东北三省三校(哈师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，那么A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，那么数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．24．（5分）与椭圆C：共核心且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，那么以下命题正确的选项是（）A．假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α∥β；B．假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l∥m；C．假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么m∥n；D．假设α⊥β，β⊥γ，那么α∥β．6．（5分）执行如下图的程序框图，假设p=0.9，那么输出的n为（）A．6B．5C．4D．37．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部份后所得，该几何体三视图如下图，那么该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+8．（5分）设点（x，y）知足约束条件，且x∈Z，y∈Z，那么如此的点共有（）个A．12B．11C．10D．99．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，那么弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．410．（5分）分形理论是现今世界十分盛行和活跃的新理论、新学科．其中，把部份与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或物理进程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无穷精细的结构，也确实是说，在分形中，每一组成部份都在特点上和整体相似，只仅仅是变小了一些罢了．谢尔宾斯基三角形确实是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，依照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，那么当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．109311．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，那么的最小值为（）A．9B．C．D．12．（5分）假设函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，那么a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]二、填空题（此题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2021+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，假设x≥4的概率是，那么实数a的值为．15．（5分）当前的运算机系统多数利用的是二进制系统，数据在运算机中要紧以补码的形式存储，运算机中的二进制那么是一个超级微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．那么将十进制下的数168转成二进制的数是．（2）16．（5分）已知函数f（x）为概念域为R的偶函数，且知足f（+x）=f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x．假设函数F（x）=f（x）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为．三、解答题（共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17-21题为必考题，第2二、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设f（）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（总分值150分），现有甲乙两位同窗的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）依照茎叶图求甲乙两位同窗成绩的中位数，并将同窗乙的成绩的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较甲乙两位同窗数学成绩的平均值及稳固程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同窗的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩别离属于不同的同窗”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，别离取边AB，AC的中点D，E，将△ADE 沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N知足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，别离过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及现在的直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）假设k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）假设k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，那么A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}={x|x＜﹣或x＞}，∴A∩B={2，4}．应选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i【解答】解：（|2i|+3i）i=（2+3i）i=﹣3+2i．应选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，那么数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a5+a7=15，即3a5=15，得a5=5．又a2=2，∴．应选：B．4．（5分）与椭圆C：共核心且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．【解答】解：依照题意，椭圆C：的核心为（0，±2），那么要求双曲线的核心在y轴上，且c=2，设其方程为﹣=1，那么有a2+b2=4，又由双曲线的渐近线为y=，那么有=，解可得a2=3，b2=1，那么双曲线的标准方程为：﹣x2=1；应选：D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，那么以下命题正确的选项是（）A．假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α∥β；B．假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l∥m；C．假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么m∥n；D．假设α⊥β，β⊥γ，那么α∥β．【解答】解：在A中，假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α与β相交或平行，故A错误；在B中，假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l与m平行或异面，故B错误；在C中，假设α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，那么由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，假设α⊥β，β⊥γ，那么α与β相交或平行，故D错误．应选：C．6．（5分）执行如下图的程序框图，假设p=0.9，那么输出的n为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：执行如下图的程序框图，有P=0.9，n=1，S=0，知足条件S＜P，有S=，n=2；知足条件S＜P，有S=+，n=3；知足条件S＜P，有S=++，n=4；知足条件S＜P，有S=+++=，n=5；不知足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．应选：B．7．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部份后所得，该几何体三视图如下图，那么该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F﹣BGE，那么该几何体的表面积为=18+．应选：B．8．（5分）设点（x，y）知足约束条件，且x∈Z，y∈Z，那么如此的点共有（）个A．12B．11C．10D．9【解答】解：点（x，y）知足约束条件的可行域如图：的三角形ABC区域，可知x∈Z，y∈Z，那么如此的点共有12个．应选：A．9．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，那么弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．4【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R），∴（x﹣2）+（y+2）m=0，∴动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）过定点M（2，﹣2），∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心C（1，﹣2），半径r==3，d=|MC|==1，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，∴弦AB的最短距离为：2=2=4．应选：D．10．（5分）分形理论是现今世界十分盛行和活跃的新理论、新学科．其中，把部份与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或物理进程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无穷精细的结构，也确实是说，在分形中，每一组成部份都在特点上和整体相似，只仅仅是变小了一些罢了．谢尔宾斯基三角形确实是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，依照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，那么当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．1093【解答】解：当n=1时，去掉1个白三角形，a1=1，当n=2时，去掉4个白三角形，a2=4，那么a2﹣a1=3=31=32﹣1，当n=3时，去掉13个白三角形，a3=13，那么a3﹣a2=9=32=33﹣1，当n=4时，去掉40个白三角形，a4=40，那么a4﹣a3=27=33=34﹣1，当n=5时，去掉121个白三角形，a5=121，那么a5﹣a4=81=34=35﹣1，由归纳法得当n=6时，去掉364个白三角形，a6=364=35=36﹣1．应选：C．11．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，那么的最小值为（）A．9B．C．D．【解答】解：依照题意，正三角形ABC中，AB=3，那么AB=BC=3，D是AC上的动点，设=m+n，同时有m+n=1，且m＞0，n＞0，=（m+n）•=m2+n•=9m+，又由m+n=1，且m＞0，n＞0，则=9m+=9（1﹣n）+=9﹣，分析可得：当n=1时，取得最小值；应选：D．12．（5分）假设函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，那么a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]【解答】解：函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx，f′（x）=3﹣2sin2x﹣asinx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为3﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx（﹣1≤t≤1），即有2t2+at﹣3≤0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，a≤﹣2t，由y=﹣2t在（0，1]递减，可得t=1时，取得最小值1，可得a≤1；当﹣1≤t＜0时，a≥﹣2t，由y=﹣2t在[﹣1，0）递减，可得t=﹣1时，取得最大值﹣1，可得a≥﹣1综上可得a的范围是[﹣1，1]，应选：A．二、填空题（此题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2021+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为（2021，2018）．【解答】解：由题意，依照指数函数的性质，令x﹣2021=0，可得x=2021，带入求解y=2018，∴函数f（x）过的定点坐标为（2021，2018）故答案为：（2021，2018）．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，假设x≥4的概率是，那么实数a的值为8．【解答】解：由题意得：=，解得：a=8，故答案为：8．15．（5分）当前的运算机系统多数利用的是二进制系统，数据在运算机中要紧以补码的形式存储，运算机中的二进制那么是一个超级微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．那么将十．进制下的数168转成二进制的数是（2）【解答】解：168÷2=84 084÷2=42 042÷2=21 021÷2=10 (1)10÷2=5 05÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0…1；∴168（10）=（2）．