全国高考文科数学试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷文科）注意事项：1．答卷前,考生务必将自己地，准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题结果后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目地结果标号框涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它结果标号框,回答非选择题时,将结果写在答题卡上.写在本试题上无效.3．考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.一，选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N = （ ）A. {2,4} B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}【结果】A 【思路】【思路】依据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =,{}|16N x x =-<<,所以{}2,4M N = ．故选：A.2. 设(12i)2i a b ++=,其中,a b 为实数,则（ ）A. 1,1a b ==- B. 1,1a b == C. 1,1a b =-= D. 1,1a b =-=-【结果】A 【思路】【思路】依据复数代数形式地运算法则以及复数相等地概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ,()2i 2i a b a ++=,所以0,22a b a +==,解得：1,1a b ==-．故选：A.3. 已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，,则a b -r r （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【结果】D 【思路】【思路】先求得a b -,然后求得a b -r r .【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ,所以5-== a b .故选：D4. 分别统计了甲，乙两位同学16周地各周课外体育运动时长（单位：h ）,得如下茎叶图：则下面结论中错误地是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长地样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长地样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值大于0.6【结果】C 【思路】【思路】结合茎叶图，中位数，平均数，古典概型等知识确定正确结果.【详解】对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长地样本中位数为7.37.57.42+=,A 选项结论正确.对于B 选项,乙同学课外体育运动时长地样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>,B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值60.3750.416=<,C 选项结论错误.对于D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值130.81250.616=>,D 选项结论正确.故选：C5. 若x ,y 满足约束款件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =-地最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【结果】C【思路】【思路】作出可行域,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图阴影部分所示,转化目标函数2z x y =-为2y x z =-,上下平移直线2y x z =-,可得当直线过点()4,0时,直线截距最小,z 最大,所以max 2408z =⨯-=.故选：C.6. 设F 为抛物线2:4C y x =地焦点,点A 在C 上,点(3,0)B ,若AF BF =,则AB =（ ）A. 2B.C. 3D. 【结果】B 【思路】【思路】依据抛物线上地点到焦点和准线地距离相等,从而求得点A 地横坐标,进而求得点A 坐标,即可得到结果.【详解】由题意得,()1,0F ,则2AF BF ==,即点A 到准线1x =-地距离为2,所以点A 地横坐标为121-+=,不妨设点A 在x 轴上方,代入得,()1,2A ,所以AB ==.故选：B7. 执行下边地程序框图,输出地n =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环,2123b b a =+=+=,312,12a b a n n =-=-==+=,222231220.0124b a -=-=>。

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|4．（5分）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50406．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．4810．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k ﹣垂直，则k=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．。

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则(A B = )A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．（5分）若312z i i =++，则||(z = ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A 51-B 51-C 51+D 51+4．（5分）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为() A ．15B ．25C ．12D ．455．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C)︒的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(1,i i x y i =，2，⋯，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．y a blnx =+6．（5分）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 8．（5分）设3log 42a =，则4(a -= ) A ．116B ．19C ．18D ．169．（5分）执行如图的程序框图，则输出的(n = )A ．17B ．19C ．21D ．2310．（5分）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则678(a a a ++= ) A ．12B ．24C ．30D ．3211．（5分）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为( ) A ．72B ．3C ．52D ．212．（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC ∆的外接圆．若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则M ∪C U N （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=，则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ−=________． 15. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________． 三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积． 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）答案详解文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（ ）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（ ） （A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★） 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A.24B.26C.28D.30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（ ） （A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析， 因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①， 已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元， 因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②， 因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★） 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ） （A（B ）3 （C） （D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积， 由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点， 因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−， 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==， 因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <， 令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种， 则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==， 当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=， 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−， 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=， 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−，联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=， 此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案： 解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ， 由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=， 又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ， 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==， 由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ） 设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论） 当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−； 当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+； 综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析 （2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥， 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=， 解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ， 因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===， 因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ， 所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围. 答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭， 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立， 则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+， 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增， 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减， 由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x += （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++， 因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ， 且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N = （)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i+3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1xy e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和2答案：C解析：())34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==.故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（）A.12B.33C.22D.32答案：D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案：C 解析：对于A，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t =+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C，242222xxx x y -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+.根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x-==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC =，122B P =，122PC =，62BP =.222111131222cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠==⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.5265D.2答案：A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++.∴max 5||2PB =，故选A.方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B .因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值.即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <.当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值.即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a = ，(,4)b λ= ，若//a b，则λ=.答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为.答案：解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离d ==.15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b =.答案：解析：由面积公式1sin 2S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b >解得b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯=221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=.（2）10.3100.3y x -=-===∵则0.3=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3n n na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2n n S T <.答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--.又3n n n b =，则1231123133333n n n n n T --=+++++ ，两边同乘13，则234111231333333n n n n n T +-=+++++ ，两式相减，得23412111113333333n n n n T +=+++++- ，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(14323423n n n n n n T +=--=-⨯⨯，323314322())04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF = ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =.抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF = .∴2022000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020*********QOQ Q y y k y y x y ===≤++.∴直线OQ 斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a'=-+（i）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，11133x -=，21133x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113()33a a --++单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113()33a a -++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以33k =±代入直线方程并化简得40x +=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ-=-⇔+=-或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=++=+.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞ .（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏整I试卷总评2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、 题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。

二、 题目难度和复杂度三、知识点覆盖详细情况说明难度级别具体试题总分值整体评价★ ☆☆☆☆第1题、第2题、第4题、第13题、第15题25分整体试卷难度偏 易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、第17题、第22题、第23题42分★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★ ★★★☆第11题、第20题、第21题29分★ ★★★★第12题、第16题10分知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分主干知识考查全而，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。

数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方而，对文字数量加以控制，阅读理解雄度也有所降低：在抽象数学问题方而，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题 要求层次与考生认知水平的契合与贴切。