2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022年高二上学期期末考试数学（文）试题Word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、双曲线的渐近线的方程为（）A． B． C． D．2、下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3、下列命题中，假命题是（）A． B．C． D．4、不等式的解集是（）A．或 B．C．或 D．R5、等差数列的前n项和是，若，则的值为（）A．55 B．65 C．60 D．706、下列结论中正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，函数的最小值为2D．当时，函数无最大值。

7、在中，若，那么等于（）A． B． C． D．8、一元二次方程有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（）A． B． C． D．9、已知向量(22,),(2,3)m y x n x y y =-=+，且的夹角为钝角，则在平面上，点所在的区域是（ ）10、已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．11、某同学要做一个三角形，要求三条高的程度分别为，则（ ）A ．不能做出满足要求的三角形B ．能作出一个锐角三角形C ．能作出一个直角三角形D ．能作出一个钝角三角形12、双曲线的左右焦点分别为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．2C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且过点，则抛物线的方程为14、如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为 海里/小时15、设定义如下面数表，满足，且对任意自然数均有，则的值为1 2 3 4 5 1 4 1 3 5 216、已知满足约束条件020232x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，目标函数取得最大值的唯一最优解解是，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的双曲线；命题方程无实根，又为真，为真，求实数的取值范围。

2021-2022年高二上学期期末考试理数试题含答案(II)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，公差，则（）A．10 B．12 C．14 D．162.“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.双曲线渐近线的斜率为（）A． B． C． D．4.函数有（）A．最小值4 B．最大值4 C.最小值 D．最大值5.命题，，命题，，则下列命题正确的是（）A．为真 B．为真 C.为假 D．为真6.（重点中学做）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A．升 B．升 C.升 D．升（普通中学做）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）A.尺布B.尺布C.尺布D.尺布7.（重点中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最大值为（）A．1 B．2 C.3 D．4（普通中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最小值为（）A.5B.3C.1D.08.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C. D．9.过抛物线的焦点且斜率为1的直线与相交于两点，若，则抛物线的方程为（）A． B． C. D．10.如图所示，为内一点，且满足，，，，则（）A ．7B ． C. D ．11.已知函数()()()32f x m x m x m =++++，，若，或恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ． C. D ．12.（重点中学做）已知椭圆与双曲线()222222222:10 0x y C a b a b -=>>，有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ） A ．4 B ．6 C.8 D ．16（普通中学做）已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，以的右焦点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数的定义域为 ．14.若是两个正数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 ．15.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，为的中点，为的中点，则的长为．16.（重点中学做）如图所示，已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为．（普通中学做）在中，已知三边的长分别是（），则外接圆的面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边的长.18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. （本小题满分12分）某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在、、、四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在、、、设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在、、、设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，、、、设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时.设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件）.（1）用列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值.20. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，分别为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. （本小题满分12分）（重点中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于、两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆与另一点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）试问是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由.（普通中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于两点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，试问：直线是否恒过轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，求实数的取值范围.23. （本小题满分10分）已知命题：；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，““为假，求实数的取值范围.九江市xx上学期期末考试高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:BACDB 6-10:6普C，6重D，7普C，7重D；BBC 11、12：A；12普A，12重C二、填空题13. 14.10 15. 16.（重点中学做）；（普通中学做）三、解答题17.解：（1）由及正弦定理得：=+.………………1分A B C C Bsin sin cos sin∴()+=.…………2分B C B C C Bsin sin cos sin∴sin cos cos sin sin cos sin+=.……3分B C B C B C C B∴………………4分又∵为三角形内角，可得，∴.…………5分∵，∴.……6分（2）∵面积为，∴，即，.