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理科数学试卷 第1页 共 4 页2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B =UA ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2． 在复平面内，复数12ii-对应点位于 A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3． 下列函数中是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是A ．()23f x x = B ．()2x f x =C ．()21log 1f x x =+ D ．()1f x x x=- 4． 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020a =A ．10091010B ．10091010-C ．20192020D ．20192020-理科数学试卷 第2页 共 4 页5． 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱 6． 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-=7．“克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为 A ．32或5 B ．16或2 C ．16D ． 32或5或48． 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为A ．2536B ．1136 C ．49D ．599． 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．5• • • • • A (1,3)B (2,4)C (4,5)D (3,10)E (10,12)yxO理科数学试卷 第3页 共 4 页10．已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=u u u r u u u u r u u u u rg ，且2PF Q ∆周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为 A ．2BCD．11．已知数列{}n a ，2sin 2n n a n π=，则数列{}n a 的前100项和为A ．5000B ． 5000-C ． 5050D ．5050-12．已知ABC ∆中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=u u u r u u u r u u u r，且12AH AC =u u u r u u u r，则BH =AB．CD．二、 填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2-=⎰．14．直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为 ．15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．理科数学试卷 第4页 共 4 页2-2O125π1211π xy16． 在三棱锥S ABC -中，6,8,10AB BC AC ===，二面角S AB C --、S AC B --、S BC A--的大小均为4π，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，直线SO 交平面ABC 于点M ，则三棱锥S ABC -的内切球半径为 ，SOOM= ． 三、 解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共60分．17． 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2） 若26()3f x =，且324x ππ<<，求cos2x ．18． 如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥ 底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与 平面PBC 所成的角的 7G 的位置； 若不存在，请说明理由． 19． 函数2(1)=ln 1x f x x x --+（） （1） 求证：函数f x （）在(0,)+∞上单调递增； PAG FE C理科数学试卷 第5页 共 4 页（2） 若,m n 为两个不等的正数，试比较ln ln m n m n --与2m n+的大小，并证明．20． 已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>的离心率为2，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0．（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．21．（1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动. 月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加. 社团活动积极分子甲同学参加了活动.(ⅰ) 第一个月有18个中签名额. 甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签. 求这三名同学同时中签的概率.(ⅱ) 理学社设置了第n (+∈N n )个月中签的名额为162+n , 并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签， 则活动立刻结束. 求甲同学参加活动时间的期望.（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动. 报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同, 最初有30万人参加, 甲同学在其中. 每个月抽中的人退出活动，同时补充新人, 补充的人数与中签的人数相同. 出版集团设置了第n (+∈N n )个月中签的概率为180)1(19nn p -+=，活动进行了)(2+∈N k k 个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月．理科数学试卷 第6页 共 4 页（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若(1,0)P -，求11AP BP+的值．23． 选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+.（1） 当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．理科数学试卷 第7页 共 4 页2020年高三学年模拟考试数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：13. 2π 14. 15. 不会 16. 2，32SO OM = 三、解答题：17. （1）由图像可知2,2A ω== ……….3分代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………6分（2） 由题意知272336x πππ<-<………8分 cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭………12分18. （1）因为PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC 所以PA BE ⊥， ……….2分又因为BE AC ⊥，PA AC A =I所以BE ⊥平面PAC , …….. 4分 因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面 PAC ………… 5分理科数学试卷 第8页 共 4 页（2）因为,,EB EC EF 两两垂直，所以 以E 为坐标原点，分别以,,EB EC EF 的正方向为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则())()()()()0,0,0,,0,1,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1E B C A P F --…….. 6分)()2,PB BC =-=u u u r u u u r,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =u r ,由0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r得200y z y +-=+=⎪⎩,不妨设1x =,则y z ==所以(m =u r……..