北师七年级上册绝对值有关分类讨论

2024年北师大版初一数学上册知识点汇总2024年北师大版初一数学上册知识点汇总1整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2024年北师大版初一数学上册知识点汇总2七年级上册数学知识点总结之有理数及其运算板块：1、整数包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。

正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。

2、正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

3、绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“||”表示。

七年级上册数学知识点总结之整式板块：1、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。

2、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3、整式：单项式与多项式统称整式。

4、同类项：字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

七年级上册数学知识点总结之一元一次方程。

1、含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解。

2、移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项等。

其实，七年级上册数学知识点总结还包括很多，但是我想，万变不离其宗。

大家平时要注意整理与积累。

配合多加练习。

一些知识要点及时记录在笔记本上，一些错题也要及时整理、复习。

一个个知识点去通过。

我相信只要做个有心人，就可以在数学考试中取得高分。

2024年北师大版初一数学上册知识点汇总31.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；(2)有理数的分类:①②(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数0和正整数；a＞0a是正数；a＜0a是负数；a≥0a是正数或0a是非负数；a≤0a是负数或0a是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；(3)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；(3)；；(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|,.5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.14．乘方的定义：（1）求相同因式积的`运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；（4）据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.2024年北师大版初一数学上册知识点汇总4__内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

《绝对值》知识点解读知识点1 相反数（难点）如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别地，0的相反数是0. 注意：（1）只有符号不同，即a的相反数是-a.（2）0的相反数是0，这是定义的一部分.（3）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数.（4）在数轴上，相反数分别位于原点两侧，且离原点的距离相等.典例剖析【例1】求下列各数的相反数.（1）－3；（2）13；（3）0；（4）3m；（5）a+b；（6）1－2p.解析：求一个数的相反数，根据定义在这个数的前面加上“－”号即可. 答案：（1）－3的相反数是3；（2）13的相反数是13-；（3）0的相反数是0；（4）3m的相反数是－3m；（5）a+b的相反数是-（a+b）；（6）1－2p的相反数是-（1-2p）.方法提示：像（5）（6）题中原数是和或者差的形式，应将其看作是一个整体用括号括起来，再添“－”号，避免出现－a+b和－1－2p的错误.【类型突破】13-的相反数是（）A.3B.－3C.13D.13-答案 C知识点2 绝对值（难点）（1）定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值. （2）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 说明： 代数意义用字母表示： (0)0(0)(0)a a a a a a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩（3）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.（4）绝对值的符号：一个数a 的绝对值，用符号a 表示，这两条短短的竖杠“”如同刀，它切去了数a 的性质符号，如55-=.【例2】求下列各数的绝对值.（1）113-；（2）－（－5）；（3）0；（4）a －1（a>1）.解析：首先判断这个数是正数还是负数，然后再确定它的绝对值是等于它本身，还是等于它的相反数. 答案（1）111133-=； （2）(5)55--==；（3）00=；（4）因为a>1，所以a －1>0，即11a a -=-.错因分析：在去绝对值符号之前，由于没有考虑绝对值符号内的数或代数式的正负，而得出错误的结果；其次书写不规范，往往出现11=3-111133-=. 【类型突破】化简：（1）1()2-+；（2）113--. 答案 （1）1()2-+1122=-=.（2）111133--=-. 知识点3 有理数大小的比较（难点）有理数大小比较1.利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.2.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.注意：只有两个负数比较大小时，才能用“绝对值大的反而小”.典例剖析【例3】比较5778--和的大小. 解析：5778--和是两个负数，因此可用“两个负数比较，绝对值大的反而小”来比. 答案：因为5577,,778857,7857.78-=-=<->-而所以 方法提示：比较两个数的大小的步骤是：（1）先求它们的绝对值；（2）比较它们的绝对值的大小；（3）根据“绝对值大的反而小”比较原数的大小.【类型突破】用“>”号将111,,0323--，-，连接起来. 解析：有理数大小的比较，一是可采用比较两个数的大小的法则，二是利用数轴进行比较.答案 解答一：因为11110,0.3233><--=-<0，- 又因为111111=,=,,223323-->-所以11,23-<-1110. 332>>-->-因此解答二：利用数形结合思想方法求解.先将11111,,,,033323-----化为再分别把在数轴上表示出来，如下图所示.观察数轴知111 0. 332 >>-->-2019-2020学年初一下学期期末模拟数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（ ）A ．12B ．9C ．4D ．32．在平面直角坐标系中,点M 向下平移2个单位长度后的对应点是M′,若点M′坐标是(0,2),则点M 的坐标是( )A ．(0,4)B ．(−2,2)C ．(0,0)D ．(0,3) 3．要使分式23x x -+有意义．．．，则x 的取值应满足( ) A ．2x ≠- B ．2x ≠ C ．3x ≠- D ．3x ≠4．如图，点D 为△ABC 边BC 的延长线上一点．∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于点M ，将△MBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC 的角平分线与∠NCB 的角平分线交于点Q ，若∠A=48°，则∠BQC 的度数为（ ）A ．138°B ．114°C ．102°D ．100°5．如图，把长方形ABCD 沿EF 按图那样折叠后，A 、B 分别落在点G 、H 处，若∠1=50°，则∠AEF=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°6．现有一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片12a b a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大215ab -，则小正方形卡片的面积是（ ）A ．10B ．8C ．2D ．5 7．若成立，则下列不等式成立的是（ ） A ．B ．C ．D ． 8．如图，给出下列条件：①∠3＝∠4，②∠1＝∠2，③∠D ＝∠DCE ，④∠B ＝∠DCE ，其中能判断AB ∥CD 的是()A ．①或④B ．②或④C ．②或③D ．①或③9．已知方程5m ﹣2n ＝1，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是（ ）A ．22m n =⎧⎨=⎩B ．m 3n 3=⎧⎨=⎩C ．11m n =-⎧⎨=-⎩D ．1313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10．已知点A （m+1，–2）和点B （3，n –1），若直线AB ∥x 轴，且AB=4，则m+n 的值为（ ） A ．–3B ．5C ．7或–5D ．5或–3二、填空题题11．口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共80个.小明通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率依次是35%，25%，则可估计口袋中蓝色球的个数约为______________；12．若,?x y xy +=7=-11，则22x y y x -＋的值是________ 13．如果点()2,A n 在x 轴上，那么点()2,1B n n -+在第______象限．14．如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，若a ∥b ，∠1=35°，则∠2的度数为________。

