(完整word)大学物理习题册计算题及答案

H B a b c o 第13单元 磁介质 第九章 电磁场理论（二）磁介质 麦克斯韦方程组学号 姓名 专业、班级 课程班序号一 选择题[ B ]1. 顺磁物质的磁导率：(A)比真空的磁导率略小 (B)比真空的磁导率略大(C)远小于真空的磁导率 (D)远大于真空的磁导率[ C ]2. 磁介质有三种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时， （A ）顺磁质0>r μ，抗磁质0<r μ，铁磁质1>>r μ（B ）顺磁质1>r μ，抗磁质1=r μ，铁磁质1>>r μ（C ）顺磁质1>r μ，抗磁质1<r μ，铁磁质1>>r μ（D ）顺磁质0>r μ，抗磁质0<r μ，铁磁质1>r μ[ B ]3. 如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路L1，L2磁场强度H 的环流中，必有：（A ）⎰⎰⋅>⋅211L L d d l H l H（B ）⎰⎰⋅=⋅211L L d d l H l H（C ）⎰⎰⋅<⋅211L L d d l H l H（D ）021=⋅⎰L d l H[ D ]4. 如图，流出纸面的电流为2I ，流进纸面的电流为I ，则下述各式中哪一个是正确的？(A)I d L 21=⋅⎰l H (B) I d L =⋅⎰2l H (C) I d L -=⋅⎰3l H (D) I d L -=⋅⎰4l H二 填空题1． 图示为三种不同的磁介质的B ～H 关系曲线，其中虚线表示的是H B 0μ=的关系。

试说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ～H 关系曲线：a 代表 铁磁质 的B ～H 关系曲线。

b 代表 顺磁质 的B ～H 关系曲线。

c 代表 抗磁质 的B ～H 关系曲线。

L 1 L 2 ⊙ × L 1 L 2 L 3 L 42. 一个单位长度上密绕有n 匝线圈的长直螺线管，每匝线圈中通有强度为I 的电流，管内充满相对磁导率为r μ的磁介质，则管内中部附近磁感强度B = 0r nI μμ，磁场强度H =__nI _。

r r r r r r rr、⎰ dt⎰0 dx = ⎰ v e⎰v v1122v v d tv v d tvg 2 g h d tdt [v 2 + ( g t ) 2 ] 12 (v 2 + 2 g h ) 12第一章质点运动学1、(习题 1.1)：一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2 t, y = 4 t 2 - 8 。

（1）求质点 的轨道方程；（2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。

解：（1）由 x=2t 得，y=4t 2-8可得： r y=x 2-8r 即轨道曲线（2）质点的位置 ： r = 2ti + (4t 2 - 8) jr r rr r 由 v = d r / d t 则速度： v = 2i + 8tjr r rr 由 a = d v / d t 则加速度： a = 8 jrr r r r r r r 则当 t=1s 时，有 r = 2i - 4 j , v = 2i + 8 j , a = 8 j r当 t=2s 时，有r = 4i + 8 j , v = 2i +16 j , a = 8 j 2 （习题 1.2）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 a = -kv ， k 为常数．设从原点出发时速度为 v ，求运动方程 x = x(t ) .解：dv = -kvdt v1 v 0 vd v = ⎰ t - k dt 0v = v e - k tdx x= v e -k t0 t0 -k t d t x = v0 (1 - e -k t )k3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a = 4 t (SI)，已知 t = 0 时，质点位于 x 0=10 m 处，初速 度 v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解：a = d v /d t = 4 td v = 4 t d tv 0d v = ⎰t 4t d t v = 2 t 2v = d x /d t = 2 t 2⎰x d x = ⎰t 2t 2 d t x = 2 t 3 /3+10 (SI)x4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； d r d v d v （3）落地前瞬时小球的 ，，.d td td t解：（1）x = v t式（1）v v v y = h - gt 2 式（2）r (t ) = v t i + (h - gt 2 ) j0 （2）联立式（1）、式（2）得y = h -vd r（3） = v i - gt j而落地所用时间t =0 gx 22v 22hgvd r所以 = v i - 2gh jvd vdv g 2t= - g j v = v 2 + v 2 = v 2 + (-gt) 2= =x y 0 0vv v d rv d v 2） v = [(2t )2+ 4] 2 = 2(t 2+ 1)2t t 2 + 1, V a = a - a = m + M m + Mvg gvv v 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2i + 2tj ，式中 r 的单位为 m ， 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

江西理工大学 大 学 物 理 习 题 册班级_____________学号____________姓名____________运动学（一） 一、填空：1、已知质点的运动方程：X=2t ，Y=（2－t 2）（SI 制），则t=1s 时质点的位置矢量:m j i r )2(→→→+=，速度:1)22(-→→→⋅-=s m j i v ，加速度:22-→→⋅-=s m i a ，第1s 末到第2s末质点的位移:m j i r )32(→→→-=∆，平均速度:1)32(--⋅-=s m j i v。

2、一人从田径运动场的A 点出发沿400米的跑道跑了一圈回到A 点，用了1分钟的时间，则在上述时间内其平均速度为:0=∆∆=-trv 。

二、选择：1、以下说法正确的是：（ D ）(A)运动物体的加速度越大，物体的速度也越大。

(B)物体在直线运动前进时，如果物体向前的加速度减小了，物体前进的速度也减小。

(C)物体加速度的值很大，而物体速度的值可以不变，是不可能的。

(D)在直线运动中且运动方向不发生变化时，位移的量值与路程相等。

2、如图河中有一小船，人在离河面一定高度的岸上通过绳子以匀速度V O 拉船靠岸，则船在图示位置处的速率为:（ C ）(A)V O L (B)V O cos θ h (C)V O /cos θ(D)V O tg θ x 解：由图可知：222x h L +=由图可知图示位置船的速率：dt dx v = ；dt dL v =0 。

∴V o( θθcos 00v v x Lv ==三、计算题1、一质点沿OY 轴直线运动，它在t 时刻的坐标是： Y=4.5t 2－2t 3(SI 制)求：(1) t=1－2秒内质点的位移和平均速度 (2) t=1秒末和2秒末的瞬时速度 (3)第2秒内质点所通过的路程(4)第2秒内质点的平均加速度以及t=1秒和2秒的瞬时加速度。