….8分设),,2PG PB λλλ==-u u u r u u u r ,则),,22AG AP PG λλ=+=-u u u r u u u r u u u r,由题知cos ,AG m AG m AG m ⋅===u u u r u r u u u r u r u u u r u r ………….10分 解得12λ=……...12分19. （1）22214(1)0(1)(1)x f x x x x x -'-=≥++（）=………………………………………………………3分∴ f x （）在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………….5分（2）不妨设m n >理科数学试卷 第9页 共 4 页ln ln m n m n --2m n -+=12ln m n m m n n m n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭（）211ln m n 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪=- ⎪- ⎪+⎝⎭（） 令1m t n =>，设21()ln 1t h t t t-=-+（）， ……………………………….7分 ()()h t f t =由（1）知在(0,)+∞上单调递增，(1)0,1()0h t h t =>∴>，…………….10分又m n >，∴ln ln m n m n --2m n>+， …………………12分 20. （1）依题意：1,b a == …………….2分所以椭圆方程为22 1.2x y += ………………..4分（2）由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++=由28160n ∆=->得 所以22n >，设112200(,),(,),(,)A x y B x y G x y ，由韦达定理12122242,.22n y y y y n n-+==++ ……………6分因为OA OB tOG +=u u u r u u u r u u u r121200002284(,)(,),,(2)(2)nx x y y t x y x y t n t n -∴++=∴==++ 2222222642162(2)(2)n G t n t n ⨯∴+=++Q 点在椭圆上得22162t n =+ …………8分理科数学试卷 第10页 共 4 页1>，所以223n << ………….10分(2,(2).55t ∴∈--⋃ ………….12分 21（1）（i ）设甲乙丙中签为事件,,A B C ， 则()()181716204()()3029281015P ABC P A P B A P C AB ==⨯⨯=………….3分 （ii ）甲参加活动的时间X 的可能取值为1,2,3,4 则183(1)305P X ===; 18202(2)(1)30287P X ==-⨯= 18202244(3)(1)(1)302826455P X ==-⨯-⨯=1820228(4)(1)(1)(1)1302826455P X ==-⨯-⨯-⨯=则甲参加活动的时间的期望为32448697123457455455455EX =⨯+⨯+⨯+⨯=…….. 8分（2）设甲中签为事件A ，则9898984()111091091095kP A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L设,m k m N +≤∈,甲在第21,2m m -个月中中签的概率为114(21)(2)105m P X m P X m -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，则甲在事件A 发生的条件下，第21,2m m -个月中中签的概率为114105()m P A -⎛⎫⎪⎝⎭，理科数学试卷 第11页 共 4 页则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为()()2114441234(56)(212)10()555k EX k k P A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ………10分 214443711(41)555k S k -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，则214444437(45)(41)55555k kS k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L所以211444434(41)55555k kS k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L4451912055k kS k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以 444191425519195224421155k k k k kk k EX ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …………12分 22. （1）直线的直角方程为10x y ++=， ……….2分曲线的直角坐标方程()22:24C x y ++= ……….4分（2）直线的参数方程可化为()122x t t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 ……….6分代入曲线可得230t -= ……….8分理科数学试卷 第12页 共 4 页所以1212113t t AP BP t t -+== ……….10分23. （1）2a =时，当2x <-时，()3f x =-1≥-，x 无解； ……………1分 当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤； ……………2分 当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >； ……………3分 综上，()1f x ≥-的解集为{}1x x ≥-. ……………5分（2）()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+， ……………6分()()21,1xg x =-+∈-∞， ……………7分由题意知，()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +<， ……………9分a ∴实数的取值范围为20a -<<. ……………10 分。
xx 年3月济南市高三统一考试数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，共150分。
测试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合{}1x 0,x 2y |y B ,1x 1,x y |y A 31≤<-==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==，则B A I 等于（ ）A. ]1,(--∞B. [－1，1]C. ΦD. {}1 2. 如果R a ∈且0a a 2<+，那么22a a a a --、、、的大小关系是（ ） A. a a a a 22->->> B. a a a a 22>->>- C. 22a a a a ->>>-D. 22a a a a ->>->3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=60°，24b ,34a ==，则角B=（ ）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上答案都不对4. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3a 23S n n -=，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A. )1n n (2a 2n ++= B. 3n 3a n +=C. n n 23a ⋅=D. nn 32a ⋅=5. 以0y 4x 3=±为渐近线的双曲线过点（3，－4），则此双曲线的离心率e 等于（ ）A. 45B. 35C. 34D. 3545或6. 已知向量(2,1)b (1,3),a ==，若)b (3a )b 2a (λ++与平行，则实数λ的值等于（ ）A. 6-B. 6C. 2D. 2-7. 由1x 3y 2+=、1x =、3x =及x 轴围成的图形的面积为（ ）A. 28B. 26C. 30D. 3328. 关于函数)43x 3sin(2)x (f π-=，有下列四个命题：（ ）①其最小正周期为π32； ②其图象由x 3sin 2y =向左平移4π个单位而得到；③其表达式可写成)43x 3cos(2)x (f π+=； ④在]125,12[x ππ∈上为单调递增函数。
