2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷(一)数学文科试题(解析版)

………○………学校:_______………○………绝密★启用前2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若复数122iz=-，21z i=+，则12zz=（）A．2i B．2i-C．22i-D．22i+2．已知集合{|31}A x x=-<„，集合(){}2|lg2B x y x==-，则A B=U（）A．[B．(C．[-D．(-3．某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（）A．1336B．1736C．1936D．1184．已知实数,x y满足2,2,0,yx yx⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y-的最小值为（）A．0 B．2 C．2-D．1○…………外…………○…………………○…※※请※※※※在※※装※※订○…………内…………○…………………○…5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，12,F F 为其左、右焦点，12F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 为坐标原点），则椭圆的长轴长为（ ） A ．4 B ．8 C D ．1 6．函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(3,4) 7．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．32升 C ．23升 D ．43升8．如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r （ ）A ．1124a b +r rB ．1536a b +r rC ．2233a b +r rD ．1324a b +r r9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．2020C ．3030D ．101010．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A ．A 来自1班 B ．B 来自1班 C ．C 来自3班 D ．A 来自2班 11．已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13e b f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 12．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD ） A ．48π B ．12π C ．36π D ．9π 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______. 14．已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____. 15．已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设n a n b =，则数列{}n b 的前10项和等于______. 16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a =，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为______. 三、解答题订…………○……※※答※※题※※订…………○……现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20．已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为. （1）求实数a 的值； （2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程. 21．函数21()ln ,a f x x a R x a =++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性； （2）设()2a g x x =+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集； （2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用复数的除法计算得解.【详解】 由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．D【解析】【分析】先化简集合B,再求A B U 得解.【详解】由题得(B =，因为{|31}A x x =-<…，所以(A B =-U .故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D【点睛】 本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系，当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小.所以min 022=-=-z .故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．B【解析】【分析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解.【详解】由题得c =12bc =222c a b =-，解得b =4a =，所以长轴长为8.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞，函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数， 由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞.故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．B【解析】【分析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解.【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.8．D【解析】【分析】取BC 中点F ，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC 中点F ，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1324a b =+r r . 故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．A 【解析】 【分析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln 1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以ln3114ln 3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．D 【解析】 【分析】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解. 【详解】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ， 则异面直线AC 与PD 所成的角就是1ACB ∠或其补角.则221cos ACB ∠==所以1x =，32=， 所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解. 【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14．2 【解析】 【分析】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=.故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．10231024【解析】 【分析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-. 故答案为：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16【解析】 【分析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，22,22c a ab B cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解. 【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点，所以22,22c a ab B cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244ac a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17．（1）35；（2）1225+【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b B a C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =，所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =.又3sin sin 610BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124sin 225ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V .所以12ADC ABD S S ==V V 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（1）见解析；（2）17【解析】 【分析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ，所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，FD =BD =3FB =，所以222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯.所以sin 6DBF ∠==，11sin 322BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得h =.所以棱锥A BDF -的高为17. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19．（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ；在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【解析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为.=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心, 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型. 21．（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性；（2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a=++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a ==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．22．（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．23．（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩， 1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …， 所以实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷 文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|15}A x x =-<，则R A =ð（ ） A ．{|4}x x >- B ．{|4}x x ≤ C ．{|4}x x <-D ．{|4}x x ≤-2．2(3)i -=（ ） A ．86i --B ．86i +C ．86i -D ．86i -+3．已知平面向量(1,2)a =-，(2,)b y =，且//a b ，则32a b +=（ ） A ．