全国学生检测卷(文)滚动检测

高三单元滚动检测卷·数学滚动检测一一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R2．(·广东阳东一中联考)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．(·浙江嘉兴桐乡第一中学新高考调研(二))若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(·皖南八校第三次联考)已知命题p ：∀x ∈R,2x >x 2；命题q ：∃x ∈(－2，＋∞)，使得(x ＋1)·e x ≤1，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∧qD ．(非p )∧(非q )5．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( ) A ．6B ．－6C ．0D ．126．(·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]7．(·呼伦贝尔二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)8．(·安徽江淮名校第二次联考)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (2＋x )＝f (6－x )，且当x ≠4时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>4f ′(x )．若9<a <27，则( )A ．f (2a )<f (6)<f (log 3a )B ．f (6)<f (2a )<f (log 3a )C ．f (log 3a )<f (2a )<f (6)D ．f (log 3a )<f (6)<f (2a )9．(·湖北浠水实验高中上学期期中)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲、乙商品所获利润分别为P 和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是P ＝x 4，Q ＝a2x (a >0)，若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获利润总不小于5万元，则a 的最小值为( ) A ．5B. 5 C ．3 D. 310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3]B ．[－1,6]C ．[－1,4)D ．[－4,6]12．(·重庆模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ≥12C ．m ≤1D ．m ≥1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sinπx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________.14．(·江苏时杨中学月考)已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．15．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．16．(·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(·福建八县(市)一中联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.(12分)(·德州第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．20．(12分)(·福州上学期期末质量检测)函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值记为g (m )． (1)若0<m ≤4，求函数g (m )的解析式；(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )．若h (t )>h (4)，求实数t 的取值范围． 21.(12分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似地满足f (t )＝4＋1t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似地满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市的旅游日收益的最小值．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性并证明；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x－1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [“若a ＝1，则|a |＝1”是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以“若|a |＝1，则a ＝1”是假命题，即|a |＝1D ⇒/a ＝1.所以“a ＝1”是“|a |＝1”的充分不必要条件．故选A.]4．C [对于命题p ：当x ＝2时，2x ＝x 2，∴命题p 是假命题，非p 是真命题；对于命题q ：当x ＝0时，(x ＋1)·e x ＝1，所以命题q 是真命题，逐项检验可知，只有(非p )∧q 是真命题，故选C.] 5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a2]上单调递减，在[－a2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)， 所以－a2＝3，解得a ＝－6.]6．D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2， 即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]7．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]； 当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域是(1，＋∞)． 综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]8．D [由f (2＋x )＝f (6－x )知函数f (x )图象关于直线x ＝4对称，又∵xf ′(x )>4f ′(x )，∴(x －4)f ′(x )>0.∴函数f (x )在(－∞，4)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数．又∵9<a <27，∴2<log 3a <3，∴f (log 3a )<f (2)＝f (6)．又∵9<a <27，∴3<a <33，∴2a >23＝8. ∴f (2a )>f (8)>f (6)>f (log 3a )，故选D.]9．B [设经销乙商品投入资金x 万元，由题意得20－x 4＋a 2x ≥5(0≤x ≤20)，整理得－x 4＋a2x ≥0.显然，当x ＝0时，不等式恒成立；当0<x ≤20时，由－x 4＋a 2x ≥0，得a ≥x 2恒成立．因为当0<x ≤20时，0<x2≤5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选B.]10．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]11．B [由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以非p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，非q ：x ≤2或x ≥3，又非p 是非q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．]12．B [若存在实数x 0，使得f (－0x )＝－f (0x )， 则04x -－m ·012x -+＝04x-＋m ·012x +， 整理得：2m (02x＋02x -)＝04x＋04x -，2m ＝00004422x x x x --++＝00002(22)222x x x x --+-+＝02x＋02x -－00222x x -+，设02x ＋02x -＝t (t ≥2)，2m ＝t －2t ，其在[2，＋∞)上为增函数，当t ＝2时，2m ＝1，m ＝12，所以m ≥12.]13.516解析 因为函数f (x )的周期是4， 则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6 ＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.14．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.15．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0， 解得－8≤a ≤－6.16．(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时，0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.17．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．18．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．19．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52，∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．20．解 (1)因为f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24， 因为设f (x )在区间[0,2]上的最小值记为g (m )． 当0<m ≤4时，0<m2≤2，所以g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m24. (2)当m >4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24在[0,2]上单调递减， 所以g (m )＝f (2)＝4－2m .结合(1)可知，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.