山东省实验中学2020届高三下学期第三次诊断考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列11{}n n a a +⋅前n 项和的最大值为（ ）A ．49 B ．1C ．4181 D ．1513153．已知函数，若，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．定义区间[],a b ，(),a b ，(],a b ，[),a b 的长度为b a -.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m （其中(]0,m e ∈，e 为自然对数的底数），那么称这个函数为“m 函数”.下列四个命题： ①函数()ln xf x e x =+不是“m 函数”；②函数()ln xg x x e =-是“m 函数”，且1m me =；③函数()ln xh x e x =是“m 函数”；④函数()ln x xx eϕ=是“m 函数”，且ln 1m m =. 其中正确的命题的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC V 2223)a c b +-，周长为6，则b 的最小值是（ ）A ．2B 3C ．3D ．436．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i +7．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息：①10月份人均月收入增长率为2%； ②11月份人均月收入约为1442元； ③12月份人均月收入有所下降；④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高. 其中正确的信息个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．7⎛ ⎝⎦C ．5⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．7⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 9．若复数z 满足()21213z i i -+=+(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． “1m >”是“函数()333x mf x +=-[)1,+∞上无零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设函数2(0)()ln(1)2(0)x bx c x f x x x ⎧++≤=⎨++>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）A ．10步、50步B ．20步、60步C ．30步、70步D ．40步、80步 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2020届高三3月（二模）月考数学（理）试题解析【试题总体说明】1. 本套试卷命制符合最新《考试大纲》，侧重于重难点的考查，基础试题如选择题前7道题目,填空题前2道到均为简单题，整体难度中等偏上，如选择11,12。
2. 题目立足教材，对本重点或难点考查全面，突出整套试卷的训练价值。
试题从不同角度来命制，因设计到进度问题，本试卷考试内容不包含选修系列4． 3. 本套试卷较好的控制题目的信度和区分度，力求学生的测试成绩能够呈现正态分布。
既要考核学生对基本理论、基础知识掌握的深度、广度，又要考核学生通过思考，融会贯通，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
试题的编排要注意了整体的难度和梯度（从易到难）。
利用解答题中的安排较为合理，考查了重点题型，并且命题的角度比较新颖，如解答题19题和22题。
参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B );如果事件A 、B 独立,那么P (A ∩B )=P (A ) g P (B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率: n P (k)=kknCp (1)n k p --(k =0,1,2,…, n ). 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数1+i4+3i 的虚部是 A. 1i 25 B. 125C. 125-D. 1i 25-【解析】B 1(1)(43)7714325252525i i i i i i ++-+===++。
2. 直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k =A. -3或-1B. 3或１C. -3或１D. -1或3 【解析】C 两直线垂直的充要条件是(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，即2230k k +-=，解得1,3k =-。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
山东省六地市部分学校2020届高三数学3月线上考试试题注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题 共60分）1、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,+∞ D. [)0,+∞2.设（为虚数单位），其中，是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i x y i x y +A ．5B ．．23.已知a,b 都是正数，则“”是 “”的3log 3log b a <333>>b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲 B.乙 C.丙 D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.B. C. D.1201544158156.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是n x x ）（22-A.210 B.180 C.160 D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东A 45 A 前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为30 100m B B 30 A. B. C. D. 50m 100m 120m 150m8.已知函数满足，且的图象交点)(x f 213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f )()(x g x f 与为则的值为),,(),,(),,(882211y x y x y x 128128x x x y y y +++++++L L A.20 B.24 C.36 D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和321,,A A A 黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A. P(B)=B. P 52115A |B 1=）（C. 事件B 与事件相互独立 D.、、两两互斥1A 1A 2A 3A 11.已知点P 是双曲线的右支上一点，为双曲线E 的左、右焦点，1916E 22=-y x ：21,F F 的面积为20，则下列说法正确的是21F PF ∆ A.点P 的横坐标为B.的周长为32021F PF ∆380C.D.的内切圆半径为321π小于PF F ∠21F PF ∆4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=，则点P 的轨迹是一段圆弧3C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面3图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量＝(1，＋1)，＝(，2)，若满足//，且方向相同，则＝ .x x x 14.已知 m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____________.1x 22=-m y 15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为0x )()(f 00x f x -=-“倒戈函数”，设是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x 实数m 的取值范围是 .16. 