故答案为：（2）．16．（5分）已知函数f（x）为概念域为R的偶函数，且知足f（+x）=f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x．假设函数F（x）=f（x）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为5．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（）=f（﹣x）=f（x﹣），∴f（x）的周期为T=2，作出f（x）的函数图象如下图：由图象可知f（x）的图象关于点（，）对称．令F（x）=0可得f（x）==+，令g（x）=，显然g（x）的函数图象关于点（，）对称．作出g（x）在（，10]上的函数图象如下图：由图象可知f（x）与g（x）在（，10]上有5个交点，依照对称性可知在[﹣9，]上也有5个交点，∴F（x）在[﹣9，10]上的所有零点之和为5×1=5．故答案为：5．三、解答题（共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第17-21题为必考题，第2二、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设f（）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．【解答】（本小题总分值12分）解：（I）函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1=sin2x+cos2x﹣3（cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=4sin（2x﹣）令2x﹣=kπ，k∈Z．可得：x=∴对称中心（，0）（k∈Z），最小正周期T=．（Ⅱ）由f（）=，即4sin（﹣）=可得：a=3．由正弦定理：，∴sinA=由：acosB+bsinB=c，可得sinAcosB+sinBsinB=sinC．∵A+B+C=π∴sinAcosB+sinBsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．即sinBsinB=cosAsinB．∵0＜B＜π，sinB≠0．那么：sinB=cosA＞0．∴sinB=cosA==．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（总分值150分），现有甲乙两位同窗的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）依照茎叶图求甲乙两位同窗成绩的中位数，并将同窗乙的成绩的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较甲乙两位同窗数学成绩的平均值及稳固程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同窗的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩别离属于不同的同窗”，求事件A发生的概率．【解答】解：（I）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……（4分）（II）从茎叶图能够看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同窗的成绩比甲同窗的成绩更稳固集中．……（8分）（III）甲同窗的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同窗的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e现从甲乙两位同窗的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：（a，b），（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（d，e）共10种，其中2个成绩分属不同同窗的情形有：（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）共6种因此事件A发生的概率P（A）=．……（12分）19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，别离取边AB，AC的中点D，E，将△ADE 沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N知足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取A1E中点F，连接MF，CF，∵M为棱A1D的中点，∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点，那么DE∥BC，且DE=，∴MF∥BC，MF∥NC且MF=，∴四边形MFCN为平行四边形……（4分）∴MN∥FC，……（5分）∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，∴MN∥平面A1EC．……（6分）（Ⅱ）取BD中点H，连PH．∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD，∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE，∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE，∴PH为三棱锥P﹣NCE的高．……（9分）∴PH=，S．∴V N=V P﹣NCE==……（12分）﹣PEC20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，别离过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及现在的直线l的方程．【解答】证明：（Ⅰ）设A，B的坐标别离为A（x1，y1），B（x2，y2），由消y得x2﹣8kx﹣8=0，方程的两个根为x1，x2，∴△=4p2k2+4p2＞0恒成立，x1+x2=8k，x1x2=﹣8，∵A，B在抛物线C上，∴y1=，y2=，∴y1y2==1，∴=x1x2+y1y2=﹣8+1=﹣7为定值．解（Ⅱ）由x2=8y即y=x2，∴y′=x，∴k AP=x1，k BP=x2，∴直线AP的方程为：y﹣=x1（x﹣x1）即y=x1x﹣x12，①同理直线BP的方程为y=x2x﹣x22，②由①②得2x（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2），而x1≠x2，故有x==4k，y==﹣1，即点P（4k，﹣1），∴|AB|=•=•=4•，点P（4k，﹣1）到直线l：y=kx+1的距离d=，∴S=|AB|•d=4（2k2+1），△ABP∵k2＞1，∴当k2=0时，即k=0时S△ABP有最小值为4，现在直线方程l为y=1．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）假设k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）假设k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题总分值12分）解：（Ⅰ）k=1时，g（x）=lnx﹣x的概念域为（0，+∞），．……（1分）令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，因此g（x）在（0，1）上是增函数，（1，+∞）上是减函数．……（4分）（Ⅱ）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，因此a≥．……（5分）令h（x）=，那么．……（6分）令p（x）=﹣lnx﹣x，，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）=1﹣，p（1）=﹣1＜0，故存在x0∈（，1），使得p（x0）=﹣lnx0﹣x0=0，故lnx0+x0=0，即．当x∈（0，x0）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，h′（x）＜0；∴h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，……（9分）∴h（x）max=h（x0）==1，……（11分）故a的取值范围是[1，+∞）．……（12分）请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的一般方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai +=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．12- D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ）A ．512πB ．712πC ．924π1D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ） A 5B ．72C ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x xx <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E的（ ）条切线A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为 ．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nSn n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}na 和{}nb 的通项公式；（2）数列{}nc 中，11c a =，且1nn ncc T +=-，求{}nc 的通项nc ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，1==．PA AB（1）证明：//EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数2()45xaf x xx e =-+-（a R ∈）．（1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围； （2）设()()xg x ef x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m>），求证：122x xm+<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）． （1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.32242-三、解答题17.解：（1）∵21nSn n =-+，∴令1n =，11a=，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与na （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}nb 为等比数列，222b a ==，458ba ==，∴2424bq b==，∴2q =，∴11b =，∴12n nb-=． （2）122112nn n T -==--，∵12121cc -=-，23221cc -=-，…，1121n nn cc ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---，111c a ==，∴121n nc n -=--， ∴21n nc=-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人． 设第2组中恰好抽取2人的事件为A ， 则1223353()5C C P A C ==．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===，所以X 的分布列为：X0 123P 1125 121254812564125∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ， 设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-， 则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-，设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-， 则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =， 12121257cos ,||||142n n n n n n ⋅<>===⋅⨯所以平面EFC 与平面PDC 5720.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412cc +=，∴21c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690my my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y ym -+=+，122934y ym -=+， 有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 的距离为21m +点(2,0)Q 到直线l 的距离为21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令21t m =+，1t ≥，有22431tS t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t=->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313tS t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xa f x x e =-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈，∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max()(1)2h x h e ==，∵max(42)xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞． （2）∵2()()(45)xx g x ef x x x e a==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞， ∴122221122(45)(45)2(45)2x x m xx e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)x x mxx e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx xx e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0xx x eϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m xm xF x m x em x e +-=+----，∵0x >， ∴0m xm x ee +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增， ∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞， 令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>，又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增， ∴122m xx ->，即122x xm+<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，3ρ= ∴所求交点的极坐标(23,)6π．