因为x >0时，h (x )＝g (x )，所以x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)， 所以h (|t |)>h (4)，所以0<|t |<4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<4，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－4<t <4，从而－4<t <0或0<t <4.综上所述，所求实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．21．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t)(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎨⎧(4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t)(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．22．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++ ＝211222(21)(21)x x x x -++. ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2， ∴22x－12x>0.又(12x＋1)(22x＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∵f (x )为减函数，由上式推得t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R,3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.∴k 的取值范围是(－∞，－13)．滚动检测二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2016·浏阳联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (43)＋f (－43)的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1 3．(·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(·山东枣庄八中阶段检测)若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有实数根的和可能是( ) A ．－2，－4，－6B ．－4，－5，－6C ．－3，－4，－5D ．－4，－6，－85．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3与f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎫π3B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎫－π3<f ⎝⎛⎫π3D ．不确定 7．(·渭南质检一)已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．28．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<010．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3]B ．[－6，－98] C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2017)等于( )A ．－1B ．2C ．－2D. 312．(·济源模拟)函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中正确结论的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2 (x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg2； ④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________．15．(·江西省五校协作体高三期中)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ；②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中正确命题的序号是________．16．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2016·黄冈中学月考)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，且f (0)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>6x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在(0,1]上的解析式； (2)求f (x )在(0,1]上的最大值．19.(12分)(·哈尔滨三中第一次测试)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意正数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )－12，当x >1时，f (x )>12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0. (1)求f (2)的值；(2)解关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋3)>2.20．(12分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额s (t )的最大值和最小值．21.(12分)(·广东阳东一中模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |是奇函数，且图象在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)． (1)求实数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．22．(12分)(·沈阳质检)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)令h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，存在a ∈[1，e]，使h (x )>m －f (a )成立，求实数m 的取值范围． 答案解析1．D 2.D 3.B4．D [若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，先讨论根的个数，可能为2个，3个，4个．易求所有实数根的和可能为－4，－6，－8.故选D.]5．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)， ∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)， 又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]6．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12. ∴f (x )＝cos x ＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－π3－π3＝12－π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π3.]7．A [因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数；因为f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝2.作出f (x )在[0,4]上的图象如图所示，再作出g (x )＝(13)x 的图象，可知f (x )和g (x )在[0,4]上有5个交点，即方程f (x )＝(13)x 在[0,4]上解的个数为5，故选A.]8．D [f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，故k 的取值范围是[1，＋∞)．]9．D [函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.]10．C [不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3. 当x ＝0时，0≥－3恒成立，故实数a 的取值范围是R . 当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)， 当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2. 综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．] 11．B [∵f (x )＝－f (x ＋32)，∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数， 则f (2017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.]12．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．] 13．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确．14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤，函数有最小值，因此错误，故填写①③④. 15．①②④解析 ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x 是真命题，如x ＝2，14>19成立；②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x 是真命题，如x ＝12，log 212＝－1，log 312>log 313＝－1，即∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ； ③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x 是假命题，如x ＝12，log 1212＝1>(12)12；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 是真命题，因为∀x ∈(0，13)，(12)13<(12)x <1，log 13x >1.16．