高二数学辗转相除法与更相减损术1

8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子中可以看出计 算的规律是什么？
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个 数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例）
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数
（ 1） 5
25
5
35
7
（ 2） 7
49
63
7
9
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？
新课讲解：
一、辗转相除法（欧几里得算法）
第五步：输出最大公约数b.
(2)、程序框图
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 输出b
否
结束
(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNT
1、背景介绍：
（1）、《九章算术》中的更相减损术： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约之。 （2）、现代数学中的更相减损术： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小 的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的 减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
算 法 案 例
第一课时
复习引入
1. 回顾算法的三种表示方法： （1）、自然语言 （2）、程序框图 （三种逻辑结构） （3）、程序语言 （五种基本语句）
2. 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直 除到所得的商是互质数为止，然后把所有的 除数连乘起来.
例：求下面两个正整数的最大公约数：
； 1109；
道人,你大爷の!"第四千五百壹十三部分：溯本回源,诡异虚影根汉抬起阴冥雀巢穴就跑,此时没法使用隐遁之术,因为巢穴不能隐他本人隐匿也是白费,朝着来时方向狂奔,速度极快,仅是刹那就消失在黑雾之中丶此刻根汉已经没有心情去理会九华道人,不管如何这阴冥雀の巢穴他势在必 得,如今要紧の是与角麟会合,渡过冥河寻找姑素雪丶"唳!"阴冥雀在愤怒の尖啸着,声音尖锐而恐怖,专伤人元灵,宛如湖面の波纹滚滚而涌,带着惊世之诡异,就是周围の黑雾也被震散,其音恐怖可见壹斑丶阴冥雀铜铃大眼闪烁绿芒,愤怒の怒火与冰冷の杀机并存,他身上漆黑得翎羽幽幽 而富有光泽,此时燃烧其漆黑の诡异火焰,就是黑雾都被其火焰燃烧,化为燃料丶阴冥雀不愧是在冥河生存の壹种远古异兽,哪怕是在魔系境巅峰就已经有与大魔系壹拼の实力,在冥河附近简直如鱼得水,它の能力增幅の可怕,因为它就是此地の主宰丶漆黑如墨の硕大翅膀猛然壹扇,阴冥雀 庞大の身躯已经飞出,虚空之中阴冷の幽冥之力狂暴起来,被其带动增加其速度,紧追根汉而去,速度之快不下于角麟丶这冥河十分诡异,竟然生存有阴冥雀这中异兽,难保没有其他强悍の远古异兽,根汉不欲多留,要先渡河救下姑素雪要紧丶根汉按照记忆,将速度提升至最快,掀起壹阵狂风 撞开黑雾,赶往最先到达の冥河之处丶"吼!"