…………9分由余弦定理得，()22222cos 3361818b a c ac B a c ac =+-=+-=-=， ∴.…………12分18.解：（1）当时，，∴.…………2分 当时，由及，得， 即，.………………4分∴数列为首项为1，公比为的等比数列.…………5分 ∴.………………6分 （2）由（1）得，.……8分123112322222n n nT =++++…， 两式相减得2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--….…………11分∴.…………12分19.解：（1）所满足的关系式为241628039039 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，即28280303 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，.………………3分画出不等式组28280303x yx yxyx y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，所表示的平面区域，即可行域，（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注扣1分）…………6分（2）设最大利润为（万元），则目标函数.……8分将变形，这是斜率为，随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大，又因为所满足的约束条件，联立方程组，得点坐标为.又∵，当直线经过可行域上的点时，截距最大.……10分此时，.所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元） (12)分20.解：（1）取中点，连接，，∵分别为中点，底面为正方形，∴，……1分∵，，，∴，∴.∵，，∴，∴，又，，平面，∴平面.…………3分又平面，∴，∵，分别为，中点，∴，∴，又，，平面，∴平面，……5分又平面，∴.………………6分（2）由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴.………………8分设平面的法向量，，，则，即，∴.……10分设直线与平面所成角为，则sin cos 5n EFn EF n EF θ⋅=<>===⋅⋅，……12分21.（重点中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……1分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，=分又，解得，，故椭圆的方程为.…………4分（2），证明如下：设，则，，，直线的斜率.……8分可得直线的方程：，设点，联立()22226ky x xx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去得()222220022120k x k x x k x+-+-=，则，解得，∴，点.…………10分∵322200022123222PBk xkx kxkkk x x k x kxk--+===-+-+，∴，∴.……12分（普通中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……2分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，∴，∴.……4分又，解得，故椭圆的方程为.……6分（2）设，，则有，将代入椭圆方程，得.……8分∴，.……10分直线的方程为，令，得()()2122112211221212128211234113834kx kx x kxx y x y kx x kykx x x x x xk⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭===+=+= +++-+，故恒过轴上的一个定点.……12分22.解：（1）∵方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，∴.………………3分解得.…………5分（2）∵“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，∴是不等式()()()22220t a t a t t a-++=--<的解集的真子集.……7分令，∴.……9分解得，故实数的取值范围为.………………10分23.解：（1）当命题为真时，由已知得.………………3分解得，∴当命题为真时，实数的取值范围是.……5分（2）当命题为真时，由解得.……6分由题意得命题、中有一真命题、有一假命题.……7分当命题为真、命题为假时，则，解得.……8分当命题为假、命题为真时，则，.…………9分∴实数的取值范围是.……10分32554 7F2A 缪 W22816 5920 夠b28536 6F78 潸t35318 89F6 觶527812 6CA4 沤< 220222 4EFE 仾。

山东省潍坊市第一初级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，最小值为2的是（）A．y=+x （x＜0）B．y=+1 （x≥1）C．y=+﹣2 （x＞0）D．y=+参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式判断A、C；运用函数的单调性即可判断B、D．【解答】解：A，x＜0，﹣x＞0，则y=﹣[（﹣x）+]≤﹣2=﹣2，当且仅当x=﹣1取得最大值﹣2，故A错；B，y=+1 （x≥1）为减函数，函数有最大值2．故B错；C，y=+﹣2 （x＞0），运用基本不等式可得+﹣2≥2﹣2=2，当且仅当x=4，取得最小值2，故C正确；D，y=+，由t=≥＞1，由y=t+在t≥递减，可得函数的最小值为，故D错．故选：C．2. 下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是A. B. C. D.参考答案：D 试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性3. 已知向量分别是空间三条不同直线的方向向量，则下列命题中正确的是（）A．B.C. 平行于同一个平面，使得D. 共点，使得参考答案：C略4. 程序框图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框 D.圆形框 D.椭圆形框参考答案：B5. 已知函数，且，则的值（）A. B. C. D.参考答案：C略6. 已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的投影，则等于A. B. C. 5 D.参考答案：C略7. .函数的零点个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：A略8. 函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．②③④参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t?φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．【解答】解析：①错：解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则k A=1，k B=8，则|k A﹣k B|=7y1=1，y2=5，则|AB|=，φ（A，B）=，①错误；②对：如y=1时成立；③对：φ（A，B）===；④错：对于（4），由y=e x，得y′=e x，φ（A，B）==．t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：②③9. 在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2 a10－a12的值为（）A.20B.22C.24D.28参考答案：C10. 原点到直线的距离为（）．A．B．C．D．参考答案：D，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；②③④，其中是一阶整点函数的是参考答案：①④略12. 已知集合，则．参考答案：13. 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则__________________．（只需列式，不需计算结果）参考答案：略14. 若直线、N 两点，且M、N两点关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积是参考答案：略15. 已知直线：和：垂直，则实数a的值为．参考答案：当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.16. 曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为．