（2）设(,)P ρθ，0(,)Q ρθ且04cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP=，得02,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈．23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立； 当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)上单调递增，当322x -≤≤-时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2--上单调递减， 所以min()(2)g x g =-2230m =+≥，所以223m ≥-，当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min335()()026g x g m =-=+≥，所以356m ≥-， 综上，223m ≥-．。

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）集合A={x||x|≤2，x∈N*}，B={y|y=x2，x∈R}，那么A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）已知复数z知足（1+i）z=|2i|，i为虚数单位，那么z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i3．（5分）在以下向量中，能够把向量表示出来的是（）A．，B．，C．，D．，4．（5分）在区间（0，3）上任取一个实数x，那么2x＜2的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）抛物线y=4x2的核心到准线的距离为（）A．2B．1C．D．6．（5分）已知a，b都是实数，p：直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切；q：a+b=2，那么p是q的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件7．（5分）如下图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图假设输出的a=4，那么输入的a，b不可能为（）A．4，8B．4，4C．12，16D．15，188．（5分）已知函数，那么以下说法不正确的选项是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）向左平移个单位长度后图象关于原点对称C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于对称9．（5分）函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如下图是一个三棱锥的三视图，那么此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线的两条渐近线与直线别离交于A，B两点，F 为该双曲线的右核心，假设60°＜∠AFB＜90°，那么该双曲线离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，g（x）=|a﹣1|cosx（x∈R），假设对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2），那么实数a的取值范围为（）A．[0，2]B．RC．[﹣2，0]D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）假设直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，那么直线l与平面α的位置关系为．14．（5分）假设实数x，y知足不等式组，那么的取值范围是．15．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句实话．甲说：是乙做的．乙说：不是我做的．丙说：不是我做的．那么做好事的是．（填甲、乙、丙中的一个）16．（5分）△ABC中，BC=2，，那么△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求．18．（12分）中国政府实施“互联网+”战略以来，电话作为客户端愈来愈为人们所青睐，通过电话实现衣食住行消费已经成为一种要紧的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时期已经到来．在某闻名的夜市，随机调查了100名顾客购物时利用电话支付的情形，取得如下的2×2列联表，已知其中从利用电话支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为．（1）依照已知条件完成2×2列联表，并依照此资料判定是不是有99.5%的把握以为“市场购物用电话支付与年龄有关”？（2）现采纳分层抽样从这100名顾客中依照“利用电话支付”和“不利用电话支付”中抽取取得一个容量为5的样本，设事件A为“从那个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不利用电话支付的”，求事件A发生的概率？P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k0 3.841 5.024 6.6357.8792×2列联表青年中老年合计使用手机支付60不使用手机支付24合计100附：19．（12分）已知圆锥SO，SO=2，AB为底面圆的直径，AB=2，点C在底面圆周上，且OC⊥AB，E在母线SC上，且SE=4CE，F为SB中点，M为弦AC中点．（1）求证：AC⊥平面SOM；（2）求四棱锥O﹣EFBC的体积．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆C的左、右核心，M为椭圆C上的任意一点，△MF1F2的面积的最大值为1，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，直线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线AE过定点．21．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+ax，x∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）假设函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，求实数a的取值集合．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞x﹣1的解集；（2）假设f（x）＞|a﹣1|关于x∈R恒成立，求实数a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）集合A={x||x|≤2，x∈N*}，B={y|y=x2，x∈R}，那么A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={x||x|≤2，x∈N*}={x|﹣2≤x≤2，x∈N*}={1，2}，B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，那么A∩B={1，2}．应选：C．2．（5分）已知复数z知足（1+i）z=|2i|，i为虚数单位，那么z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i【解答】解：∵（1+i）z=|2i|=2，∴z====1﹣i，应选：A．3．（5分）在以下向量中，能够把向量表示出来的是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：依照平面向量的大体定理可知，作为平面向量基底的一组向量必需为非零不共线向量，而A中的为零向量，不符合条件；C，D中的两组向量均为共线向量，不符合条件；应选：B．4．（5分）在区间（0，3）上任取一个实数x，那么2x＜2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知区间（0，3）上任取一个实数x，对应集合的区间长度为3，而知足2x＜2的x＜1，对应区间长度为1，因此所求概率是；应选：C．5．（5分）抛物线y=4x2的核心到准线的距离为（）A．2B．1C．D．【解答】解：抛物线的标准方程x2=y，那么核心坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴核心到准线的距离d=P=，应选：D．6．（5分）已知a，b都是实数，p：直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切；q：a+b=2，那么p是q的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件【解答】解：假设直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，那么圆心（a，b）到直线的距离d==，即|a+b|=2，那么a+b=2或a+b=﹣2，即p是q的必要不充分条件，应选：B．7．（5分）如下图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图假设输出的a=4，那么输入的a，b不可能为（）A．4，8B．4，4C．12，16D．15，18【解答】解：依照题意，执行程序后输出的a=4，那么执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是4，分析选项中的四组数，不知足条件的是选项D．应选：D．8．（5分）已知函数，那么以下说法不正确的选项是（）A．f（x）的一个周期为2πB．f（x）向左平移个单位长度后图象关于原点对称C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于对称【解答】解：函数，关于答案：A、函数的最小正周期为2π，故正确．C、当x时，，故正确．D，当时，x+，函数取最小值，故正确．关于C、将函数的图象向右平移个单位，图象关于原点对称．而答案是：f（x）向左平移个单位长度后图象关于原点对称．故错误．应选：B．9．（5分）函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，应选：C．10．（5分）如下图是一个三棱锥的三视图，那么此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为1，三棱锥的底面为等腰直角三角形，将其扩充为长方体，对角线长为=，三棱锥的外接球的半径为，体积为•=π，应选：C．11．（5分）设双曲线的两条渐近线与直线别离交于A，B两点，F 为该双曲线的右核心，假设60°＜∠AFB＜90°，那么该双曲线离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为y=±x，时，y=±，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴＜k FB＜1，∴＜＜1，∴＜＜1，∴＜＜1，∴1＜e2﹣1＜3，∴＜e＜2．应选：C．12．（5分）已知函数，g（x）=|a﹣1|cosx（x∈R），假设对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2），那么实数a的取值范围为（）A．[0，2]B．RC．[﹣2，0]D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【解答】解：对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，函数，注意到f（x）max=f（1）=﹣1，又g（x）=|a﹣1|cosx≥﹣|a﹣1|，故﹣|a﹣1|≥﹣1，解得0≤a≤2，应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）假设直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，那么直线l与平面α的位置关系为l∥α或l ⊂α．【解答】解：∵直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，∴由直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理得：直线l与平面α的位置关系为l∥α或l⊂α．故答案为：l∥α或l⊂α．14．（5分）假设实数x，y知足不等式组，那么的取值范围是[﹣5，﹣2] ．【解答】解：作出实数x，y知足不等式组对应的平面区域如图：其中B（1，2），C（0，1）z=的几何意义，即动点P（x，y）与定点Q（2，﹣3）连线斜率的取值范围，由图象可知QB直线的斜率k==﹣5．直线QC的斜率k==﹣2，因此那么的取值范围是：[﹣5，﹣2]故答案为：[﹣5，﹣2]．15．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句实话．