高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)选修4系列 文

N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21. N1 [2018·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]如图1-7所示,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2√3,求BC的长.图1-721.A.解:连接OC.因为PC与圆O相切,所以OC⊥PC.又因为PC=2√3,OC=2,所以OP=√PC2+OC2=4.又因为OB=2,从而B为Rt△OCP斜边的中点,所以BC=2.N2 选修4-2 矩阵21. N2 [2018·江苏卷]B.[选修4-2:矩阵与变换](1)求A的逆矩阵A-1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.N3 选修4-4 参数与参数方程22.N3[2018·全国卷Ⅰ]选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.22.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点; 当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.22.N3[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcos α,y =2+tsin α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 22.解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α; 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)1+3cos 2α,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.22.N3[2018·全国卷Ⅲ] 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.22.解:(1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与☉O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k 2|<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4). 综上,α的取值范围是(π4,3π4).(2)l 的参数方程为{x =tcos α,y =-√2+tsin α(t 为参数,π4<α<3π4).设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2,且t A ,t B 满足t 2-2√2t sin α+1=0,于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x ,y )满足{x =t P cos α,y =-√2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2α,y =-√22-√22cos 2α(α为参数,π4<α<3π4).10.N3[2018·北京卷] 在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a= .10.1+√2 [解析] 方法一:将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,分别为x+y=a 与(x-1)2+y 2=1.∵直线与圆相切,∴√2=1,解得a=1±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.方法二:将圆的极坐标方程代入直线的极坐标方程,得2cos 2θ+2cos θsin θ=a ,即√2sin 2θ+π4=a-1,∵直线与圆相切,∴a-1=±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.12.N3 [2018·天津卷] 已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C ,直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则△ABC 的面积为 .12.12 [解析] 圆x 2+y 2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线的普通方程为x+y-2=0,所以圆心(1,0)到该直线的距离d=√22,所以|AB|=2√1-12=√2,所以△ABC 的面积为12×√2×√22=12. 21. N3 [2018·江苏卷]C .[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,直线l 的方程为ρsinπ6-θ=2,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.C .解:因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin π6-θ=2,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π6.连接OB.因为OA为直径,从而∠OBA=π2,所以AB=4cos π6=2√3.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2√3.N4 选修4-5 不等式选讲23.N4[2018·全国卷Ⅰ]选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,2x,-1<x<1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为x x>12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为x0<x<2a ,所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].23.N4[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).23.N4[2018·全国卷Ⅲ]选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.图1-523.解:(1)f (x )={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y=f (x )的图像如图所示.(2)由(1)知,y=f (x )的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 21. N4 [2018·江苏卷] D .[选修4-5:不等式选讲]若x ,y ,z 为实数,且x+2y+2z=6,求x 2+y 2+z 2的最小值. D .解:由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x+2y+2z )2. 因为x+2y+2z=6,所以x 2+y 2+z 2≥4,当且仅当x 1=y 2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为4.N5 选修4-5 优选法与试验设计1.[2018·四川南充一诊] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cos α,y =sin α(其中α为参数),曲线C 2:(x-1)2+y 2=1,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB|.1.解:(1)由{x =√3cosα,y =sinα得x 23+y 2=1.所以曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)2+y 2=1,得到(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得到曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(2)依题意可设A (ρ1,π6),B (ρ2,π6),曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin 2θ=3.将θ=π6(ρ>0)代入C 1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3,得ρ1=√2.将θ=π6(ρ>0)代入C 2的极坐标方程,得ρ2=√3.所以|AB|=|ρ1-ρ2|=√3-√2. 3.[2018·郑州一检] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ=8cosθ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若α=π4,设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.3.解:(1)由题意可得直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). ∵ρ=8cosθ1-cos 2θ=8cosθsin 2θ, ∴ρsin 2θ=8cos θ,∴ρ2sin 2θ=8ρcos θ, 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得y 2=8x , ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x.(2)当α=π4时,直线l 的参数方程为{x =1+√22t ,y =√22t(t 为参数),代入y 2=8x 可得t 2-8√2t-16=0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8√2,t 1·t 2=-16,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=8√3.又点O 到直线AB 的距离d=1×sin π4=√22,∴S △AOB =12|AB|×d=12×8√3×√22=2√6. 1.[2018·成都二诊] 已知函数f (x )=|2x+1|+|x-1|. (1)解不等式f (x )≥3;(2)记函数f (x )的最小值为m ,若a ,b ,c 均为正实数,且12a+b+2c=m ,求a 2+b 2+c 2的最小值. 1.解:(1)f (x )=|2x+1|+|x-1|={ -3x ,x ≤-12,x +2,-12<x <1,3x ,x ≥1,∴f (x )≥3等价于{x ≤-12,-3x ≥3或{-12<x <1,x +2≥3或{x ≥1,3x ≥3,解得x ≤-1或x ≥1.∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由(1)可知当x=-12时,f (x )取得最小值32,即m=32,∴12a+b+2c=32.由柯西不等式,有(a 2+b 2+c 2)(12)2+12+22≥(12a +b +2c )2,∴a 2+b 2+c 2≥37,当且仅当2a=b=c2,即a=17,b=27,c=47时,等号成立.∴a 2+b 2+c 2的最小值为37. 6.[2018·石家庄一检] 已知函数f (x )=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f (x )>0的解集;(2)若函数f (x )的图像与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围.6.解:(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x ,∴3x-1<-x 或3x-1>x ,即x<14或x>12.∴不等式f (x )>0的解集是{x |x <14或x >12}. (2)当a>0时,f (x )={2x -1,x ≥1a,2(1-a )x +1,x <1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a-1>0,2(1-a )≤0,即1≤a<2.当a=0时,f (x )=2x+1,函数f (x )的图像与x 轴有交点. 当a<0时,f (x )={2x -1,x ≤1a,2(1-a )x +1,x >1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a -1<0,2(1-a )≤0,此时无解.综上可知,当1≤a<2时,函数f (x )的图像与x 轴无交点.7.[2018·合肥一检] 已知函数f (x )=|2x-1|. (1)解关于x 的不等式f (x )-f (x+1)≤1;(2)若关于x 的不等式f (x )<m-f (x+1)的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 7.解:(1)f (x )-f (x+1)≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1⇔{x ≥12,2x -1-2x -1≤1或{-12<x <12,1-2x -2x -1≤1或 {x ≤-12,1-2x +2x +1≤1⇔x ≥12或-14≤x<12⇔x ≥-14, 所以原不等式的解集为[-14,+∞). (2)由条件知,不等式|2x-1|+|2x+1|<m 有解,只需m>(|2x-1|+|2x+1|)min . 由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,当且仅当(1-2x )(2x+1)≥0,即当x ∈[-12,12]时等号成立,故m>2. 所以实数m 的取值范围是(2,+∞).。