解:(1)t 1=1s 时:m t t y 5.2)25.4(31211=-= t 2=2s 时:m t t y 0.2)25.4(32222=-=∴m y y y 5.012-=-=∆ 式中负号表示位移方向沿x 轴负向。

第2单元 动量守恒定律序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ B ]1. 力i F t 12=(SI)作用在质量m ＝2 kg 的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为：(A) －54i kg ⋅m ⋅s -1(B) 54i kg ⋅m ⋅s -1(C) －27i kg ⋅m ⋅s -1 (D) 27i kg ⋅m ⋅s-1[ C ]2. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为：(A) mv 2 (B)()()22/2v R mg mv π+(C)vRmgπ (D) 0[ A ]3 .粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍。

开始时粒子A 的速度为()j i ϖϖ43+，粒子B 的速度为(j i ϖϖ72-)。

由于两者的相互作用，粒子A 的速度为()j i ϖϖ47-，此时粒子B 的速度等于：(A) j i 5- (B) j i ϖϖ72- (C) 0 (D) j i ϖϖ35-[ C ]4. 水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦及空气阻力） （A ）总动量守恒（B ）总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒 (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒 （D ）动量在任何方向的分量均不守恒二 填空题1. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t F 31044005⨯-=(SI)，子弹从枪口射出的速率为3001s m -⋅。

假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则(1) 子弹走完枪筒全长所用的时间 t ＝ 0.003 s ,(2) 子弹在枪筒中所受的冲量 I ＝ s N 6.0⋅ ， (3) 子弹的质量 m ＝ 2 ×10-3 kg 。