①②③解析 ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．17．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3. 又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ， 即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立， 令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－2， ∴m <－2.18．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]． (2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]， 令t ＝2x ，t ∈(1,2]，所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值， 当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.19．解 (1)f (1)＝f (1)＋f (1)－12，解得f (1)＝12.f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12－12，解得f (2)＝1. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－12.因为x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>12，f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 因为f (4)＝f (2)＋f (2)－12＝32，所以f (x )＋f (x ＋3)＝f (x 2＋3x )＋12>2，即f (x 2＋3x )>32＝f (4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x 2＋3x >4，解得x ∈(1，＋∞)．20．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003，所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12) ＝112×223＋12＝25003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝14912.所以s (t )的最大值为25003，最小值为8.21．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数， 则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0. 又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ， ∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ， ∵f ′(e)＝3， ∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln xx －1，∴g ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln3<0，h (4)＝2－ln4>0， ∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0， 则x ∈(1，x 0)，h (x )<0， g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数． x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0， g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数． ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0.∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ， ∴k max ＝3.22．解 (1)由题设知f (x )＝ln x ， g (x )＝ln x ＋1x ，定义域为(0，＋∞)．所以g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间． 所以g (x )最小值＝g (1)＝1.综上，g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，最小值为1. (2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 又h (1)＝0，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)由(2)知h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减， ∴h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上的最小值为h (1)＝0， 又对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，使h (x )>m －f (a )成立， 则m －f (a )<h (x )最小值＝h (1)＝0，即m <f (a )． 又存在a ∈[1，e]，使m <f (a )成立， 又f (x )＝ln x 是增函数， 所以m <f (a )最大值＝f (e)＝1. 所以m <1.滚动检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·长春质量检测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )等于( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0) D ．[0,2]．2．(·北京)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(·重庆一中一模)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．1B.45 C ．－1 D ．－454．(·韶关调研)将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)的图象，则φ等于( ) A.π3B.π4C.π6D.π125．(潍坊高三质检)在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．46．(黄冈中学月考)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－17．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( ) A.33B.36 C.63 D.668．已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<109．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π210．(秦皇岛二模)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．(·烟台质检)△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A 等于( ) A.12B.13C.16D.3312.对于向量P A i →(i ＝1,2，…，n )，把使得|P A 1→|＋|P A 2→|＋…＋|P A n →|取到最小值的点P 称为A i (i ＝1,2，…，n )的“平衡点”．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，延长BC 至点E ，使BC ＝CE ，连接AE ，分别交BD ，CD 于F ，G 两点，连接DE ，则下列结论中正确的是( ) A ．A ，C 的“平衡点”必为OB ．D ，C ，E 的“平衡点”为DE 的中点 C ．A ，F ，G ，E 的“平衡点”存在且唯一D ．A ，B ，E ，D 的“平衡点”必为F二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(·浙江杭州第二次质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0，则函数f (x )的零点为________；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－14，2，则c 的取值范围是__________． 14．(·池州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x <0，(x －1)2，x ≥0，若f (f (－2))>f (k )，则实数k 的取值范围为_____________．15．(·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________．16．(·烟台质检)△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·湖北十校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(·赣州市十二县联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．19.(12分)(2016·郑州质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．21.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos(A ＋B )＋cos2C ＝－32，c ＝39，且a ＋b ＝9.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．22．