数 学N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21．A.N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1­721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中， 因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­6所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .图1­622．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­6，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1­622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­5，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．图1­522．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.N2 选修4-2 矩阵21．B ．N2 选修4­2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .21．B ．解：设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1.N3 选修4-4 参数与参数方程16．N3 下列极坐标方程中，对应的曲线为图1­3的是( )图1­3A ．ρ＝6＋5cos θB ．ρ＝6＋5sin θC ．ρ＝6－5cos θD ．ρ＝6－5sin θ16．D 依次取θ＝0，π2，π，3π2，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．11．N3 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．2 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB 为圆的直径，所以|AB |＝2.21．C ．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB的长．21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得1＋12t 2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知得tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，则tan α＝±153，所以l 的斜率为153或－153.N4 选修4-5 不等式选讲 21．D ．N4 选修4­5：不等式选讲设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .21．D ．证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .24．N4 选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图1­7中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图1­724．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32， 则y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像得，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5}.24．N4 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0，因此|a ＋b |＜|1＋ab |.N5 选修4-7 优选法与试验设计。

2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编。

选修4-4 坐标系与参数方程2018届高三数学高考真题与模拟题分类汇编] 选修4-4 坐标系与参数方程解答题（本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.[2016·石家庄教学质检] 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线$l$ 的参数方程为 $\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$（$t$ 为参数）。

在以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为$\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$。

1) 求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；2) 若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，直线 $l$ 与曲线$C$ 的交点为 $A$，$B$，求 $|PA|\cdot |PB|$ 的值。

解：(1) 直线 $l$ 的普通方程为 $x-y+3=0$。

将直线 $l$ 的参数方程代入 $\rho=4\sin\theta-2\cos\theta$ 中，得 $4r\sin\theta-2r\cos\theta=r^2$，即 $x^2+(y-2)^2=5$。

2) 将直线的参数方程 $\begin{cases}y=3+\dfrac{2t^2}{x}\\x=2t\end{cases}$ 代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $(x+1)^2+(y-2)^2=5$，解得交点 $A(-3,-1)$，$B(1,3)$。

由 $P$，$A$，$B$ 三点坐标可得 $|PA|=2\sqrt{5}$，$|PB|=2$，故 $|PA|\cdot |PB|=4\sqrt{5}$。

2.[2016·全国卷Ⅱ] 在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $(x+6)^2+y^2=25$。

1) 以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $C$ 的极坐标方程；2) 直线 $l$ 的参数方程是 $\begin{cases}x=t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$|AB|=10$，求 $l$ 的斜率。