2. 质量m 为10kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。

大学物理习题集一、选择题1．一运动质点在时刻t 位于矢径r (x ，y ) 的末端处，其速度大小为 （A ）trd d (B)td d r (C)td d r(D)22)()(ty t x d d d d + 2．质点作半径为R 的匀速率圆周运动，每T 秒转一圈. 在3T 时间间隔内其平均速度与平均速率分别为（A ）T R T R ππ2 , 2 (B) TRπ2 , 0 (C) 0 ，0 (D)0 , 2TRπ 3．下列运动中，a 保持不变的是（A ）单摆的摆动 (B) 匀速率圆周运动 （C ）行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动4．质点作曲线运动，位置矢量r ，路程s ，a τ 为切向加速度，a 为加速度大小，v 为速率，则有 （A ）tva d d =(B) trv d d =(C) tsv d d =(D) ta d d v=τ 5. 如图所示，两个质量相同的小球由一轻弹簧相连接，再用一细绳悬挂于天花板上，并处于静止状态. 在剪断绳子的瞬间，球1和球2的加速度分别为（A ）g ，g （B ）0 ，g （C ）g ，0 （D ）2g ，06. 如图所示，物体A 置于水平面上，滑动摩擦因数为 μ. 现有一恒力F 作用于物体A 上，欲使物体A 获得最大加速度，则力F 与水平方向的夹角θ应满足（A ）μθ=sin （B ）μθ=tan （C ）μθ=cos （D ）μθ=cot 7. 如图所示，两物体A 和B 的质量分别为m 1和m 2，相互接触放在光滑水平面上，物体受到水平推力F 的作用，则物体A 对物体B 的作用力等于（A ）F m m m 211+ （B ） F （C ）F m m m 212+ （D ）F m m125图题6图 7图8. 质量为m 的航天器关闭发动机返回地球时，可以认为仅在地球的引力场中运动. 地球质量为M ，引力常量为G . 则当航天器从距地球中心R 1 处下降到R 2 处时，其增加的动能为（A ）21R Mm G（B ）2121R R R GMm- （C ）2221R R R GMm- （D ）2121R R R R GMm- 9. 质量为m 的航天器关闭发动机返回地球时，可以认为仅在地球的引力场中运动. 地球质量为M ，引力常量为G . 则当航天器从距地球中心R 1 处下降到R 2 处引力做功为（A ）21R Mm G（B ）2121R R R GMm- （C ）2221R R R GMm- （D ）2121R R R R GMm- 10. 如图所示，倔强系数为k 的轻质弹簧竖直放置，下端系一质量为m 的小球，开始时弹簧处于原长状态而小球恰与地接触. 今将弹簧上端缓慢拉起，直到小球刚好脱离地面为止，在此过程中外力作功为（A ）kg m 22（B ）kg m 222（C ）k g m 322（D ）kg m 42210图11图11. 如图所示，A 、B 两弹簧的倔强系数分别为k A 和k B ，其质量均不计. 当系统静止时，两弹簧的弹性势能之比E pA / E pB 为（A ）BA k k（B ）AB k k（C ）22BA k k （D ）22AB k k12. 一质点在外力作用下运动时，下列说法哪个正确?（A ）质点的动量改变时，质点的动能也一定改变. （B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变. （C ）外力的功是零，外力的冲量一定是零. （D ）外力的冲量是零，外力的功也一定是零. 13. 设速度为v 的子弹打穿一木板后速度降为v 21，子弹在运动中受到木板的阻力可看成是恒定的. 那么当子弹进入木块的深度是木块厚度的一半时，此时子弹的速度是（A ）v 41 （B ）v 43 （C ）v 83（D ）v 85 14. 一轻质弹簧竖直悬挂，下端系一小球，平衡时弹簧伸长量为d . 今托住小球，使弹簧处于自然长度状态，然后将其释放，不计一切阻力，则弹簧的最大伸长量为（A ）d （B ）2d （C ）3d （D ）d 2115. 下列关于功的说法中哪一种是正确的.（A ）保守力作正功时，系统内相应的势能增加.（B ）质点运动经一闭合路径，保守力对质点所作的功为零.（C ）作用力与反作用力大小相等，方向相反，所以两者所作功的代数和必定为零. （D ）质点系所受外力的矢量和为零，则外力作功的代数和也必定为零. 16. 质量为m 的小球，速度大小为v ，其方向与光滑壁面的夹角为30°. 小球与壁面发生完全弹性碰撞，则碰撞后小球的动量增量为（A ）– mv i （B ）mv i （C ）– mv j （D ）mv jm题16图 题17图 题18图17. 如图所示，质量为m 的小球用细绳系住，以速率v 在水平面上作半径为R 的圆周运动，当小球运动半周时，重力冲量的大小为（A ）mv 2 （B ）vm gRπ （C ）0 （D ）22)π()2(vmgR mv18. 如图所示，A 、B 两木块质量分别为m A 和m B =21m A ，两者用轻质弹簧相连接后置于光滑水平面上. 先用外力将两木块缓慢压近使弹簧压缩一段距离后再撤去外力，则以后两木块运动的动能之比kAkB E E 为（A ）2 （B ）21 （C ）2 （D ）119. 如图所示，光滑平面上放置质量相同的运动物体P 和静止物体Q ，Q 与弹簧和挡板M 相连，弹簧和挡板的质量忽略不计. P 与Q 碰撞后P 停止，而Q 以碰撞前P 的速度运动.则在碰撞过程中弹簧压缩量达到最大时，此时有（A ）P 的速度正好变为零 （B ）P 与Q 的速度相等（C ）Q 正好开始运动 （D ）Q 正好达到原来P 的速度题19图 题20图20. 如图所示，质量分别为m 1和m 2的小球用一轻质弹簧相连，置于光滑水平面上. 今以等值反向的力分别作用于两小球上，则由两小球与弹簧组成的系统（A ）动量守恒，机械能守恒 （B ）动量守恒，机械能不守恒 （C ）动量不守恒，机械能守恒 （D ）动量不守恒，机械能不守恒 20．当一质点作匀速率圆周运动时，以下说法正确的是 （A ）它的动量不变，对圆心的角动量也不变（B ）它的动量不变，但对圆心的角动量却不断变化 （C ）它的动量不断改变，但对圆心的角动量却不变（D ）它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变21．有一花样滑冰运动员，可绕通过自身的竖直轴转动. 开始时她的双臂伸直，此时的转动惯量为J 0，角速度为ω0 . 然后她将双臂收回，使其转动惯量变为原来的二分之一，这时她的转动角速度将变为（A ）021ω（B ）021ω（C ）02ω （D ）02ω22．有一花样滑冰运动员，可绕通过自身的竖直轴转动. 开始时她的双臂伸直，此时的转动惯量为J 0，角速度为ω0 . 然后她将双臂收回，使其转动惯量变为原来的三分之一，这时她的转动角速度将变为（A ）021ω（B ）021ω（C ）03ω （D ）03ω23．如图所示，有一个小块物体置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔. 该物体以角速度ω 作匀速圆周运动，运动半径为R . 今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 ( )（A ） 动能不变，动量、角动量改变 （B ）动量、角动量不变，动能改变 （C ）角动量不变，动能、动量改变 （D ）动能、动量、角动量都不变24．有一均匀直棒一端固定，另一端可绕通过其固定端的光滑水平轴在竖直平面内自由摆动. 开始时棒处于水平位置，今使棒由静止状态开始自由下落. 则在棒从水平位置摆到竖直位置的过程中，角速度ω和角加速度β 将会如何变化（A ）ω和β 都将逐渐增大 （B ）ω和β 都将逐渐减小 （C ）ω逐渐增大、β 逐渐减小 （D ）ω逐渐减小、β 逐渐增大 25．如果要将一带电体看作点电荷，则该带电体的 （A ）线度很小 （B ）电荷呈球形分布 （C ）线度远小于其它有关长度 （D ）电量很小.26．以下说法中哪一种是正确的?（A ）电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受电场力的方向（B ）电场中某点电场强度的方向可由E =F /q 0确定，其中q 0为试验电荷的电量，q 0可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力（C ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 （D ）以上说法都不正确.27．一边长为b 的正方体，在其中心处放置一电量为q 的点电荷，则正方体顶点处电场强度的大小为（A ）20π8b q ε （B ）20π6b q ε （C ）20π3b q ε （D ）202πb q ε28． 