(1,7)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-4．已知数列{}n a 为等差数列，若26102a a a π++=，则39tan()a a +的值为（ ） A ．0BC ．1D5．设a ，b 是非零向量，“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．27．若函数32()236f x x mx x =-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.49．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(c o s s i n )b a C C =，2a =，c =C =（ ） A ．3πB ．6πC ．34πD ．4π10．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线21,l l 交于点O 且相互垂直，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号1l 与C 交于点11,B A ，2l 与C 交于点22,B A ，若使得||||2211B A B A =成立的直线21,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．]2,1( B ．]2,1(C ．]2,2[D ．),2(+∞ 11．下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题p ：2x ≠或3y ≠，命题q ：5x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+>”； ④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4123sin x =的根的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．点(2,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为 ． 14．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，sin()243βπ+=， 则cos(2)αβ+= ．15．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于 ．16．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列112b =，14n n n b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T ．证明：1n T <．18．（12分）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（12分）已知椭圆C：223412x y+=，试确定m的取值范围，使得对于直线l：4y x m=+，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称．20．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且E ，F 分别是BC ，11A B 的中点． （1）求证：11BC A C ⊥； （2）求证：//EF 平面11A C CA ；（3）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()ln f x x ax a x =--()a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求证：32511()4326x x f x x ≥-+-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈． （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围．2020届高三入学调研考试卷文科数学（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】14或112-14．【答案】23 2715．【答案】84π16．【答案】32 2,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析． 【解析】（1）∵数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥，∴11211n n n a a a -+=+， 又11a =，2131a a -=，∴111a =，2132a =，∴211112a a -=， ∴1{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴1111(1)(1)22n n n a =+-=+，∴21n a n =+． （2）证明：∵数列112b =，14n n n b a a -=， ∴111(1)1n b n n n n ==-++，∴12111111(1)()()1122311n n T b b b n n n =+++=-+-++-=-<++． 故1n T <．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈N ． （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x ∈N ． 由2000501950x -≥，得1x ≤，∴X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为204031005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为30251110020+=，∴()299052050P X ==⨯=，()39211491520520100P X ==⨯+⨯=，()311332520100P X ==⨯=， ∴随机变量X 的分布列为∴()90125010010020E X =⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】见解析．【解析】设存在两点11(,)A x y 、22(,)B x y 关于l 对称，中点为00(,)C x y ，则AB 所在直线为14y x b =-+．与椭圆联立得2213241204x bx b -+-=，∴1201112124404213122213x x b x x b x b y y b y +⎧==⎪⎪⎨-+-++⎪===⎪⎩， ∵C 在4y x m =+上，∵124134,13134b b mb m =⨯+=， 又∵22221344(412)452131204Δb b b b =-⨯-=-+⨯>， 故2134b <，即216913164m <，解得1313m -<<．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12AP AB =． 【解析】（1）∵11BC C C ⊥，又平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且平面11A C CA 平面111BCC B C C =，∴1BC ⊥平面11ACC A ．又∵1A C ⊂平面11A C CA ，∴11BC A C ⊥． （2）取11A C 中点G ，连FG ，连GC ．在111A B C △中，∵F ，G 分别是11A B ，11A C 中点，∴11FG B C ∥，且1112FG B C =． 在平行四边形11BCC B 中，∵E 是BC 的中点，∴11EC B C ∥，且1112EC B C =．∴//EC FG ，且EC FG =．∴四边形FECG 是平行四边形．∴//FE GC ． 又∵FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，∴//EF 平面11A C CA ．（3）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ．取AB 的中点P ，连PE ，连PF ．∵1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，CG ⊂平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，1BC CG ⊥．在ABC △中， ∵P ，E 分别是AB ，BC 中点，∴//PE AC ． 又由（2）知//FE CG ，∴1BC PE ⊥，1BC EF ⊥． 由PE EF E =得1BC ⊥平面EFP ．故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ．此时，12AP AB =． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）()2af x x a x '=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a =．经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a =． （2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =--，令332511311()()(4)3ln 326326x x x g x f x x x x x =--+-+=-+--， 由33211(1)()333(1)x x g x x x x x x x--'=-+-=--=(0)x >，可知()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g ≥=，所以32511()4326x x f x x ≥-+-+成立．22．【答案】（1）30x -=，22(2)4x y -+=；（2． 【解析】（1）将2t y =代入32x =+，整理得30x -=， 所以直线l的普通方程为30x --=． 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． （2）设A ，B 的参数分别为1t ，2t ．将直线l 的参数方程代入曲线C的角坐标方程得221(32)()422t +-+=，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=1222P t t t +==-． 设00(,)P x y，则0093(2241(224x y ⎧=+⨯-=⎪⎪⎨⎪=⨯-=-⎪⎩，即9(,4P ． 所以点P 到原点O2=．23．【答案】（1）2(,4][,)3-∞-+∞；（2）[4,10]-．【解析】（1）①当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--，由()2f x ≥解得4x ≤-；②当112x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=，由()2f x ≥解得23x ≥，∴213x ≤<； ③当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，∴1x ≥．综上可得()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞． （2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]， ∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立． 原式可变为21||3x x m x +--≥-即||4x m x -≤+， ∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[4,10]-．。