N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲N2 选修4-2 矩阵21.[2019·江苏卷] 【选做题】 A .N2[选修4-2:矩阵与变换] 已知矩阵A=[3 12 2].(1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值. 21.A .[选修4-2:矩阵与变换] 解:(1)因为A=[3 12 2],所以A 2=[3 12 2][3 12 2]=[3×3+1×2 3×1+1×22×3+2×2 2×1+2×2]=[11 510 6]. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)=|λ-3 -1-2 λ-2|=λ2-5λ+4.令f (λ)=0,解得A 的特征值λ1=1,λ2=4.N3 选修4-4 参数与参数方程22.N3[2019·全国卷Ⅰ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.22.解:(1)因为-1<1-t 21+t 2≤1,且x 2+(y 2)2=(1-t 21+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π).C 上的点到l 的距离为√3sinα+11|√7=(-π3)√7. 当α=-2π3时,4cos (α-π3)+11取得最小值7, 故C 上的点到l 距离的最小值为√7.22.N3[2019·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M (ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C :ρ=4sin θ上,直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直,垂足为P.(1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 22.解:(1)因为M (ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2√3. 由已知得|OP|=|OA|cos π3=2.设Q (ρ,θ)为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos (θ-π3)=|OP|=2. 经检验,点P (2,π3)在曲线ρcos (θ-π3)=2上, 所以,l 的极坐标方程为ρcos (θ-π3)=2.(2)设P (ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ, 即ρ=4cos θ. 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM ,故θ的取值范围是[π4,π2], 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈[π4,π2].22.N3[2019·全国卷Ⅲ] [选修4-4:坐标系与参数方程]如图1-7,在极坐标系Ox 中,A (2,0),B (√2,π4),C (√2,3π4),D (2,π),弧AB ⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M 1是弧AB⏜,曲线M 2是弧BC ⏜,曲线M 3是弧CD ⏜.图1-7(1)分别写出M 1,M 2,M 3的极坐标方程;(2)曲线M 由M 1,M 2,M 3构成,若点P 在M 上,且|OP|=√3,求P 的极坐标.22.解:(1)由题设可得,弧AB⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ. 所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤θ≤π4),M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤θ≤3π4),M 3的极坐标方程为ρ=-2cos θ(3π4≤θ≤π). (2)设P (ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤π4,则2cos θ=√3,解得θ=π6; 若π4≤θ≤3π4,则2sin θ=√3,解得θ=π3或θ=2π3; 若3π4≤θ≤π,则-2cos θ=√3,解得θ=5π6.综上,P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).3.N3[2019·北京卷] 已知直线l 的参数方程为{x =1+3t,y =2+4t (t 为参数),则点(1,0)到直线l 的距离是 ( ) A .15B .25C .45D .653.D [解析] 由直线的参数方程可得其普通方程为4x-3y+2=0,所以点(1,0)到直线l 的距离为|4×1-3×0+2|5=65.故选D .21.[2019·江苏卷] 【选做题】 B .N3[选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知两点A (3,π4),B (√2,π2),直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3. (1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.21. B .[选修4-4:坐标系与参数方程]解:(1)设极点为O ,在△OAB 中,A (3,π4),B (√2,π2),由余弦定理,得AB=√32+(√2)2-2×3×√2×cos (π2-π4)=√5. (2)因为直线l 的方程为ρsin (θ+π4)=3, 则直线l 过点(3√2,π2),倾斜角为3π4.又B (√2,π2),所以点B 到直线l 的距离为(3√2-√2)×sin (3π4-π2)=2.12.H2,N3 [2019·天津卷] 设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为 .12.34 [解析] 由圆的参数方程可知,圆心坐标为(2,1),半径为2.因为直线ax-y+2=0与圆相切,所以圆心(2,1)到直线ax-y+2=0的距离等于半径,√a 2+(-1)2,即|2a+1|=2√a 2+1,即4a 2+4a+1=4a 2+4,解得a=34.N4 选修4-5 不等式选讲23.N4[2019·全国卷Ⅰ] [选修4-5:不等式选讲] 已知a ,b ,c 为正数,且满足abc=1.证明: (1)1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2;(2)(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥24.23.证明:(1)因为a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac ,又abc=1,故有a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca=ab+bc+ca abc=1a +1b +1c (当且仅当a=b=c=1时等号成立).所以1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2. (2)因为a ,b ,c 为正数且abc=1,故有(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥3√(a +b)3(b +c)3(a +c)33=3(a+b )(b+c )(a+c )≥3×(2√ab )×(2√bc )×(2√ac )=24(当且仅当a=b=c=1时等号成立).所以(a+b )3+(b+c )3+(c+a )3≥24.23.N4[2019·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲] 已知f (x )=|x-a|x+|x-2|(x-a ).(1)当a=1时,求不等式f (x )<0的解集; (2)若x ∈(-∞,1)时,f (x )<0,求a 的取值范围. 23.解:(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0;当x ≥1时,f (x )≥0. 所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1.当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0,所以,a 的取值范围是[1,+∞). 23.N4[2019·全国卷Ⅲ] [选修4-5:不等式选讲] 设x ,y ,z ∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥13成立,证明:a ≤-3或a ≥-1. 23.解:(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.21.[2019·江苏卷] 【选做题】 C .N4[选修4-5:不等式选讲] 设x ∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2. 21. C .[选修4-5:不等式选讲]解:当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-13; 当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解; 当x>12时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1. 综上,原不等式的解集为{x|x <-13或x >1}.N5 选修4-7 优选法与试验设计1.[2019·广东揭阳二模] 在直角坐标系xOy 中,直线C 1:y=√3x ,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=5,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R),设C 1与C 2的交点为O ,A ,C 2与C 3的交点为O ,B ,求△OAB 的面积.1.解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为sin θ-√3cos θ=0,即θ=π3 (ρ∈R),C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ=0,即ρ-2cos θ-4sin θ=0.(2)将θ=π3代入ρ-2cos θ-4sin θ=0,可得ρA =1+2√3. 将θ=π6代入ρ-2cos θ-4sin θ=0,可得ρB =2+√3. 故△OAB 的面积为12×(1+2√3)×(2+√3)×sin π6=2+5√34.7.[2019·江西景德镇二检] 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的方程为x+1=0,曲线C 是以坐标原点O 为顶点,直线l 为准线的抛物线.以坐标原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别求出直线l 与曲线C 的极坐标方程;(2)点A 是曲线C 上位于第一象限内的一个动点,点B 是直线l 上位于第二象限内的一个动点,且∠AOB=π4,求|OA||OB|的最大值.7.解:(1)因为ρcos θ=x ,所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ=-1. 又因为直线l 为抛物线C 的准线,所以抛物线开口向右,且p2=1,即p=2, 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ.(2)设A (ρ1,θ),且设B (ρ2,θ+π4),则θ∈(π4,π2),tan θ∈(1,+∞).所以|OA||OB|=ρ1ρ2=4cosθsin 2θ-1cos (θ+π4)=-4cosθcos (θ+π4)sin 2θ=2√2(cosθsinθ-cos 2θ)sin 2θ=2√2(tanθ-1)tan 2θ. 记tan θ-1=t ,则tan θ=t+1,t ∈(0,+∞), 则|OA||OB|=2√2t(t+1)2=2√2t+1t +2.因为t+1t ≥2,当且仅当t=1时取等号, 所以|OA||OB|≤√22,所以|OA||OB|的最大值为√22.5.[2019·广东湛江二模]已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=|2x+3|.(1)解不等式f(x)-g(x)≥2;(2)若2f(x)≤g(x)+m对于任意x∈R恒成立,求实数m的最小值.5.解:(1)f(x)-g(x)=|x-1|-|2x+3|.当x≤-32时,不等式化为x+4≥2,解得x≥-2,可得-2≤x≤-32;当-32<x<1时,不等式化为-3x-2≥2,解得x≤-43,可得-32<x≤-43;当x≥1时,不等式化为-x-4≥2,解得x≤-6,此时无解.综上可得,原不等式的解集为{x|-2≤x≤-43}.(2)若2f(x)≤g(x)+m恒成立,则|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立,∴m≥(|2x-2|-|2x+3|)max.又∵|2x-2|-|2x+3|≤|(2x-2)-(2x+3)|=5,∴m的最小值为5.8.[2019·广东揭阳二模]已知正实数x,y满足x+y=1.(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x-y|≤52;(2)证明:(1x2-1)(1y2-1)≥9.8.解:(1)∵x+y=1,且x>0,y>0,∴|x+2y|+|x-y|≤52⇔{0<x<1,|2-x|+|2x-1|≤52⇔{0<x<1,|2x-1|≤12+x⇔{0<x<1,-(12+x)≤2x-1≤12+x,解得16≤x<1,所以原不等式的解集为[16,1).(2)证明:方法一,∵x+y=1,且x>0,y>0,∴(1x2-1)(1y2-1)=(x+y)2-x2x2·(x+y)2-y2y2=2xy+y2x2·2xy+x2y2=(2yx+y2 x2)(2xy+x2y2)=2xy+2yx+5≥2√2xy·2yx+5=9,当且仅当x=y=12时,等号成立.方法二,∵x+y=1,且x>0,y>0,∴(1x2-1)(1y2-1)=1-x2x2·1-y2y2=(1+x)(1-x)x2·(1+y)(1-y)y2=(1+x)yx2·(1+y)xy2=1+x+y+xyxy=2xy+1≥2(x+y2)2+1=9,当且仅当x=y=12时,等号成立.。

