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【教学难点】第一基本形式的推导和灵活运用．【重难点处理】老师提供思路，学生推导，引导学生完成证明，本次课堂教学中，曲面曲线的弧长和两个方向的夹角问题应用第一基本形式解决.培养学生严谨的逻辑推理能力.【教学设计】1. 这门课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课，是解析几何、数学分析、高等代数、微分方程的后续课程，知识综合性较强。
所以课前，课中不时会穿插基础知识。
例如两向量夹角公式，弧长微元，两向量垂直的判定等，以便于学生对新知识的理解；2. 由曲面曲线的弧长问题引入第一基本形式；3. 学生解决问题，推导出第一基本形式；4. 练习求曲面的第一基本形式；5. 应用第一基本形式求两方向的夹角;6. 总结教学要点．【教学思想】“以教师为主导、以学生为主体”，通过问题驱动，由表及里、层层递进、步步设问，引导学生主动学习和思考，激发学生的求知欲，活跃其思维，让学生在解决问题的探索中进一步领悟、掌握和升华对所学知识的理解，培养其运用数学知识解决实际问题、进行科学研究曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长S:(,)r r u v =上的曲线或((),())r r u t v t =有()u v du dv r t r r dt dt'=+或u v dr r du r dv =+，若以S 表示曲面上曲线的弧长，则有2222222()()2u v u u v v ds dr r du r dv r du r r dudv r dv ==+=++。
,,u u u v v v r r F r r G r r ==，则222ds Edu Fdudv Gdv =++形式决定曲面上曲线(C)的弧长，曲线(C)上两点102()2t t du du dv E F dt dt =+⎰的第一基本形,,u u u v r r F r r =v v r r 叫做曲面的第一类基本量。
0,0u u v v r r G r r =>=> ，2222()()0u v u v u v r r r r r r =-=⨯> 因此第一基本形式是正定的。
微分几何教案微分几何教案一、教材：《微分几何》二、教学目标：1.了解微分几何的基本概念和方法；2.掌握曲线、曲面的性质和切空间的定义；3.能够应用微分几何的知识解决实际问题。
三、教学重难点：1.切向量和法向量的概念及其性质；2.曲面的一、二类曲率的计算方法。
四、教学过程：1.导入（5分钟）为了引导学生进入微分几何的学习，首先通过几何图形和实际问题，引出微分几何的概念和应用。
2.概念讲解（10分钟）介绍微分几何的基本概念，包括曲线、曲面的定义和切向量、法向量的概念。
通过几何图形和公式来说明这些概念的意义和性质。
3.切向量和法向量的计算方法（15分钟）讲解切向量和法向量的计算方法，并给出一些例题进行讲解和练习。
引导学生通过具体问题来求解切向量和法向量，加深对这两个概念的理解。
4.曲线的性质（10分钟）介绍曲线的一些性质，包括曲率、弯曲度等；讲解如何计算曲线的一、二类曲率，并通过具体例子进行演示。
5.曲面的性质（15分钟）讲解曲面的一些性质，包括曲率、曲率半径等；介绍如何计算曲面的一、二类曲率，并通过具体例子进行演示。
6.切空间的定义和计算（10分钟）介绍切空间的概念和计算方法，讲解如何利用切向量来构造切空间，并通过例题进行练习。
7.实际问题的应用（10分钟）讲解如何应用微分几何的知识解决实际问题，如曲线的弯曲程度、曲面上的运动等，并举例说明。
8.课堂练习（15分钟）在课堂上进行一些练习，巩固和加深学生对微分几何的理解和应用能力。
9.总结提高（5分钟）对本堂课的内容进行总结，强调微分几何在现代数学和物理学中的重要性，并激发学生对微分几何的兴趣和学习动力。
五、教学方法：本节课采用讲解法、示范法和练习法相结合的教学方法，通过讲解基本概念，举例说明和课堂练习来理解和运用微分几何的知识。
六、教学评价：1.观察学生的课堂表现，包括是否能够积极参与课堂讨论和课堂练习；2.学生的作业完成情况，包括书面作业和课堂练习；3.课堂小测验，测试学生对微分几何的理解情况。
微分几何教案微分几何是数学的一个重要分支，它研究的是在欧氏空间中的曲线、曲面等几何对象的微分性质。
微分几何理论的学习，可以帮助学生更好地理解空间曲线、曲面的性质和变化规律，对于数学专业的学生来说，是必修的一门课程。
本教案从微分几何的基本概念出发，逐步引导学生深入理解微分几何的核心内容，同时通过案例分析和问题讨论，帮助学生在实际问题中灵活运用微分几何的知识。
一、基本概念1.1 曲线的切线和法线在欧氏空间中，曲线上的每一点都存在一个切向量，描述了曲线在该点的切线方向；而与切线垂直的直线称为法线，其方向与切线垂直。
在微分几何中，学生需要了解如何计算曲线的切线和法线方向，以及如何利用这些概念解决相关问题。
1.2 曲面的切平面和法线与曲线类似，曲面上的每一点都存在一个切平面，描述了曲面在该点的切平面方向；而与切平面垂直的直线称为法线，其方向与切平面垂直。
