求数列通项公式常用方法

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第二章 数列的概念与简单表示法

一、公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列 an 为等差或等比数列，根据通项公

式 an a1 n 1 d 或 an a1q n 1 进行求解 .

二、前 n 项和法： 已知数列 an 的前 n 项和 sn 的解析式，求 an .

三、 sn 与 an 的关系式法： 已知数列 an 的前 n 项和 sn 与通项 an 的关系式，求 an .

四、累加法： 当数列 an 中有 an an 1 f n ，即第 n 项与第 n 1项的差是个有“规

律”的数时，就可以用这种方法.

an

五、累乘法： 它与累加法类似 ，当数列 an 中有 f n ，即第 n 项与第 n 1项的 an 1

商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法 .

六、 构造法 ：

一次函数法 ：在数列 an 中有 an kan 1 b （ k, b 均为常数且 k 0 ），从表面形式上

来看 an 是关于 an 1 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

取倒数法 ：这种方法适用于 an kan 1 n 2,n N （ k, m, p 均为常数

man 1

p

m 0 ），两边取倒数后得到一个新的特殊 ( 等差或等比 ) 数列或类似

于

an kan 1 b 的式子 .

取对数法 ：一般情况下适用于 an k an 1l （ k,l 为非零常数）

特征根法： 形如递推公式为 an 2 pan 1 qa n （其中 p， q 均为常数） 。

不动点法若 A,B 0且 AD BC 0 ，解 x Ax B , 设 , 为其两根。

Cx D

I 、若 ，数列 { an } 是等比数列； II 、若 ，数列 { 1 } 是等差数列。

第二章 数列的概念与简单表示法

一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na为等差或等比数列，根据通项公式dnaan11或11nnqaa进行求解.

二、前n项和法：已知数列na的前n项和ns的解析式，求na.

三、ns与na的关系式法：已知数列na的前n项和ns与通项na的关系式，求na.

四、累加法：当数列na中有nfaann1，即第n项与第1n项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列na中有1nnafna，即第n项与第1n项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

六、构造法：

一次函数法：在数列na中有1nnakab（,kb均为常数且0k），从表面形式上来看na是关于1na的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

取倒数法：这种方法适用于11nnnkaamap2,nnN（,,kmp均为常数

0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于

1nnakab的式子.

取对数法：一般情况下适用于1klnnaa（,kl为非零常数）

特征根法：形如递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。

不动点法若,0AB且0ADBC，解AxBxCxD,设,为其两根。

I、若，数列{}nnaa是等比数列； II、若，数列1{}naa是等差数列。 七、“mnncbaa1（cb,为常数且不为0，*,Nnm）”型的数列求通项na.

例题讲解：

1：已知na是一个等差数列，且5,152aa，求na的通项公式.

2：已知数列na的前n项和12nns，求通项na.

3：已知数列na的前n项和ns满足nnsa311，其中11a，求na.

4：12,011naaann，求通项na

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求数列通项公式的常用方法

作者：章晓华

来源：《甘肃教育》2011年第20期

〔关键词〕 数学教学；数列通项公式；减法；叠加法；

累乘法；待定系数法

〔中图分类号〕 G633.６２〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2011）１０（B）—0082—０1

求数列的通项公式是近年高考的热点问题，这类问题具有灵活多变、综合性强的特点.为使学生较好地掌握这类问题的解题方法，本人结合自己的教学实践，总结、积累了求数列通项公式的几种常用方法，并在教学实践中取得了较好的成效.

利用减法求通项公式

若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列﹛an﹜的通项an，可用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥２求解.

例1：已知数列﹛an﹜的前n项和Sn满足Sn=n２，n≥1．求数列﹛an﹜的通项公式.

解：a1=S1=1.

当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=n２-（n-1)2=2n-1.

经验证a1=1也满足上式，所以an=2n-1.

注意：凡是遇到已知数列前n项和的表达式Sn求an的情况，均可以考虑用此方法.但利用此法要注意对n进行分类讨论，若能合并时一定要进行合并.

利用叠加法求通项公式

一般对形如an＋1=an＋f(n)的式子求通项公式，可考虑用叠加法求解.

例2：已知数列﹛an﹜满足a1=，an+1=an＋，求an. 龙源期刊网

解：由条件知：an+1-an===-.

分别令n=1,2,3，…，(n-1),代入上式得(n-1)个等式并累加之，即(a2-a1)＋(a3-a2)＋(a4-a3)＋…＋(an－an-1)=(1-)＋(-)＋(-)＋…＋(－).所以an－a1=1－.由a1=,得an=＋1－=－.

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求数列通项公式的常用方法

作者：陈雪涛

来源：《理科考试研究·高中》2016年第04期

数列是高中数学的重要内容，而数列的通项公式是数列的核心，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任意一项及前n项的和.本文介绍求数列通项公式的一些常用方法，供读者参考.

1.观察法

例1求下列各数列的一个通项公式：

（1） 0.9 ， 0.99， 0.999 ， 0.9999 ， …；

（2） -2，54，-109，1716，….

解（1）将数列中的项和1进行比较就会发现：

a1=0.9=1-110，a2=0.99=1-1100，

a3=0.999=1-11000，…

因此an=1-110n.

（2）将数列的各项变为-21，54，-109，1716，…注意观察各项的符号是正负交替出现的，分母是一组平方数，分子比分母大1，因此an=（-1）n×n2+1n2.

2.公式法

若已知数列是等差（或等比）数列，可运用等差（或等比）数列的通项公式求解.

例2已知数列{log2（an-1）} （n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9.求数列{an}的通项公式.

解设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，

由a1=3，a3=9得2d=log2（9-1）-log2（3-1），

即d=1.

所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n， 龙源期刊网

从而an=2n+1.

3.运用an与Sn的关系求通项公式

运用数列的通项an与数列的前n项和Sn的关系an=S1（n=1），