DEA BPN 单元 选修4系列目录N 单元 选修4系列 1N1 选修4-1 几何证明选讲 1 N2 选修4-2 矩阵 1N3 选修4-4 参数与参数方程 1 N4 选修4-5 不等式选讲 1N5 选修4-7 优选法与试验设计 1N1 选修4-1 几何证明选讲【文·宁夏银川一中高二期末·2014】22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且BC BD 31=,CA CE 31=，AD ，BE相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆； (II) AP ⊥CP 。

【知识点】【答案解析】解析：证明：（I ）在ABC ∆中，由11,,33BD BC CE CA ==知：ABD ∆≌BCE ∆，ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π∠+∠=.所以四点,,,P D C E 共圆；（II ）如图，连结DE .在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=,由正弦定理知90CED ∠= 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠,所以.AP CP ⊥【思路点拨】证明四点共圆一般利用定理：若四边形对角互补，则四点共圆进行证明，再利用同弧所对的圆周角相等证明第二问.【文·广东惠州一中高三一调·2014】15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，若3OB =，5OC =，则CD = . 【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】4 解析 ：解：由于//OC AD ，BOC BAD ∴∠=∠，而OD O A =，因此O D A B ∠=∠，ODA BOC∴∠=∠，//OC AD，COD ODA ∴∠=∠，COD BOC ∴∠=∠，OD OB =，OC OC =，BOC DOC ∴∆≅∆，故CD BC =，由于BC 切圆O 于点B ，易知OB BC ⊥，由勾股定理可得BC ==4=，因此4CD BC ==.【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC ，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB ．即可得出．【理·重庆一中高二期末·2014】14 .如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与 AE 、BE 相交于C 、D ，若∠AEB=40,则∠PCE 等于 .【知识点】弦切角的性质和应用. 【答案解析】070解析 ：解：PE 是圆的切线， ∴∠PEB=∠PAC ，∵PC 是∠APE 的平分线， ∴∠EPC=∠APC ，根据三角形的外角与内角关系有： ∠EDC=∠PEB+∠EPC ；∠ECD=∠PAC+∠APC ，∴∠EDC=∠ECD ， ∴△EDC 为等腰三角形，又∠AEB=40°，∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=70°， 故答案为：70°．【思路点拨】利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决．【理·吉林长春十一中高二期末·2014】22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲 如图所示，AB 是⊙O 直径，弦CA BD ,的延长线交于E ，EF 垂直于BA 的延长 线于F .求证：(1)DFA DEA ∠=∠；EAODCBA（2）AC AE BD BE AB ⋅-⋅=2.【知识点】与圆有关的比例线段;四点共圆的证明方法;三角形相似. 【答案解析】(1) 见解析（2）见解析解析 ：解：（1）连AD ，∵AB 是圆O 的直径，∴︒=∠90ADB 则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴DFA DEA ∠=∠ 5分（2）由（1）知BF BA BE BD ⋅=⋅,又ABC ∆≌AEF ∆∴ 即AC AE AF AB ⋅=⋅∴()2AB AF BF AB AF AB BF BA AC AE BD BE =-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅即AC AE BE BD AB ⋅-⋅=25分【思路点拨】（1）连接AD ，利用AB 为圆的直径结合EF 与AB 的垂直关系，通过证明A ，D ，E ，F 四点共圆即可证得结论； （2）由（1）知，BF BA BE BD ⋅=⋅，再利用三角形ABC ∆≌AEF ∆得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AC AE BE BD AB ⋅-⋅=2．N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【浙江效实中学高一期末·2014】19．已知曲线14cos ,:()3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数，28cos ,:()3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数．（1）化12,C C 的方程为普通方程；（2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Qπ=为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:()2x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数距离的最小值．【知识点】参数方程、点到直线的距离【答案解析】（1）221:(4)(3)1C x y ++-= ，222:1649x y C +=；（2解析：解：(1)由曲线14c o s,:()3s i n x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数得4cos 3sin x ty t +=⎧⎨-=⎩，平方相加得22(4)(3)1x y ++-=，由28c o s ,:()3s i n x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数得cos 8sin 3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加得221649x y +=；(2)由已知得P 点坐标为(－4，4)，设Q 点坐标为(8cos θ，3sin θ)，则M 点坐标为43sin 24cos ,2θθ+⎛⎫-+⎪⎝⎭，又直线的普通方程为x －2y －7=0，所以M到直线的距离为==≥=【思路点拨】参数方程化普通方程常见的方法有代入消参和利用正弦和余弦平方和等于1消元，当直接利用参数方程不方便时可考虑化成普通方程解答.【文·宁夏银川一中高二期末·2014】23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；(II)若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.【知识点】直线与圆、椭圆的参数方程、点到直线距离公式【答案解析】C 解析：解：（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB .（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.【思路点拨】一般由参数方程研究直线与曲线位置关系不方便时，可化成普通方程进行解答，当遇到圆锥曲线上的点到直线的距离问题时可选择用圆锥曲线的参数方程设点求距离.【文·黑龙江哈六中高二期末考试·2014】21. （本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 2= （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线23:+=x y l 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。