2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数字(文)试题1．已知集合{}2R x A y y x ，==∈，(){}lg 2B x y x ==-则A B =I （ ） A ．()02， B ．(]2-∞， C ．()2-∞， D ．(]02， 2．已知复数z 满足(2)5i z -=,则=z （ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+ 3．若抛物线的准线方程为7x =-, 则抛物线的标准方程为（ ）A ．228x y =-B ．228x y =C ．228y x =-D ．228y x =4．已知函数2(4),()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为A ．32B ．16C ．8D ．645．已知平面向量a v ，b v 的夹角为23π，且3a =v ，2b =v ，则(2)a a b ⋅-=v v v （ ） A ．3 B ．9 C ．12 D ．15 6．已知01a b c <<<<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．c c a b <B ．b a c c <C ．log log a b c c >D ．log log c c b a a b>7．直线l ：y x b =+与圆O ：221x y +=相交于A 、B 两点，则“1b =”是“AB =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．对任意x ∈R ，函数()y f x =的导数都存在，若()()0f x f x '+>恒成立，且0a >，则下列说法正确的是（ ）A ．()(0)f a f <B ．()(0)f a f >C ．()(0)a e f a f ⋅<D ． ()(0)a e f a f ⋅> 9．已知函数：①y=x 3+3x 2；②y =e x +e −x 2；③y =log 23−x 3+x ；④y=xsinx ，从中任取两个函数，则这两函数奇偶性相同的概率为（ ）211110．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．11．设F 为双曲线E ：2222x y 1(a,b 0)a b-=>的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆()222222x y c c a b +==+与E 在第一象限的交点是P ，且PF 1=，则双曲线E 的方程是( ) A ．22x y 162-= B ．22x y 126-= C ．22x y 13-= D ．22y x 13-= 12．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为i j a ,，例如3,29a =，4,215a =，5,423a =，若,2019i j a =，则i j +=（ ）A ．64B ．65C ．71D ．7213．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ， 7825a a -=，则11S =_________.14．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为______.15．已知α∈R ，sin 3cos αα+=tan 2+4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭_________ 16．设函数f(x)=x 2−2ax +15−2a 的两个零点分别为x 1,x 2，且在区间(x 1,x 2)上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围_______.17．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)设()()cos 2,g x f x x =-求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.18．如图，三棱锥D ABC -中，△ABC 是正三角形，DA =DC ． （Ⅰ）证明：AC ⊥BD ；（Ⅱ）已知090,2BAD AB AD ∠===，求点C 到平面ABD 的距离。

全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：2764630992020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（）A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A ．3()f x x x=+B ．()31x f x =-C ．1()f x x=-D ．3()log f x x=5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．下列说法正确的是（）①若//,//a b a c ，则b c ∥②若,a b αα⊥⊥，则a b∥班级姓名准考证号考场号座位号全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099③若,a a αβ⊥⊥，则αβ∥④若αβ⊥，b αβ= ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0ω>>A ，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把1()sin cos 22ωω=-g x x x 的图象上所有点（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是（）A ．420B ．420-C ．1680D ．1680-全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309910．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（）A．[2-B．[-C．[2-D．[4,2-+11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0=⋅BF AF 且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D．12．已知函数()()=--+x f x e a e ma x ，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)1,e-+∞B ．[,)-+∞e C ．[1,]e eD ．[1,]--e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309913．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA = ，||2OB = ，点C 为线段AB 的中点，若||2OC = ，则∠=AOB ．14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =．15．已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．16．已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan 2=B ，tan()2-=C A ．（1）求A ；（2）当=a ABC △的面积．全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309918．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点．（1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BE A --的余弦值．全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309919．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点(,33在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =，求直线l 的方程．20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099表：（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量Xx y =-，求X 的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数2()ln 1f x x a x =--，()a ∈R ．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（e 是自然对数的底数， 2.71828e = ）全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ．（1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：2764630992020届高三入学调研考试卷理科数学（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】120︒或23π14．【答案】48-15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y 16．【答案】514三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）45A =︒；（2）125．【解析】∵1tan tan()B C A =-，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=--cos()0C A B ⇒-+=，即cos(1802)0A ︒-=．∴cos 20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，则45A =︒．（2）∵1tan 2=B，∴sin B =∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin 2==a A，可得=b=c ，所以1112csin 22522==⋅=S b A ．18．【答案】（1）证明见解析；（2）14．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ，∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥．又1A D BD D = ，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ，所以平面AEB ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，B ，1(2,1,0)A，DB = ，(1,1,0)DE =-，1(2,1,BA = ，1(1,2,0)EA = ，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，则(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则11020200BA a b a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令1b =，则(2,1,=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n ，故二面角1D BE A --的余弦值为14．19．【答案】（1）2212x y +=；（2）22y x =±+．【解析】（1）依题意，得c b =，所以a ==，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点(,33代入，解得1b =，则a =所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m （1m >），则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，00Δk >⇒≠，122412km x x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++，因为PA AB = ，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k=+，所以221619(12)m k =+，解得272k =，即,22k m =±=，所求直线方程为22y x =±+．20．【答案】（1）220；（2）见解析．【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元，调整后应纳税：25003%75⨯=元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元，即个人的实际收入增加了220元．（2）由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人，当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或3,1x y ==时，2X =，当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：27646309922344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===，0434471(4)35C C P X C ===，所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=．21．【答案】（1）(,0]{2}-∞ ；（2）[0,)+∞．【解析】（1）2()ln 1f x x a x =--，22()2a x a f x x x x -'=-=．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x =由表可知，min ()f x f =，函数()f x在上递减，在)+∞上递增．