求数列通项公式的各种方法

求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

1..数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn），求数列na的通项公式；

2.设数列}{na满足01a且111111nnaa，求}{na的通项公式

3.已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。

4.已知数列}{na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn），求数列na的通项公式；

5.已知数列}{na满足，21a且1152(5)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；

6.已知数列}{na满足，21a且115223(522)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；

7.数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式=

（2）累加法

累加法适用于：1()nnaafn

若1()nnaafn，则21321(1)(2)

()nnaafaafaafnLL

两边分别相加得111()nnkaafn

例：1.已知数列{}na满足141,21211naaann，求数列{}na的通项公式。

2.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

3.已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。 4.设数列}{na满足21a，12123nnnaa，求数列}{na的通项公式

（3）累乘法

适用于：1()nnafna

若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaaLL，，，

两边分别相乘得，1111()nnkaafka

例：1.已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。

求数列通项公式常用八种方法

一、 公式法：

已知或根据题目的条件能够推出数列na为等差或等比数列，根据通项公式dnaan11 或11nnqaa进行求解.

二、前n项和法：

已知数列na的前n项和ns的解析式，求na.（分3步）

三、ns与na的关系式法：

已知数列na的前n项和ns与通项na的关系式，求na.（分3步）

四、累加法：

当数列na中有nfaann1，即第n项与第1n项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列na中有1nnafna，即第n项与第1n项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

六、构造法：

㈠、一次函数法：在数列na中有1nnakab（,kb均为常数且0k），从表面形式上来看na是关于1na的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:------＋常数P

㈡、取倒数法：这种方法适用于11cnnnAaaBa2,nnN（,,kmp均为常数

0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于

1nnakab的式子.

㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnnaa（,kl为非零常数）

例8：已知2113,2nnaaan 求通项na

分析：由2113,2nnaaan知0na

在21nnaa的两边同取常用对数得

211lglg2lgnnnaaa 即1lg2lgnnaa

数列lgna是以lg3为首项，以2为公比的等比数列

故112lg2lg3lg3nnna

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

求数列通项公式的十种方法

一．SA法

)2(1)(n

11nSSSSnnn

注意具体可分为两种方法

1.改写相减，消去Sn

2.Sn-Sn-1直接替换掉an,求出Sn ,再求出an

例1. 已知各项均为正数的数列{na}的前n项和为nS满足1S＞1且6nS=(1)(2)nnaa n∈N 求{na}的通项公式。

的通项公式和，求数列项和为的前，数列项和为的前：已知数列例}{}{2}{22}{12nnnnnnnbabTnbnnSna

的通项公式求各项均为正数，满足：已知数列例}{,21}{2nnnnnaSaaa

的通项公式并求数列试确定常数最大值为的且项和的前：已知数列练习}{,.8),(21}{12nnnnakSNkknnSna

nnnnnaSannS求）已知（求）已知（：练习,2232,732122

二．累加累乘法（也可用迭代法求解）

用“累加”形如二用“累乘”形如一)()(),()(11nfaanfaannnn

的通项公式求满足：已知数列例}{,1,21}{1211nnnnannaaaa

的通项公式求项和前中，：已知数列例}{,32,1}{21nnnaanSnaa

的通项公式求，满足：已知数列练习nnnnanannaaa),1(23133}{111

的通项公式求数列满足：已知数列练习}{a,aa,5a}{a2n2)1(311nnnnn

三．差商法

实质是已知数列的前n项和或前n项积，求数列的通项公式

的通项公式求数列满足：已知数列例}{),(4444}{113221nnnnaNnnaaaaa

}{,2,1}{223211nnnanaaaanNnaa求时都有且对所有中，：已知数列例

四．构造法”“)(1nfpaann

，只能用此法。若构造等比数列再累加求通项两边同除）和三，构造二，构造一qpxqaqpqpaayxnaqknpaapqaqpaannnnnnnnnnn},{2. ,p1. 10,()(}{)(}1{)(1n11111