某种球对称性静电场的场强大小E 随径向距离r 变化的关系如图所示，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的（A ）点电荷 （B ）半径为R 的均匀带电球面（C ）半径为R 的均匀带电球体 （D ）无限长均匀带电直线.29．由高斯定理的数学表达式⎰⋅SS E d =∑0/εi q 可知，下述各种说法中正确的是（A ）高斯面内电荷的代数和为零时，高斯面上各点场强一定处处为零 （B ）高斯面内的电荷代数和为零时，高斯面上各点场强不一定处处为零 （C ）高斯面内的电荷代数和不为零时，高斯面上各点场强一定处处不为零 （D ）高斯面内无电荷时，高斯面上各点场强一定为零.30． 如图所示，一均匀电场的电场强度为E . 另有一半径为R 的半球面，其底面与场强E 平行，则通过该半球面的电场强度通量为（A ）0（B ）E R 2π21（C ） E R 2π（D ） E R 2π223图题30图E题28图31．静电场中某点P 处电势的数值等于（A ）试验电荷q 0置于P 点时具有的电势能 （B ）单位试验电荷置于P 点时具有的电势能 （C ）单位正电荷置于P 点时具有的电势能（D ）把单位正电荷从P 点移到电势零点时外力所作的功. 32．在某一静电场中，任意两点P 1和P 2之间的电势差决定于 （A ）P 1点的位置 （B ）P 2点的位置（C ）P 1和P 2两点的位置（D ）P 1和P 2两点处的电场强度的大小和方向.33．半径为R 的均匀带电球面的带电量为q . 设无穷远处为电势零点，则该带电体电场的电势U 随距球心的距离r 变化的曲线为（A ） （B ） （C ） （D ） 题33图34．一半径为R 的均匀带电球面的带电量为q . 设无穷远处为电势零点，则球内（外）距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为（A ）0=E ，rq U 0π4ε= （B ） 20π4r q E ε=，rq U 0π4ε= （C ）0=E ，Rq U 0π4ε=（D ） 20π4r q E ε=，Rq U 0π4ε=35. 如图所示，边长为a 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点产生的磁感应强度B 的大小为 （A ）aIπ420μ （B ）aIπ320μ （C ）aIπ220μ （D ）aIπ20μ 36. 如图所示，四条皆垂直于纸面的无限长载流细导线，每条中的电流强度都为I . 这四条导线被纸面截得的断面及电流流向如图所示，它们组成了边长为a 的正方形的四个顶角，则在图中正方形中点O 的磁感应强度的大小B 为（A ）aIπ20μ （B ）aIπ220μ （C ）aIπ230μ （D ）II题35图 题36图 题37图 题38图37、 如图所示，一载流导线在同一平面内弯曲成图示状，O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，导线在无穷远处连接到电源上. 设导线中的电流强度为I ，则O 点磁感应强度的大小是______.（A ）102010π444R I R I R I μμμ-+ （B ）102010π444R IR I R I μμμ--（C ）102010π444R IR I R I μμμ++（D ）102010π444R IR I R I μμμ+-38. 如图所示，在一圆电流所在的平面内，选取一个与圆电流相套嵌的闭合回路，则由安培环路定理可知 （A ）⎰=⋅Ldl B 0，且环路上任意一点0=B （B ）⎰=⋅Ldl B 0，但环路上任意一点0≠B（C ）0⎰≠⋅Ldl B ，且环路上任意一点0≠B （D ）⎰≠⋅Ldl B 0, 但环路上任意一点=B 常量36 一通有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个单位长度匝数相等的螺线管（R=2r ），两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足：（A ）B R =B r （B ）２B R =B r （C ）B R =2B r （D ）B R =4B r39．如图：金属棒ab 在均匀磁场B 中绕过c 点的轴OO ’转动，ac 的长度小于bc ，则：（A ）a 点与b 点等电位 （B ）a 点比b 点电位高（C ）a 点比b 点电位低 （D ）无法确定40．将导线折成半径为R 的43圆弧，然后放在垂直纸面向里的均匀磁场里，导线沿aoe 的角平分线方向以速度v 向右运动. 导线中产生的感应电动势为：（A ）0（B ）BRv 23（C ）BRv （D ）BRv 241．金属杆aoc 以速度v 在均匀磁场B 中作切割磁力线运动. 如果oa=oc=L ，如图放置，那么杆中动生电动势为：（A ）BLv =ε （B ）θεsin BLv = （C ）θεcos BLv = （D ）)cos 1(θε+=BLva题39图 题40图 题41图二、填空题1．一物体沿直线运动，运动方程为t A y ωsin =，其中A 、ω均为常数，则（1）物体的速度与时间的函数关系式为 ；（2）物体的速度与坐标的函数关系式为 .2．一物体沿直线运动，运动方程为t A x ωcos =，其中A 、ω均为常数，则（1）物体的速度与时间的函数关系式为 ；（2）物体的速度与坐标的函数关系式为 .3．一质点的直线运动方程为x = 8t – t 2（SI ），则在t=0秒到t=5秒的时间间隔内，质点的位移为 ，在这段时间间隔内质点走过的路程为 .4．一质点以45°仰角作斜上抛运动，不计空气阻力. 若质点运动轨道最高处的曲率半径为5 m ，则抛出时质点初速度的大小v 0 = . (g=10 m·s -2)5．一质点以45°仰角作斜上抛运动，不计空气阻力. 若质点抛出时质点初速度的大小v 0 = sm 10 .(g=10 m·s -2) 则质点运动轨道最高处的曲率半径为 m ，则抛出时质点初速度的大小v 0= . (g=10 m·s -2)6．在oxy 平面内运动的一质点，其运动方程为 r =5cos5t i + 5sin5t j ，则t 时刻其速度v = ，其切向加速度τa = ，法向加速度a n = .7. 如图，质量为m 的小球用轻绳AB 、AC 连接. 在剪断AB 前后的瞬间，绳AC 中的张力比值 T / T ′=.m题7图 题8图 题9图 题10图8. 如图，一圆锥摆摆长为l ，摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与竖直方向的夹角为θ. 则：（1）摆线中张力T = ；（2）摆锤的速率v = .9. 一小球套在半径R 的光滑圆环上，该圆环可绕通过其中心且与圆环共面的铅直轴转动. 若在旋转中小环能离开圆环的底部而停在环上某一点，则圆环的旋转角速度ω 值应大于 .10. 如图，质量为m 的木块用平行于斜面的细线拉着放置在光滑斜面上. 若斜面向右方作减速运动，当绳中张力为零时，木块的加速度大小为 ；若斜面向右方作加速运动，当木块刚脱离斜面时，木块的加速度大小为 .11. 已知两物体的质量分别为m 1、m 2，当它们的间距由a 变为b 时，万有引力所作的功为 .12. 如图所示，一质点沿半径为R 的圆周运动. 质点所受外力中有一个是恒力F =F 1 i +F 2 j ，当质点从A 点沿逆时针方向走过43圆周到达B 点时，F 所作的功A= . 13. 如图所示，质量为m 的小球系在倔强系数为k 的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在O 点. 开始时小球位于水平位置A 点，此时弹簧处于自然长度l 0 状态. 当小球由位置A 自由释放，下落到O 点正下方位置B 时，弹簧的伸长量为nl 0，则小球到达B 点时的速度大小为v B = . 14. 一颗速率为800 m·s -1的子弹打穿一块木板后，速度降为600 m·s -1，若让该子弹继续穿过第二块完全相同的木板，则子弹的速率降为 .15. 一颗速率为600 m·s -1的子弹打穿一块木板后，速度降为500 m·s -1，若让该子弹继续穿过第二块完全相同的木板，则子弹的速率降为 .B题12图A题13图16. 某人拉住河中的船，使船相对于岸不动. 以地面为参照系，人对船所作的功 ；以流水为参照系，人对船所作的功 .（填 >0 ，=0，或 <0）17. 地球半径为R ，质量为M . 现有一质量为m 的物体，位于离地面高度为2R 处，以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为 ；若取无限远处为势能零点，则系统的引力势能为 . （万有引力常数为G ）18. 质量为m 的小球自高度为h 处沿水平方向以速率u 抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为h 21，水平方向速度为u 21. 不计空气阻力，则碰撞过程中，（1）地面对小球的垂直冲量为 ； （2）地面对小球的水平冲量为 .题18图m题20图19. 