十五、选修4制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1.〔理4〕不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A ．[-5，7] B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞【答案】D2.〔理5〕如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出以下三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【答案】A3.〔理5〕在极坐标系中，点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的间隔 为〔A 〕2 〔B 〕942π+〔C 〕912π+〔D 〕3【答案】D4.〔理3〕在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ． (1,0)D ．(1，π)【答案】B5.〔理11〕抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕假设斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，那么r =________. 【答案】26.〔理12〕如图，圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一 点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===假设CE 与圆相切，那么线段CE 的长为__________.【答案】727.〔理13〕集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，那么集合A B ⋂=________.【答案】{|25}x x -≤≤8.〔理5〕在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

【答案】25arccos59.〔理10〕行列式a bc d 〔,,,{1,1,2}a b c d ∈-〕的所有可能值中，最大的是 。

N 单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲15. ［2014 •广东卷］（几何证明选讲选做题）如图1-1所示，在平行四边形 ABCDK 点E 在AB 上且EB= 2AE AC 与 DE 交于点F ,则证明：因为B, C 是圆O 上的两点，所以 OB= OC 所以/ OCB=Z B又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以/ B ,Z D 为同弧所对的两个圆周角， 所以/ B =ZD,因此/ OC B=Z D.［2014 •江苏卷］B .［选修4-2 :矩阵与变换］ ■-12]"1 1已知矩阵A= J , B= J ，向量a-1 X 」 2 -1- 值.Ba =错误！））错误!）=错误!）. 因为=，所以△ C DF 勺周长 △ A EF 勺周15. 3 ［解析］本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比.•/ EB= 2AEAE=3AB = £CD 又•••四边形 ABCDI 平行四边形，•••△△ CD的周长=CD t 3 △ A EF 勺周长 AE '21. ［2014 •江苏卷］A .［选修4-1 :几何证明选讲］如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明：/ OCB=Z D.x + y 的图1-1x , y 为实数•若=，求 !=错误!),解：由已知得，=1 2_ 1 x所以x + y = 2.22. [2014 •辽宁卷]选修4-1 :几何证明选讲如图1-6 , EP 交圆于E , C 两点，PD 切圆于D, G 为CE 上一点且 PG= PD 连接 DG 并延 长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP,垂足为F.⑴求证：AB 为圆的直径；⑵若AC= BD 求证：AB= ED22.证明：⑴ 因为PD= PG 所以/ PD(=Z PGD 由于PD 为切线，故/ PD =/ DBA 又由于/ PGD=Z EGA 故/ DBA=Z EGA 所以/ DBAF Z BAD=Z EGA ■/ BAD 从而/ BDA=Z PFA因为AF 丄EP,所以/ PFA= 90° , 所以/ BDA= 90°,故AB 为圆的直径.⑵连接BC DC由于AB 是直径，故/ BD/=Z ACB= 90° .在 Rt △ BDA 与 Rt △ ACB 中 , AB= BA AC= BD 从而 Rt △ BDA2 Rt △ ACB 所以/ DAB=ZCBA又因为/ DCB=Z DAB 所以/ DCB=Z CBA 故 DC/ AB 因为ABL EP,所以DC! EP / DCE 为直角.所以ED 为直径•又由(1)知AB 为圆的直径，所以 ED= AB 22. [2014 •新课标全国卷n ]选修 4-1 :几何证明选讲如图1-5, P 是O O 外一点，PA 是切线，A 为切点，害熾 PBC 与O 0相交于点B, C, PC =2PAD 为PC 的中点，AD 的延长线交O O 于点E .证明：(1) BE= EC (2) AD- DE= 2PB .—2 + 2y = 2+ y ,解得x=-2y = 4,22 .证明：⑴连接AB AC由题设知PA= PD 故/ PAD=Z PDA因为/ PDA=Z DAG-Z DCA/ PAD=Z BADF Z PABZ DCA F Z PAB所以Z DAC=Z BAD 从而BE= EC 因此BE= EC(2)由切割线定理得PA= PB- PC因为PA= PD= DC 所以DC= 2PB BD= PB由相交弦定理得AD- DE= BD- DC所以AD- DE= 2PB.22. [2014 •全国新课标卷I ]选修4—1:几何证明选讲如图1-5,四边形ABCD1O O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB= CE⑴证明：Z D=Z E;⑵设AD不是O 0的直径，AD的中点为M且MB= MC证明：△ ADE为等边三角形. 22 •证明：⑴由题设知A, B, C, D四点共圆，所以Z D=Z CBE由已知得Z CBE=Z E ,故Z D=Z E.⑵设BC的中点为N,连接MN则由MB= MC知MNL BC故点0在直线MNk. 又AD不是O 0的直径，M为AD的中点，故OML AD 即MN L AD所以AD// BC 故Z A=Z CBE又Z CBE=Z E ,故Z A=Z E.由(1)知，Z D=Z E,所以△ ADE为等边三角形.15. [2014 •陕西卷]B.（几何证明选做题）如图1-3所示，△ ABC 中, BC= 6,以BC 为直径的半圆分别交 ABAC 于点 E ，F ，若 AC= 2AE 贝U EF= _____15. 