第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。

a ab b=(0)b ≠数轴上去绝对值知识点整合绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数）（3）ab a b =⋅；（两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积）（4） ； （两个数相除的绝对值等于这两个数的绝对值再相除）（5）222||||a a a ==；（一个数的平方等于这个数的平方的绝对值，也等于这个数的绝对值的平方）绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =利用数轴化简绝对值通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号例题1 有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|原式=|a-b|-(b-c)-(a-c)=a-b-b+c-a+c=-2b+2c例题2 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.原式=|a-(-b)|+(a-c)-|b-(-c)|=-[a-(-b)]+a-c+[b-(-c)]=-a-b+a-c+b+c=0第一步 标位第二步 改写成相减的形式第三步 利用数轴判断是大减小还是小减大从而去掉绝对值，但是要记得带上括号第四步 去括号(根据去括号的法则)第五步 合并同类项 从而化简求值特别注意绝对值前面是减号的例题3 若用A 、B 、C 、D 分别表示有理数a 、b 、c ，0为原点。

含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

（2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________（3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________（4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________二、 绝对值的化简10、（2012初一上期中北京四中）有理数a 、b 、c 表示的点在数轴上的位置如下图所示，则2a c c b b a +---+=（ ）A ．3a b -B ．a b --C ．32a b c +-D ．2a b c --11、（2014初一上期中北京四中）如果0y x <<，则化简x xy x xy +的结果为（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．312、如果3121231t t t t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定13、（2013初一上期中北师大附属实验中学）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示 .（1）用”<“连接：0，a ，b ，c ；（2）化简：3a b a b c a -++--14、已知a b c abc S a b c abc =+++，且a 、b 、c 都不等于0，求S 的所有可能值．15、化简：（1）()331x x -≤（2）()1313a a a ---<<不妨设点A 在原点,如图甲，AB OB b a b ===-;当A 、B 两点都不在原点时，① 如图乙,点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；② 如图丙,点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-③ 如图丁,点A 、B 在原点的两边()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上, 数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-（1）当x 在何范围，12x x ---有最大值，并求出最大值；（2）当x 在何范围，1234x x x x ---+---有最大值，并求出它的最大值；（3）123499100x x x x x x ---+---++---的最大值为________（直接写出结果）．21、（2013初一上期末顺义区）已知2426y x x x =-+---且28x ≤≤，求y 最小值与最大值．随堂检测+-1112b，则3b________ 3(1)0，求a、b、c的值.。