（i1=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意；（ii1<，即02a <<时，(1)0f f <=，因为122()110a a a f e e e ---=+-=>，11a e -<，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099故存在11(a x e -∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意；（iii）当1>，即2a >时，(1)0f f <=，因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，则1()10h t t '=->，所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以1a ->，故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意；综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞ ．（2）()ln x g x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，2()x a g x e x''=-，[1,)x ∈+∞．①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增，又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--，所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意．综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】（1）221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2）211222d ≤≤．【解析】（1）222241:131x k k C y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=，全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos(4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以211222d ≤≤．23．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞．【答案】（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<，综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。

百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数122i z =-，21z i =+，则12z z =（ ） A. 2i B. 2i -C. 22i -D. 22i +【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数的除法计算得解. 【详解】由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知集合{|31}A x x =-<„，集合(){}2|lg 2B x y x==-，则A B =U （ ）A. [B. (C. [-D. (-【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合B,再求A B U 得解.【详解】由题得(B =， 因为{|31}A x x =-<„，所以(A B =-U 故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A .1336B.1736C.1936D.118【答案】D 【解析】 【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知实数,x y 满足2,2,0,y x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y -的最小值为（ ） A. 0 B. 2C. 2-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值. 【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系， 当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小. 所以min 022=-=-z . 故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，1222F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 7 ） A. 4 B. 8C.133+ D. 133+【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解. 【详解】由题得2c =172bc =，又222c a b =-，解得14b =4a =， 所以长轴长为8. 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ）A. (4,)+∞B. (,2)-∞C. (3,)+∞D. (3,4)【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞， 函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞. 故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A. 1升 B.32升 C.23升 D.43升 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解. 【详解】设竹子自下而上各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.8.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r（ ）A. 1124a b+r rB.1536a b+r rC.2233a b+r rD.1324a b+r r【答案】D【解析】【分析】取BC中点F，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC中点F，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA⎛⎫=+=+=+-=+⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1324a b=+r r. 故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. 3B. 2020C. 3030D. 1010【答案】C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．10.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A. A 来自1班 B. B 来自1班 C. C 来自3班 D. A 来自2班【答案】B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13e b f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以ln3114ln 3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b >>. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所） A. 48π B. 12πC. 36πD. 9π【答案】D 【解析】 【分析】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解.【详解】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是1ACB ∠或其补角.则2212210cos 52222ACB x ∠==⨯⨯+，所以1x =， 所以外接球的半径为2221312222++=， 所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______.【答案】00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14.已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=.故答案为：2【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设nan b =，则数列{}n b 的前10项和等于______.【答案】10231024【解析】 【分析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-.故答案：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为______.【解析】 【分析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解. 【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点， 所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知：()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-.（1）求cos B ；（2）若2AB =，D 为BC 边上的点，且2BD DC =，56ADC π∠=，求ADC V 的面积. 【答案】（1）35；（2【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b Ba C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =， 所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =. 又343sin sin 6BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124323sin 225ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V . 所以1121632ADC ABD S S +==V V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.如图，三角形DCF 所在平面垂直四边形ABCD 所在平面，2AB AD FC ===，5BC =，90ADC DAB FCD ∠=∠=∠=︒，,N P 分别为,AF BC 的中点.（1）证明：//PN 平面FDC ； （2）求棱锥A BDF -的高.【答案】（1）见解析；（2）41717【解析】 【分析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程 11417333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯=⨯⨯=V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ， 所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，5BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，2213FD FC CD +=，2222BD AD AB +=.3FB =，所以222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯.所以sin DBF ∠==，11sin 322BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得17h =.所以棱锥A BDF -. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】 【分析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ；在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为（1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【解析】 【分析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R 得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心, 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型. 21.函数21()ln ,a f x x a R x a=++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性； （2）设()2ag x x=+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x-'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性； （2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a =++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a ==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l的最大距离为l 的直角坐标方程.【答案】（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=.（2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=. 设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）.①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩，1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞. （2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。