3 ［解析］由题目中所给图形的位置关系，可知/ AEF=Z ACB 又/ A =Z A,所AE EF以厶 AEF^A ACB 所以 A C =丽又 AC= 2AE BC= 6,所以 EF = 3.7. ［2014 •天津卷］如图1-1所示，△ ABC 是圆的内接三角形，/ BAC 的平分线交圆于 点D,交BC 于点E,过点B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四 个结论：① BD 平分/ CBF ② FW = FD- FA ③ AE- CE= BE- DE ④ AF- BD- AB- BF 贝U 所有 正确结论的序号是（）A.①②B .③④C.①②③D.①②④7. D ［解析］•••/ DBC=Z DAC / DBF=Z DAB 且/ DA(C=Z DAB ••上DBC=Z DBF ••• BD 平分/ CBF •••△ ABDA BDF• AB- BF = AF- BD B^= AF- DF 故①②④正确.由相交弦定理得 AE- DE= BE- CE 故 ③错误. N2 选修4-2 矩阵N3选修4-4 参数与参数方程14. ［2014 •广东卷］（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C 与C 2的方程分 别为2 p cos 0 = sin B 与p cos 0 = 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C 与C 2交点的直角坐标为 _____________ .14. （1 , 2）［解析］本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的 求解.曲线C 的直角坐标方程是 2X 2 = y ，曲线C 2的直角坐标是x = 1.联立方程C 与C 2得AB _ AF _ BFBD T BF = DF'22x = y, x = 1, 解得x:2,所以交点的直角坐标是(1 , 2).12. ［2014 •湖南卷］在平面直角坐标系中，曲线r 亚x : 2+〒t,C：x : 1+孑（t为参数）的普通方程为 _________ .12. x — y — 1 = 0 ［解析］依题意，消去参数可得 x — 2 = y — 1,即卩x — y — 1 = 0.3［2014 •江苏卷］C .［选修4-4 :坐标系与参数方程］I 与抛物线y 2= 4x 相交于A , B 两点，求线段 AB 的长.x 1 + y 2= 1得x 2 + 2 = 1，即曲线C 的方程为x 2+着=1. x cos t ,S y = 2sin t （t 为参数）. x = 1 x = 0解得 J 或 Jy = 0 y = 2.gx + y — 2 = 0,$/不妨设R(1 , 0) , F 2(0, 2)，则线段PF 2的中点坐标为 3，1 j,所求直线斜率k =g,于是所求直线方程为 y — 1 =1 x —化为极坐标方程，得 2 p cos 0 — 4 p sin 0 =— 3, 即p= 4sin 0 — 2cos 0 .23. ［2014 •新课标全国卷n ］选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线解：将y 2=4x ,解得 11 = 0,12=— 8-■■•■2,所以 AB= | 1—2倍，得曲线C.P 1P 2的中点且与I 垂直的23.解：(1)设(X 1, yd 为圆上的点，经变换为 C 上的点(x ,y )，依题意，得 x =X 1, ，由yy故C 的参数方程为 - 2 x 2+4 =1,1，即 2x — 4y =— 3, I 的参数方程为(t 为参数)，直线的参数方程 代入抛物线方程极坐标方程为p = 2cos 0 , B € J0,(1)求C的参数方程;(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线I :讨=3x + 2垂直，根据(1)中你得到的参 数方程，确定D 的坐标.23. 解：⑴C 的普通方程为 2 2(x — 1) + y = 1(0< y w 1). 可得C 的参数方程为x = 1 + cos t ，(t 为参数，0w t w n ).y = sin t ，⑵ 设Q1 + cos t , sin t ).由⑴ 知C 是以G 1 , 0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与I 垂直，所以直线 GD 与 I 的斜率相同，tan t = 3，t =£.(nn I1 + cos~3, sin —，即23. ［2014 •全国新课标卷I ］选修 4— 4 :坐标系与参数方程2 2已知曲线C x+ 9 =1，直线l :x= t，(t 为参数). y = 2 — 2t(1) 写出曲线C 的参数方程、直线 (2) 过曲线C 上任意一点P 作与I 最小值. l 的普通方程;夹角为30的直线，交I 于点A,求| PA 的最大值与23.解：(1)曲线C的参数方程为x= 2cosy= 3si n，( 0为参数)，9直线I的普通方程为2x+ y — 6 = 0.⑵曲线C上任意一点F(2cos 0，3sin 0 )到直线I的距离cU-^H cos 0 + 3sin 0—6| ,则|PA= sin 30d——-2-^5|5sin( 0 + a ) —6| ,其中a为锐角，且4 tan a = 3.31时，| PA取得最大值,当sin( 0 + a )=—最大值为辛.5当sin( 0 + a ) = 1时，| PA取得最小值, 最小值为~:!~.515. [2014 •陕西卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点i2，-n到直线p sin 距离是15. 1 ［解析］易知点2,卡的直角坐标为(，3, 1)，直线p sin坐标方程为x —3y+ 2= 0.由点到直线距离公式，得N4 选修4-5不等式选讲4［2014 •江苏卷］D .［选修4-5 :不等式选讲］已知x>0, y>0,证明：(1 + x+ y )(1 + x + y) >9xy. 证明：因为x>0, y>0,3所以 1 + x+ y2> 3 xy2>0,31 + x2+ y>3 x2y>0,2 2故(1 + x + y )(1 + x + y) >315. [2014 •江西卷]x, y€ R,^xy2• 3^x z y= 9xy .若| x| + | y| + | x—1| + |y —1| < 2,贝U x+ y 的取值范围为 ________ .丨 X |+ 1 x — 11> 1 ,I : |丄| 们“ ? |x | + |y | + |x — 1| + |y — 1| >2? | x | + |y | [y | +1 y —1| >1|x | + |x — 1| = 1 ,丨 y | + 1 y — 11 = 1 24. [2014 •辽宁卷]选修4-5 :不等式选讲 设函数 f (x ) = 2|x — 1| + x — 1, g ( x ) = 16x 2— 8x + 1.记 f (x ) <1 的解集为 M g (x ) <4 的解集为N(1)求 M15. [0 , 2][解析]+ | x — 1| + | y — 1| = 2? 0< x < 1, 0< y <1 ?0< x+ y < 2. 