参考答案：【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据定积分得定义即可求出【解答】解：曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x=，y=0所围成的平面图形的面积为：S=sin（﹣x）dx=cos（﹣x）|=1﹣=，故答案为：．17. 设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是______________.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈R ③*0N ∈④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．12i12i+=-A ．43i 55--B ．43i55-+C ．34i55--D ．34i55-+【正确答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．[]2,13B ．[]3,13C ．[]2,10D ．[]5,10【正确答案】A【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，求出,m n 的值，根据,x y x y +-的范围，即可求出答案.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩，因为11,15x y x y -≤+≤≤-≤，所以()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈，故选：A.4．若5cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 3B ．23-C ．23D 【正确答案】A【分析】令512πθα=-，则cos 3θ=，所以sin sin 122ππαθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得结果.【详解】令512πθα=-，则512παθ=+，且cos θ=sin sin cos 1223ππαθθ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5．函数()21f x x =在点1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）A ．12B ．9C ．34D ．92【正确答案】D【分析】先利用()f x 的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.【详解】由题，()32f x x '=-，1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以切线为11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，整理得1612y x -+=，易得切线的截距为34和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为13912242⨯⨯=，故选：D6．已知数列{}n a 是等比数列，若912111,01a a a ⋅><<，且数列{}n a 的前n 项乘积1n T >，n 的最大值为（）A ．10B ．11C ．20D ．21【正确答案】C【分析】由等比数列的性质可推出：201T >，211T <，可得结论.【详解】数列{}n a 是等比数列，912111,01a a a ⋅><<，()()10119109111102022021T a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅=> ，211911212122011a a a a T a a ⋅⋅⋅==< ，所以使1n T >的n 的最大值为20.故选：C7．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设,M N 是锐角ABC ∠的一边BA 上的两定点，点P 是边BC 边上的一动点，则当且仅当PMN ∆的外接圆与边BC 相切时，MPN ∠最大．若()()0,1,2,3M N ，点P 在x 轴上，则当MPN ∠最大时，点P 的坐标为A ．1,0)B ．(1-C ．(1-D ．1,0)【正确答案】A【分析】设点P 的坐标为(,0)x ，求出线段MN 的中垂线与线段MP 的中垂线交点的横坐标，即可得到PMN ∆的外接圆圆心的横坐标，由PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，可知PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即可得到点P 的坐标．【详解】由于点P 是边BC 边上的一动点，且点P 在x 轴上，故设点P 的坐标为(,0)a ；由于()()0,1,2,3M N ，则直线MN 的方程为：1y x =+，点B 为直线MN 与x 轴的交点，故点B 的坐标为(1,0)-；由于ABC ∠为锐角，点P 是边BC 边上的一动点，故1a >-；所以线段MN 的中垂线1l 方程为：3y x =-+；线段MP 的中垂线2l 方程为：21122y ax a =-+；故PMN ∆的外接圆的圆心为直线1l 与直线2l 的交点，联立231122y x y ax a =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：252(1)a x a +=+；即PMN ∆的外接圆圆心的横坐标为252(1)a a ++ PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，边BC 在x 轴上，则PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即252(1)a a a +=+，解得：1a或1（舍）所以点P的坐标为1,0)；故答案选A本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题8．如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大【正确答案】D【分析】分2ND CN =和2CN ND =两种情况，分别过N 作BC 的平行线，可得直线MN 与所作的平行线成的角即为角θ可得答案.【详解】当2ND CN =时，如下图作//NF BC 交BD 于F 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NF 所成的角，即MNF θ∠=，设正四面体的棱长为3，则1,2CN BF FN ===，可求得MF MN =，所以在FNM中，有cos [0,3])x θ=∈，令2187()37xf x x x -=-+，则()2227365)37(x x x x f x -+'-+=，[0,3]x ∈时，()2227365)37(x x x x f x -+'-+=有正有负，函数有增有减，所以故A 与B 错误；当2CN ND =时，如下图作//NE BC 交BD 于E 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NE 所成的角，即MNE θ∠=.同样设正四面体的棱长为3，则2,2CN BF FN ===，可求得ME ，AN BN =在ABN 中，有cosABN ∠=所以2227237MN x x x x =+-⨯⨯-+，即MN =所以在MNE 中，有cos [0,3])x θ=∈，令295()37xf x x x -=-+，则()22251880(37)x x x x f x '-+--=<，所以()f x 在定义域内单调递减，即x 增大，()f x 减小，即cos θ减小，从而θ增大，故D 正确，C 错误.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为110；B ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D ．一组数据1x ，2x ，……，100x 的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是10099．【正确答案】ABD【分析】根据分层抽样的计算规则分析A 选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD 选项.