学生需要掌握如何计算曲面的切平面和法线方向，并能够应用到实际问题中。
二、曲线的微分几何2.1 参数方程下的曲线方程对于参数方程表示的曲线，学生需要学会如何求解曲线的切线、曲率等微分几何性质。
通过实例演练，帮助学生掌握参数方程下曲线的微分几何方法。
2.2 极坐标下的曲线方程在极坐标系下，曲线的微分几何性质有着特殊的表达形式，学生需要理解如何计算极坐标下曲线的切线、曲率等性质。
通过案例分析，引导学生掌握极坐标系下曲线的微分几何方法。
三、曲面的微分几何3.1 参数方程下的曲面方程对于参数方程表示的曲面，学生需要学会如何求解曲面的切平面、法线曲率等微分几何性质。
通过实例分析，帮助学生理解参数方程下曲面的微分几何方法。
3.2 隐函数表示的曲面方程在某些情况下，曲面可以通过隐函数表示，学生需要了解如何计算隐函数表示的曲面的微分几何性质，包括切平面、法线曲率等。
通过问题讨论，引导学生灵活运用微分几何方法解决相关问题。
四、实例分析4.1 曲线长度的计算给定曲线的参数方程或极坐标方程，学生需要计算曲线的长度。
微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。
通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。
中央广播电视大学本科《微分几何》课程教学设计方案为了落实教育部批准的“关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告”的精神，保证“中央广播电视大学开放教育试点理学科数学类数学与应用数学专业（本科）教学计划”的具体实施，搞好开放教育试点的具体教学与管理工作，保证试点工作教学质量，实现培养目标，特制定“微分几何”课程教学设计方案。
一、课程的性质与任务“微分几何”课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课。
它是现代数学的重要组成部分，它不仅在数学的其他分支而且在计算机科学及工程技术领域中都有着广泛的应用。
通过本课程的学习使学生系统掌握微分几何课程的基本概念、理论与方法，培养学生进行空间想象力及抽象思维的能力并学会将微分几何知识用于信息科学及工程技术领域中去。
二、课程的目的与要求开设本课程，主要是使学生在学习与掌握微分几何课程的基本概念、理论与方法上，对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，并培养学生具有空间想象力及抽象思维的能力。
三、课程的教学内容按陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲进行。
四、教学措施及策略１．文字教材文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。
本课程的教材暂定为“微分几何”（梅向明，黄敬之著，高等教育出版社出版）。
２．录像教材录像教材是重要的教学媒体之一，本课程录像教材的主要内容是课程的重点难点讲解及部分课程内容精讲，由穆玉杰教授主讲，共27讲。
目前录像教材正在建设之中。
３．面授辅导面授辅导（包括习题课）是电大的重要教学方式之一，由于电大是远距离教育，面授辅导是学生接触老师、获得疑难解答的重要途径。
本课程是一门理论性和应用性都很强的课程，因此面授辅导或答疑是重要的辅助教学手段。
开设本课程的各教学班，要聘请有经验、认真负责的老师，为学生进行面授辅导或答疑。
要求教师认真钻研教学大纲，认真备课，批改作业。
微分几何第二版教学设计简介微分几何是数学中的一个分支，它涉及到了曲面、流形等概念的研究。
本文是对微分几何第二版的教学设计，旨在帮助教师更好地教授微分几何这门学科，让学生能够深入了解其相关概念和应用。
教学目标•了解微分几何的基本概念和定义•掌握微分几何的核心思想和方法•熟悉微分几何的应用场景和实际意义•培养学生的数学思维和分析能力教学内容第一章：流形与切空间1.1 流形的定义与性质1.2 切空间的引入与构造1.3 切空间的计算方法第二章：联络与曲率2.1 联络的定义与性质2.2 曲率的引入与计算方法2.3 曲率的应用场景和实际意义第三章：黎曼流形3.1 黎曼流形的定义和构造3.2 黎曼流形的性质和分类3.3 黎曼流形的应用和发展第四章：微分几何的应用4.1 量子力学中的微分几何4.2 引力理论中的微分几何4.3 图像处理中的微分几何应用教学方法本课程以理论教学和实践应用相结合的方式进行，采用小班授课和小组讨论相结合的形式开展。
1.理论教学：课堂讲解、课后习题、经典题解讲解等2.实践应用：实验操作、场景模拟、案例研究、结合实际问题的计算机模拟等在教学过程中，还可以引入一些教学辅助工具来提高学生的可视化理解和学习效果，例如：GeoGebra、Mathematica、Matlab等。