2020届全国名师联盟高三第一次模拟考试文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。

1. 若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B等于( )A． {x|－3＜x＜2} B． {x|－5＜x＜2} C． {x|－3＜x＜3} D． {x|－5＜x ＜3}2. 如果集合A＝{x|mx2－4x＋2＝0}中只有一个元素，则实数m的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 D． 0或23. 下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题序号为( )A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4. 命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否定为( )A．若x2＋y2＝0，则x≠0且y≠0 B．若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0C．若x2＋y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2＋y2≠0，则x≠0或y≠05. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝6. 函数y＝的图象大致是( )7.已知，，则a,b,c的大小关系是( )A． B． C． D．8. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝09. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－110. 已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为( )A．(－24,8) B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)11. 设函数则不等式的解集是（）A．B．C．D．12. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：共4小题，每小题5.0分，共20分13. 已知条件p：x2＋2x＞3，条件q：x＞a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．14. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.15. 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为________________．16. 函数f(x)＝x2e x在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值范围为______________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考文科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A. {}1,2 B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合{}13A x x =-<<，{}0,1,2,3B =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//b α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，可知需要次数为4次. 故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A. 30B. 312C. 152D. 62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：11121142162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩， 因此552(12)312S -==.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6.函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A. {}1,2,3 B. {}6,7,8C. {}1,2,3,4,5D. {}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9.若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A. b c a >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)0,1D. (]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A.12B.45C.38D.34【答案】C 【解析】 【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x yy x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. y x =C. =±y xD. )1=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设22,AB AF m BF ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(4(41b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)1=±y x .故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知i r ，j r 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+r r r a i j ，b j =r r ，则a r 与b r的夹角为__________.【答案】45︒ 【解析】【分析】首先求出a r 与b r 的数量积，然后直接根据a r 与b r的夹角公式求解即可. 【详解】由题知=+r r r a i j ，b j =r r，有()1a b i j j ⋅=+⋅=r r r r r，所以cos ,2a b a b a b ⋅===r rr r r r ，所以cos ,45a b =︒r r.故答案为：45︒.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数()()(sin 0,02)f x x ωϕωϕπ=+>≤<满足：①()f x 是偶函数；②()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.则同时满足①②的ω，ϕ的一组值可以分别是__________. 【答案】32，π2【解析】 【分析】根据()f x 是偶函数和()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可求出满足条件的ω和ϕ. 【详解】由()f x 是偶函数及0πϕ≤<2，可取π2ϕ=， 则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，得πππ32k ω⨯=+，k Z ∈，即332k ω=+，k Z ∈，可取32ω=.故ω，ϕ的一组值可以分别是32，π2. 故答案为：32，π2. 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 【答案】12【解析】 【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,a c 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ， 因为地球半径为R ,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R ,4R , 可得423a c R Ra c R R +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得105,33a R c R ==， 所以椭圆的离心率为5131023R c e a R ===. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,a c 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π【解析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB所以球的表面积为254π5π2⎛= ⎝⎭.35π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2A Cb A Bc ++=. （1）求B ； （2）若ABCV 38，求b .【答案】（1）π3B =；（2）134b = 【解析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin2A Cb A Bc ++=，再通过二倍角公式即可求出B Ð； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2B bC c =， 结合正弦定理，得sin cos 2BB =， 由π022B <<及二倍角公式，得1sin 22B =， 即π26B =，故π3B =；（2）由题设，得1sin 2ac B =4ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()22812b b =--， 解得134b =. 【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率； （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i xx y ====∑∑.【答案】（1）35；（2）ˆ0.640 1.520y x =+；（3）利润约为111.2万元.【解析】 【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y 和养殖量x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润. 【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份， 则5个月份任意选取3个月份的基本事件有()2,3,4，()2,3,5，()2,3,6，()2,4,5，()2,4,6，()2,5,6，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()4,5,6，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为63105P ==； （2）7x =，6y =，2379.587643.5ˆ0.6404608768b-⨯⨯==≈-⨯， ˆ60.6407 1.520a=-⨯=， 故ˆ0.640 1.520yx =+； （3）当15x =千只，ˆ0.64015 1.52011.12y =⨯+=（十万元）111.2=（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】 【分析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可；（2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积. 