甲说：是乙做的．乙说：不是我做的．丙说：不是我做的．那么做好事的是丙．（填甲、乙、丙中的一个）【解答】解：假设做好事的是甲，那么甲说的是假设，乙和丙说的都是实话，不合题意；假设做好事的是乙，那么甲和丙说的是实话，乙说的是谎话，不合题意；假设做好事的是丙，那么甲和丙说的是谎话，乙说的是实话，符合题意．综上，做好事的是丙．故答案为：丙．16．（5分）△ABC中，BC=2，，那么△ABC面积的最大值为2．【解答】解：设AC=x，那么：AB=x．依照三角形的面积按公式，=xsinC=x，由余弦定理得：，=x=，故：S△ABC依照三角形的三边关系：，解得：，故：当x=2时，．故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（23n+1﹣2）﹣（23n﹣2﹣2）=23n﹣2，当n=1时，a1=S1=23×1﹣2，符合上式∴a n=23n﹣2，（n∈N*）．（2）由（1）得b n=log2a n=3n﹣2，∴==（﹣），∴=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）= 18．（12分）中国政府实施“互联网+”战略以来，电话作为客户端愈来愈为人们所青睐，通过电话实现衣食住行消费已经成为一种要紧的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时期已经到来．在某闻名的夜市，随机调查了100名顾客购物时利用电话支付的情形，取得如下的2×2列联表，已知其中从利用电话支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为．（1）依照已知条件完成2×2列联表，并依照此资料判定是不是有99.5%的把握以为“市场购物用电话支付与年龄有关”？（2）现采纳分层抽样从这100名顾客中依照“利用电话支付”和“不利用电话支付”中抽取取得一个容量为5的样本，设事件A为“从那个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不利用电话支付的”，求事件A发生的概率？P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k0 3.841 5.024 6.6357.8792×2列联表青年中老年合计使用手机支付60不使用手机支付24合计100附：【解答】（本小题总分值12分）解：（1）∵从利用电话支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为∴利用电话支付的人群中的青年的人数为人，那么利用电话支付的人群中的中老年的人数为60﹣42=18人，因此2×2列联表为：青年中老年合计421860使用手机支付162440不使用手机支付合计5842100K2的观测值∵8.867＞7.879，P（K2≥7.879）=0.005，故有99.5%的把握以为“市场购物用电话支付与年龄有关”．（2）这100名顾客中采纳分层抽样从“利用电话支付”和“不利用电话支付”中抽取取得一个容量为5的样本中：利用电话支付的人有人，记编号为1，2，3，不利用电话支付的人有2人，记编号为a，b，那么从那个样本中任选2人有（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（2，3）（2，a）（2，b）（3，a）（3，b）（a，b）共10种其中至少有1人是不利用电话支付的（1，a）（1，b）（2，a）（2，b）（3，a）（3，b）（a，b）共7种，故．19．（12分）已知圆锥SO，SO=2，AB为底面圆的直径，AB=2，点C在底面圆周上，且OC⊥AB，E在母线SC上，且SE=4CE，F为SB中点，M为弦AC中点．（1）求证：AC⊥平面SOM；（2）求四棱锥O﹣EFBC的体积．【解答】（本小题总分值12分）（Ⅰ）证明：∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AC，又∵点M是圆O内弦AC的中点，∴AC⊥MO，又∵SO∩MO=O∴AC⊥平面SOM（Ⅱ）∵SO⊥平面ABC，SO为三棱锥S﹣OCB的高，∴而V O与V O﹣SCB等高，，﹣EFBC∴因此，20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆C的左、右核心，M为椭圆C上的任意一点，△MF1F2的面积的最大值为1，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，直线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线AE过定点．【解答】（本小题总分值12分）解：（1）∵，∵当M为椭圆C的短轴端点时，△MF1F2的面积的最大值为1，∴，而a2=b2+c2∴故椭圆C标准方程为：（2）证明：设B（x1，y1），E（x2，y2），A（x1，﹣y1），且x1≠x2，∵，∴P（2，0）由题意知BP的斜率必存在，设BP：y=k（x﹣2），代入得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△＞0得，∵x1≠x2∴AE斜率必存在，AE：由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上，那么当y=0时，得=即在的条件下，直线AE过定点（1，0）．21．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+ax，x∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）假设函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，求实数a的取值集合．【解答】（本小题总分值12分）解：（1）f'（x）=﹣12x2+a．当a=0时，f（x）=﹣4x3在R上单调递减；当a＜0时，f'（x）=﹣12x2+a＜0，即f（x）=﹣4x3+ax在R上单调递减；当a＞0时，f'（x）=﹣12x2+a.时，f'（x）＜0，f（x）在上递减；时，f'（x）＞0，f（x）在上递增；时，f'（x）＜0，f（x）在上递减；综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在上递减；在上递增；上递减．（2）∵函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1．即对任意x∈[﹣1，1]，f（x）≤1恒成立．亦即﹣4x3+ax≤1对任意x∈[﹣1，1]恒成立．变形可得，ax≤1+4x3．当x=0时，a•0≤1+4•03即0≤1，可得a∈R；当x∈（0，1]时，．那么令，那么．当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．因此，，∴a≤3．当x∈[﹣1，0）时，．那么令，那么．当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＜0，因此，g（x）max=g（﹣1）=3，∴a≥3．综上，a=3，∴a的取值集合为{3}．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2别离对应点P，Q，∴|AP|•|AQ|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=|﹣3|=3，即|AP|•|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|．（1）求不等式f（x）＞x﹣1的解集；（2）假设f（x）＞|a﹣1|关于x∈R恒成立，求实数a的范围．【解答】（本小题总分值10分）解：（1）|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1等价于或或别离解得或无解或综上：不等式的解集为．（2）f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|≥|（2x﹣5）﹣（2x+1）|=6当且仅当（2x﹣5）（2x+1）≤0，即时f（x）有最小值6，∴|a﹣1|＜6，∴﹣6＜a﹣1＜6，∴﹣5＜a＜7即a∈（﹣5，7）．。

2018年高三第一次联合模拟考试英语试卷第I 卷第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

A21. Which part may be the last choice for travelling in August?A．Asia. B．Africa. C．Southern Europe. D．Southern America.22. Besides climate,__________ can contribute to your disappointment when travelling.A．hotel prices B．peaceful environmentC．transportation expenses D．troublesome holidaymakers23. What does the underlined word “invade”in the part “in Europe” mean?A．Immigration to. B．Visit separately.C．Enter in large numbers. D．Attack and occupy.BLet me tell you about my relationship with the school desk. From my first day at Penny Camp Elementary School in 1982,it was terrible. This is how it went down: five seconds into class, the foot start bouncing;10 seconds in, both feet; 15 seconds, I burst out the drums ! After a few minutes, it’s all over. I’m trying to put my leg behind my neck. No, that desk and I didn’t get along.Sitting still was hard enough, but I also struggled with reading. Reading out loud in class was a special kind of hell(地狱).By the third grade I had progressed from being one of “those kids” to being the “special kid”. I was found to have multiple language-based learning disabilities and attention deficit disorder (A.D.D) (注意力缺陷障碍症). I was turned into a “patient” who needed treatment rather than a human being with differences. I struggled with severe anxiety and depression at age 10.I survived this time in my life because of my mom. She knew in her heart that her child wasn’t broken and didn’t need to be fixed. My mom was right. When I think back on my school experience. I realize it wasn’t the A.D.D. that disabled me. What disabled me were limitations not in myself but in the environment. I’ve come to believe that I did not have a disability, as it is common to say, but experienced disability in environments that could not accommodate and accept my differences.哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学In the fall of 1977,after two years at Loyola Marymount University, where my learning differences were fully accommodated, I transferred to(转学)Brown University, where I graduated with an honors degree in English literature. I still can’t spell or sit still, but I now use support and technology to relieve my weakness and build a life on my strengths. I don’t feel stupid anymore and I know that I—and others like me—can live good lives despite these challenges.24. What does the author want to tell us in the first paragraph?A. He didn’t like to study.B. He used to be active at school.C. He suffered from a broken desk.D. He had trouble sitting still in class.25. How did the author probably feel in class in his early school years?A. Exited.B. Uneasy.C. Interested.D. Bored.26. Which of the following is correct according to the last paragraph?A. He is living a good life with his weakness.B. His disability has been cured by technology.C. He got his honors degree in English literature in the fall of 1997.D. He