评估方式为了更好地评价学生的学习效果和教学效果，可以采用以下几种方式进行评估：1.期末考试：考察学生的基本知识和技能的掌握程度2.作业和报告：考察学生对学习材料的理解和应用能力3.小组讨论和演示：考察学生的团队协作和交流能力参考资料1.Do Carmo, M. P. (2016). Differential geometry of curves andsurfaces. Courier Dover Publications.2.Lee, J. M. (2009). Manifolds and differential geometry.American Mathematical Society.3.Kobayashi, S., & Nomizu, K. (1996). Foundations ofdifferential geometry: Volumes 1 and 2. Wiley.结语微分几何是一门具有重要意义和广泛应用的学科，本文介绍了微分几何第二版的教学设计，旨在帮助教师更好地进行教学工作，让学生更深入地了解微分几何这门学科的相关概念和应用。
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
微分几何教学设计背景微分几何是现代数学中的一个重要分支，包括曲线与曲面的研究和描述。
微分几何的概念和方法在科学工程领域中有广泛应用，如在物理学、机械工程、计算机图形学等领域中。
微分几何作为纯数学学科之一，与其它数学学科一样，在教学中较为严谨和抽象。
目标本次课程设计的目标是使学生掌握微分几何中的主要概念和理论方法；能够运用微分几何的知识，解决具体问题和应用实践。
设计教学内容本课程设计旨在介绍微分几何的一些基本概念和方法，并将这些概念和方法应用到实际问题中。
应按照以下内容设计教学进程：1.引言：讲解微分几何作为一种数学学科的位置和意义，以及它的应用前景。
2.曲线的概念和求导：曲线与向量值函数的对应关系；对曲线的求导操作；曲线在不同点的切线。
3.曲面的概念和切空间：曲面的定义；切向量和法向量的关系；切空间的定义以及切杆1-形式的概念。
4.牛顿第二定律与曲面：牛顿第二定律的描述；如何将牛顿第二定律应用于曲面上的摆锤问题。
5.微分几何的应用：利用微分几何的概念和理论解决实际问题，比如机械设计中的坐标转换问题、图像识别中的曲线特征提取问题等。
教学方法本课程设计是以理论和实践相结合的教学方式进行的，具体教学方法如下：1.形式多样：采用讲授、讨论、案例分析、练习等方法，让学生深入了解微分几何的基本概念和方法。
2.实践操作：引导学生运用微分几何知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.互动讨论：鼓励学生提出问题和意见，并进行互动讨论和交流，增加课程的趣味性和互动性。
教学评价本课程设计是基于学生学习需求和现实应用需求的，旨在培养学生的科学思维和实践能力。
可采用如下方式进行教学评价：1.课堂表现：包括出席情况、参与情况、提出问题的质量等。
2.作业评估：包括作业完成情况、作业正确性等。
3.期中考试：检测学生掌握情况并提供改进建议。
4.期末论文：通过撰写微分几何的应用案例论文，评价学生的实际应用能力和分析问题的能力。
总结本课程设计基于学生学习需求和现实应用需求，旨在培养学生的科学思维和实践能力，并将微分几何概念和理论方法与实际问题相结合。
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
微分几何中的黎曼几何与测地线-教案一、引言1.1微分几何的概述1.1.1微分几何的定义微分几何是数学的一个分支，主要研究曲线、曲面以及高维流形的性质，尤其是利用微积分的方法来研究这些几何对象的局部性质。
1.1.2微分几何的历史背景微分几何起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨的工作引发，随后在19世纪由高斯和黎曼等人发展成为一个独立的数学分支。
1.1.3微分几何在现代数学中的作用微分几何在理论物理、计算机图形学、机器学习等领域有着广泛的应用，特别是在广义相对论中扮演着核心角色。
1.2黎曼几何的引入1.2.1黎曼几何的基本概念黎曼几何是一种描述弯曲空间的数学框架，由德国数学家黎曼在19世纪中叶提出，是微分几何的一个重要分支。
1.2.2黎曼几何与欧几里得几何的区别与欧几里得几何的平坦空间不同，黎曼几何考虑的是曲率不为零的空间，其中直线概念被测地线所取代。
1.2.3黎曼几何的重要性黎曼几何不仅是数学理论的基础，也是广义相对论的理论基础，对于理解宇宙的结构和演化具有重要意义。
1.3测地线的概念与意义1.3.1测地线的定义测地线是在曲面上或更高维空间中，连接两点并且长度最短的路径，可以被视为弯曲空间中的“直线”。
1.3.2测地线与曲线的区别与普通曲线不同，测地线完全由其所在空间的曲率决定，不依赖于外部的欧几里得空间。
1.3.3测地线在物理中的应用在物理学中，测地线描述了在引力场中自由落体的路径，是广义相对论中描述物体运动的基本工具。
二、知识点讲解2.1黎曼几何的基本概念2.1.1黎曼度量黎曼度量是定义在流形上的一个光滑的对称正定二次型，它决定了流形的曲率和测地线的性质。
2.1.2曲率概念曲率描述了流形在各个点的弯曲程度，是黎曼几何的核心概念之一，包括截面曲率和里奇曲率等。