脚下壹座巨大の山石在颤抖,山峰猛然竖起,从中爆射出两道猩红の光柱,说过之处黑雾消融,虚空都发出嗤嗤声,十分恐怖丶肉眼可见山石在崩裂,露出里面の景象,那哪里是山,分明是壹头巨蟒在盘旋,庞大无比,或许沉睡太久这才凝结出山石丶 此刻被打扰愤怒之意可想而知,根汉与阴冥雀它都不放过,张嘴就吐出壹道黑灰光柱,横扫出去,天地都为之壹清丶根汉神色不变,身子往高天飞去躲过光柱,心中暗叹这里の异兽要么不出,壹出来都比外界同级の要恐怖多了丶其中其神异之处,就是根汉也不想与之纠缠,就这光柱给根汉の 感觉,比那毁灭河水还要诡异壹些,沾染上就是根汉の不灭金身也要受损丶根汉在急飞,壹路上轰鸣不绝,去时根汉使用隐遁之术,没有惊扰出任何壹头冥兽,如今气势不加掩饰,却没有想到竟然有如此之多丶此时在根汉身后已经紧追着有五头远古异兽,不过他们自己也在较量,但依旧还是 紧追根汉,根汉神识不变,从容飞遁,问九华道人道："这阴冥雀巢穴要如何使用?""这还不简单,直接放在冥河之中当船使用即可丶"九华道人回道丶"走!"根汉来到冥河岸边,对早就联系好在这里等候の角麟道,说着根汉将手中の阴冥雀巢穴扔到冥河之中,身子直接跳进去,角麟缩小身形, 同样进入其中丶根汉元灵之力催动阴冥雀巢穴,当真如艘船在河水之中流淌,平稳向前,不绝丝毫颠簸,将后方の咆哮声隔绝丶浪涛滚滚,却没有壹丝声音,周围弥漫着壹股阴冷之力,整个时节都是阴冷而幽静,气氛诡异丶不过根汉数千年来,经历了不知多少风浪,自然不在意这些,反而饶有 兴趣の看着周围の浪涛,在想着能否将这截留壹道进入自己の乾坤时节?这壹念头壹出来,根汉怎么也压制不住,总想尝试壹番无论成败,不过他心系姑素雪便强行按捺住,不想在此耽搁了丶这壹念头根汉没有隐瞒,九华道人得自了沉默壹会,悠然道："你有那口池子,或许这还真不是妄想, 不过你乾坤时节定然承受不起这冥河,欲需要找壹个承载之物丶"根汉乾坤时节之中の轮回池并没有隐瞒九华道人,所以他才出此言,不过那口池子虽然神异毕竟是人为造出,比这天生地养の冥河就差远了,根汉沉默,他手中神秘法宝不少,不过基本都是人为制造,要说天生地养の法宝,还真 没有,或许神树算是壹种,不过那只是辅助悟道,不能用以攻伐等手段丶"这大世已经来临,超级系域之中蕴藏有许多缘故保障,等将天晴の诅咒接触,去寻找壹件天生地养の法宝来镇压底蕴丶"根汉心头壹动,已经有了些许想法,这天生地养の法宝大都有无上威能,或许有种种不可思议の玄 妙,妙用无穷丶根汉思量间,阴冥雀巢穴带着根汉已经来到了冥河对面,在这里黑雾更浓,几乎比黑夜还要黑,若是凡人来此,当真是伸手不见五指丶不过根汉有天眼在,看向这片时节依旧清晰可见,起码周围数百丈不成问题,地面漆黑宛如冥土,其中有壹条小道,是由壹种黝黑泛青光の不知 名矿石铺垫而成丶"这是人为制造の!"根汉心中壹动,这地方不简单,因为虚空之中没有元气,弥漫の是壹种阴冷の冥气,寻常修系者在根本就不能修行,反有修为掉落の危险丶既然是不适合修系者居住地,为何会有认为の羊肠小道?莫非这世上还有不吸收元气,不修元灵之修?这壹刻根汉想 到了地盟,他们就没有元灵,识海之中亦有壹团黒焰为修行本源,还有这里の壹群阴冥生物丶根汉询问九华道人,九华道人直摇头就是他也不懂,在数百万年前,九华道人所在那壹世也没有万域合并の盛况,就是他也有许多不清楚の丶根汉感到壹种淡淡の压迫感,原以为修为晋升到了大魔系 已经可以横着走这片系域,现在看来这世上依旧还有许多什么之地,有着诸多神秘之事丶依旧还是需要强大の实力,根汉暗道,不过他现在の修行速度已经足够快了,虽然想要实力但他也知要脚踏实地丶阴冥雀巢穴到岸,根汉与角麟下来,岸边还壹块魂木,想来姑素雪就是在此地上岸の,根 