一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．73．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 25．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣ 2 D．﹣2或 46．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 2的值为（）2，则 x +cdx﹣A ．15B ．20 C．﹣20D． 20 或﹣ 20二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为n，则m+n＝．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示的有理数是．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点 3 个单位长度，点B 到点 A 的距离为 2 个单位长度，则点B 对应的数为．第1页（共 14页）14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于2，则（2018 2018 2 ）﹣（﹣ ab）+c＝．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝ a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，试求的值．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．第2页（共 14页）18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．第3页（共 14页）参考答案与试题解析一．选择题（共 6 小题）1．若 m 是有理数，则 |m|﹣ m 一定是（）A ．零B ．非负数C．正数D．负数【解答】解：若 m≥ 0，则 |m|﹣ m＝0，若m＜ 0，则 |m|﹣ m＝﹣ m﹣ m＝﹣ 2m＞ 0，即 |m|﹣ m≥ 0，故选： B．2．已知 a， b， c 为非零的实数，则的可能值的个数为（）A ．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：① a、 b、 c 三个数都是正数时，a＞ 0， ab＞0， ac＞ 0， bc＞ 0，原式＝ 1+1+1+1＝ 4；②a、 b、 c 中有两个正数时，设为 a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝ 1+1﹣ 1﹣1＝0；设为 a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝ 1﹣ 1+1﹣1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0，则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1+1＝﹣ 2；③a、b、c 有一个正数时，设为 a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0，第4页（共 14页）则ab＜0， ac＜ 0， bc＞ 0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝0；设为 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，则ab＜0， ac＞ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1﹣ 1+1﹣ 1＝﹣ 2；设为 a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0，则ab＞0， ac＜ 0， bc＜ 0，原式＝﹣ 1+1 ﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；④ a、 b、 c 三个数都是负数时，即a＜0， b＜ 0， c＜ 0，则ab＞0， ac＞ 0， bc＞0，原式＝﹣ 1+1+1+1＝ 2．综上所述，的可能值的个数为4．故选： A．3．下列结论成立的是（）A ．若 |a|＝ a，则 a＞ 0 B．若 |a|＝ |b|，则 a＝± bC．若 |a|＞ a，则 a≤ 0 D．若 |a|＞ |b|，则 a＞ b．【解答】解： A．若 |a|＝ a，则 a 为正数或0，故结论不成立；B．若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 互为相反数或相等，故结论成立；C．若 |a|＞ a，则 a 为正数，故结论不成立；D ．若 |a|＞ |b|，若 a， b 均为负数，则a＜b，故结论不成立；故选： B．4．当 |a|＝ 5， |b|＝ 7，且 |a+b|＝a+b，则 a﹣ b 的值为（）A ．﹣ 12 B．﹣ 2 或﹣ 12 C．2 D．﹣ 2【解答】解：∵ |a|＝ 5， |b|＝ 7，∴ a＝± 5， b＝± 7第5页（共 14页）∵a+b＞0，∴ a＝± 5． b＝ 7，当a＝5， b＝ 7 时， a﹣ b＝﹣ 2；当a＝﹣ 5， b＝ 7 时， a﹣b＝﹣12；故 a﹣b 的值为 2 或﹣ 12．故选： B．5．数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是﹣ 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为6，则点 P 表示的数是（）A．﹣3 B．﹣3 或 5 C．﹣2 D．﹣2或 4【解答】解：∵ AB＝ |3﹣（﹣ 1）|＝ 4，点 P 到 A、B 两点的距离之和为设点 P 表示的数为 x，∴点 P 在点 A 的左边时，﹣ 1﹣ x+3﹣ x＝6，解得： x＝﹣ 2，点P 在点 B 的右边时， x﹣ 3+x﹣（﹣ 1）＝6，解得： x＝ 4，综上所述，点P 表示的数是﹣ 2 或 4．