2.1.3测地线方程测地线方程是描述测地线如何随位置变化的微分方程，它是黎曼几何中研究物体在弯曲空间中运动的基础。
2.2测地线的性质与应用2.2.1测地线的局部性质测地线具有局部极小性质，即在足够小的区域内，它是连接两点的最短路径。
一、E 3中的曲线论.3))(),(),(()(),(:E t z t y t x t r b a t r ∈=→∈0))('),('),('),('()('≠=t r t z t y t x t r 时，)(t r 称为正则的。
定义弧长：()|'()|,|'()|t s t r t dt r t t ==⎰Remark ：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。
事实上，设)(,0)('),('0u t u u t ϕϕϕ=>=。
则()(()),'()(())'()'(),r r u r u dr u r u dudr dt r t u dt duϕϕϕ=====以u 为参数的弧长:)(|)('|)('|)('||)(')('||)('|)(0t s t tdt t r duu uu t r du u u u t r du u u u r u s =⎰=⎰=⎰=⎰=ϕϕ以t 为参数的弧长。
当以弧长为参数时，|,)('|)(s r dsdsds t ds == 即1|)('|=s r 。
设曲线),,()(t sht cht t r =，cht t r cht sht t r 2|)('|),1,,()('==, 显然该曲线不是以弧长为参数。
为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。
对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。
从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。
曲线)(s r 以弧长s 为参数， 故 1|)('||)('|=∆+=s s r s r 。
|2sin |2|2sin ||)('|2|)(')('|θθ==-∆+s r s r s s r00|sin ||'()'()|2||||2|sin ||'()'()|2lim lim (|''()|)||||2s s r s s r s s s r s s r s r s s s θθ∆→∆→+∆-⇒=∆∆+∆-==∆∆ k s r =|:)(''|曲率。
例1、 直线：v u v us s r ,,)(+=为常向量，.0,1||==k u 例2、圆：.1),0,sin ,cos ()(ak a s a a s a s r ==对于一般参数t , )),(),(),(()(t z t y t x t r = 则：.|)('||)('')('|)(3t r t r t r t k ⨯=挠率: 当空间曲线不是平面曲线时，即有扭曲时，考虑扭曲程度，即曲线偏离平面的程度。
s s r s T ),(')(=为弧长参数。
设 k s kN s T ),()('=为曲率，)(s N 为主法向量。
设 ),()()(s N s T s B ⨯=则)(s B 也为单位向量。
.'0'0'0''0T B B T B T B T B T B T ⊥⇒=⋅⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅+⋅⇒=⋅而 .'0'1||B B B B B ⊥⇒=⋅⇒= 于是，.//'N T B B =⨯ 故设 ),()()('s N s s B τ-= 称)(s τ为曲线的挠率。
例 求圆柱螺线),sin ,cos ()(s h s r s r s r ωωω=的曲率和挠率，h 和2122)(-+=h r ω是常数。
s s r ,1|)('|=为弧长。
),0,sin ,(cos )('),cos ,sin ()(')(2s s r s T h s r s r s r s T ωωωωωω-=-==hs rs k 22)()(ωτω==⇒均为常数。
可得到：s s r s r s r s r s ,|)(''|))('''),(''),('()(2=τ为弧长参数。
若以t 为参数：.||),,()(2223322dtr d dt dr dt r d dt r d dt dr t ⨯=τ例 求圆柱螺线),sin ,cos (θθθb a a r =的曲率和挠率，).,(.2222ba bb a a k +=+=+∞<<∞-τθ 定理 曲线的弧长、曲率及挠率是运动的不变量。
即设 曲线()(),)(),(),()()(),(),()(1111t z t y t x t r t z t y t x t r ==且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321111,b b b b b b z y x A z y x 为常数向量。
A 为正交矩阵，且1||=A 运动，0||≠A 仿射变换，1||-=A 镜面反射。
A=I （单位矩阵）为平移变换，cos sin 0sin cos 0001A θθθθ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭时为旋转变换。