【详解】选项A ：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占10060%60⨯=人，所以每位男生被抽中的概率601100060%10P ==⨯.A正确；选项B ：平均数1231(...)n x x x x x n=++++，将这组数据中每个数据都乘以3后12312311(333...3)3(...)3n n x x x x x x x x x n n++++=⨯++++=.B 正确；选项C ：方差222221231[(((...()]n s x x x x x x x x n=-+-+-++-，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差222221231[(33)(33)(33...(33)]9n x x x x x x x x s n-+-+-++-=.C 错误；选项D ：，因为123100,,,...,x x x x 的平均数是5，所以123100...500x x x x ++++=，新平均数1(5005)599x =-=，又因为123100,,,...,x x x x 的方差是1，所以2222212399[(()()...((55)]100x x x x x x x x -+-+-++-+-=，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差211001009999s =⨯=.D 正确.故选：ABD.10．若椭圆()222:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列b 的取值能使以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点的是（）A ．b =B ．b =C ．2b =D ．b 【正确答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以12F F 为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范围作答.【详解】令椭圆()222:108x y C b b +=>的半焦距为c ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，因圆222x y c +=与椭圆C 有公共点，则有22c b ≥，即228b b -≥，解得02b <≤，显然选项A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11．已知某声音信号的波形可表示为()2sin sin 2f x x x =+，则下列叙述正确的是（）A ．()f x 在[]0,2π内有3个零点B ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增C ．()2,0π是()f x 的一个对称中心D ．()f x 的最大值为3【正确答案】AC【分析】当[]0,2x π∈时，解方程()0f x =，可判断A 选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当[]0,2x π∈时，()()2sin 2sin cos 2sin 1cos 0f x x x x x x =+=+=，可得sin 0x =或cos 1x =-，可得{}0,,2x ππ∈，故A 对；对于B 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，()()()()22cos 2cos 222cos cos 122cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，故B 错；对于C 选项，()()()()42sin 4sin 242sin sin 2f x x x x x f xπππ-=-+-=--=-⎡⎤⎣⎦ ，故()2,0π是()f x 的一个对称中心，C 对；对于D 选项，因为sin 1x ≤，sin 21x ≤，可得()2sin sin 23f x x x =+≤，若函数()f x 在0x x =处取得最大值3，则()0022,Z 222x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，即()0022,Z4x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，这样的0x 不存在，所以，()f x 的最大值不为3，D 错.故选：AC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m =__________．【正确答案】3或5【分析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．【详解】解：因为椭圆2214x y m +=的焦距为2，所以1c =，若焦点在x 轴上，则有24m c =+，解得5m =；若焦点在y 轴上，则有24m c =+，解得3m =；综上所述，3m =或5．故3或5．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【正确答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15．已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +的取值范围为__________．【正确答案】⎣【分析】由题意建立平面直角坐标系，写出各点坐标，设()01AM AC λλ=≤≤，求出()2224MB MD λλ+=--，，即可求其模长，利用二次函数的图像与性质求范围即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则()00A ，，()20B ，，()12C ，，()02D ，，设()01AM AC λλ=≤≤，则()2M λλ，，故()22MB λλ=-- ，，()22MD λλ=--，，则()2224MB MD λλ+=--，，()()2223422242055MB MD λλλ⎛⎫+=-+-=-+ ⎪⎝⎭ 当0λ=时，MB MD +取得最大值为22当35λ=时，MB MD + 255，MB MD ∴+ 的取值范围为25225⎡⎢⎣，故答案为.25225⎣，四、双空题16．在ABC 中，AB AC >，23BC =60A =︒，ABC 的面积等于23则sin B =______，BC 边上中线AM 的长为______．【正确答案】127【分析】根据面积公式得到8AB AC ⋅=，再根据余弦定理得到6AB AC +=，解得4AB =，2AC =，根据勾股定理逆定理得到90C =︒，计算得到答案.【详解】113sin 3222ABC S AB AC A AB AC =⋅=⋅⋅△，故8AB AC ⋅=，根据余弦定理：()22222cos 312BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=，故6AB AC +=，AB AC >，解得4AB =，2AC =，故222AB AC BC =+，故90C =︒，30B =︒，1sin 2B =.故AM =故12.本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、解答题17．已知集合2{|760}A x x x =-+<，22{|440}B x x x t t =-+-<，R 为实数集.（1）当5t =时，求A B ⋃及()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数t 的取值范围.【正确答案】（1）{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< ；（2）2t - 或6t.（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，由5t =解得集合B ，R C B ，然后利用并集，交集和补集的运算求解.（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，转化为A B Ü求解.【详解】（1）由2760x x -+<得：16x <<，即16{|}A x x =<<，当5t =时，15{|}B x x =<<-，则{|1R C B x x =- 或5}x，所以{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< .（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B Ü，22{|440}{|()·[(4)]0}B x x x t t x x t x t =-+-<=---<，显然4t t ≠-，2t ∴≠①当4t t ->时，即2t <时，{|4}B x t x t =<<-，要满足A B Ü，则146t t ⎧⎨-⎩，解得2t - ；②当4t t -<时，即2t >时，{|4}B x t x t =-<<，要满足A B Ü，则416t t -⎧⎨⎩，解得6t；综上：实数t 的取值范围为：2t - 或6t.