2018-201X考研数学概率论重要考点总结-精选word文档 (3页)

概率论知识点总结精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。

相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B 的和事件。

记为 A∪B。

事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。

事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。

用交并补可以表示为B-。

A=BA互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

互斥时BA⋃可记为A＋B。

对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为A。

对立事件的性质：ΩAA,。

B⋂B==⋃Φ事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：BA⋃BA⋂=BA⋃BA⋂=第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A )贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

【最新整理，下载后即可编辑】《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生 B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ §4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即}{}{}{2]1ki i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率 （2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

考研数学概率论知识点总结考研数学中的概率论是一个重要的组成部分，对于考生来说，掌握好概率论的知识点是取得高分的关键之一。

下面就为大家详细总结一下概率论的重要知识点。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。

2、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。

3、事件的关系与运算包括事件的包含、相等、和、积、差、互斥、对立等关系和运算。

4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

5、古典概型具有有限个等可能结果的概率模型。

6、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

7、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

8、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

9、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式用于计算复杂事件的概率，贝叶斯公式用于在已知结果的情况下，反推原因发生的概率。

二、随机变量及其分布1、随机变量用来表示随机试验结果的变量。

2、离散型随机变量取值可以一一列出的随机变量。

3、离散型随机变量的概率分布包括分布律、分布函数等。

4、常见的离散型随机变量分布如 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。

5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。

6、连续型随机变量的概率密度函数其性质包括非负性和规范性。

7、常见的连续型随机变量分布如均匀分布、正态分布、指数分布等。

8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。

三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。

2、二维随机变量的分布函数其性质与一维类似。

3、二维离散型随机变量联合分布律、边缘分布律等。

4、二维连续型随机变量联合概率密度函数、边缘概率密度函数等。

5、条件分布在已知某一变量取值的条件下，另一变量的分布。

6、相互独立的随机变量如果两个随机变量的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称它们相互独立。

考研数学概率论复习重要知识点一、基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，用于量化不确定性。

而随机事件是指在一次试验中，不能事先确定出现的结果。

概率的数学定义：对于任意事件A，P(A)表示事件A发生的可能性大小，0 ≤P(A)≤ 1。

同时，P(Ω) = 1，其中Ω是样本空间。

二、加法公式概率公式若A1和A2是两个互不相容的事件，则有：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$容斥原理当两个事件不互不相容时，可以用容斥原理求出其概率：$P(A_1 \\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \\cap A_2)$其中，$P(A_1 \\cap A_2)$ 表示事件A1和A2同时发生的概率。

三、条件概率条件概率是指已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

条件概率的公式：$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$其中，$P(A \\cap B)$ 表示事件A和B同时发生的概率。

四、乘法公式用乘法公式计算两个事件的概率，即：$P(A \\cap B) = P(A|B)P(B)$五、独立事件若事件A和事件B满足以下条件，则称它们是独立的：$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果在样本空间Ω中，有一个有限或无限个互不相交的事件序列B1,B2,…,B n，且对Ω的任意一个子集A有：$A = (A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\cdots \\cup (A \\cap B_n)$则称事件序列B1,B2,…,B n是一组划分，其全概率公式为：$P(A) = P(A \\cap B_1) + P(A \\cap B_2) + \\cdots + P(A \\cap B_n)$贝叶斯公式如果事件B1,B2,…,B n是一组划分，并对每个$i=1,2,\\cdots,n$，有P(B i)>0，则贝叶斯公式为：$P(B_i|A) = \\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$其中，P(B i|A)表示在事件A发生的条件下，事件B i发生的概率。

考研数学概率论重要考点总结考研数学-概率论重要考点总结考研数学-概率论是考研数学中非常重要的一门课程，一部分选手往往会因为概率论考试不好而导致总分降低。

随着考研的竞争日益激烈，对于概率论重要考点的掌握也变得越来越关键。

本文将重点介绍考研数学概率论中的重要知识点和应试技巧，相信会对您的考研有所帮助。

第一部分：概率论基础知识点1.随机事件和概率特定的事件在具有一定条件的过程中发生的可能性称为其概率。

随机事件是某个试验中的可能结果，这些结果之一会被称为随机事件。

随机事件有可达成的（必然事件）和不可达成的（不可能事件）之分，而概率是在数学上给出事件发生可能性的量化值。

2.条件概率条件概率指在另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率。

条件概率的计算需要利用贝叶斯公式，即P(A|B)= P(A∩B)/P(B)。

其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

在日常生活中，常见的例子是医学诊断和安全检查。

3.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式是指当一个事件是由许多个事件的情况复合而成时，利用每个事件的概率来计算出总体情况的概率。