【详解】（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ； （2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ，由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO = 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形，所以1111123348333A BCCB V OA BC B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =. （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)21y x =±-【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m 的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N 坐标，然后设直线n 的方程求出点M 的坐标，最后利用O 、M 、N 、F 四点共圆即可求出直线m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线F 的方程为24y x =；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +，因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--，由()11x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=u u u u r u u u r ，解得t =，所以直线m的方程为)1y x =-. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题. 21.已知函数2()126ln af x x a x x=+--存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数） 【答案】（1）4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()e,+∞. 【解析】 【分析】（1）首先对函数()f x 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a 的取值范围； （2）首先求出()()12f x f x +的值，再根据()()1226f x f x e <-+求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为是()0,∞+，()222262622a a x ax af x x x x -+'=+-=， 若()f x 有两个极值点，则方程22620x ax a -+=一定有两个不等的正根， 设为1x 和2x ，且12x x <，所以2121236160300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩解得49>a ，此时()()()1222x x x x f x x--'=， 当10x x <<时，()0f x '>， 当12x x x <<时，()0f x '<， 当2x x >时，()0f x '>，故1x 是极大值点，2x 是极小值点， 故实数a 的取值范围是4,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）由（1）知，123x x a +=，12x x a =， 则()()1211221222126ln 126ln a af x f x x a x x a x x x +=+--++--， ()()121212122226ln a x x x x a x x x x +=++--，232236ln 26ln a aa a a a a a⋅=+⨯--=-， 由()()1226e f x f x +<-，得26ln 26e a a -<-，即ln e a a >， 令()4ln 9g a a a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，考虑到()e elne e g ==， 所以ln e a a >可化()()e g a g >，而()411ln 1ln1ln 09eg a a '=+>+>+=， 所以()g a 在4,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，由()()e g a g >，得e a >， 故实数a 的取值范围是()e,+∞.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为221122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +--=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ-=， 故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中， 必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭（2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则OMN V 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题. 23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥+++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案； 法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论． 【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号），所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤， 故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数， 所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1422⎡≥+=⎣故不等式11222a b b c+≥+++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=（ ） A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=（ ）A.22.B.2C.2D.84.若函数f(x)=122+-x x a的图像关于y 轴对称, 则常数a=（ ）A.-1B.1C. 1或-1D.05.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加; (2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是双曲线1322=-py p x 的一个焦点,则p=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数xx x y 2)(3⋅-=的图象大致是（ ）8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。

2020届高三第一次统一测试文科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{1,2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4,5},{3,4,5,6,7},U P Q === ()U P C Q I 则=（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,6,7}D ．{1,2,3,4,5}2. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25B C ．5D ．173. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－36 4．已知向量)3,1(-=→a ，)2,0(-=→b ，则→a 与→b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．5π6 D ．2π35()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．773 B ．37 C ．77 D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>>B ．c a d b >>>C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( )A.55B. 255C.45D.359．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．310.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.5π6C.π3D.π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB.)1,2(-C.)2,1(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12.若关于x 的方程32230x x a -+=在区间[2,2⎤-⎦上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为（ ） A. [4,0⎤-⎦ B. [)(]4,01,28-⋃ C.](1,28 D. [)4,0(1,28)-⋃（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a ⋅=，21a =，则1a =______．15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本小题满分12分）设数列{}()123n a n =⋯，，，的项满足关系12(2)n n a a n -=≥，且1a ，21a +，3a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin = （1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。

2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试卷(含答案)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 1＝2－2i ，z 2＝1＋i ，则12z z = A.2i B.－2i C.2－2i D.2＋2i2.已知集合{31}A x x =-<≤，集合2{lg(2)}B x y x ==-，则A B =A.[B.(C.[-D.(-3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.59 4.已知实数x ，y 满足220y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则x －y 的最小值为A.0B.2C.－2D.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2为其左右焦点，12F F =，B 为短轴的一个端点，三角形BF 1O(O 为坐标原点)，则椭圆的长轴长为A.4B.8C.12D.1+6.函数212()log (68)f x x x =--+的单调递增区间为A.(4，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(3，4)7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.23升C.32升D.43升 8.如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 9.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.101010.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，下来推断正确的为A.A 来自1班B.B 来自1班C.C 来自3班D.A 来自2班11.已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。