本题主要考查了二次不等式的解法､集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，满足()2cos cos a c B b C -=．(1)求B 的大小；(2)如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大．【正确答案】(1)3π(2)8【分析】（1）由正弦定理将(2)cos cos a c B b C -=中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可求得1cos 2B =，从而得解；（2）由（1）可推得ABC 为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理可求得22016cos AC D =-，再根据1sin 2ACDSAD CD D =⋅和1sin 2ABC S AB BC B =⋅△，可推出四边形ABCD 的面积8sin()3S D π=-，最后由角(0,)D π∈和正弦函数的性质即可得解．【详解】（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，(2)cos cos a c B b C -= ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，(0,),sin 0A A π∈≠ ，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈ ，3B π∴=．（2）由（1）知，3B π=，AB AC = ，ABC ∴为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理知，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-，而11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin223ABCSAB BC B AC D π=⋅==⋅，∴四边形ABCD 的面积4sin 8sin()3ACD ABC S S S D D D π=+=+=+-△△，(0,)D π∈ ，(33D ππ∴-∈-，2)3π，∴当32D -=ππ即56D π=时，S 取得最大值，为8+，故四边形ABCD 面积的最大值为8．19．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[)2,4，[)4,6，[)6,8，[]8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在[]8,10内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【正确答案】(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有1000.1220⨯⨯=件，乙生产线的样品中优等品有1000.05210⨯⨯=件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F .从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率815P =.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD =且1PA AB BC ===，PA ⊥平面ABCD .（1）求PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E ，满足90AEC ∠=︒？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.【正确答案】（133（2）不存在，详见解析.（1）以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，根据空间向量夹角公式求出PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1）90BAD ∠=︒Q ，PA ⊥平面ABCD ，∴可以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，从而()0,0,1PA =- ，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =- .设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，020a b c b c +-=⎧∴⎨-=⎩，取1a =，得1b =，2c =，∴平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =，设直线PA 与平面PCD 的夹角为θ，则23sin cos ,316PA n θ-=<>==⨯（2）()01PE PD λλ=≤≤，则()0,2,1E λλ-，()1,21,1CE λλ∴=--- ，()0,2,1AE λλ=-，若90AEC ∠=︒，则()()222110AE CE λλλ⋅=-+-= ，此方程无解，故在棱PD 上不存在一点E ，满足90AEC ∠=︒.本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.21．已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C (1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【正确答案】(1)()221393x y x -=≥(2)存在，点(12,6).-【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与0PA PB ⋅=，可得2218318720m mt t t +-+-=，后通过分解因式可得m t ，之间关系，从而可得l 所过定点.【详解】（1）如图，设圆E 的圆心为(,)E x y ，半径为r ，由题可得圆M 半径为173，圆N 半径为13则17||3EM r =+，1||3EN r =-，所以||||6||EM EN MN -=<，由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又()()00，M N -.所以动圆的圆心E 的轨迹方程为22193x y -=，(3)x.（2）设直线l 的方程为x my t =+，将直线方程与曲线E 方程联立，有：()221393x y x x my t ⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩，，消去x 得222(3)290m y mty t -++-=，由题直线与曲线有两个交点，则230m -≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中13x ，23x ，由韦达定理有.21212222933，mt t y y y y m m --+==--又0PA PB ⋅=，()()11226363,，,PA x y PB x y =--=-- 则1212(6)(6)(3)(3)0.x x y y --+--=又11x my t =+，22x my t =+，则1212(6)(6)(3)(3)PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+--()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+22222(1)(9)2(63)(1245)(3)03m t mt mt m t t m m +----+-+-==-，即2218318720m mt t t +-+-=，又2221831872183(6)(12)(36)(612)m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+0=，故612t m =+或36t m =-+，若36t m =-+，则直线l 的方程为(3)6x m y =-+，此时l 过点(6,3)P ，与题意矛盾，所以36t m ≠-+，故612t m =+，所以直线l 的方程为(6)12x m y =++，3m ≠则直线l 恒过点(12,6).-关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将221831872m mt t t +-+-分解因式.22．已知函数()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R 在区间(1,0)-内存在极值点．(1)求a 的取值范围；(2)判断关于x 的方程()0f x =在()1,π-内实数解的个数，并说明理由．