已知函数是这两个函数图(),()0,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中象的交点，且不共线.①面积的最小值为 ;1ABC ω=∆当时，②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为 .ABC ∆ω四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）数列).13(21}{321-=++++n n n a a a a a 满足：（1）求的通项公式；}{n a （2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n n n =18. （12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知ABC ∆A B C ，，,,a b c sin b A .sin()3a B π=+（1）求角的大小；B （2）求的取值范围.a c19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况N(μ,σ2)正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的σ2值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据： ≈4.38， 19.221.4≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.1587426.6≈0.0006， ，，(+)0.6826P X μδμδ-<<=(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=)(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=21.（12分）已知抛物线为抛物线的焦点，焦点F 到直线F p px y C 点),0(2:2>=的距离为，焦点F 到抛物线0343=+-y x 1d 1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，x 且为定值，求点M 的坐标.2211|PM|||QM +22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数的极值点的个数；)(x f （2）若函数有两个极值点)(x f .2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：答案订正。
山东省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·昭通月考) 若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·山西月考) 平面向量与的夹角为60°，且 ,则（）A .B .C . 4D . 123. （2分）(2019·西宁模拟) 已知等差数列满足，，则它的前8项的和为（）A . 95B . 80C . 40D . 204. （2分）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin（3x+）的图象（）A . 向右平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向左平移个单位5. （2分）设F为抛物线的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A . 36B . 24C . 16D . 126. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 实数满足且，则的最大值为（）A .B .C . 5D . 77. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·和平期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A . 5B . 7C . 9D . 119. （2分）已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立，若，则a,b,c大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . a>c>bD . c>a>b10. （2分） (2018高三上·晋江期中) 已知函数对任意实数a，b满足，且，若，则数列的前9项和为A . 9B .C .D . 111. （2分）(2013·上海理) 函数f（x）= 的大致图象是（）A .B .C .D .12. （2分）设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则• 为（）A .B . ﹣C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·重庆期末) 等比数列中，，其中公比，则________.14. （1分）已知n= x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为________．15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆 +x2=1，过点P（，）的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．16. （1分）用二分法求方程在区间上根的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2019高二上·黄陵期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝， sinB ＝3sinC.（1）求tanC的值；（2）若a＝，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·抚州期中) 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ（2）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．19. （5分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数5085115140160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21. （10分） (2018高二上·赤峰月考) 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．22. （5分）(2017·南通模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．23. （10分） (2016高二下·永川期中) 已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设m，n，k为正实数，且m+n+k=f（0），求证：mn+mk+nk≤ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
山东省济南市高三下学期数学3月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2017·江苏模拟) 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=________．2. （1分）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2 ，则ix+y=________3. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ________4. （1分）(2018·徐州模拟) 函数的定义域为________．5. （1分） (2019高三上·城关期中) 甲、乙两校各有3名教师报名支教．若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为________.6. （1分） (2016高一下·咸阳期末) 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于________．7. （1分） (2015高三上·连云期末) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线 =1渐近线的距离为________．8. （1分） (2015高三上·盐城期中) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3 ， S9 ， S6成等差数列，且a2+a5=2am ，则m=________．