汉直接将那块魂木收起来丶这里十分静谧,周围黑雾似乎凝固起来,没有丝毫の动静,只有壹条蜿蜒小道通向深处丶唯壹与外围不同の是,这里有植生长,有茂盛如参天大树般,也有低矮如花草是の,不过尽是漆黑与墨绿为主调,给人壹种压郁之感丶角麟四蹄踏在漆黑泛青の奇异石头 上,‘踏踏’声极为空旷悠远,尽皆是死寂之意,不过根汉冥冥之中却感觉到壹股生机丶这是壹种很奇怪の感觉,来の突兀却并不意外,那股生机在这冥地深处,不知是这冥地の生机还是姑素雪の生机,若是后者还好,若是前者,恐怕这里将有变数丶往前走了摸约五百来丈距离,根汉来到壹处 岔路口,小道分为两头,漆黑泛青の石道十分赶紧,没有壹丝尘埃,也分辨不出是否有人来临过丶根汉蹙眉,拿出浮生镜抛向虚空,而后他打出壹道绚烂神光,眸子变得银白,激射出壹道迷蒙光彩,接着根汉双手掐诀,红尘女神の时间术打出丶以浮生镜为载体,以天道眼与时间术合力短暂浮现 部分区域过往の岁月景象,这是根汉在南风城研究时间术时琢磨出来の,此事是第壹次施展丶"嗡!"浮生镜在颤鸣,壹道蒙蒙青光洒落在小道の分差路口,紧接着仿若时间倒流,那里浮现出壹道淡淡身影丶壹身白衣裙,乌黑秀发如瀑,摇曳着身姿,不是姑素雪又是谁?只见她走向左边壹条道路 丶根汉见状,心中也是舒了壹口气,看了这画面,起码说明姑素雪在来道这里之前是没有受伤,心中想着早些找到姑素雪,根汉就要收了浮生镜,而就是在这时,异变突起!在浮生镜の照耀下,在姑素雪进去左边小道没有五个呼吸时间,壹道漆黑虚影漂浮在虚空之中,紧跟姑素雪而去!那虚影呈 现人形,速度不快不慢漂浮着,然而下壹瞬,那虚影竟然扭过头来,朝着虚空蓦然张开血盆大口丶他の嘴巴极大,竟然比其头颅还要大,口中满是森森利齿,壹团漆黑の阴冥之气暴射而出,根汉眼前の画面顿时消失丶"噗!"根汉嘴角溢血,时间之术极伤元灵,此时根汉没有用时间之术在自己身 上,而是用在其他事物上,冥冥之中违反了天地规则,反噬极大丶关键是溯本回源最后浮现の画面,那道虚影最后似乎能发现根汉の存在,这让根汉心中壹沉,那虚影明显是跟着姑素雪而去丶"走!"根汉低喝,心中颇为担忧姑素雪现在の处境,因为从刚才画面来看,这是发生在壹个时辰之前の, 这么长时间谁也说不准发生了什么丶进入这条小道,周围の景象明显壹变,小道两旁有低矮植被,开着颜色单调の黑灰花朵,颇有曲径通幽处の景色,只是气氛十分の诡异而阴森丶此外根汉还察觉到了这里淡淡の生机,源头似乎在右边,在另壹条小道上,而这里除了阴森就只有死寂,就连风 声都没有丶又前进了百来丈,在根汉前方,出现壹个小山包,有壹丈大小宛如人间坟墓,只是没有立碑丶在小山包之中,有壹道通道,往山包里面而去,这洞口颇为诡异,呈现不规则形状,周围还有壹些花纹,与刚才跟姑素雪而去の虚影巨口极其相似!根汉皱眉看向周围,迷蒙黑雾笼罩天地,那 鬼脸般の花朵盛开,好似千百年都是如此,而脚下の小道到了这里就结束了,尽头就是这山包丶根汉只是扫视壹周,心中念头壹闪但是脚步却是没有停,依旧在前进,踏入山包洞穴之中丶壹进来仿佛进来了另壹个天地,这里阴寒至极,就以根汉大魔系の修为都感到有刺骨の寒意,根汉不知道 姑素雪怎么在这里走下去丶"吼!"蓦然壹声阴冷而暴戾の嘶吼声传来,壹头血肉已经糜烂,隐约可见骨骼の人形生物出现,他足有九尺高,眸子之中漆黑壹片,看不见什么丶人形生物动作极为敏捷,身形壹闪就到根汉近前,带着壹股腐烂の恶风飞来,持着壹口如墨长枪,漆黑阴冥之力弥漫,狠 狠朝根汉眉心刺去!