故选： D．6．已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于4 22，则 x +cdx﹣6，的值为（）A ．15B ．20 C．﹣ 20 D． 20 或﹣ 20【解答】解：根据题意知a+b＝ 0，cd＝ 1， x＝± 2，则原式＝（± 2）4+1×（± 2）2﹣＝ 16+4＝ 20，故选： B．二．填空题（共8 小题）7．已知 a， b， c 都是有理数，且满足＝ 1，那么 6﹣＝ 7 ．【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1 或﹣1．第6页（共 14页）又＝ 1，则其中必有两个1 和一个﹣ 1，即 a， b，c 中两正一负．则＝﹣ 1，则 6﹣＝ 6﹣（﹣ 1）＝ 7．故答案为： 7．8．如图，数轴上的有理数a，b 满足 |3a﹣ b|﹣ |a+2b|＝ |a|，则＝﹣．【解答】解：∵由题意可知： 3a﹣ b＜ 0， a+2b＞ 0， a＜0，∴b﹣ 3a﹣（ a+2b）＝﹣ a．整理得：﹣ b＝ 3a．∴．故答案为：﹣．9．已知 |a|＝m+1 ， |b|＝ m+4，其中 m＞ 0，若 |a﹣ b|＝ |a|+|b|，则 a+b 的值为± 3 ．【解答】解：∵ |a|＝ m+1，|b|＝ m+4，∴a＝±（ m+1）， b＝±（ m+4）当 a＝m+1，b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |m+1﹣ m﹣ 4|＝ 3|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∵m＞ 0∴2m+5 ＞ 0∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|当a＝m+1，b＝﹣ m﹣ 4 时|a﹣ b|＝ |m+1+ m+4|＝ 2m+5|a|+|b|＝ m+1+ m+4＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当a＝﹣ m﹣1， b＝ m+4 时|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1﹣m﹣ 4|＝ |﹣ 2m﹣5|＝ 2m+5∴|a﹣ b|＝ |a|+|b|当 a＝﹣ m﹣1， b＝﹣ m﹣4 时第7页（共 14页）|a﹣ b|＝ |﹣m﹣ 1+m+4|＝ 3∴|a﹣ b|≠ |a|+|b|∴a＝m+1 ，b＝﹣ m﹣ 4 或 a＝﹣ m﹣ 1， b＝ m+4∴a+b＝m+1﹣ m﹣ 4＝﹣ 3或a+b＝﹣ m﹣ 1+ m+4 ＝ 3故答案为：± 3．10．已知 abc≠ 0，且+ + + 的最大值为m，最小值为 n，则 m+n＝0 ．【解答】解：∵ a， b， c 都不等于 0，∴有以下情况：①a， b， c 都大于 0，原式＝ 1+1+1+1 ＝ 4；② a， b， c 都小于 0，原式＝﹣ 1﹣ 1﹣1﹣ 1＝﹣ 4；③a， b， c，一负两正，不妨设 a＜ 0， b＞ 0， c＞0，原式＝﹣ 1+1+1﹣ 1＝ 0；④a， b， c，一正两负，不妨设 a＞ 0， b＜ 0， c＜0，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1+1＝ 0；∴ m＝ 4， n＝﹣ 4，∴ m+n＝ 4﹣4＝ 0．故答案为： 0．11．如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【解答】解：①当 x， y 中有二正，＝1+1﹣ 1＝1；②当 x， y 中有一负一正，＝1﹣ 1+1＝1；③当 x， y 中有二负，＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．故代数式的最大值是1．故答案为： 1．12．点 M 表示的有理数是﹣1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点N，则点 N 表示第8页（共 14页）的有理数是﹣6或4 ．【解答】解：﹣ 1﹣ 5＝﹣ 6，或﹣ 1+5＝4．故点 N 表示的有理数是﹣6或 4．故答案为：﹣ 6或 4．13．已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点3 个单位长度，点 B 到点 A 的距离为2 个单位长度，则点 B 对应的数为﹣1或﹣5 ．【解答】解：∵在数轴上，点 A 所表示的数为﹣ 3，∴到点 A 的距离等于 2 个单位长度的点所表示的数是：﹣3+2＝﹣ 1 或﹣ 3﹣ 2＝﹣5．故答案为：﹣ 1或﹣5．14．若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于 2，则（2018 2018 2）﹣（﹣ ab）+c＝ 3 ．【解答】解：由题意知x+y＝ 0， ab＝1， c＝ 2 或 c＝﹣ 2，则 c2＝ 4，2018 2018所以原式＝ 0 ﹣（﹣ 1）+4＝ 0﹣ 1+4＝ 3，故答案为： 3．三．解答题（共 5 小题）15．阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab＞ 0，a+b＜ 0 时，求的值；（ 2）当 abc≠ 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c＝0， abc＜ 0，的值．【解答】解：（ 1）∵ ab＞0， a+b＜ 0，∴a＜ 0， b＜ 0∴＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；（ 2）当 a、 b、 c 同正时，＝ 1+1+1＝3；当 a、b、 c 两正一负时，＝ 1+1﹣ 1＝1；当 a、b、 c 一正两负时，＝﹣ 1﹣1+1＝﹣1；当 a、b、 c 同负时，＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；（3）∵ a+b+c＝ 0，∴b+c＝﹣ a， a+c＝﹣ b， a+b＝﹣ c∴＝+ ﹣＝﹣﹣+又∵ abc＜ 0，∴当 c＜0， a＞ 0， b＞ 0 时，原式＝﹣﹣+＝﹣ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3；当 c＞ 0， a 或 b 为负时，原式＝﹣﹣+＝ 1﹣ 1+1＝ 1．