9. （1分） (2016高二上·高青期中) 不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为________．10. （1分）已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积________11. （1分）若抛物线y= x2+1在点（2，3）处的切线与圆x2+（y﹣m）2=5（m＞0）相切，则m的值为________．12. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 若不等式对任意恒成立，则实数的值________.13. （1分）(2017·鹰潭模拟) 直线l与函数y=cosx（x∈[﹣， ]）图象相切于点A，且l∥CP，C （﹣，0），P为图象的极值点，l与x轴交点为B，过切点A作AD⊥x轴，垂足为D，则 =________．14. （1分）已知函数f（x）=|log2x|，g（x）= ，若方程f（x）﹣g（x）=1在[a，+∞）上有三个实根，则正实数a的取值范围为________．二、解答题 (共11题；共95分)15. （10分） (2015高二上·朝阳期末) 如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD1 ， A1D1的中点．（1）求证：平面CMN∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面A1AE．16. （10分） (2018高一上·西宁期末) 已知，，，，求的值.17. （10分） (2016高二上·湖北期中) 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a= ，求角C．18. （10分）(2018·长沙模拟) 已知椭圆 : （）的离心率为，，分别是它的左、右焦点，且存在直线，使，关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与抛物线相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于、．试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由．19. （5分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．20. （15分）(2017·辽宁模拟) [选修4-5：不等式选讲]已知x，y∈R．（1）若x，y满足，，求证：；（2）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．21. （5分） (2016高三上·扬州期中) 已知矩阵M= 的一个特征值为4，求实数a的值．22. （5分） (2018高二下·长春开学考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．23. （5分）已知a1 ，a2 ，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1.求证：.24. （10分）(2018·大庆模拟) 已知四棱锥的底面为正方形，上面且．为的中点．（1）求证：面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.25. （10分） (2016高二下·衡阳期中) 2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共11题；共95分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、。
2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。
山东省济南市2020届高三3月模拟考试（理科）数学试题及答案本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
训练时间l20分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(AB)=P(A)十P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z 满足z(1+i)=1(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 是 (A)1122i + (B) 1122i - (C) 1122i -+ (D) 1122i -- (2)已知集合A={||1|2x x -<}，B={2|lg()x y x x =+}，设U=R ，则A (U ðB)等于(A) [3，+∞) (B) (-1，0](C) (3，+∞) (D) [-1，0](3)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于 (A)2 (B)4 (C)8(D)12 (4)函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致是(5)执行右面的程序框图，输出的S 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(6)在△ABC 中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cosB 的值为 (A)13 (B) 12 (C) 15 (D) 14(7)如图，设抛物线21y x =-+的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ， 则点P落在∆AOB 内的概率是 (A) 56 (B) 45(C) 34 (D) 23(8)已知221,02(),(),20x x g x ax a f x x x ⎧-≤≤=+=⎨--≤<⎩，对12[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使12()()g x f x =成立，则a 的取值范围是(A)[-1，+∞) (B)[-1，1] (C) (0，1] (D)(-∞，l](9)已知点M(x ，y)是平面区域0010240x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值是(A)10 (B)495(C) (D)13 (10)已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 (A)(19，+∞) (B)(15，+∞) (C) (13，+∞) (D)(0，+∞) 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．(11)某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 辆．(12)设圆C ：22(3)(5)5x y -+-=，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 ．(13)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答)．(14)在△ABC 中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量的模为 ． (15)已知下列命题：①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“m//α”是“αβ⊥”的充要条件；②351()x x+的展开式中含x 3的项的系数为60； ③设随机变量ξ～N(0，1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(-2<ξ<0)=1-2p ； ④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m +1恒成立，则m 的取值范围是(-∞，2)； ⑤已知奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，且0<x<2π时()f x x =，则函数()()sin g x f x x =-在[2π-，2π]上有5个零点．其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)． 三、解答题：本大题共6小题；共75分． (16)(本小题满分12分)已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π．(I)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值． (17)(本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=2，，M 为棱PB 的中点． (I)证明：DM ⊥平面PBC ； (II)求二面角A —DM —C 的余弦值． (18)(本小题满分12分)一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．．