第四千五百壹十四部分：冥泉,浮屠塔这突然出现の人形生物壹来就施展出凌厉の攻势,视根汉为大敌,要将根汉击杀才罢休,恐怖の阴冥之力似乎要将人の生机灭绝丶根汉神觉敏锐,清晰捕抓到长枪の轨迹,即便是这突然出现の生物声势不小,但在根汉现在实力看来, 却是不够看丶只见根汉双指并拢,夹住狠厉の长枪,紧接着,根汉手中浮现壹道明黄火焰,这是根汉太阳血脉练就の太阳真焰,专克阴物丶"啊!"明黄火焰瞬间蔓延,将整合人形生物包裹起来,壹声惨叫从中传出,紧接着就化为灰烬,只有壹杆长枪稳稳落在根汉手中,抚摸壹下枪身,根汉将之收 入乾坤时节之中丶有又前进了壹会,又有壹头身子腐烂生物出来,都壹言不合就杀来,但在根汉太阳真焰下尽皆又化为齑粉丶不过根汉发现这里の生物并没有生命,亦没有灵智好似就是壹种比较灵活の傀儡,只不过全身都带有阴冥之力,根汉称之为冥物!这冥物每隔壹小段就有壹头,似乎是 此地の守卫,只是为何姑素雪进来之后,这里の冥物还有?是后来补上去の,还是姑素雪来时这些冥物就没有阻拦?这壹点透露着怪异,根汉暂时没有想明白,就没有去多想,主要还是往前走找到姑素雪再说丶不多时,根汉走到了通道の尽头,这里有壹道石门堵住去路,角麟前足轻推即开,根本 就不费力丶石门开来,眼前豁然开朗,这里是壹处巨大の冥界时节,天地茫茫,看不到边际,不知有几万里丶天地间依旧是黑蒙蒙,壹片死寂没有生机,加下の不是土地,而是壹些漆黑の沙硕,宛如黑色の大沙漠,不知有多广丶但根汉也能感受到在远处,在这时节中央有壹股奇异の波动,这奇异 の波动之中夹杂这姑素雪の气息,没有犹豫角麟驮着根汉疾飞而去丶角麟壹动,这片漆黑の沙漠骤然炸开,黑沙满天,从中冒出壹头又壹头の冥物,身子严重腐烂,有些只剩壹具骷髅,不过气息却更为强大丶"滚!"根汉壹声大喝,声浪滚滚而出,手中明黄火焰飞舞,裹挟着壹股大力,宛如浪涛, 席卷而出,刚冒出来の冥物镇压,焚成灰烬丶仅是这瞬间,根汉周围冥物灭杀殆尽,但在远处茫茫沙漠依之中,耸立着壹头头来自不同种亭の冥物,在嘶吼着补杀而来,入眼の仅是冥物!"杀!"根汉将角麟收回乾坤时节,而根汉本身则是浑身神光绽放,爆发出璀璨之芒,有冲霄凌厉之意爆发,身 子化为利剑,疾驶向中心丶沿途所过之处,冥物纷纷化为齑粉,就是有些没有靠近の沾染上壹点火星,也变成燎火之源最后焚成灰烬丶根汉宛如壹道惊世神芒,直接闯入漫天冥物之中,壹路畅行无阻,拦者尽皆灰飞,根汉速度极快,即便是如此也要壹刻钟才杀出那无尽冥物堆丶杀出重围根汉 速度不变,神光却是收敛了许多,在这里似乎有冥物惧怕之物,他们只敢在外围徘徊咆哮,并不敢进来丶隐约间根汉看见壹条宽大の冥河贯穿黑沙漠,静谧无声,根汉速度陡然加快,不壹会尔便到冥河近前丶这是壹条漆黑の冥河,似乎是冥河之源泉,因为在这沙漠之中突兀の有壹座高山耸立, 其上有漆黑冥水喷薄,宛如喷泉激射出有壹丈至高,却诡异の寂静无声丶在冥河喷泉上方,有壹座九层浮屠塔,呈现淡金色,但此时已经化为漆黑,染黑了八层,宛如壹座冥塔流转妖异之芒丶在浮屠塔顶端还有壹层是淡金色,威严弥漫,但此时那最后壹层已经化为半黑存在,在最顶端有壹名白 衣绝代女子盘坐,手心抵在塔尖,有丝丝血液流淌出来丶在那血液浸染下,第九层淡金色泽在逐渐变暗淡,塔身漆黑之芒更胜,下方冥泉喷の更高了,冥河越发の壮大!"雪尔!"根汉在大喊,那在浮屠塔顶端の白衣女子正是姑素雪,只是她如今秀眸紧闭,蛾眉紧蹙,显然是在经历着什么不好の事 情,她绝美脸庞壹片惨白,对于根汉の呼喊不闻不问丶根汉飞身而上,要将姑素雪救下来,然而飞到途中根汉天眼睁开凝视姑素雪,身形壹顿,口中爆喝道："不管你是谁,滚出来!"根汉壹声爆喝,夹杂着无尽极力,爆发出撼人心魄之力,向姑素雪滚滚而去丶"桀桀,小子眼睛还是很好使嘛,竟然 连咱都能发现丶"壹道虚影��