《土木工程测量》第6章测量误差教案--测量误差的基本知识

03
随机误差
定义与特点
定义
随机误差是指在多次测量中，由于随 机因素的影响而引起的测量值之间的 差异。
特点
随机误差具有随机性、独立性和不可 预测性，每次测量的结果都是独立的 ，无法通过一次测量结果来预测下一 次的测量结果。
产生原因与消除方法
产生原因
随机误差的产生主要是由于测量过程中一些随机因素的影响 ，如测量环境的温度、湿度、气压等微小波动，测量仪器的 微小震动、测量操作者的微小疲劳等。
误差的表示与处理
表示
绝对误差、相对误差、引用误差。
处理
通过校准、修正、统计方法来减小误差，提高测量精度。
02
系统误差
定义与特点
系统误差是由于测量系统中一些固定因素的影响而导致的误差，具有可预测性和 重复性。
系统误差是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次测量时，误差的大小和符 号保持不变或按照一定的规律变化。这种误差不是偶然的，而是由于测量系统中 某些固定因素引起的。
04
过失误差
定义与特点
定义
过失误差是由于测量过程中人为的、 可以避免的原因造成的误差。
特点
具有可预测性和可控制性，通常会导 致测量结果系统性偏高或偏低。
产生原因与预防措施
产生原因
测量人员操作不规范、读数错误、设备 使用不当等。
VS
预防措施
加强测量人员培训，确保掌握正确的操作 方法和流程；实施定期校准和维护测量设 备；建立严格的测量质量控制体系。
消除方法
无法完全消除随机误差，但可以通过增加测量次数取平均值 的方法减小随机误差的影响。同时，保持测量环境的稳定、 选择高精度的测量仪器、提高测量操作者的技能水平等也可 以减小随机误差。

第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。

采用稳健的统计方法
在数据分析和处理过程中，采用稳健的统计方法，如加权平均、中 位数等，可以减小随机误差对结果的影响。
04
粗大误差
粗大误差的定义
粗大误差是由于测量过程中的错误、 操作不当或意外事件等引起的明显与 实际值偏差较大的误差。
这类误差通常是由于测量者的疏忽、 仪器故障或环境干扰等因素造成的。
通过修正测量值以减小误差，通常需 要已知真值或修正系数。
补偿法
通过对测量系统的某些部分进行补偿 以减小误差，例如使用补偿器。
综合法
将修正法和补偿法结合使用，以减小 系统误差和随机误差。
统计处理法
对大量数据进行统计处理，以减小随 机误差和异常值的影响。
测量不确定度评定
不确定度的定义
表示测量结果可信度的参数，通常用标准差 或标准偏差表示。
加强测量者的培训和规范操作
定期检查仪器设备
通过培训提高测量者的技能和责任心，减 少因操作不当引起的粗大误差。
及时发现和修复仪器故障，确保测量设备 的准确性和可靠性。
环境控制
数据审查
在测量过程中，对环境因素进行控制和监 测，减少环境干扰引起的粗大误差。
对测量数据进行审查，发现并剔除异常值 ，确保数据的准确性和可靠性。
02
重复测量
对同一被测对象进行多次测量，取 平均值以减小偶然误差。
培训测量人员
提高测量人员的技能和素质，减少 人为误差。
04
工程测量中的误差控制实例
高精度测量
采用高精度测量设备和方法，如激光测距仪、全站仪等，提高测量精 度。
数据处理
对测量数据进行严格的数据处理和分析，确保数据的准确性和可靠性 。
环境控制
偶然误差
由于随机因素引起的偶然 波动导致的误差，如读数 不准确、记录错误等。

lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。

d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e

2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x

l
n

1 n
l1

1 n
l2

1 n
ln
dx

1 n
dl1

1 n
dl2

1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12

1 n2
m22

1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K

f
2 n
xn2 K
即
mz2

f12mx21
f
2 2
mx22



安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)

偶然误差
在同一条件下获得的观测列中，其数值、符号不定，表面看没 有规律性，实际上是服从一定的统计规律的。
粗差
是一些不确定因素引起的误差，主要有几类：一类是将粗差看 用与偶然误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗 差看作与偶然误差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；还 有一类是认为偶然误差与粗差具有相同的统计性质，但有正态 与病态的不同。
因此：

2


2 2
1)
e
2
2
2

0
1 0

-σ
+σ
§6-3 评定精度的指标
平均误差

偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差
E ( ) lim
n
ˆ n

n
§6-3 评定精度的指标
极限误差

偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值
第6章 测量误差理论
峨眉校区
§6-1 测量误差

在实际的测量工作中发现：当对某个确定 的量进行多次观测时或各观测值与其理论 值之间往往存在着一些差异
A B A α β γ DAB C α +β +γ ≠180°
B
492.359 …… 492.363，492.361，492.360，
§6-1 测量误差