(12分)(·北京东城区示范校综合能力测试)已知定义在(1，＋∞)上的函数f (x )＝x －ln x －2，g (x )＝x ln x ＋x . (1)求证：f (x )存在唯一的零点，且零点属于(3,4)；(2)若k ∈Z ，且g (x )>k (x －1)对任意的x >1恒成立，求k 的最大值．答案解析1．D 2.A 3.C 4.C5．B [在△ABC 中，∵b ＝2，A ＝120°， 三角形的面积S ＝3＝12bc ·sin A ＝c ·32，∴c ＝2＝b ，故B ＝12(180°－A )＝30°.再由正弦定理可得b sin B ＝2R ＝csin30°＝4，∴三角形外接圆的半径R ＝2，故选B.] 6．C [由AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1， 且A 、B 、D 三点共线，所以存在非零实数λ，使AB →＝λAD →， 即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，m ＝λ，所以mn ＝1.]7．D [设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2. 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得sin C ＝66，故选D.] 8．A [在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1.]9．B [∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简，得sin(α－β)＝cos α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin(α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选B.]10．B [∵x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，∴xf ′(x )＋f (x )x >0，即(xf (x ))′x>0.① 当x >0时，由①式知(xf (x ))′>0，∴U (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，且U (0)＝0·f (0)＝0， ∴U (x )＝xf (x )>0在(0，＋∞)上恒成立． 又1x >0，∴F (x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴F (x )在(0，＋∞)上无零点． 当x <0时，(xf (x ))′<0，∴U (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，且U (0)＝0·f (0)＝0，∴U (x )＝xf (x )>0在(－∞，0)上恒成立， ∴F (x )＝xf (x )＋1x 在(－∞，0)上为减函数．当x →0时，xf (x )→0，∴F (x )≈1x <0，当x →－∞时，1x →0，∴F (x )≈xf (x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.] 11．C [∵m ∥n ，∴(3c －b )c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)， ∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.]12．D [根据“平衡点”的定义可知，A ，C 的“平衡点”为线段AC 上的任意一点，故A 错误；假设DC ＝3，CE ＝4，则DE ＝5，此时DE 的中点到D ，C ，E 的距离之和为152，点C 到D ，C ，E 的距离之和为7,7<152，所以DE的中点不是D ，C ，E 的“平衡点”，故B 错误；A ，F ，G ，E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；A ，B ，E ，D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．] 13．－1和0 (0,4]解析 当x ∈[0，c ]时，由f (x )＝0，得x ＝0，当x ∈[－2，0)时，由f (x )＝0，得x ＝－1.故f (x )的零点为－1和0. ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－12上递减，在⎣⎡⎦⎤－12，c 上递增， 而f (－2)＝2，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－14，f (c )＝c ， ∴要使f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2，只需c ≤2，则0<c ≤4. 14．(log 129,4)解析 ∵f (f (－2))＝f (4)＝9， ∴f (k )<9.当k <0时，(12)k <9，解得log 129<k <0；当k ≥0时，(k －1)2<9，解得0≤k <4. 综上，k ∈(log 129,4)．15．π解析 结合图象，得T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，即T ＝π.16.16解析 ∵m ∥n ，∴(3c －b )c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)， ∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.17．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．18．解 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos2x ＋a ＝3sin2x －cos2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期T ＝π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，则2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]，∴f (x )值域为[a －1，a ＋2]．19．解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设鱼的年生长量为f (x )千克/立方米， 依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 20．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数的情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.21．解 (1)由已知得－2cos C ＋2cos 2C －1＝－32，所以4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 解得cos C ＝12，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即39＝a 2＋b 2－ab ，①又a ＋b ＝9，所以a 2＋b 2＋2ab ＝81，② 由①②得ab ＝14，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×14×32＝732.22．(1)证明 由f (x )＝x －ln x －2， 得f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 而f (3)＝1－ln3<0，f (4)＝2－ln4>0， 所以f (x )存在唯一的零点x 0∈(3,4)．(2)解 由(1)知f (x )存在唯一的零点x 0，显然满足：x 0－ln x 0－2＝0，且当x ∈(1，x 0)时，f (x )<f (x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>f (x 0)＝0. 当x >1时，g (x )>k (x －1)等价于x ln x ＋xx －1>k .设h (x )＝x ln x ＋xx －1，则h ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2＝f (x )(x －1)2， 故h ′(x )与f (x )同号，因此当x ∈(1，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 故h (x )min ＝h (x 0)＝x 0(ln x 0＋1)x 0－1＝x 0(x 0－1)x 0－1＝x 0.由题意有k <h (x )min ＝x 0.又k ∈Z ，x 0∈(3,4)， 故k 的最大值是3.滚动检测四一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1,0)C ．[－1,0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.7126．(·荆州中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝4，S 3＝9，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋17．(·上饶一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34 C.36 D.388．(·河南中原名校高三期中)已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1003＋a 1013＝π，b 6·b 9＝2，则tan a 1＋a 20151＋b 7b 8等于( )A ．1 B ．－1 C.33D. 39．关于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称10．(·福建福州第八中学质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2a ＋3x －sin x ，a ∈R ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f (32)等于( )A.32 B ．1 C ．2 D.1212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 等于( )A ．0B ．lg n ＋1n ＋3＋lg3C ．lg nn ＋2＋lg2D ．lg n －1n ＋1＋lg3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)。