因 ,111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dz dt dy dt dx A dt dz dt dy dt dx|)('||)('||)('|)('),(')('))(')('))(')('))('()('),(')('),('|)('|121121t r t r t r t r t r t r t r t Ar A t r t Ar t Ar t Ar t Ar t r t r t r =⇒=======T T T T 因⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222222212212212111,dt z d dt y d dt x d A dt z d dt y d dt x d dt dz dt dy dt dx A dtdz dt dy dt dx ， |||||,|||222121dtr d dt r d dt dr dt dr ==⇒， 故).(|)(||)(|)(011t s dt dtt dr dt dt t dr t s tt tt =⎰=⎰=同理⎭⎬⎫==ττ11k k 略（作业）。
§3 Frenet 公式由前面曲线：)),(),(),(()(s z s y s x s r =s 为弧长参数. 切向量：).(')(s r s T =).()()(),()()('),()()('s N s T s B s N s s B s N s k s T ⨯=-==τ BkT kT B B kN N T kN B T N s s T s B s T s B s N s T s B s N ττττ+-=-=⨯-⨯=⨯+⨯-=⨯+⨯=⨯=)()(')()()(')(')()()(于是得：⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅-⋅=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅=B N T B B N T k N B N k T T 00'0'00'ττ .00000'''⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒B N T k k B N T ττ 对于曲线)(s r 在每点s 处，)(),(),(s B s N s T 两两单位正交，称{)}(),(),();(s B s N s T s r 为曲线在s 处的Frenet 标架。
应用：例 设)(s r 为单位球面2S 上的一条曲线，s 为弧长参数，τ,k 均不为零。
则.)1()'1(1B k N k r τ--=证：设)(,s r cB bN aT r ++=在2S 上，则,0)()(',1|)(|=⋅⇒=s r s r s r即 .0)(=⋅s r T故aT cB T bN T aT T r =⋅+⋅+⋅=⋅=0又 ,0)('=⋅+⋅T T s r T即 .11)()(kN r s N s r k -=⋅⇒-=⋅故.1kb b N r -=⇒=⋅对上式两边求导：⎪⎭⎪⎬⎫=⋅⋅+⋅-=+-=⋅=⋅=⋅+-=⨯-⨯=⨯+⨯-=⨯+⨯=⨯=-==⋅+⋅⇒0)('0'''')'1('''T r B r T kr B kT r N r N T N r BkT N B k T N N B k T N T B T B N TB N kb N r N r τττττ,1)'1(τk B r -=⋅⇒故 ,1)'1(τk c B r -==⋅故 .1)'1(1)(B k N k s r τ--= 证毕。
§4 曲线在一点邻近的性质由Tayler 展开：).()0('''!3)0(''!2)0(')0()(332s o r sr s sr r s r ++++=因).()()(')('')0()0('s N s k s T s r TT r ====''(0)'(0)(0)(0)'''()[''()]'[()()]''()()(0)[],r T k N kN r s r s k s N s k s N s k kT B τ⇒======+-+()Bk N k T k B T k k N k r ττ++-=+-+=⇒')0()0()0()0()0()0()0(')0('''2代入得：),(]'[!3!2)0()(3232s o B k N k T k skN s sT r s r +++-+++=τ).()0(!3)0()'!3!2()0()!3()0()(333223s o B k sN k sk s T k s s r s r ++++-=-⇒τ 若以)}0(),0(),0(,{0B N T p 为新生坐标系，则坐标分量为：)('62)(6332323s o k sk s y s o k ss x ++=+-=).(633s o k sz +=τ当0>s 时，只取上述每项中的第一项得：T s x ,=方向，N s ky ,22=方向， B s k z ,63τ=方向。