【正确答案】(1)()1,+∞(2)实数解有三个，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论1a ≤和1a >，讨论导数的正负即可求解；（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.【详解】（1）()()1cos 101f x a x x x'=--<<+．①当1a ≤时，因为0cos 1x <<，所以()11011x f x x x'<-=<++．所以()f x 在（－1，0）上单调递减，所以()f x 在（－1，0）上无极值点．故1a ≤不符合题意．②当a >1时，因为cos y a x =在（－1，0）上单调递增，11y x=-+在（－1，0）上单调递增，所以()f x '在（－1，0）上单调递增．又()111,0a -∈-，111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010f a '=->，所以存在唯一的111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x '=．当()11,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 在（－1，0）内存在极小值点1x ，满足题意．综上，a 的取值范围是()1,+∞．（2）当02x π<<时，()()2sin 11x f x a x ''=-++单调递减．又()010f ''=>，()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=．当00x x <<时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当02x x π<<时，()0f x ''<，()f x '单调递减，又()()0010f x f a ''>=->，2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=．当()0,x α∈时，()0f x ¢>；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．又当2x ππ≤<时，()0f x '<恒成立，结合（1）知，()f x 在()11,x -上单调递减，在()1,x α上单调递增，在(),απ上单调递减．又因为()()e 1sin e 10a af a a ---=-+>，()00f =，()0f π<，()10<f x ，()0f α>，所以()f x 在()1,π-内共有三个零点，方程()0f x =在()1,π-内的实数解有三个．关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.。

2020-2021学年潍坊市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.直线l 过点(3,1)且与直线2x −y −2=0平行，则直线l 的方程为( )A. 2x −y −5=0B. 2x −y +1=0C. x +2y −7=0D. x +2y −5=02.在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544)A. 239B. 272C. 341D. 4773.已知坐标平面内三点P(3,−1),M(6,2),N(−√3,√3)，直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A. [π4,5π6]B. [π4,3π4]C. [π3,2π3]D. [π6,π3]4.点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗B. BC ⃗⃗⃗⃗⃗C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗D. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5.10个篮球队中有2个强队，先任意将这10个队平均分成两组进行比赛，则2个强队不分在同一组的概率是 ( )A. 518B. 59C. 12D. 146.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c(a,b,c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则2a +13b 的最小值为( )A. 323B. 283C. 163D. 47. 长方体中，异面直线所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，抛物线E ：y 2=2px(p >0)与椭圆C 在第一象限交于点P ，点P 在x 轴上的投影为P’，且有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c(其中c 2=a 2−b 2)，AP 的连线与y 轴交于点M ，BM 与PP′的交点N 恰为PP′的中点，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √22C. 23D. 13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，直线的斜率为√3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)、与抛物线的准线交于点D ，若|AF |=4，则以下结论正确的是( )A. p =2B. F 为AD 中点C. |BD |=2|BF |D. |BF |=210. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则( )A. D 1D ⊥AFB. A 1G//平面AEFC. 异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010D. 点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍11. 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π6的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|MP|=|MF 1|，下列判断正确的是( )A. ∠F 1PF 2=π3 B. E 的离心率等于√3C. △PF 1F 2的内切圆半径√3−1D. 若A ，B 为E 上的两点且关于原点对称，则PA ，PB 的斜率存在时其乘积为212. 小明用一枚质地均匀的硬币进行抛硬币实验，则下列说法正确的有( )A. 小明抛掷硬币1次，则该硬币正面向上的概率为12B. 小明连续抛掷硬币2000次，则恰有100次正面向上的概率为12 C. 小明连续抛掷硬币2000次，则正面向上的次数恰好为1000次D. 随着抛掷次数的增加，硬币正面向上的次数与抛掷次数的比值在12附近摆动，并趋于稳定三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知两圆x2+y2=1，x2+y2+2x−4y+1=0相交于A，B两点，则直线AB的方程为______ ．14.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是______ ．15.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，则线段AC1的长为______ ．16.斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，且与双曲线的右支交于两点，则双曲线的离心率e的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设m，n∈N，f(x)=(1+x)m+(1+x)n．(1)当m=n=5时，若f(x)=a5(1−x)5+a4(1−x)4+⋯+a1(1−x)+a0，求a0+a2+a4的值；(2)f(x)展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．18.有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．19.已知抛物线C：，点在x轴的正半轴上，过点M的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动，恒为定值？20.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD．(1)求证：PC⊥BD；(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E−BCD的体积取到最大值．