16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞ 0 时， |a|＝a；当 a＝0 时， |a|＝ 0；当 a＜ 0 时， |a|＝﹣ a．用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a＝ 5 时，求的值．（ 2）当 a＝﹣ 2 时，求的值．（ 3）若有理数 a 不等于零，求的值．（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求的值．【解答】解：（ 1）当 a＝5 时，＝ 1；（ 2）当 a＝﹣ 2 时，＝﹣ 1；（ 3）若有理数a 不等于零，当a＞0 时，＝ 1，当 a＜ 0 时，＝﹣ 1；（ 4）若有理数a、 b 均不等于零，当a， b 是同正数，＝ 2，当 a，b 是同负数，＝﹣ 2，当 a，b 是异号，＝ 0．17．已知三个非零的有理数a、 b、 c，记+ + 的最大值为x，最小值为y，求 x ÷（﹣ 4y）的值．【解答】解：∵ a、 b、 c 是三个非零有理数，∴＝1＝1 或﹣ 1，═ 1 或﹣ 1，＝1 或﹣ 1，当a、b、 c 都是正数，原式＝ 1+1+1＝ 3；当a、b、 c 只有两个正数，原式＝ 1+1﹣ 1＝ 1；当a、b、 c 只有一个正数，原式＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 1；当 a、b、 c 都是负数，原式＝﹣1﹣ 1﹣ 1＝﹣ 3．∴x＝ 3， y＝﹣ 3，∴x÷（﹣ 4y）＝ 3÷ 12＝．18．（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x＝的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”解：①当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时，x＝+＝ 1+1＝ 2；②当两个字母 a，b 中有 1 个正，1 个负时，无论谁正谁负，x 都等于0；③当两个字母 a，b 中有 0 个正，2 个负时， x＝+ ＝﹣ 1﹣ 1＝﹣ 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为﹣ 2， 0，2．（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x＝+ ﹣的值．（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c＝ 0，直接写出代数式+ + 的值．【解答】解：（ 2）①当 a，b， c 都为正数时： x＝+﹣＝ 1+1﹣ 1＝1．②当 a，b 为正， c 为负时： x＝+ ﹣＝1+1+1 ＝3．当 a，c 为正， b 为负时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1﹣ 1＝﹣1．当 b，c 为正， a 为负时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1﹣1＝﹣ 1．③当 a，b 为负， c 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1﹣1＝﹣ 3．当 a，c 为负， b 为正时： x＝+ ﹣＝﹣ 1+1+1 ＝1．当 b，c 为负， a 为正时： x＝+ ﹣＝ 1﹣ 1+1＝1．④当 a，b， c 都为负数时：x＝+ ﹣＝﹣ 1﹣ 1+1＝﹣ 1．综上所述 x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．（3）∵ a， b， c 均不为零，且 a+b+c＝0，∴ a， b， c 为两正一负或两负一正．∴ ①当 a， b， c 为两正一负时：+ + ＝﹣﹣﹣＝﹣ 1﹣ 1+1 ＝﹣1．②当 a，b， c 为两负一正时：+ + ＝﹣﹣﹣＝ 1+1 ﹣ 1＝ 1．19．有理数a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“＞”连接）；（2）若 n＝ |b+c|﹣ |c﹣1|﹣ |b﹣ a|，求 1﹣2017?（ n+a）2018的值；（3）若 a＝， b＝﹣ 2，c＝﹣ 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）如图所示：由数轴可知 |c|＞ a＞b；（ 2）由数轴可知：b+c＜ 0， c﹣ 1＜ 0， b﹣ a＜ 0，则n＝ |b+c|﹣ |c﹣ 1|﹣ |b﹣ a|＝﹣ b﹣ c+c﹣ 1+b﹣ a＝﹣ 1﹣ a，即a+n＝﹣ 1，∴1﹣ 2017?（ n+a）2018＝1﹣ 2017×（﹣ 1）2018＝1﹣ 2017＝﹣ 2016；（3）① 当点 M 在 AB 的右侧时，设点 M 对应的数为 x，∵点 A 对应的数是，点 B 对应的数是点﹣ 2，∴B M ＝x+2， AM＝ x﹣，∵B M ＝3AM ，∴x+2 ＝3（ x﹣），x+2 ＝ 3x﹣，x＝；②当点 M在AB的上时，此时， BM ＝ x+2，AM ＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴x+2 ＝3（﹣ x）x+2 ＝﹣ 3x，x＝；③当点 M 在 AB 的左侧时，此时， BM ＝﹣ 2﹣ x， AM＝﹣ x，∵B M ＝3AM∴﹣ 2﹣ x＝ 3（﹣ x）﹣ 2﹣ x＝﹣ 3x，x＝与 M 对应的数是负数相矛盾，所以 AB 的左侧不存在这样的点M 因此点 M 对应的有理数是或．。

