抽象函数(课例)

昭通师专学报自然科学版年

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抽象函数的可积性

吴鲜

数学系

摘要

本文通过对取值于理想局部凸空间的抽象函数引入振幅的概念,

讨论此类

抽象宙数的iR。

。a。。

可积性.

关铭词:

抽象函数iRe

man。

可积性局部凸空间

设E是理想局部凸空间(简记为理想l.

.c`。

)〔’

〕,

P

是它的半范数生成族,

沿

二、小、,、

从、,

二_,二

。。

,S“pP(x)、

,

二,`一`,、,

甲二,

*、一灿,_

用文献〔1〕的记号.

Vx

任E,

将芬丫石、`了

记为价川{}。,

以下用△表闭区间〔a,

b〕上

,’`

人队`工沙目,“`二’v`

览~’

啊P

任P“`/,川`川E’

以’一’刀“

“’。J

匕,川`.,.J

山

的分划,

几(△)表示分划△所分得的小区间长度中的最大值.

定义1。

若x(t)是定义在〔a,

b〕上,

取值于理想l.

.cg.

E的抽象函数,

对〔a,

b〕

的任一分划△:a

二t。

”西。

在每一区间〔ti_;,

封〕上任取一

竹

点君a(i=1,

2,

…,。

)作和式a=习x

信i)△ti(Rie

mann

和),

其中△才i=ti一ti一1.

i=1

若存在A任E使得illna~A,

则称抽象函数:

(t)在〔。,

b〕上iRo

mann

可积(简

入(△),O

_

一_、、,J、、

一,、

~`、

_、

rb,、

~_

称可积’󰀀

并称A为`

(”在〔“,

”〕上的积分󰀀

记为

J二`

(”d.t`见〔“〕󰀀

)

下面引入抽象函数振幅的概念,

它是本文的基础。

定义2。

设x

(t)是定义在〔a,

b〕上,

取值于理想l.c。`。

E的抽象函数.

则称。=Sop

川x

(t)一x

(t,

)!l}为x

(t)在〔a,

b〕上的振幅-

a

《t成b

a

《t,

《b

定理1。

设x

(t)为定义在〔a,

b〕上,

取值于完备理想l。c.:.

E的抽象函数,

对于〔a,

b〕的任一分划△:a

=t。

<`:<…

用01表示x(之)在区间〔ti_:,

ti〕

上的振幅,

若ilm

入(△)~O。i△ti=0

1则x

(t)在〔a,

b〕上可积-n

公=

本文于1986年11

抽象函数课教案模板

教案标题：抽象函数课教案模板

教案概述：

本节课的教学目标是引导学生了解抽象函数的概念、特点和应用，并能够运用抽象函数解决问题。通过理论讲解、示例演示和实践练习，培养学生的抽象思维和问题解决能力。

教学目标：

1. 理解抽象函数的概念和特点；

2. 掌握抽象函数的定义和使用方法；

3. 能够设计和实现简单的抽象函数；

4. 运用抽象函数解决实际问题。

教学重点：

1. 抽象函数的概念和特点；

2. 抽象函数的定义和使用方法。

教学难点：

1. 如何设计和实现抽象函数；

2. 如何运用抽象函数解决实际问题。

教学准备：

1. 教师准备：教案、投影仪、计算机、示例代码；

2. 学生准备：纸笔、计算机。

教学过程：

步骤一：导入（5分钟） 1. 引入抽象函数的概念，与学生一起讨论抽象函数在日常生活和编程中的应用。

2. 提出本节课的教学目标，并激发学生的学习兴趣。

步骤二：理论讲解（10分钟）

1. 讲解抽象函数的定义、特点和作用。

2. 通过示例代码和图示，解释抽象函数的使用方法和注意事项。

步骤三：示例演示（15分钟）

1. 选择一个简单的问题，通过编写抽象函数的方式解决。

2. 详细讲解编写抽象函数的步骤和思路。

3. 演示运行代码，展示抽象函数的实际效果。

步骤四：实践练习（20分钟）

1. 提供一些练习题，要求学生设计并实现相应的抽象函数。

2. 学生独立或分组完成练习，并相互交流、讨论解决思路和方法。

3. 教师巡回指导和解答学生的问题。

步骤五：总结归纳（5分钟）

1. 与学生一起总结抽象函数的定义、特点和使用方法。

2. 强调抽象函数在问题解决中的重要性和应用价值。

步骤六：作业布置（5分钟）

1. 布置相关的作业，要求学生运用抽象函数解决实际问题。

2. 强调作业的重要性，并提供必要的参考资料和指导。

教学反思：

本节课通过理论讲解、示例演示和实践练习相结合的方式，引导学生理解和掌握抽象函数的概念和使用方法。在教学过程中，学生积极参与，能够独立思考和解决问题。然而，对于一些学生来说，抽象函数的设计和实现仍然存在一定的难度。因此，在后续的教学中，需要更多的练习和巩固，以帮助学生提高抽象思维和问题解决能力。

一、教学目标

1. 知识与技能：

（1）理解抽象函数的概念，掌握抽象函数的基本性质。

（2）学会利用抽象函数解决实际问题。

（3）提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

2. 过程与方法：

（1）通过实例引导学生理解抽象函数的概念。

（2）通过讨论、探究、归纳等方法，让学生掌握抽象函数的基本性质。

（3）通过实际问题，培养学生运用抽象函数解决实际问题的能力。

3. 情感与价值观：

（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学素养。

（2）培养学生严谨、求实的科学态度。

（3）引导学生树立正确的人生观、价值观。

二、教学重点与难点

1. 教学重点：

（1）抽象函数的概念。

（2）抽象函数的基本性质。

2. 教学难点：

（1）理解抽象函数的概念。

（2）掌握抽象函数的基本性质。

三、教学过程

一、导入

1. 引导学生回顾函数的定义，激发学生对抽象函数的兴趣。 2. 提问：函数的定义域和值域有什么特点？函数的图像有什么意义？

二、新课讲解

1. 引入抽象函数的概念，通过实例说明抽象函数的应用。

2. 讲解抽象函数的基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。

3. 通过实例讲解如何利用抽象函数解决实际问题。

三、课堂练习

1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习中遇到的问题。

四、课堂小结

1. 回顾本节课所学内容，强调抽象函数的概念和基本性质。

2. 引导学生思考如何运用抽象函数解决实际问题。

五、课后作业

1. 完成课后习题，巩固所学知识。

2. 预习下一节课内容，为后续学习做好准备。

六、教学反思

1. 分析学生在学习过程中遇到的问题，找出教学中的不足。

2. 总结教学经验，为今后的教学提供借鉴。

七、教学资源

1. 教材：《高等数学》

2. 教学课件：抽象函数的概念、性质及实例

3. 课后习题：《高等数学》配套习题册

抽象函数模型及实例

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设，∵当，∴，

∵，

∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，

∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，

∴ f（x）的值域为［－4，2］。

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设，∵当，∴，则，

即，∴f（x）为单调增函数。

∵，

又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，

即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

2、指数函数型抽象函数

例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：

（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，

从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

解：（1）令y＝0代入，则，∴

。若f（x）＝0，则对任意，有，

这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，

又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，

故对任意x，f（x）＞0恒成立。

例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。