2 2 1(2)当 x € MA N 时，证明:x f (x ) + x [ f (x )] < 4.24•解：⑴ f (x )= 当x >1时，由 4故 1< x < 3 ； 当x V 1时，由 故 0< x v 1.f (x ) = 1 —x <1 得 x >0,所以 f (x ) <1 的解集 M=ix o < x <3>⑵由 g (x ) = 16x 2 — 8X + 灼得 16x — 42 < 4,1 3解得—：< x <：,4 4 1 3因此 N= x — 4< x < 4 , r 3】故 MA N= c x0< x < 4 .当 x € M A N 时，f (x ) = 1 — x ,于是2 2xf (x ) + x ・[f (x )] = xf (x )[ x + f (x )] = xf (x )=\ ( 1 Y ix(1— x ) = 4- i x — 2 w 4.24. ［2014 •新课标全国卷n ］选修 4-5 :不等式选讲 1设函数 f (x ) = x + - + |x — a |( a >0).a(1)证明：f (x ) >2;⑵若f (3) v 5,求a 的取值范围.所以 f (x ) >2.(2) f (3) = 3 + a + |3 — a |.24. ［2014 •全国新课标卷I ］选修 4— 5 :不等式选讲1 1若 a >0, b >0,且a +b = ab . (1) 求a 3 + b 3的最小值；(2) 是否存在a , b ,使得2a + 3b =6?请说明理由.1 1 224. ------------------------------------------ 解：(1)由.ab = 5+ ，得ab >2,当且仅当a = b =\/2时等号成立. 故 a 3+ b 3>2 a^b 3>4 2,当且仅当a = b = .,2时等号成立. 所以a 3+ b 3的最小值为4 .2. (2)由(1)知，2a + 3b >2 6 ab > 4 3.由于4 3>6，从而不存在 a , b ,使2a + 3b = 6.15.［2014 •陕西卷］A.(不等式选做题)设 a , b , m n € R,且 a 2+ b 2= 5, m 升nb = 5,则7 m + n 2的最小值为 _________ .15. A.&［解析］由柯西不等式可知(a 2+ b 2)( m + n 2) >(ms + nb )2,即 5(m + n 2) >25,当且仅当an =bm 时，等号成立，所以 p m + n 2 >>/5.1. ［2014 •长沙模拟］已知点P 所在曲线的极坐标方程为 p = 2cos 0，点Q 所在曲线1+1，(t 为参数)，则| PQ 的最小值是( )y = 4 + 2t24.解：(1)证明:11x+a+ | x — a | >x+a—(x — a)当a >3时,f (3) = a + £由f (3)<5得3〜生却1当 O<a w3 时，f (3) = 6 — a + ；，由 f (3)<5 得 a3.综上,的参数方程为由 a >0 ,有 f (x )=1=a +狂 2,a 的取值范围是［解析］易知点P 在圆x 2+ y 2— 2x = 0上，圆心为(1 , 0)，半径为1，点Q 在直线A.B. C. D.4 5丁+ 145r -11."X = 2C0S a ,4. ［2014 •株洲模拟］在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（a』=寸3sin a为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位， 且以原点O 为极点，以x 轴的 正半轴为极轴）中，直线C 的方程为p （cos 0 — sin 0 ） + 1 = 0，则曲线C 与C 2的交点的 个数为_______________ ."X = 2cos a ,厂 （a 为参数）可化为一般方程—）=寸 3sin a42y+ ； = 1，直线C 2的极坐标方程 p •( cos 0 — sin 0 ) + 1 = 0可化为普通方程 x — y + 1= 0.3x 2 （ x -4- 1 ） 2联立两个方程，消去 y 可得-+（ 3）= 1，即7x 2 + 8x — 8 = 0.因为△ = 82 + 4X 7X 8>0,4 3 所以直线与椭圆相交，且有两个交点.5. ［2014 •湖南长郡中学月考］在极坐标系中，圆 C 的方程为p = 4 2cos 0 —n ^ ,以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆 G 的参数方程为x =— 1 + a cos 0 ,{(a > 0, y =— 1 + a s in 00为参数）•若圆C 与圆C 2外切，则实数a =.5. 2 ［解析］依题意，p = 4 2cos 0 — 4 = 4cos 0 + 4sin 0，化成普通方程为x+ y 2= 4x + 4y ,即(x — 2)2+ (y — 2)2 = 8，即该圆的圆心为C (2 , 2)，半径 n= 2 羽.将rx =— 1 + a cos 0 ,2221(a >0, 0为参数)化成普通方程为(x + 1) + (y + 1) = a ,即圆心为C 2(—y =— 1 + a s in 01，— 1），半径 r 2= a .由丙点间两圆外切可得 | CQ| = 3 ■■：■■.■：2 = 2 ■■：：：.■；2 + a ,所以 a=J 2.6. ［2014 •衡阳模拟］已知曲线C 的极坐标方程为p = 4cos 0 .若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为 _____________ .x = 2+ 2cos 0 ,一6.（ 0为参数）［解析］由曲线C 的极坐标方程为p = 4cos 0，可y = 2sin 0（0为参数）.2x — y + 2 = 0上，故| PQ 的最小值是12+ 21 — 1 = J —1 ..5 54. 2［解析］由题意，曲线C 的参数方程』 得其普通方程为x 2 + y 2 = 4x ,即（x — 2）2+ y 2 = 4,所以曲线C 的参数方程为x = 2+ 2cosy = 2s in 07. ［2014 •湖南雅礼中学月考］已知极坐标系下曲线p = 4sin 0表示圆，则点A$，n制圆心的距离为_________________ .7.2击［解析］将曲线p = 4sin B化成普通方程为x2+ y2= 4y,则该圆的圆心为（0 , 2），而点A 4，nn的直角坐标为（2 3，2），由两点间距离公式可得d =（2一3）2+（2-2）2= 2 3.& ［2014 •湖南十三校联考］以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极［x= t , _坐标系.已知直线I的参数方程为（t为参数）,圆C的极坐标方程为p = 2cos 0 ,|y= t - a若直线I经过圆C的圆心，则常数a的值为____________ .x= t ,8 1 ［解析］将直线l的参数方程乜丄（t为参数）化为普通方程为y = x- a,将圆y= t - aC的极坐标方程p = 2cos 0化为普通方程为x2+ y2= 2x,则圆心为（1 , 0），代入直线y = x—a可得a= 1.。