一物体质量为20 kg ，受到外力F = 20 i +10t j (SI) 的作用，则在开始的两秒内物体受到的冲量为 ；若物体的初速度为v 0 =10i (单位为m ⋅s -1)，则在2 s 末物体的速度为 .20. 如图所示，质量为m 的小球在水平面内以角速度ω 匀速转动. 在转动一周的过程中， （1）小球动量增量的大小是 ； （2）小球所受重力冲量的大小是 ； （3）小球所受绳中张力冲量的大小是 . 21. 质量为m 的质点，以不变速率v 越过一水平光滑轨道的120° 弯角时，轨道作用于质点的冲量大小I = .22．在光滑的水平面上有一质量为M =200 g 的静止木块，一质量为m =10.0 g 的子弹以速度v 0 = 400 m ⋅s -1沿水平方向射穿木块后，其动能减小为原来的1/16. 则（1）子弹射穿木块后，木块的动能为 ；（2）阻力对子弹所做的功为 ；（3）系统损失的机械能为 .23．如图所示有一匀质大圆盘，质量为M ，半径为R ，其绕过圆心O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为221MR . 然后在大圆盘中挖去如图所示的一个小圆盘，小圆盘的质量为m ，半径为r ，该挖去的小圆盘对上述转轴的转动惯量为223mr ，则挖去小圆盘后大圆盘的剩余部分对原来转轴的转动惯量为 . 24、已知有一飞轮以角速度ω0绕某固定轴旋转，飞轮对该轴的转动惯量为J 1；现将另一个静止飞轮突然啮合到同一个转轴上，该飞轮对轴的转动惯量为J 2，且J 2=2 J 1. 则啮合后整个系统的转动角速度为 .25．如图所示，木块A 、B 和滑轮C 的质量分别为 m 1、m 2和m 3，滑轮C 的半径为R ，对轴的转动惯量为2321R m J =. 若桌面光滑，滑轮与轴承之间无摩擦，绳的质量不计且不易伸长，绳与滑轮之间无相对滑动，则木块B 的加速度大小为 .23图25图26．有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕过中心O 且垂直于盘面的竖直固定轴旋转，转台对轴的转动惯量为J . 有一质量为m 的人站于台上，当他站在离转轴距离为r 处时（r <R ），转台和人一起以角速度ω0绕轴旋转. 若轴承处摩擦可以忽略，则当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度为 .27．如图所示，两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d ，其单位长度的带电量分别为1λ和2λ，则场强等于零的P 点与直线1的距离为______.28．方向如图，A 、B 为真空中两块“无限大”的均匀带电平行平面，已知两平面间的电场强度大小为E 0，两平面外侧电场强度大小都为E 0/2. 则A 、B 两平面上电荷面密度分别为=A σ________，=B σ________. 29．如图所示，两块“无限大”的带电平行平面，其电荷面密度分别为σ-（σ>0）及σ3.试写出各区域的电场强度E ：Ⅰ区E 的大小______，方向______；Ⅱ区E 的大小______，方向______；Ⅲ区E 的大小______，方向______.30．真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q （Q<0） . 今在球面上挖去一块非常小的面积S ∆（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S ∆后球心处电场强度的大小E=______，其方向为______.1λ2λ12A BⅡⅢ-σ3σⅠOR△S题27图 题28图 题29图 题30图31．在静电场中，任意作一闭合曲面，通过该闭合曲面的电通量⎰⋅SS E d 的值仅取决于______，而与______无关.32．在点电荷+q 和-q 的静电场中，作出如图所示的三个闭合曲面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合曲面的电场强度通量分别为=1Φ______，=2Φ______，=3Φ______.题32图 题33图33．如图所示，半径为R 的半球面置于场强为E 的均匀电场中，若其对称轴与场强方向一致，则通过该半球面的电场强度通量为______，若其对称轴与场强方向垂直，则通过该半球面的电场强度通量为______.34．在电量为q 的点电荷的静电场中，与点电荷相距分别为r 1和r 2的A 、B 两点之间的电势差U A -U B =______.35．一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀分布在其表面，在吹大此气球的过程中，半径由r 1变到r 2. 若选取无穷远处为电势零点，则半径为R （r 1<R <r 2）的高斯球面上任一点的场强大小E 由______变为______；电势U 由______变为______.36．如图所示，在电量为+Q 的点电荷产生的电场中，电量为q 的试验电荷沿半径为R 的圆弧由A 点移动3/4圆弧轨道到D 点，在此过程中，电场力作功为______；若从D 点移到无穷远处，此过程中电场力作功为______.题36图 题37图 题38图 题39图37. 如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，导线在P 点绝缘. 当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感应强度大小=B ________.38. 如图所示，用均匀细金属丝构成一半径为R 的圆环，电流I 由导线CA 流入圆环A 点，而后由圆环B 点流出，进入导线BD . 设导线CA 和导线BD 与圆环共面，则环心O 处的磁感应强度大小为________，方向________.39. 一同轴电缆由内圆柱体和外圆筒导体组成，其尺寸如图所示. 它的内外两导体中的电流均为I ，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向相反，则（1）在r <R 1处磁感应强度大小为________；（2）在r >R 3处磁感应强度大小为________.40.如图所示，在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长宽各为a 和b 的矩形线框ABCD .线框AD 边与载流长直导线平行，且二者相距为2b . 在此情形中，线框内的磁通量=Φ________.41. 如图所示，两根长直导线通有电流I ，对图示环路1L 、2L 、3L 上B 的环流有：=⋅⎰1L dl B ________；=⋅⎰2L dl B ________；=⋅⎰L dl B ________.III题40图 题41图 题44图42. 一带电粒子平行磁感应线射入匀强磁场，则它作________运动；一带电粒子垂直磁感应线射入匀强磁场，则它作________运动；一带电粒子与磁感应线成任意角度射入匀强磁场，则它作_________运动.43. 在电场强度E 和磁场强度B 方向一致的匀强电场和匀强磁场中，有一运动着的电子质量为m 、电量为e ，某一时刻其速度v 的方向如图（a ）和图（b ）所示，则该时刻运动电子的法向和切向加速度的大小分别为：在图（a ）所示情况下，=n a ______，=t a ______；在图（b ）所示情况下，=n a ______，=t a ______. 44．两无限长直导线通相同的电流I ，且方向相同，平行地放在水平面上，相距为2l . 如果使长为l 的直导线AB 以匀速率v 从图中的位置向左移动t 秒时，（导线AB 仍在两电流之间），AB 两端的动生电动势大小为______. A 、B 两端，电势高的一端是______. 45．四根辐条的金属轮子在均匀磁场B 中转动，转轴与B 平行. 轮子和辐条都是导体. 辐条长为R ，轮子转速为n ，则轮子中心a 与轮边缘b 之间的感应电动势为______，电势最高点是在______处.BE BE题45图 题43图三、计算、问答1．有一质量为m 的物体悬挂在一根轻绳的一端，绳的另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示. 轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的水平固定轴承之上，绳子不易伸长且与轴之间无相对滑动. 当物体由静止释放后，在时间t 内下降了一段距离s ，试求整个轮轴的转动惯量J （用m 、r 、t 和s 表示）.mλxO2. 如图所示，质量M=2.0 kg 的沙箱，用一根长l=2.0 m 的细绳悬挂着. 今有一质量为m=20 g 的子弹以速度v 0 = 500 m ⋅s -1水平射入并穿出沙箱，射出沙箱时子弹的速度为v= 100 m ⋅s -1，设穿透时间极短. 求：（1）子弹刚穿出沙箱时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中受到的冲量大小.3. 有一均匀带电的半径为R 的球体，体密度为ρ，试用高斯定理求解其内外电场及电势分布。