贝叶斯公式是通过已知的先验概率和新的数据来推断后验概率的。

这两个公式是概率论中非常重要的基础。

4.独立事件独立事件指两个或多个事件之间不受其他事件影响的情况，即事件A和事件B之间满足P(A|B)=P(A)或者P(B|A)=P(B)。

独立事件还有一些性质，如互不影响性和乘法公式。

第二部分：概率论常见且易错的考点1.排列组合排列组合是概率论中的重要知识点，也是很多考生不太熟悉的概率论题型。

在排列组合问题中，考生一般都需要利用排列和组合的公式进行计算，以确保答案的准确性。

此外，需要注意的是，在计算排列和组合时，一定要先确定放置顺序或者不考虑顺序的问题，否则会导致答案错误。

2.抽样分布抽样分布是概率论中比较常用的知识点，也是考研数学中的重要考点之一。

2018考研数学概率论重要章节知识点总结第一章、随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。

其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。

第二章、随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。

第三章、多维随机变量的分布在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。

二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。

掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。

最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。

第四章、随机变量的数字特征本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。

另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。

第五章、大数定律和中心极限定理本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。

第六章、数理统计的基本概念重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。

第七章、参数估计本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。

对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。

区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。

考生要对每章的出题重点做到了如指掌，加以题目训练，相信会有好的成绩!。

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祝大家学有所得。

第一章随机事件概率随机试验：满足以下三个条件的试验：（1）可重复；（2）知道所有可能；（3）结果不可预知。

样本点：每一个可能的结果叫做一个样本点。

样本空间：全体样本点的集合，记为Ω。

随机事件：随机试验中每一个可能出现的结果，叫做随机事件。

基本事件：试验中不可再分的事件。

不可能事件：不可能发生的事件。

必然事件：必定要发生的事件。

复合事件：由两个或两个以上的事件构成的事件。

事件的关系与运算：事件的关系定义文氏图A B⊂：包含关系：事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。

事件相等：A=B 事件A,B 相互包含，就称事件A,B相等。

互斥事件：AB=∅不可能同时发生的事件对立事件：若AB=∅且=0A B，称事件A,B对立事件。

两者之一必然发生，但又不可能同时发生的事件。

事件的并：A B事件A,B中至少有一个发生，称事件A B发生。

事件的差：A-B 事件A发生且B不发生，事件的交：A B AB=事件A,B同时发生，称事件AB发生。

概率：事件发生可能性大小的描述。

条件概率：设A,B 是两个基本事件，且P(A)>0，则：()()()P AB P B A P A =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

事件的独立性：如果两事件A,B 满足：()()()P AB P A P B =,则称A 与B 独立。

A,B 独立 ⇔ ()()P A B P A =⇔()()P B A P B A =独立和互斥的关系：()0,()0P A P B >>时，独立一定不互斥，互斥一定不独立。

对于三个以上的事件：相互独立 ⇒ 两两独立， 两两独立退不出相互独立。

取反运算不改变事件的独立性：,A B 相互独立⇔,A B 相互独立⇔,A B 相互独立。

概率的基本性质： 非零性：0()1P A ≤≤ 归一性：()1iP A =∑：()1()1()P A B P A B P AB =-=-古典概率满足： （1），试验的样本空间的元素只有有限个； （2），每个样本点出现的可能性相等： 古典概型事件A 的计算公式：()k P A n=n---样本点数，k---事件A 包含的样本点数。

考研数学《概率论》高频考点32个2018考研数学《概率论》高频考点32个《概率论》是考研数学考试科目之一，为帮助考生们更好地掌握所学知识，本文是店铺搜索整理的关于2018考研数学《概率论》高频考点32个，供参考复习，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!第一部分：随机事件和概率(1)样本空间与随机事件(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)(3)条件概率与概率的乘法公式(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)(5)全概公式与贝叶斯公式(6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视，第二部分：随机变量及其概率分布(1)随机变量的概念及分类(2)离散型随机变量概率分布及其性质(3)连续型随机变量概率密度及其性质(4)随机变量分布函数及其性质(5)常见分布(6)随机变量函数的分布其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。