①求此时四棱锥E−ABCD的高；②求二面角A−DE−B的正弦值的大小．21.某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数，满分100分)分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；(2)估计这次考试的及格率(60分及60分以上为及格)和平均分；(3)把从分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率．22.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(√2,1)在椭圆M上．直线l的斜率为√22，且与椭圆M交于B、C两点．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．参考答案及解析1.答案：A解析：解：设过点(3,1)且与直线2x−y−2=0平行的直线方程为2x−y+c=0，把点(3,1)代入，得6−1+c=0，解得c=−5．∴所求直线方程为：2x−y−5=0．故选：A．设过点(3,1)且与直线2x−y−2=0平行的直线方程为2x−y+c=0，把点(3,1)代入，解得即可．本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：C解析：解：由题意μ=0，σ=1，P(0<X≤1)=12P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.3413．所以1000个点中落入阴影部分的个数为1000×0.3413≈341故选：C．根据正态分布密度曲线的性质，求出阴影部分的面积，然后与1000相乘即可．本题考查随机模拟实验和正态分布密度曲线的性质及应用，属于基础题．3.答案：A解析：解：如图，由P(3,−1),M(6,2),N(−√3,√3)，得k PM=2−(−1)6−3=1，k PN=√3+1−√3−3=−√33．∴PM所在直线的倾斜角为π4，PN所在直线的倾斜角为5π6，则直线l的倾斜角的取值范围为[π4,5π6]．故选：A．由题意画出图形，分别求出直线PM ，PN 所在直线当斜率，进一步求得倾斜角得答案．本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：D解析：解：AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法、减法的几何意义进行运算即可．本题考查了向量加法和减法的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：先求出平均分成2组的总事件，再求出2个强队在同一组的事件数，从而可得． 本题主要考查古典概型的概率问题，关键是分别求出各事件数，属于基础题． 解：平均分成2组的总事件为C 105A 22=126种，求出2个强队在同一组的事件为C 83=56种，故则2个强队不分在同一组的概率是1−56126=59， 故选：B ．6.答案：C解析：本题主要考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题． 利用数学期望公式求出a ，b 之间的关系，再结合基本不等式求出目标式子的最值． 解：由题意可得：3a +2b +0·c =2， 即3a +2b =2，(a,b,c ∈(0,1))，∴2a +13b =12(3a +2b)(2a +13b) =12(203+4b a +ab) ≥12(203+2√4ba ⋅ab )=163，当且仅当a =2b =12时取等号， 故选C ．7.答案：D解析：本题考查线面垂直的性质。

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。

2021-2022学年山东省济南市潍坊第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接.若，则的离心率为( )．A． B． C．D．参考答案：B2. “”是“方程表示双曲线”的是（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A方程表示双曲线等价于，即或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件．故选．3. 已知命题p：?x∈R，使sinx＜x成立．则?p为( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】特称命题；命题的否定．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】含有量词的命题的否定法则：“?x∈R，p（x）”的否定是“?x∈R，?p （x）”，由此不难得到本题的答案．【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得∵命题p：，∴命题?p为：?x∈R，故选：D【点评】本题给出特称命题，求该命题的否定，着重考查了含有量词的命题的否定及其应用的知识点，属于基础题．4. 已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A． B． C． D．参考答案：A5. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．故选：D．6. 直线的倾斜角是 ( )A．150o B．135o C．120o D．30o参考答案：C直线斜率，则倾斜角为120o．7. 若A，B为互斥事件，则（）A．B．C．D．参考答案：B8. 已知数列{a n}满足：，对于任意的n∈N*，，则a999﹣a888=( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过计算出前几项的值可知当n为大于1的奇数时a n=、当n为大于1的偶数时a n=，进而计算可得结论．【解答】解：∵，，∴a2=a1（1﹣a1）=?（1﹣）=，a3=a2（1﹣a2）=?（1﹣）=，a4=a3（1﹣a3）=?（1﹣）=，∴当n为大于1的奇数时，a n=，当n为大于1的偶数时，a n=，∴a999﹣a888=﹣=，故选：D．【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．9. 已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，0] C．[0，] D．[﹣2，]参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）此时z最小为z=1﹣3=﹣2，当直线y=x﹣z，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大为： =，z的范围为：[﹣2，]．故选：D．10. 在△ABC中，,则A 等于（）A.30OB.60OC.45OD.120O参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线L过点(1,0)且被两条平行直线L1: 3x+y-6=0和L2: 3x+y+3=0所截得线段长为,则直线L的方程为（写成直线的一般式）参考答案：x-3y-1=012. 设已知函数，正实数满足，且，若f(x)在区间上的最大值为2，则= ▲．参考答案：根据题意可知，并且可以知道函数在上是减函数，在上是增函数，且有，又，由题的条件，可知，可以解得，所以，则有.13. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为_______.参考答案：14. 有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法.（用数字作答）参考答案：288【分析】用捆绑法可求不同的排列数.【详解】因为男生排在一起，女生也排在一起，故不同的排法总数是，填.【点睛】排列组合中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，有时排队问题还要求特殊元素放置在特殊位置，此时用特殊元素、特殊位置优先考虑的方法.15. 经过两圆和的交点的直线方程是____________．参考答案：略16. 过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为___________________．参考答案：17. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．