选修4系列1.(2012·北京高考卷·T5·5分) 如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²【答案】A【解析】在ACB ∆中，∠ACB=90º，CD⊥AB 于点D ，所以DB AD CD ∙=2,由切割线定理的CB CE CD ∙=2,所以CE·CB=AD·DB。

2.（2012·湖北高考卷·T15·4分）（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .【答案】2【解析】（由于,CD OD ⊥因此22OD OC CD -=,线段OC 长为定值， 即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此 时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此2||21||==AB CD . 3.（2012·湖南高考卷·T9·4分） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.第15题图【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 4.（2012·新课标卷·T22·10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：（1）CD BC =； （2）BCDGBD ∆∆【答案】⑴//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒= //CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= （2）//BC GF BG FC BD ⇒==//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆5. （2012·新课标卷·T23·10分） 选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为(11,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈6. （2012·新课标卷·T24·10分） 选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 【答案】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤7.（2012陕西高考卷·T15·4分） A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a . 8. （2012陕西高考卷·T15·4分）（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，则AED ∆∽DEB ∆，BEDEDE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDE DE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 9. （2012陕西高考卷·T15·4分）（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 . 【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-. 10.（2012上海高考卷·T3·4分）函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 。

数学N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­6所示，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，12 OA为半径作圆．(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.图1­622．证明：(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.在Rt△AOE中，OE＝12AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD . 22．N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­5，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．图1­522．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DGCB，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­6，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.图1­622．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD ＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .21．A.N1 选修4­1：几何证明选讲如图1­7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .图1­721．A.证明：在△ADB 和△ABC 中，因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .N2 选修4-2 矩阵21．B ．N2 选修4­2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 21．B ．解：设B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则B －1B ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 14012.因此，AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 540 －1.N3 选修4-4 参数与参数方程 23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，则由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，则tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ＋π4）＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin （α＋π3）－2|，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为(32，12).21．C ．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得1＋12t 2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.N4 选修4-5 不等式选讲24．N4 选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图1­7中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．图1­724．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，则y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像知，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5}.24．N4 选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，因此|a＋b|<|1＋ab|.24．N4选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．24．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此，f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是选修4­5：不等式选讲设a>0，|x－1|<a3，|y－2|<a3，求证：|2x＋y－4|<a.21．D．证明：因为|x－1|<a3，|y－2|<a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×a3＋a3＝a.N5 选修4-7 优选法与试验设计。

2012年高考试题+模拟新题分类汇编(数学理)N选修4系列N2 选修4-2 矩阵21 B ．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．21 B ．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－143412－12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.21A ．N2 [2012·福建卷] 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．21A ．解： (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭⎫12 01， 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1－2 01.3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．3.⎣⎡⎦⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－32.N3 选修4-4 坐标系与参数方程12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.12．2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－p2，±6p ， 又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p2＝⎣⎡⎦⎤p 2－⎝⎛⎭⎫－p 22＋(±6p －0)2，解之得 p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2. 10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为：ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，所以f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．15C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3.23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3)(解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A 2cos π3，2sin π3，B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2，C 2cos π3＋π,2sin π3＋π，D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．21 C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.9.32[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 29＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0，代入曲线C 2，得⎝⎛⎭⎫322a 2＋029＝1，解得a ＝32.16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．16.⎝⎛⎭⎫52，52 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝()t －12 化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝⎛⎭⎫52，52.21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．21B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．13.3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．应用极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝33x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝33x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32＝ 3.9．N3[2012·北京卷] 直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．9．2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．14．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．15．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．15．(1)ρ＝2cos θ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32 [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >12时，原不等式可化为2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12<x ≤32；当x <－12时，原不等式可化为－2x ＋1－2x －1≤6，解得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤12时，原不等式可化为1－2x ＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此时－12≤x ≤12.综上，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－32，32.24．N3[2012浙江卷]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.N4 选修4-5 不等式选讲23．N4 [2012浙江卷]已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．23.解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0.当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2，综上，a 的取值范围为a ≤－2.15 A ．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．15A. －2≤a ≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.24．N4[2012·辽宁卷]已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以 当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≤－1，－4x －3， －1＜x ＜－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．21 D ．N4 [2012·江苏卷]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.10．N4[2012·湖南卷] 不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________． 10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14 [解析] 考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x ＋1|>2|x －1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得(2x ＋1)2>4(x －1)2，化简得4x >1，解得x >14，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14.6．N4[2012·湖北卷]设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.346．C [解析] 由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40≥(ax ＋by ＋cz )2＝202，显然上式应取等号，此时a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，则a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，得k ＝12(舍去负值)，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝a x＝k ＝12.故选C.9．N4[2012·广东卷] 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．9.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12 [解析] 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2<x ≤－12.当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．综上，不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12. 21C. N4 [2012·福建卷]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.21C. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 2012模拟题3．[2012·湖北重点中学联考] 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(0<α<π)，若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是________．4. ⎝⎛⎭⎫－1，－12 [解析] 本题主要考查极坐标的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，化为普通方程是3y ＋x ＋2m ＝0， 曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α，化为普通方程是x 2＋y 2＝1(y >0)，画出图象可知曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12.4．[2012·唐山一模] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．9．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2. 5．[2012·唐山一模] 设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．5．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4,10]．(2)由(1)则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t≤3，所以t的取值范围是[0,3]．。