第6单元 气体动理论 序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ C ]1．在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比2121=V V ，则其内能之比21/E E 为： (A) 1/2 (B) 5/3 (C) 5/6 (D) 3/10[ B ]2．若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为(A) pV/m (B) pV/(kT)(C) pV/(RT) (D) pV/(mT)[ D ]3．若)(v f 为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，m 为分子质量，则 )(21221v Nf mv v v ⎰ d v 的物理意义是 (A) 速率为v 2的各分子的总平均动能与速率为v 1的各分子的总平均动能之差。

(B) 速率为v 2的各分子的总平动动能与速率为v 1的各分子的总平动动能之和。

(C) 速率处在速率间隔v 1~ v 2之内的分子的平均平动动能。

(D) 速率处在速率间隔v 1~ v 2之内的分子平动动能之和。

[ D ]4．在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态，A 种气体的分子数密度为 1n ，它产生的压强为 1p ，B 种气体的分子数密度为 12n ，C 种气体的分子数密度为3n 1，则混合气体的压强p 为(A)31p (B)41p(C)51p (D)61p二 填空题1．在定压下加热一定量的理想气体，若使其温度升高1K 时，它的体积增加了0.005倍，则气体原来的温度是_________200k__________。

2．用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数f(v)，表示下列各量：(1)速率大于0v 的分子数= ⎰∞0)(v dv v Nf ；(2)速率大于0v 的那些分子的平均速率=⎰⎰∞∞00)()(v v dv v f dv v vf ；(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于0v 的概率=⎰∞0)(v dv v f 。