§6-5 算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对某量进行了n次等 精度观测，观测值为L1、L2、…、Ln，其真 值为X，真误差为Δ1、Δ2、…、Δn。
i Li X
[] [ L] nX
X
[ L] [ ] [ ] x n n n
n

用水准仪测量A、B两点间的高差，要求高差中
误差不大于3 mm，试问在水准尺上读数的中 7 误差应为多少?
用经纬仪观测水平角，测角中误差为±9”。欲 使角度观测结果的精度达到±5”，问需要观测 8 几个测回?
在水准测量中，设一个测站观测高差的中误差 为±3 mm，l公里线路有9站。求1公里线路观
9 测高差的中误差和K公里线路观测高差的中误差。
能力练习题部分
1 解释名词：误差、系统误差、偶然误差、中误差、极限 误差、相对中误差、误差传播定律、算术平均值中误差。
测量距离AB和CD。往测结果分别为258.598 m和
2 138.745 m，返测结果分别为258.547 m和138.778 m。 分别计算往返较差、相对误差，并比较精度。
3
测得一正方形的边长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=86.25 m±O.04 m。试求正方
对一段距离测量了6次，观测结果为246．535 m、246．548 m、246．520 m、246.529 m、 246．550 m、246．537 m。试计算该段距离 的最或是值、最或是值的中误差和相对中误差、 10 测量一次的中误差。
3极限误差
要衡量某一观测 值的质量，决定 其取舍需用极限 误差又称允许误
差，简称限差
概率分布曲线
任务6.4 误差传播定律
误差传播定律
1线性函 数
倍数函数：
z 函数式： k x
中误差关系式
mz kmx
2非线性函数
3精度分析举例
mZ2
(
f x1
)
2
m12
(
f x2
)
2
m22
(
f xn
)
2
mn2

特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出
现的频率小。(绝对值大小)
特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号)
特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，
即(抵偿性)
lim 12 n
n
n
lim
n
n
0
(5-3) (5-3)
本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即
∑Δ工i=程[Δ测] 量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
工程测量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177 0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.00
工程测量学
§5 5测.1量观误测差误的差基概本述知识
系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。
在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有： ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统 误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后 视视距差等。

lm i
n ∞ →
n
=lm n =0 i
n ∞ →
(5-3)
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即 表示取括号中下标变量的代数和 ∑∆i=[∆] 工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
1 −2σ2 = e 2 πσ
2 ∆
( ) )∆ p∆ =d∆d = f (∆d ∆
k n
(5-6)
和式(5-6)中f(∆)是误差分布的概率的概率密度函数，简称 是误差分布的概率的概率密度函数 式(5-4)和式 和式 中 是误差分布的概率的概率密度函数， 密度函数。 密度函数。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
的数据， 用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表 的数据 可以直观地表示偶然误差的分布情况 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间 的比值为纵坐标， 与区间d∆的比值为纵坐标 以误差大小为横坐标，以频率 与区间 的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。 所示。 频率直方图。 所示 这种图称为频率直方图
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律： 从表 中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差 中可以看出 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频 率相近，最大误差不超过24″。 率相近，最大误差不超过 。 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中， 特性 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 不超过一定的限值。 范围 范围) 不超过一定的限值。(范围 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大， 特性 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出 现的频率小。 绝对值大小 绝对值大小) 现的频率小。(绝对值大小 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号 特性 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 符号) 符号 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， 特性 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 ， ∆ + 2+ ∆ [∆ ] 抵偿性) (5-3) 即(抵偿性 抵偿性 1 ∆ Ln

Z n kX n
[2Z ] k 2 [2X ]
n
n
即： mZ2 = k2mX2 mZ= kmX
6-3 误差传播定理
和差函数的中误差 倍数函数的中误差 线性函数的中误差
设有： Z=k1X1± k2X2 ±…± knXn
则有： mZ2 = k12mX12 + k22mX22 + … + kn2mXn2
正误差
K
K/n
46 0.128
41 0.115
33 0.092
21 0.059
16 0.045
13 0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177 0.495
总数
K
K/n
91 0.254
81 0.226
66 0.184
44 0.123
33 0.092
26 0.073
11 0.031
6
0.017
0
0
358 1.000
能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？
平均误差
nl im
|i | n
方差
D
nl im
n
标准偏差（中误差）
D nlim
n
当n有限时，所求均为估值，测量中常用 m 来表
示σ的估值，并称之为中误差
6-2 评定精度的标准
按观测值的真误差计算中误差
次序
第一组观测
第二组观测
观测值lΔΒιβλιοθήκη Δ2观测值lΔ
Δ2
2 2
P{3 3} 1
3
e
2 2 2
d
0.997
2 3
Δ限=3σ≈3m 偶然误差的容许值: |Δ容|=2σ≈2m