中国科学院大学2017量子力学.docx
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中国科学院大学2017年硕士研究生入学考试
科目名称：量子力学考试时间: 三小时 满分:150分
科目代码： 811 适用专业:物理学院等相关专业
注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
②本科目不允许使用计算器；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、(共30分)一个粒子在一维无限深势阱以、)=化 x>Qx>a 中运动，其势阱内定态波函数为％(x) = i匸sin竺三，设7 = 0时刻粒子势
V a a
阱内的波函数为“(x,0) =而x)。
(1) 求归一化常数4
(2) 求，>0时刻粒子的波函数寸(")；
(3) 求/>0时刻粒子处于系统基态及第一激发态的概率；
(4)
求，>0时刻粒子位置的平均值。
00 1 “6
— 776 =謫)
m=1 (2m-1)。 960
二、(共30分)一个能量为E的粒子，沿x轴从左侧入射。阶梯势垒
为
，0, % < 0
7(%) = Vaf0 < x < a
、Vbf x > a Z (1) 取入射波函数为剛x) = e如，虹=乎窯，求入射粒子流密度；
(2) 选择题：若E=Vb,透射系数T是()：
.回 (A) 1 (B) 0 （3）选择题；要增大透射系数乙 以下哪种做法正确的是（） 选择题：设B > Vb,反射波函数0（x） = Ba術透射波函数为 (A) |C|2 (B) 1-\B\2 (C)以上都不是 三、（共30分） （1） 设质量为秫的粒子在一维势场卩3）中运动。试证明Ehrenfest *〈对=岑 七 「"I物>=_偿） . （2） 设二维各向异性谐振子在均匀电场（Ex, Ey）中运动，哈密顿 量为H =*"*）+ ；秫（就疽+成尸）—q（E、x + E *）,其中q为粒子电荷。 2m 2 试写出无电场情形下体系的束缚态能级，并以q为参数F-H定理计算 存在电场情形下体系的束缚态能级o 四、（共30分）设哈密顿算符的矩阵表示为H = 柑。 （i）以a/r作为微扰，用微扰论求H的准确至二级的本征值以及准 第2页共3页 确至…级的归一化本征矢； （2）精确计算求解H的本征值，并与近似结果比较。 (A) Vb=E9减少乙，但保持Vb (B) 减少Vb（Vb〈E）,但保持乙不变 (C) Vb = E,减少乙，使Va (4) Wt (x) = CelklX，其中 Ze】= 縁，上2 =』竺1，问透射系数丁是（） H° = 0 ia、 —ici 0 丿 A.d E2~E± < lo 2m(E-Vb) 五、（共30分）电子1,2分别局限于两个空间格点上，设 H = -2C（設鹭）+斗可失，其中設）（i=l,2）为自旋算符，。是…个常数, 令力=lo （1） 写出体系的总自旋§ =部）+如）的平方算符苧和Sz = s9）+S? 的可取值； （2） 用宁和Sz表示体系哈密顿量； ' （3） 求出体系所有能级的能量； （4） 沿z方向施加…磁场，强度为B,求出体系所有能级的能量。