大学物理习题集（上册，含解答）第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：v =Δx /Δt = 4(m·s -1)． （2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为22(1)(1)n sa n t-=+，并由上述数据求出量值． [证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：22(1)(1)n sa n t-=+． 计算得加速度为：22(51)30(51)10a -=+= 0.4(m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = 2.49(s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02 = 2a s ， 可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = 30.94(m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m)．根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:2t =．图1.3因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = 6.98(s)． 人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = 419.19(m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = 69.8(m·s -1)， 落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1)， 与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程201sin 02gt v t y θ-+=，解得：0(sin t v g θ=．这里y = -70m ，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t = 6.98(s)．由此可以求解其他问题．1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为011kt v v =+； （2）试证在时间t 内，船行驶的距离为01ln(1)x v kt k =+． [证明]（1）分离变量得2d d vk t v =-， 故 020d d v t v v k t v =-⎰⎰，可得：011kt v v =+． （2）公式可化为001v v v kt=+，由于v = d x/d t ，所以：00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++ 积分00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰．因此 01ln(1)x v kt k=+． 证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ． 由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， a = d v /d t ， 分离变量得方程：d d ()m vt f v =， 解方程即可求解．在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则 d v /d t = -kv n ． （1）如果n = 1，则得d d vk t v=-， 积分得ln v = -kt + C ．当t = 0时，v = v 0，所以C = ln v 0， 因此ln v/v 0 = -kt ，得速度为 ：v = v 0e -kt ．而d v = v 0e -kt d t ，积分得：0e `ktv x C k-=+-． 当t = 0时，x = 0，所以C` = v 0/k ，因此0(1-e )kt vx k -=．（2）如果n ≠1，则得d d n vk t v=-，积分得11n v kt C n -=-+-． 当t = 0时，v = v 0，所以101n v C n-=-，因此11011(1)n n n kt v v --=+-． 如果n = 2，就是本题的结果．如果n ≠2，可得1(2)/(1)020{[1(1)]1}(2)n n n n n v kt x n v k----+--=-，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t 3．求： （1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2)； 角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2)． （2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2，当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即n a a =由此得2r r ω=22(12)24t =解得36t =．所以3242(13)t θ=+=+=3.154(rad)．（3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t 2)2，解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为am·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ． 加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α． 运动方程为2012x x x v t a t =+， 2012y y y v t a t =-+．即 201cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅， 201sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；02sin sin v t a θα==．将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．[注意]选择不同的坐标系，如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向，也能求出相同的结果．1．7 一个半径为R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自v 图1.7由端拴一物体A ．在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s 内下降的距离h = 0.4m ．求物体开始下降后3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度．由于212t h a t =∆， 所以a t = 2h /Δt 2 = 0.2(m·s -2)．物体下降3s 末的速度为v = a t t = 0.6(m·s -1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为2n v a R== 0.36(m·s -2)．1．8 一升降机以加速度1.22m·s -2上升，当上升速度为2.44m·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m ．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为21012h v t at =+；螺帽做竖直上抛运动，位移为22012h v t gt =-． 由题意得h = h 1 - h 2，所以21()2h a g t =+，解得时间为t ．算得h 2 = -0.716m ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m ．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g ，而初速度为零，可列方程h = (a + g )t 2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处．已知气流相对于地面的速度为u ，AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为02l t v =； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为01221/t t u v =-；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为2t =．[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v ，路程为2l ，所以飞行时间为t 0 = 2l /v ． （2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u ，向西飞行逆风的速率为v - u ， 所以飞行时间为1222l l vl t v u v u v u =+=+-- 022222/1/1/t l v u v u v==--． （3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为V =，所以飞行时间为22l t V ==== 证毕．1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？AB AB vv + uv - uABvuuvv[解答]雨对地的速度2v 等于雨对车的速度3v 加车对地的速度1v ，由此可作矢量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 12(sin cos )lv v hθθ=+． 证毕． 方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得12sin()sin(90)v v θαα=+︒-，所以：12sin()cos v v θαα+=2sin cos cos sin cos v θαθαα+=2(sin cos tan )v θθα=+，即 12(sin cos )lv v hθθ=+． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为 l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为 x = v 0t ，2211sin 22y at g t α==⋅．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为22sin g y x v α=，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一质量m = 2kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：（1）今以水平力F 拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = 19.6(N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M )g = 29.4(N)，图1.101h lα图2.1这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = μk N M = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μs mg = ma`，可得 a` =μs g ．板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ，算得 F = 16.17(N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N 的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = 0.3kg ，m 2 = 0.2kg ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为 12212(2)/22F m m g a m m μ-+=+= 4.78(m·s -2)，绳对它的拉力为2112(/2)/22m T F m g m m μ=-+= 1.35(N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式12111k k k =+； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2． （1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2， 因此 1212F F F kk k =+，即：12111k k k =+． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2，因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2， 即：k = k 1 + k 2．2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1a 沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度1b 把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度2b （b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力12图2.32 图2.4的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ， 所以 θ = arctan(a/g )；绳子张力等于摆所受的拉力：T ==（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力， 合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得：cos tan sin mb mg mb ϕθϕ=+，因此角度为cos arctansin b g b ϕθϕ=+；而张力为T=．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．2．6 如图所示：质量为m =0.10kg 的小球，拴在长度l =0.5m 的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．小球的运动方程为 22d d s F ma m t ==，其中s 表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为d d d d s v l t t θ==，因此d d d d d d d d v v m v F mm v t t l θθθ===，即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分60d sin d Bv v v gl θθ︒=-⎰⎰，（2）图2.6得2601cos 2B v gl θ︒=，解得：B v =s -1)．由于：22B BB v v T mg m m mgR l -===，所以T B = 2mg = 1.96(N)．（2）由（1）式积分得21cos 2C v gl C θ=+，当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2，因此速度为C v =切向加速度为a t = g sin θ；法向加速度为2(2cos 1)Cn v a g R θ==-．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为2t a g== 8.49(m·s -2)，法向加速度为 a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = 0.49(N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为22d d sF ma m t ==，s 表示弧长．由于d d s v t =，所以 22d d d d d d d ()d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s ====，因此 v d v = g cos θd s = g d h ，h 表示石下落的高度．积分得 212v gh C =+，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为v =2．8 质量为m 的物体，最初静止于x 0，在力2kf x =-(k 为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k (1/x – 1/x 0)/m ]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程图2.7222d d k x f ma m x t =-==利用v = d x/d t ，可得22d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x ===，因此方程变为2d d k xmv v x =-，积分得212k mv C x =+．利用初始条件，当x = x 0时，v = 0，所以C = -k /x 0，因此2012k k mv x x =-，即v =证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f (x )，利用变换可得方程：mv d v = f (x )d x ，积分即可求解．如果f (x ) = -k/x n ，则得21d 2nx mv k x =-⎰． （1）当n = 1时，可得21ln 2mv k x C =-+利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以C = ln x 0，因此 21ln 2x mv k x =， 即v =（2）如果n ≠1，可得21121n k mv x C n -=-+-．利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以101n k C x n -=--，因此 2110111()21n n k mv n x x --=--， 即v =当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9 一质量为m 的小球以速率v 0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k ．求：（1）小球速率随时间的变化关系v (t )； （2）小球上升到最大高度所花的时间T ．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程d d vf mg kv mt =--=，分离变量得d d()d v m mg kv t m mg kv k mg kv +=-=-++，积分得ln ()mt mg kv C k =-++．当t = 0时，v = v 0，所以0ln ()mC mg kv k =+，因此00/ln ln/m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v ++=-=-++， 小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg kt mgv v k m k =+--．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为00/ln ln(1)/mg k v kv m m T k mg k k mg +==+．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤： 由于v = d x/d t ，所以0d [()exp()]d mg kt mg x v t k m k =+--，即0(/)d d exp()d m v mg k kt mgx tk m k +=---，积分得0(/)exp()`m v mg k kt mgx t C k m k +=---+， 当t = 0时，x = 0，所以0(/)`m v mg k C k +=，因此0(/)[1exp()]m v mg k kt mg x tk m k +=---．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为d d vf mg kv mt =-=，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg mg ktv v k k m =---．这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m =mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得2d d k v v f m m R t μ=-=， 即 ： 2d d k vt R v μ=-．积分得：1k t C R v μ=+．当t = 0时，v = v 0，所以01C v =-， 因此 011kt Rv v μ=-．解得 001/k v v v t R μ=+．由于0000d d(1/)d 1/1/k k k k v t v t R R x v t R v t R μμμμ+==++， 积分得0ln (1)`k kv tR x C Rμμ=++，当t = 0时，x = x 0，所以C = 0，因此0ln (1)k kv tRx Rμμ=+．2．11 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mg tg θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ． 根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ，可得2cos mgR ωθ=，解得2arccosg R θω=±．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ， 积分得冲量为 /20(cos )d I kA t tωω=-⎰π，/20sin kAkAtωωωω=-=-π方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ，设小球的质量为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0， 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ，mg图2.11小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA ， 可以证明k =mω2，因此I = -kA /ω．2．13一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义21p p p ∆=- 得：21p p p =+∆，由此可作矢量三角形，可得：p ∆==． 因此向心力给予小球的的冲量大小为I p =∆= 1.41(N·s)．[注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量24v TI Ft mR ==2/42R T T mv mvR ππ==．假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力F = mv 2/R = mωv ， 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ，F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ，d I y = F y d t = F sin ωt d t ， 积分得 /4/4cos d sin T T x FI F t t tωωω==⎰Fmvω==，/4/4sin d cos T T y FI F t t tωωω==-⎰Fmvω==，合冲量为I ==，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．14 用棒打击质量0.3kg ，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s ，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为y v =s -1)，其速度的增量为v ∆== 24.4(m·s -1)． 棒给球冲量为I = m Δv = 7.3(N·s)， 对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．v xΔvv y2．15 如图所示，三个物体A 、B 、C ，每个质量都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m 的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动， 加速度大小为a ，可列方程：T = Ma ，联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s -2)．根据运动学公式：s = v 0t + at 2/2， 可得B 拉C之前的运动时间；t =． 此时B 的速度大小为：v = at = 2(m·s -1)．物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`， 因此C 开始运动的速度为：v` = 2v /3 = 1.33(m·s -1)．2．16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ，方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作矢量三角形，列方程得 /2`cos 452mmv v =︒，所以 v` = v /cos45°= 0cos θ．2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m ，它与路面的滑动摩擦因数为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移d s 的大小为d s = R d θ． 重力G 的大小为：G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为1d d cos(/2)d W G s G s θ=⋅=+π sin d mgR θθ=-，积分得重力所做的功为454510(sin )d cos W mgR mgR θθθ︒︒=-=⎰(1mgR =-．摩擦力f 的大小为：f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为2d d cos d W f s f s =⋅=πcos d k u mg R θθ=-，积分得摩擦力所做的功为图2.174520(cos )d k W mgR μθθ︒=-⎰450sin k k mgR mgR μθ︒=-=．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G 、摩擦力f 和马的拉力F 就是平衡力，即0F G f ++=，或者 ()F G f =-+．拉力的功元为：d d (d d )W F s G s f s =⋅=-⋅+⋅12(d d )W W =-+，拉力所做的功为12()W W W =-+(1)k mgR μ=．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．18 一质量为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答] （1）质点的初动能为：E 1 = mv 02/2， 末动能为：E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为：ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8， 这就是摩擦力所做的功W ．（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得：20()d 2k k W mgr mgrπμθπμ=-=-⎰．由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因数为20316k v gr μ=π．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -μk g ， 根据公式v t 2 – v o 2 = 2a t s ，可得质点运动的弧长为22008223k v v r s a g πμ===，圈数为 n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k ， 可得 s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。

