§1曲面的概念1.求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r=｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
解 椭圆柱面22221x y a b +=的参数方程为x = cos ϑ, y = asin ϑ, z = t ,}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ。
所以切平面方程为：010cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a tz b y a x ，即x bcos ϑ + y asin ϑ － a b = 0 此方程与t 无关，对于ϑ的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而ϑ的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
5．证明曲面},,{3uva v u r =ρ的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证 },0,1{23vu a r u -=ρ，},1,0{23uv a r v -=ρ。
切平面方程为：33=++z a uvv y u x 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv a 23)。
于是，四面体的体积为：3329||3||3||361a uv a v u V ==是常数。
§２ 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==ρρρ2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=ρρρ,∴ I = +++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。
２．求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==ρρ，12==u r E ρ，0=⋅=v u r r F ρρ，222b u r G v +==ρ，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。
解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长为|sinh sinh ||cosh |1221v v vdv v v -=⎰。
4．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2a G =。
曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为ϕ，则有cos ϕ=22222211a a vG u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。
5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.解 曲面的向量表示为r r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为r r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ρ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r r={x ,0y ,ax 0y }，其切向量x r ρ={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为ϕ，则有cos ϕ= 20220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅ρρρρ6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2)(dvdu + 2Qdv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +v uδδ=PQ 2-……①又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F(dv du +vuδδ)+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得222222)()(dsv G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+。
展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .9．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u =a ±v, v =1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。
曲线围城的三角形的面积是S=⎰⎰⎰⎰+++--122122au aaau dv du a u dv du a u=2⎰⎰+1022au a dv du a u =2du a u a ua⎰+-022)1(=aa u u a a u u a u a0222222322|)]ln()(32[++++++-=)]21ln(322[2++-a 。
10．求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 的面积。
解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -E =2ϑr ρ=2a ,F=ϑr ρϕr ρ= 0 , G = 2ϕr =ϑ22cos a .球面的面积为：S =22222222024224|sin 2cos 2cos a a d a d a d πϑπϑϑπϕϑϑπππππππ===---⎰⎰⎰.11.证明螺面r r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r r={tcos ϑ,tsin ϑ,12-t } (t>1, 0<ϑ<2π)之间可建立等距映射 ϑ=arctgu + v , t=12+u .分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射ϑ = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证明 螺面的第一基本形式为I=22du +2 dudv+(2u +1)2dv , 旋转曲面的第一基本形式为I=ϑd t dt t t 2222)11(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换ϑ =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:2222222)11)(1(1)11(2dv du uu du u u u u +++++++ =2222222)1(211)11(dv u dudv du u du u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2dv = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ϑ =arctgu + v , t =12+u .§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ρ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ρ={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ρ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ρ={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ρ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E ρ== cosh 2u,v u r r F ρρ⋅==0,2v r G ρ==cosh 2u.所以I = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n ρ=2F EG r r v u -⨯ρρ=}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--,L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以II = -2du +2dv 。
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