was transferred to Brown University because of his disability.27. From the passage we learn that__________.A. a disability is nothing but a differenceB. family’s support is the most importantC. disabled people can’t live well however hard they workD. sometimes limitations of the environment disable a personCIt’s the oldest trick in the book: threaten the kids with a piece of coal, and they’ll behave in the name of Santa Claus. Some people say that parents are purposely taking in their kids by lying to them about Santa. Is it purposely cheating or playing along with the fantasy? There are always those stories about the kindergarten teacher or parent who would tell the kids there’s no Santa Claus, and they’d all start crying on the lost dreams. But if another teacher goes into a third-grade class and says there is a Santa Claus, they’ll all laugh at her.What I say is that if they’re at the age when they’re still believing, why bother to end it?Then how long should parents pretend? Studies indicate that after eight,75 percent of kids don’t believe. That’s the first “S” word that parents have to deal with—it’s not sex. It’s Santa. So the parent has to sit down and say it in a gentle way. “Listen, Santa did exist. He was a person who gave to others and now that you’re older, you can give to others and be Santa, too.” Do you think if a kid who believes in Santa walks into a third-or-fourth-grade class, his friends are going to tell him in a gentle way? No. They’re going to make fun of him, and the kid is going to run home crying, saying you lied to him. We all rememb er how the news is broken to us, so if we all remember, then there’s some significance or we would have forgotten it. And it’s better to have a memory if someone doing it nicely than some kids laughing at you.Santa is also used as an instrument of guilt, because Santa knows everything. So even if the kids did bad things and got away with them, Santa knew. Still. Santa alone is not a good behavioral tool. You can’t, in, say, January, play the Santa card to your child—because Christmas is too far away.28. According to the first paragraph, parents should__________.A. telling the kids that Santa does not existB. lie to their children on the problem of Santa ClausC. not tell the truth if their children believe Santa Claus existsD. tell children in advance in case of being laughed at by classmates29. Why could your kid possibly be made fun of in the fourth grade?A. He tells a lie that he believes in Santa.B. He says Santa does exist in this world.C. He expects gentle talks from his friends.D. He gives to others and acts as Santa does.30. The underlined part in the last paragraph most probably means to__________.A. play cards with children happilyB. talk the kids out of doing something badC. clarify the truth of Santa to the kids in a gentle wayD. let the children figure the problem out by themselves31. The author’s intention in writing this text is to__________.A. introduce the detailed story of Santa Claus in all aspectsB. prevent children from being laughed at by fellow classmatesC. help children to understand whether Santa Claus is real or notD. instruct parents how to explain the existence of Santa Claus to kidsDOumuamua, an object through space that was discovered on October 19th, has already made history. The speed at which it is moving relative to the sun means that it cannot be native to the solar system. Its official name is thus II/2017 UI, with the “I” standing for “interstellar(星际)”—the first time this name has ever been used.That is exciting. Some scientists, though, entertain an ever more exciting possibility: what if Oumuamua is not an asteroid(小行星),as most think, but an alien(外星的)spacecraft? Asteroid come in ll sorts of shapes and sizes, but Oumuamua seems particularly different. As best as astronomers can tell, it is cigarlike, being roughly 180 meters long but only about 30 meters wide. That makes it longer than anything known of in the solar system. Such a shape would be a sensible choice for a spaceship, since it would minimize the scouring(冲刷)effect of interstellar dust.With that in mind the Breakthrough Listen project, an organization aimed at hunting for alien life, plans to turn the world’s biggest radio telescope,the Green Bank instrument in Virginia, towards Oumuamua to see if it can hear anything interesting. Oumuamua is currently about twice as far from Earth as Earth is from the sun. At that range, the telescope should be sensitive enough to pick up a transmitter about as powerful as a mobile phone after just a few seconds—worth of observations.Will it find anything? Almost certainly not. Oumuamua has the same reddish color as many as asteroids, so probably has a similar composition. And, if it really is a spaceship, it is strange that signs of its artificial origin have not been seen already. It could, in theory, be a derelict(遗弃星球). But in that case the telescope is unlikely to hear anything. By far the most likely option is that it is exactly what it seems to be: a huge space rock, one that has come to the solar system from the vast space between the stars.32. What makes some scientists think Oumuamua is possibly an alien spacecraft?A. Its size.B. Its color.C. Its shape.D. Its speed.33. What does the underlined word “that” in the third paragraph probably mean?A. The research into the solar system.B. The purpose of hunting for alien life.C. The effect of interstellar dust on Oumuamua.D. The possibility of Oumuamua being a spaceship. 34. What is Oumuamua most likely to be according to the author?A. An asteroid.B. A space rock.C. Interstellar dust.D. An alien spacecraft.35. It can be inferred from the last paragraph that__________.A. Oumuamua will return to where it’s from soonB. Oumuamua’s real identity remains to be found outC. astronomers have not seen si gns of Oumuamua’s artificial originD. the Green Bank telescope has already heard something from Oumuamua第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填人空白处的最佳选项。