大学物理学练习册参考答案单元一 质点运动学四、学生练习 (一）选择题1.B2.C3.B4.B5.B (二）填空题1. 0 02.2192x y -=， j i 114+， j i 82-3.16v i j =-+;14a i j =-+;4.20211V kt V -；5、16Rt 2 4 6 112M h h h =-vv（三）计算题1 解答（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：v =Δx /Δt = 4(m·s -1)．（2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ．（3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．2.解答 1）由t y t x ππ6sin 86cos 5==消去t 得轨迹方程：1642522=+y x 2）tdt dy v t dtdx v y x ππππ6cos 486sin 30==-==当t=5得；πππππ4830cos 48030sin 30===-=y x v vt dt dv a t dtdv a y y xx ππππ6sin 2886cos 18022-==-==当t=5 030sin 28818030cos 180222=-==-=-=πππππdt dv a a yy x 3．解答：1）()t t dt t dt d t tvv 204240+=+==⎰⎰⎰则：t t )2(42++=2）()t t t dt t t dt d ttr )312(2)2(4322++=++==⎰⎰⎰t t t )312()22(32+++=4． [证明]（1）分离变量得2d d vk t v=-， 故020d d v tv vk t v =-⎰⎰， 可得：011kt v v =+． （2）公式可化为001v v v kt=+，由于v = d x/d t ，所以：00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++积分00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰．因此 01ln(1)x v kt k=+． 证毕．5．解答（1）角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2)； 角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2)． （2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2，当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即n a a =．由此得2r r ω=22(12)24t = 解得36t =．所以3242(13)t θ=+==3.154(rad)．（3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t 2)2，解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．6．解答：当s 2=t 时，4.022.0=⨯==t βω 1s rad -⋅则16.04.04.0=⨯==ωR v 1s m -⋅064.0)4.0(4.022=⨯==ωR a n 2s m -⋅ 08.02.04.0=⨯==βτR a 2s m -⋅22222s m 102.0)08.0()064.0(-⋅=+=+=τa a a n单元二 牛顿运动定律（一）选择题 1.A 2.C 3.C 4.C 5 A 6.C （二）填空题 1. 022x F t COS F X ++-=ωωω2.略3. )13(35-4. 50N 1m/s5.21m m t f +∆ )()(212122221m m m t m t m t m f +∆+∆+∆6. 0 18J 17J 7J7. m rkr k（三）计算题1.解答：θμθcos )sin (f f mg =- ； θμθμsin cos +=mgf0cos sin =+=θμθθd df； 0tan =θ ； 037=θ θsin hl ==037sin 5.12. 解答；dtdvmkv F mg =--分离变量积分得 0ln(1)v tktm mdvmg F kvktmg F dt v e mg F kv mg F m k-----=??----蝌 3解答：烧断前 2221211();a L L a L w w =+=烧断后，弹簧瞬间的力不变，所以2a 不变。