2012年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
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1 2012年辽宁省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ）
A． {5，8} B． {7，9} C． {0，1，3} D． {2，4，6}
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁UA）∩（∁UB）
解答： 解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}，
所以（CUA）∩（CUB）={7，9}
故选B
点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则
2．（5分）（2012•辽宁）复数=（ ）
A． B． C． D．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果．
解答： 解：===，
故选A．
点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
3．（5分）（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（ ）
A． ∥ B． ⊥ C． ||=|| D． +=﹣
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用． 2 分析： 由于||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．
解答： 解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，
||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．
再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．
故选B．
点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．
4．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（ ）
A． ∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B． ∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C． ∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D． ∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
考点： 命题的否定．
专题： 简易逻辑．
分析： 由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
解答： 解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．
故选：C．
点评： 本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
5．（5分）（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A． 3×3! B． 3×（3!）3 C． （3!）4 D． 9!
考点： 排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题．
分析： 完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可
解答： 解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；
第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法
故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4 3 故选 C
点评： 本题主要考查了分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，捆绑法计数的技巧，属基础题
6．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）
A． 58 B． 88 C． 143 D． 176
考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析：
根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．
解答： 解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，
∴a1+a11=a4+a8=16，
∴S11==88，
故选B．
点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
7．（5分）（2012•辽宁）已知，则tanα=（ ）
A． ﹣1 B． C． D． 1
考点： 同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题．
分析： 由条件可得 1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tanα 的值．
解答： 解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tanα=﹣1．
故选A．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得 α=，是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（ ）
A． 20 B． 35 C． 45 D． 55
4 5 6 解答： 解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12
若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4
即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，
故该矩形面积小于32cm2的概率为P==
故选 C
点评： 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题
11．（5分）（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．
解答： 解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．
所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，
f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，
当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
g（）=g（）=0，
作出函数f（x）、g（x）的草图，
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．
共有6个零点，
故选B 7
点评： 本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．
12．（5分）（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（ ）
A． ex≤1+x+x2 B．
C． D．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题： 综合题；压轴题．
分析： 对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；
对于B，令x=1，，计算可得结论；
对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；
对于D，取x=3，．
解答： 解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；
对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；
对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；
故选C．
点评： 本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题 8 的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
38 ．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
解答： 解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，
几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．
即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．
故答案为：38．
点评： 本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．
14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an= 2n ．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题．
分析： 通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+an+2）=5an+1求出公比，推出数列的通项公式即可．