第三部分：二维随机变量及其概率分布(1)多维随机变量的概念及分类(2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质(3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质(4)二维随机变量联合分布函数及其性质(5)二维随机变量的边缘分布和条件分布(6)随机变量的独立性(7)两个随机变量的.简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视!第四部分：随机变量的数字特征(1)随机变量的数字期望的概念与性质(2)随机变量的方差的概念与性质(3)常见分布的数字期望与方差(4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算第五部分：大数定律和中心极限定理(1)切比雪夫不等式(2)大数定律(3)中心极限定理其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。

第六部分：数理统计的基本概念(1)总体与样本(2)样本函数与统计量(3)样本分布函数和样本矩其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下第七部分：参数估计(1)点估计(2)估计量的优良性(3)区间估计下载全文。

考研数学概率常考考点总结来源：文都图书概率与数理统计是考研数学的一大模块，一般常出现在填空题、选择题、计算题和证明题中，下面总结了这部分常考的30个知识点，希望大家在基础复习阶段就能记住，打好基础。

(1)确定事件间的关系，进行事件的运算;(2)利用事件的关系进行概率计算;(3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率;(4)有关古典概型、几何概型的概率计算;(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;(6)有关事件独立性的证明和计算概率;(7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算;(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率;(9)由给定的试验求随机变量的分布;(10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率;(11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布;(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率;(14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布;(15)判断随机变量的独立性和计算概率;(16)求两个独立随机变量函数的分布;(17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差;(18)求随机变量函数的数学期望;(19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性;(20)求随机变量的矩和协方差矩阵;(21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式;(22)利用中心极限定理进行概率的近似计算;(23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质;(24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布;(25)计算统计量的概率;(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量;(27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性;(28)求单个或两个正态总体参数的置信区间;(29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验;(30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。

2018考研数学概率论与数理统计复习重点归纳概率论与数理统计虽然难度要低于高数的复习，但是由于它考察的知识点较为抽象，也较为零碎，一直让很多考研学子学起来比较头疼，尤其是样本及抽样分布和参数估计这两章内容很多同学感到学习起来非常吃力，做题目时更是不知如何下手。

其实这部分的知识没有大家想象的那么难，只要静下心来，专心学习，在考试的时候拿下这部分的分数是非常容易的。

下面为考生们精心整理了2018考研数学概率复习重点，希望对考生们有所帮助，顺利通过考试。

统计里面第一章是关于样本及统计量的分布，这部分要求会求统计量的数字特征，要知道统计量是随机变量;另外统计量的分布及其分布参数是常考题型，常利用卡方分布，t分布及F分布的典型构成模式及其性质以及正态总体样本均值与样本方差的分布进行分析。

所以复习这一章时清晰的记住上述三大分布的典型模式是我们解题的关键。

关于三大分布的典型构成模式，给大家总结了四句话，有方便大家记忆：“考正态方和卡方出，卡方相除变F; k若想得到t分布，一正一卡再相除”。

第一个口诀的意思是标准正态分布的平方和可以生成卡方分布，而两卡方分布除以其维数之后相除可以生成F分步，第二个口诀的意思是标准正态分布和卡方分布相除可以得到t分布。

只要大家记住并理解上述四句话，在遇到这方面的问题是就可以迎刃而解了;还有就是参数估计这章的内容，参数估计占数理统计的一多半内容，所以参数估计是重点。

参数的矩估计量(值)、最大似然估计量(值)也是经常考的。

很多同学遇到这样的题目，总是感觉到束手无策。

题目中给出的样本值完全用不上。

其实这样的题目非常简单。

只要你掌握了矩估计法和最大似然估计法的原理，按照固定的程序去做就可以了。

矩法的基本思想就是用样本的k阶原点矩作为总体的k阶原点矩。

估计矩估计法的解题思路是：1)当只有一个未知参数时，我们就用样本的一阶原点矩即样本均值来估计总体的一阶原点矩即期望，解出未知参数，就是其矩估计量。