()z z
Φ=。 （b ）对（a ）中得到的设计，求脉冲传递函数()
()()U U z z R z Φ=，说明系统响应阶跃输⼊是有纹波的。
（c ）重新设计()D z ，使系统响应阶跃输⼊是⽆纹波的。
图习题7-26图