参考答案：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022年高二上学期期末考试数学理试卷含答案考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线的焦点到准线的距离为（A）（C）（C）（D）（2）过点且倾斜角为的直线方程为(A) ( B)( C) ( D)（3）若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)（B） (C) (D)1A 1俯视图侧（左）视图正（主）视图（4）已知平面和直线，若，则“”是“”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体中，点分别是面对角线的中点，若则(A) ( B) ( C) ( D) （6）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为(A ) ( B) ( C) ( D)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A ) ( B) ( C) ( D)（8）从点向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时的值为（A ） （B ） （C ） （D ） （9）已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为(A) (B) (C ) (D)(10) 如图，在棱长为1的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为 (A) ( B) ( C ) ( D)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）PD 1C 1B 1A 1DC BAOD 1C 1B 1A 1D CBA (11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则 ． (12) 已知，，则______________.(13)若直线与直线平行，则的值为____ . (14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 ， ，是的中点，则所成角的大小为____________， ___________.(15)已知是抛物线上的一点，过点向其准线作垂线交于点，定点，则的最小值为_________；此时点的坐标为_________ . (16)已知直线．若存在实数，使直线与曲线交于两点，且，则称曲线具有性质．给定下列三条曲线方程： ① ； ② ； ③ ．其中，具有性质的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点的圆的切线方程；(II)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体中，底面是菱形，，，. (I)求证：； (II)求证：；(III)求三棱锥的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且经过点． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），求证：为 直角三角形．NM DCBA P（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，过的平面分别交于两点. （I ）求证：；（II ）若分别为的中点， ①求证：；②求二面角的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线与直线相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，且.（I ） 求的值；（II ） 线段的垂直平分线与轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线的斜率的取值范围.数学试卷参考答案及评分标准 （理科） xx.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R （12） （13）或 （14）； （15）； （16）②③O 1A BCD A 1B 1C 1D 1O三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆的方程可化为，圆心，半径是. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为，即. ……3分因为2d ===，所以. (6)分②当切线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切. ……… 7分所以过点的圆的切线方程为或. ………8分（II ）因为弦的长为，所以点到直线的距离为. ……10分即. …………12分所以. …………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体中，设，连接.因为，所以四边形是平行四边形.所以. ……1分 因为底面是菱形， 所以.所以四边形是平行四边形.所以. ……2分 因为，所以. ……4分(II)因为，，所以. ……5分 因为底面是棱形，所以. ……6分因为，所以. ……7分 因为， ……8分 所以. ……9分 (III)由题意可知，，所以为三棱锥的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=所以三棱锥的体积为. ……14分(19)（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，，所以. (1)分由，解得. ……3分所以椭圆的标准方程为． ……4分 （Ⅱ）若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件． ……5分 若过点的直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得. ……7分设，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++所以,为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分） 证明：（I ）因为底面为直角梯形， 所以.因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以. ……4分 （II ）①因为分别为的中点，，所以. ……5分 因为 所以. 因为， 所以. 因为，所以. 所以. ……7分因为，所以因为，所以. ……9分②如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，，所以的法向量为. ……12分 设平面的法向量为 因为，, 所以.即. 令，则，. 所以所以cos ,22BP BP BP⋅〈〉===n n n . 所以二面角的余弦值为. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线与直线相切，所以由 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分 即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：为所求. (4)分（II ）法一：抛物线的准线.且，所以由定义得，则. ………5分 设直线的垂直平分线与轴的交点. 由在的垂直平分线上，从而………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分因为，所以. 又因为，所以，所以点的坐标为.即直线的垂直平分线与轴的交点为定点. ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线的斜率存在， 设直线的方程为.由可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分 因为抛物线的准线.且，所以由定义得，则. ………7分 所以.设线段的中点为. 则12003,32x x x y k m +===+. 所以. ………8分 所以线段的垂直平分线的方程为. ………9分 令，可得.即直线的垂直平分线与轴的交点为定点. ………10分（III ）法一：设直线的斜率为，由（II ）可设直线方程为. 设的中点，由.可得. 因为直线过点，所以. ………11分 又因为点在抛物线的内部，所以. …12分 即 ，则.因为，则. …13分 所以的取值范围为. ………14分 法二：设直线的斜率为，则.由（II ）可知.因为，即， …11分 所以. 所以.即.所以. …12分因为，则. …13分所以的取值范围为.………14分29637 73C5 珅28466 6F32 漲35888 8C30 谰w27851 6CCB 泋33293 820D 舍Z24725 6095 悕26065 65D1 旑38120 94E8 铨32316 7E3C 縼(24279 5ED7 廗22046 561E 嘞。