东北三省三校2018 年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150 分,考试时间120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60 分）一．选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合A {0, b}, B { x Z x23x 0}, 若A B ,则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1 或22i２．复数2 i（）1 2iＡ．i Ｂ．i Ｃ．2（ 2 i）Ｄ．1 i３．ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ a b ”是“ cos2 A cos2 B”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b满足a 1,b 2,（a b）（2a b）, 则向量a与b的夹角为（）Ａ．45 Ｂ．60 Ｃ．90 Ｄ．120５．实数m是0,6 上的随机数，则关于x的方程x2mx 4 0 有实根的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是f (x) lg(x 1) sin2 x 的零点个数为(A ．63 Ｂ． 2 63Ｃ． 3 6 2 Ｄ． 622 ７．椭圆 x y 2 4 1两个焦点分别是 F 1,F 2 ， 任意一点，则 PF 1 PF 2 的取值范围是(点 P 是椭圆上Ａ． 1,4 Ｂ． 1,3 Ｃ． 2,1Ｄ． 1,1８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ ，Ｃ，Ｄ， 球 心 为 点 Ｏ ， AB 过 点 Ｏ ，CA C B , DA DB , DC 1, 则三棱锥 A BCD 的体积为( ) Ｂ． Ｃ． 3 Ｄ． 已知数列 a n 满足 ln a 1 ln a 2 lna 325 8 a 10 =( )26Ａ． e Ｂ 32 Ｃ． eＤ ９． e 35 29 e 3n 1 2 ln a n 3n 2 10．执行如图所示的程序框图，要使输出的 S 的值小于１， 则输入的 t 值不能是下面的( ) (n N ) ，则 Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ． 10 Ｄ． 11 11．若函数 f(x) 2x 3 3mx 2 6x 在区间 2, 上为增函数，则实数 m 的取值范围是 Ａ．,2Ｂ． ,2Ｃ．52Ｄ．,5212．函数Ａ．Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12 ９第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分 ．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答，第 22题～第 24题为选考题，考生根据要求做答 ． 二．填空题(本大题共 4小题，每小题 5 分．)13．若等差数列a n 中，满足 a 4 a 6 a 2010 a 2012 8 ，则 S 2015 = _________________________________ ．3 2x y 914．若变量 x,y 满足约束条件，则 z x 2y 的最小值为6xy9下焦点的对称点分别为 A 、B ，点 Q 在双曲线 C 的上支上，点 P 关于点 Q 的对称点为 P 1，则P 1A P 1B = _______ ．16．若函数 f(x)满足 : (ⅰ)函数 f (x)的定义域是 R ； (ⅱ)对任意 x 1,x 2 R 有3f(x 1 x 2) f(x 1 x 2) 2 f (x 1) f (x 2) ；(ⅲ) f(1) 23. 则下列命题中正确的是 __________________________写出所有正确命题的序号)①函数 f (x) 是奇函数；②函数 f (x) 是偶函数；③对任意 n 1,n 2 N ，若 n 1 n 2 ，则f (n 1) f (n 2)；④ 对任意 x R ，有 f(x) 1.三. 解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分 12 分)已知 ABC 的面积为 2, 且满足 0 AB AC 4, 设 AB 和 AC 的夹角为 ． Ⅰ)求 的取值范围； Ⅱ)求函数 f( ) 2sin 2() 3cos2 的值域． 418．(本题满分 12 分)空气污染，又称为 大气污染 ，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度， 达到足够的时间， 并因此危害了人体的舒适、 健康和福利或环境的 现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数(单位：g /m 3)为 0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50 ~ 100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为 100 ~150 时，空气质量 级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为 150 ~ 200 时，空气质量 级别为四级， 空气质量状况属于中度污染； 当空气污染指数为 200 ~ 300 时，空气质量15．已知双曲线 C ：2 y16 点 P 与双曲线 C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、2x4级别为五级， 空气质量状况属于重度污染； 当空气污染指数为 300 以上时， 空气质量级 别为六级，空气质量状况属于严重污染． 2018 年１月某日某省 x 个监测点数据统计如 Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方 图中的信息求出 x, y 的值，并完成频 率分布直方图； Ⅱ)若 A 市共有 5个监测点， 其中有 3 个监测点为轻度污染，２个监测点 为良．从中任意选取 2 个监测点，事 件 A “其中至少有一个为良”发生的 概率是多少？19．(本题满分 12 分)如图，多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是菱形， BCD 60 ，四边形 BDEF 是正方形，且DE 平面 ABCD .( Ⅰ ) 求证 : CF // 平面 AED ；(Ⅱ)若AE 2 ，求多面体 ABCDEF 的体积V .20．(本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点 (2,0) ，且被 y 轴所截得的弦长为 4.( Ⅰ ) 求动圆圆心的轨迹 C 1 的方程 ;(Ⅱ) 过点 P (1,2)分别作斜率为 k 1, k 2的两条直线 l 1,l 2 ，交C 1于A, B 两点(点 A,B 异于2 21空气污染指数( 单位： g/m 3)0,5050,100100,150150,200监测点个数1540y100.008 0.007 0.006 0.005频率 组距AB点P), 若k1 k2 0，且直线AB与圆C2:(x 2)2y2相切，求△ PAB的面积.21．(本题满分 12 分)已知实数 a 为常数，函数 f(x) xlnx ax 2．Ⅰ)若曲线 y f(x)在 x 1处的切线过点Ａ (0, 2) ，求实数 a 值； Ⅱ)若函数 y f(x) 有两个极值点 x 1, x 2 ( x 1 x 2)．11①求证：2 a 0 ；②求证： f(x 1) 0， f(x 2)2．请从下面所给的 22 , 23 , 24 三题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目 对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所 答第一题评分。

2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在X空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．3D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ） A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B ADC --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a的值可以为（ ） A ．512π B ．712πC ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．2 D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为$ 2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为 ．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项n c ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值． 21.已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）． （1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72-16.32-三、解答题17.解：（1）∵21n S n n =-+，∴令1n =，11a =，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与n a （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==， ∴2424b q b ==，∴2q =， ∴11b =，∴12n n b -=．（2）122112nn n T -==--，∵12121c c -=-，23221c c -=-，…，1121n n n c c ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---， 111c a ==，∴121nn c n -=--， ∴21nn c =-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人． 设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==． （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =， X 的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=， 333464(3)()5125P X C ===， 所以X 的分布列为：∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=．19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =，∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r ，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-u r ， 设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ru u u r u u r 即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =u u r ，121212cos ,14||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r所以平面EFC 与平面PDC所成锐二面角的余弦值为14． 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+， 点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t 1t ≥，有22431t S t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240x af x x e=-+≥恒成立， 即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈， ∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==，∵max (42)x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)x x g x e f x x x e a ==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞，∴122221122(45)(45)2(45)2x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-， ∴122221122(45)(45)2(45)x x m x x e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)x x x x e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0x x x e ϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m x m x F x m x em x e +-=+----，∵0x >，∴0m x m x e e +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增，∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>， 又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±， ∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈， 由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩ 当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立； 当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[0)上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-，综上，3m ≥-．。

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( ) A.B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A. B. C. D. 12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，，，，则 ______________.14.若满足约束条件，则的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