专题02绝对值化简的三种考法【知识点精讲】1.绝对值的意义绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作a 2.绝对值的性质绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a≥0，即：,00,0,0a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。

2）理解：绝对值是指距离原点的距离所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解．【答案】（1）6或8．(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0；c -(2)化简：2b a c b a c----+，一个当-2≤x ≤5时，|x +2|+|x -5|=x +2+5-x =7，当x ＜-2时，|x +2|+|x -5|=-x -2+5-x =-2x +3＞7，∴使得|x +2|+|x -5|=7的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5，∵-2+（-1）+0+1+2+3+4+5=12，故答案为：12；【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答．【变式训练2】综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A B 、在数轴上分别表示有理数a b AB 、，、两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A B 、两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是__________；独立思考：（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为__________；（3）试用数轴探究：当|2|3m -=时m 的值为__________．实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|1||4|x x -+-的最小值，并写出此时x 可取哪些整数值？（5）当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为__________（直接写出答案即可）．【答案】（1）65,；（2）|3|x +；（3）5或1-；（4）31234；、、、；（5）9【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：m 点在2的左边；m 点在2的右边；分别列式计算便可；（4）确定x 与1的距离加上x 与4的距离之和最小时，x 的取舍范围，再在该范围内求整数；（5）|1||9||16|m m m ++-+-表示数轴上某点到表示1-、9、16三点的距离之和，依此即可求解．【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：71=6-；数轴上表示3和2-的两点之间的距离是3(2)=3+2=5--，故答案为：6；5；（2）数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为|3|x +，故答案为：|3|x +；（3）|2|3m -=表示数m 的点与表示数2的点距离为3，当表示数m 的点在2的左边时，=23=1m --，当表示数m 的点在2的右边时，=2+3=5m ，所以1m =-或5，故答案为：1-或5；（4）|1|x - 表示数轴上x 和1两点之间的距离，|4|x -表示数轴上x 和4两点之间的距离，当且仅当14x 时，两距离之和最小，x \可取的整数有：1，2，3，4．（5）|+1|m 表示数轴上m 和1-两点之间的距离，|9|m -表示数轴上m 和9两点之间的距离，|16|m -表示数轴上m 和16两点之间的距离，∴当且仅当=9m 时，距离之和最小，∴当|1||9||16|m m m ++-+-的值最小时，m 的值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．课后训练，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；两数在数轴上所对应的两点之间的距离；AC=-=，则819587232(1)abc0，c＋a0，c－b0(请用“＜”，(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|。