2018年高三第一次联合考试数学（理科）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．已知i z i 32)33(-=⋅+，那么复数z 对应的点位于复平面内的 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数)1)(1ln(<-=x x y 的反函数为（ ）A ．)(1R x e y x∈-=- B ．)(1R x e y x∈-=C ．)(1R x ey x∈-=-D ．)(1R x e y x∈-= 3．=-→)cos(2sin lim2x xx ππ（ ）A ．－2B ．2C ．－1D ．14．过点（2，3）的直线l 与圆C ：03422=+++x y x 交于A 、B 两点，当弦|AB|的取最大值时，直线l 的方程为（ ）A ．3x －4y+6=0B ．3x －4y －6=0C ．4x －3y+8=0D ．4x +3y －8=05．在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则此数列的前13项之和等于（ ）A ．13B ．26C ．52D ．156哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．将函数x x f y sin )(=的图象按向量)2,4(π-=平移后，得到函数x y 2sin 23-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x8．已知集合}2|12||{},21|{<-=>-=x x N x xx M ，则M ∩N= （ ） A ．}223|{<<x x B ．}2321|{<<-x xC ．}231|{<<x xD ．}121|{<<-x x9．设函数0)(),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x f 则有（ ）A ．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内三个根B ．四个实根)4,3,,2,1(,==i i x iC ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内四个根D ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3）内三个根10．抛物线y=x 2上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为45°，则点A 的坐标是（ ） A ．（－1，1） B ．)161,41(C ．（1，1）D ．（－1，1）或)161,41( 11．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A ，B 都是U 的子集，若A ∩B={1，3，5}，则称A ，B 为“理想配集”，记作（A ，B ），这样的“理想配集”（A ，B ）共有 （ ）A ．7对B ．8对C ．27对D ．28对12．正实数21,x x 及函数)(x f 满足)(,1)()(,)(1)(142121x x f x f x f x f x f x+=+-+=则且的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．54 D ．41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分. 13．在83)12(xx -的展开式中常数项是 . 14．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x xx x f x ，则满足x x f 的41)(=值是 .15．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F 点，则离心率为 .16．已知m ，l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m且与l 垂直；③必存在平面γ与m ，l 都垂直；④必存在平面δ与m ，l 距离都相等，其中正确的命题的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知向量x x x x b a b x x a tan 1)tan 1(2sin ,24,58),2,2(),sin ,(cos -+<<=⋅==求且若ππ的值.18．（本题满分12分）甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两都对的概率是.41（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （Ⅱ）求做对该题的人数随机变量ξ的分布列和E ξ.19．（本题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中, PD ⊥底面ABCD, AB//CD ，PD=CD=AD=21AB ，∠ADC=120°. （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若AB 的中点为E ，求二面角D —PC —E 的大小.20．（本题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数*).(N n a n ∈（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为S n ，且123-⋅=n nn S T .若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤，求实数m 的取值范围.21．（本题满分12分）已知F 1、F 2为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 在左、右两个焦点，直线52:+=x y l 与椭圆C 交于两点P 1、P 2，已知椭圆中心O 点关于l 的对称点恰好落在C 的左准线l '上.（Ⅰ）求左准线l '的方程； （Ⅱ）已知,,95,2222211OF P F a OF P F ⋅-⋅成等差数列，求椭圆C 的方程.22．（本题满分14分）已知函数),()1(2131)(23为常数c b cx x b x x f +-+=. （Ⅰ）若31)(==x x x f 和在处取得极值，试求b 、c 的值；（Ⅱ）若),(),,()(21+∞-∞x x x f 在上单调递增且在),(21x x 上单调递减，又满足,112>-x x 求证：);2(22c b b +>（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若121,x c bt t x t 与试比较++<的大小，并加以证明.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：CBAAB CBCAD CC 二、填空题：13．7 14．3 15．2 16．①④ 三、解答题： 17．解：54)4cos(,58sin 2cos 2,58=-=+∴=⋅πx x x 即 …………4分 ∵43)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x ……6分 34)4cot()4tan(-=--=+ππx x2571)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x …………8分∴.7528)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-⨯=+⋅=-+πx x x x x …………12分 18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A ，B ，C.依题设条件得：,32)(,83)(,41)()()(121)](1)][(1[)(43)(==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=--=⋅=C P B P C P B P C B P C P A P C A P A P 解得所以，乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为.32,83 …………6分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.则：,965)321)(831)(431()()()(0)(=---===C P B P A P P ξ,247)()()()()()()()()()1(=++==C P B P A P C P B P A P C P B P A P P ξ,9645)()()()()()()()()()2(=++==B P C P A P C P B P A P C P B P A P P ξ 163)()()()3(===C P B P A P P ξ …………10分 所以ξ的分布列为：E ξ=244316339645224719650=⨯+⨯+⨯+⨯…………12分 19．解：（Ⅰ）连结BD ，∵∠ADC=120°，AB//CD∴∠DAB=60°，又,23,21AB BD AB AD =∴=∴AD ⊥BD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD 而PD ∩BD=D ， ∴AD ⊥面PDB ， PB ⊂平面PDB ，∴AD ⊥PB（Ⅱ）连结DE ，CE ， ∵∠DAB=60°，AD=AE ，∴△DEC 为正三角形. 取DC 的中点F ，连结EF ，则EF ⊥CD ， ∵PD ⊥面ABCD ， ∴EF ⊥PD ， ∴EF ⊥面PCD ， 过F 作FG ⊥PC 于G ，连EG ， 则∠EGF 即为二面角D —PC —E 的平面角. 设CD=a ，则.23a EF =在△PCD 中，PC=.2222121,2a a aa PC PD CD FG a =⋅⋅=⋅=则 …………10分所以.6arctan ,62223tan =∠===∠EGF aFGEF EGF 所以 …………12分解法二（Ⅰ）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设PD=a ，则D （0，0，0），P （0，0，a ），A （a ，0，0），).0,23,2(),0,23,2(a a C a a E - ),3,0(),0,0,(),0,3,0(a a PB a DA a B -==∴∴PB AD PB DA ⊥∴=⋅,0 …………4分（Ⅱ）设平面PDC 的法向量为),,,(1z y x n = 则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n …………6分 即：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02320y x a az 于是).0,1,3(,1,3,01====n y x z 所以得令 ……8分 同样方法求得平面PEC 的一个法向量为)3,2,0(2=n . …………10分 于是有.77arccos ,,77722,cos 2121>=<=⨯>=<n n n n 所以 由图观察知，该二面角为锐二面角，所以二面角的大小为77arccos …………12分20．解：（Ⅰ）由.21,30,03,0==∴<<>-=>x x x nx n y x 或得∴D n 内的整点在直线x =1和x =2上 ………………2分 记直线l l n nx y ,3为+-=与直线x =1、x =2的交点的纵坐标分别为21,y y ， 则.32,2321n n n y n n n y =+-==+-=∴*)(3N n n a n ∈= ………………6分 （Ⅱ）∵n n n n n T n n n S 2)1(,2)1(3)321(3+=∴+=++++= ……8分 ∴1112)2)(1(2)1(2)2)(1(+++-+=+-++=-n n n n n n n n n n n T T ……10分 ∴当.231,,33211==<=>≥+T T T T T n n n 且时 …………12分 于是T 2，T 3是数列}{n T 的最大项，故.232=≥T m …………14分 21．解：（Ⅰ）设原点O 关于52:+=x y l 的对称点为),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=-=5222210000x y x y 解得：l x '∴==,40的方程为x =－4 …………4分（Ⅱ）设.4:)1(),,(),,(2222111c a y x P y x P =知由又)(),(22222211c x c OF P F c x c OF F -=⋅+=⋅ 由940:,910)()(21222-=+-=-++x x a c x c c x c 得 …………6分 又⎪⎩⎪⎨⎧=-++=14452222c c y c x x y 消去y 得：041610080)20(22=+-++-c c x x c ……8分 ∴ 9402080,208021-=--∴-=+c c x x …………10分 ∴ C=2，此时△>0， ∴所求椭圆方程为 14822=+y x …………12分 22．解：（Ⅰ）c x b x x f +-+=')1()(2，由题意得，1和3是方程c x b x +-+)1(2=0的两根，∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧⨯=+=-.3,3,31,311c b c b 解得 …………4分 （Ⅱ）由题得，当0)(,),(;0)(,),(),,(2121<'∈>'+∞-∞∈x f x x x x f x x x 时时 ∴c x b x x f x x +-+=')1()(,221是方程的两根， 则c x x b x x =-=+2121,1 … 6分∴14)1(42)2(2222---=--=+-c b c b b c b b 1)(14)(21221221--=--+=x x x x x x ,112>-x x ∴,01)(212>--x x ∴)2(22c b b +> …………9分 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，),)(()1(212x x x x c x b x --=+-+ 即 x x x x x c bx x +--=++))((212 …………12分 所以，)1)(())((2112112x t x t x t x t x t x c bx t -+-=-+--=-++， ,1112t x x +>+> ∴,0,0112x t x t <<<-+又 ∴01<-x t ∴,0)1)((21>-+-x t x t 即.12x c bx t >++ …………14分。

哈尔滨师大附中东北师大附中2023年高三第一次联合模拟考试数学辽宁省实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.已知集合A =x ∈Z x 2-x -2≤0 ，集合B =x y =1-log 2x ，则A ∩B =()A .-1,2B .1,2C .1,2D .-1,1,22.已知i 为虚数单位，复数z 满足z -3+2i =1，则复数z 对应的点在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知向量非零a 、b满足a+2b⊥a-2b ，且向量b在向量a方向的投影向量是14a，则向量a与b的夹角是()A .π6B .π3C .π2D .2π34.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家.著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.1+1+1+⋯+1=n ；1+2+3+⋯+C 1n -1=C 2n .若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，⋯构成数列a n ，则关于数列a n 叙述正确的是()A .a n +a n +1=n +1 2B .a n +a n +1=n 2C .数列a n 的前n 项和为C 3nD .数列a n 的前n 项和为C 2n +15.若sin 2α+π6+cos2α=3，则tan α=()A .33B .1C .2-3D .2+36.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =322，则该半正多面体外接球的表面积为()A .18πB .16πC .14πD .12π7.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域(如图)，现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻(没有公共边)区域的概率为()A .18B .14C .38D .348.已知函数f x =x +1 ln x ,x >0kx -ln -x +k ,x <0，若关于x 的方程f -x =-f x 有且仅有四个相异实根，则实数k 的取值范围为()A .0,1e -1 B .1,+∞C .0,1e -1∪1,+∞ D .0,1 ∪1,+∞二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.函数f x =A sin ωx +φ (其中A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，-π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A .f x 的值域为-2,2B .f x 的最小正周期为πC .φ=π6D .将函数f x 的图象向左平移π6个单位，得到函数g x =2cos2x 的图象10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C :y 2=8x ，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线l 1从点M 5,2 射入，经过C 上的点P 反射，再经过C 上另一点Q 反射后，沿直线l 2射出，经过点N .下列说法正确的是()A .PQ =8B .若延长PO 交直线x =-2于D ，则点D 在直线l 2上C .MQ 平分∠PQND .抛物线C 在点P 处的切线分别与直线l 1、FP 所成角相等11.已知实数a ，b 满足a 2-ab +b =0a >1 ，下列结论中正确的是()A .b >aB .b ≥4C .1a +1b>1D .e b +1e a +2a >e a+1e b+2b 12.已知异面直线a 与直线b ，所成角为60°，平面α与平面β所成的二面角为80°，直线a 与平面α所成的角为15°，点P 为平面α、β外一定点，则下列结论正确的是()A .过点P 且与直线a 、b 所成角均为30°的直线有3条B .过点P 且与平面α、β所成角都是30°的直线有4条C .过点P 作与平面α成55°角的直线，可以作无数条D .过点P 作与平面α成55°角，且与直线a 成60°的直线，可以作3条第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2x -y 6的二项展开式中x 2y 4的系数是______.(用数字作答)14.若f x =a +1e x -1+1为奇函数，则实数a =______.15.已知圆C :x -1 2+y -4 2=4，直线y =kx +1交圆C 于M 、N 两点，若△CMN 的面积为2，则实数k 的值为______.16.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 、B 在椭圆C 上，满足AF 2 ⋅F 1F 2 =0，AF 1 =λF 1B ，若椭圆C 的离心率e ∈33,22，则实数λ取值范围为______.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①a 2-c 2=bc ；②b +b cos A =3a sin B ；③sin A =3sin C .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)已知等差数列a n 的首项a 1=1，记a n 的前n 项和为S n ，S 4-2a 2a 3+14=0.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列a n 公差d >1，令c n =a n +2a n ⋅a n +1⋅2n ，求数列c n 的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，AC ⊥PE ，PA =PD ，E 为棱AB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若PA =AD ，∠BAD =60°，求二面角E -PD -A 的正弦值.20.(本小题满分12分)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数0,55,10 10,15 15,20 20,25 25,30人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X 近似服从正态分布N μ,σ2 ，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ≈6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在15,30 的学生中有30名男生，天数在0,15 的学生中有20名男生.学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表性别活动天数合计0,1515,30男生女生合计并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827；Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545；Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dn=a+b+c+dα0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828 21.(本小题满分12分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0过点A3,-2，且渐近线方程为x±3y=0.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，过点B1,0的直线l交双曲线C于点M、N，直线MA、NA分别交直线x=1于点P、Q，求PBBQ的值.22.(本小题满分12分)已知函数f x =a2e2x+a-2e x-x22，f x 为函数f x 的导函数.(1)讨论f x 的单调性；(2)若x1，x2x1<x2为f x 的极值点，证明：x2-x1<ln3-a-ln a+2a-1.哈师大附中一模数学参考答案第一部分：选择题题号123456789101112答案CABA CADDABBDABDBC三、填空题：13.6014.115.-7或116.3,5四、解答题17.(本小题满分10分)解：选①②作条件，③做结论由②，得：sin B +sin B cos A =3sin A sin B ⇒sin A -π6 =12所以，A =π3，则a 2=b 2+c 2-bc ，a 2=c 2+bc ，所以a =3c ，即：sin A =3sin C .选①③作条件，②做结论由③，得：a =3c ，a 2=c 2+bc ，则b =2c所以，A =π3，B =π2，C =π6所以b +b cos A =2c +c =33c =3a sin B .选②③作条件，①做结论由②，得：sin B +sin B cos A =3sin A sin B ⇒sin A -π6 =12，所以，A =π3，由③，得：C =π6，则a =3c ，b =2c ，即：a 2-c 2=bc .18.(本小题满分12分)解：(1)S 4-2a 2a 3+14=4a 1+6d -2d +a 1 2d +a 1 +14=0则d =±2所以，a n =2n -1或a n =-2n +3.(2)由(1)可得，a n =2n -1，c n =2n +32n -1 2n +1 ⋅2n =12n -1 ⋅2n -1-12n +1 ⋅2nT n =c 1+c 2+c 3+⋯c n =1-13⋅21+13⋅21-15⋅22 +⋯+12n -1 ⋅2n -1-12n +1 ⋅2n所以，T n =1-12n +1 ⋅2n .19.(本小题满分12分)(1)证明：取AD 的中点O ，连接OP ，OBAC ⊥BD BD ∥OE ⇒AC ⊥OE AC ⊥PE OE ∩PE =E⇒AC ⊥平面PDE ，所以AC ⊥PDAC ⊥PD AD ⊥PD AC ∩AD =D ⇒PD ⊥平面ABCD PD ⊂平面PAD⇒PD ⊥平面ABCD ⊥平面ABCD(2)由(1)得，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz设AD =2，则P 0,0,3 ，E 12,32,0，D -1,0,0设平面PDE 的法向量n=x ,y ,z ，则n ⋅DP =0n ⋅DE =0⇒x +3z =032x +32y =0，取x =3，则y =-3，z =-1所以，n =3,-3,-1 取平面PDA 的法向量m =0,1,0 ，则cos n ,m =n ⋅m n m=-313所以，二面角E -PD -A 的正弦值为21313.20.(本小题满分12分)(1)μ=4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.8100=14.9则X -N 14.9,6.1所以，P X >21 =P X >14.9+6.1 =1-0.68272=0.15865所以3000人中锻炼超过21天人数约为476人.(2)性别活动天数合计0,1515,30男生203050女生321850合计5248100(2)零假设为H 0：学生性别与获得“运动达人”称号无关χ2=100×30×32-20×18 250×50×52×48≈5.77>3.841依据α=0.05的独立性检验，我们推断H 0不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据计算男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：3050=0.6和1850=0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的0.60.36≈1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即：男生更容易获得运动达人称号.21.(本小题满分12分)(1)双曲线方程为：x 23-y 2=1(2)法一：①当直线MN 与轴垂直时M -3,0 ，N 3,0 ，A 3,-2直线AM :y =-23+3x +3 ，令x =1⇒y P =-23同理，y Q =23⇒y P +y Q =0②当直线MN 不与轴垂直时设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN :x =ty +1代入到x 2-3y 2=3中得t 2-3 y 2+2ty -2=0∴y 1+y 2=-2t t 2-3y 1y 2=-2t 2-3Δ>0又∵直线AM :y +2=y 1+2x 1-3x -3 ，令x =1⇒y P=-2⋅y 1+2ty 1-2-2=-2t +2 y 1ty 1-2同理，y Q =-2t +2 y 2ty 2-2∴y P +y Q =-2t +2 2ty 1y 2-2y 1+y 2 t 2y 1y 2-2t y 1+y 2 +4=0综上，y P +y Q =0∴PBBQ=1法二：设直线MN 的方程为y =k x -1 ，M x 1,y 1 N x 2,y 2 ，联立y =k x -1 x 2-3y 2-3=0⇒3k 2-1 x 2-6k 2x +3k 2+3=0 x 1+x 2=6k 23k 2-1x 1⋅x 2=3k 2+33k 2-1Δ=121-2k 2 >0所以，AM 的方程：y +2=y 1+2x 1-3x -3 ⇒y P =-2-2y 1+2x 1-3=-2-2k +2+2kx 1-3 =-2+2k 2x 1-3+1 同理：y Q =-2+2k 2x 2-3+1 所以，y Py Q =x 1x 2-x 1+x 2 +3-2x 1x 1x 2-3x 1+x 2 +3+2x 1 =3k 2+1 -6k 2+3k 2-1 3-2x 1 3k 2+1 -18k 2+3k 2-1 3+2x 1=6k 2-2x 13k 2-1-6k 2+2x 13k 2-1=122.(本小题满分12分)(1)设g x =f x =ae 2x +a -2 e x -x ，则g x =e x +1 ae x -1 ①当a ≤0时，f x 的增区间-∞,+∞ ②当a >0时，f x 的增区间ln1a ,+∞ ；减区间-∞,ln 1a；(2)若f x 有两个极值点，则f x 有两个变号零点，由(1)知a >0fxmin=f -ln a =1-1a -ln 1a<0 设u x =1-x -ln x x >0 ，则u x =-1-1x<0，所以u x 在0,+∞ 上递减，又u 1 =0所以，当x >1时，u x <0，所以1a>1，即0<a <1设h x =x -1-ln x x >0 ，则h x =1-1x =x -1x令h x >0⇒x >1，令h x <0⇒0<x <1，所以h x 在0,1 递减，在1,+∞ 递增，所以h x ≥h 1 =0∵f ln 3a -1=a 3a -1 2+a -2 3a -1 -ln 3a -1 =3a -1 -ln 3a -1 >0且ln 3a -1 >ln1a∴f x 在ln 1a ,ln 3a -1 上存在唯一一个零点x 2，即ln 1a <x 2<ln 3a-1 所以只需证f 1-2a >0且1-2a <ln1a当x <ln 1a 时，0<e x <1a ∴a -2 e x >a -2a ∴f 1-2a >0+a -2a -1-2a =0又∵1-2a <1-1a <ln 1a ∴1-2a <x 1<ln 1a <x 2<ln 3a -1 ∴x 2-x 1<ln 3a -1 -1-2a。