(I)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (II)从袋中有放回地取球． ①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． (19)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11. (I)求a n 及S n ；(II)证明：当n ≥2时，有121117 (4)n S S S +++<． (20)(本小题满分l3分)已知椭圆22221x y a b +=(a>b>0)经过点，1)．(I)求椭圆的标准方程；(II)已知点，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足2PA PB =-，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． (21)(本小题满分14分)已知函数2()(1)x f x k x e x =-+．(I)当时1k e=-，求函数()f x 在点(1，1)处的切线方程；(II)若在y 轴的左侧，函数2()(2)g x x k x =++的图象恒在()f x 的导函数'()f x 图象的上方，求k 的取值范围；(III)当k≤-l 时，求函数()f x 在[k ，l]上的最小值m 。
高考模拟数学试卷本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1. 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.2.球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 (A) 2i (B) 2i - (C) 2i + (D) 2i -+【答案】：B（2）设集合{}{}2230,,x A x x x B y y e x R A B =--<==∈=，则I(A) ()03， (B) ()02， (C) ()0，1 (D) ()1，2【答案】：A（3）已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，则()f x 的图象的一个对称中心是(A) (,0)3π-(B) (,0)6π-(C) (,0)6π(D) (,0)4π【答案】：B （4）下列四个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆否命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④若0x >，则sin x x >恒成立.其中正确结论的个数是(A) 1个 (B) 2个(C) 3个(D) 4个【答案】：C （5）已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是(A)(B) (C) (D)【答案】：A（6）如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是(A) 0 (B) 1- (C) 2- (D) 3-【答案】：C（7）已知函数()()()2111f x x x a x a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则22a b +的取值范围是A.)+∞B.)+∞ C.[)5,+∞ D.()5,+∞【答案】：D（8）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为(A) 432(B) 288(C) 216(D) 144【答案】：B ；法一：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有22326C A =种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有22A 种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有12C 种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有13C 种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有211223672A C C =种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有22A 种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有22246144A A =种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B ；法二：223222323423(2)288C A A A A A -=．（9）已知()2223,043,0x x x f x x x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是(A) (),2-∞- (B) (),0-∞(C) ()0,2(D) ()2,0-【答案】：A结束（10）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是23（e 为双曲线的离心率），则e 的值为(A)(B)2(C)233或(D)2【答案】：B第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 【答案】：6第11题图（12）若1a >，函数()()2221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的最小值，则()1af x dx =⎰___________．【答案】：283（13）设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=+⋅+r r r r r r ，则的最大值为________．【答案】：1+（14）在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （Ⅰ）对任意R a ∈，0a a *=；（Ⅱ）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*． 关于函数1()()x xf x e e =*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞． 其中所有正确说法的序号为 ．【答案】：①②（15）已知函数()21f x x =+，点O 为坐标原点，点()()()*,n A n f n n N ∈，向量()0,1,n m θ=是向量nOA uu r 与m 的夹角，则32015121232015cos cos cos cos sin sin sin sin θθθθθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值为__________. 【答案】：201510082三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）设向量(sin 2,cos 2)m x x ωω=，(cos ,sin )n ϕϕ=，其中2πϕ<，0ω>，函数()f x m n =⋅的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为(,1)6P π，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12Q π. （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若3()1,2f C CACB =-=-， 且a b +=c ．解：解：（I ）因为()f x m n ==sin(2)x ωϕ+， -----------------------------1分 由题意514126T T πππω=-∴=∴=， -----------------------------3分 将点(,1)6P π代入sin(2)y x ϕ=+，得sin(2)16πϕ⨯+=，所以2,()6k k πϕπ=+∈Z ，又因为||,26ππϕϕ<∴=-------------------5分即函数的表达式为()sin(2),()6f x x x R π=+∈． ---------------------6分（II ）由()1f C =-，即sin(2)16C π+=-又20,3C C ππ<<∴=------------------------8分 由32CA CB =-，知3cos 2ab C =-， 所以3ab = -----------------10分 由余弦定理知22222cos ()22cos c a b ab C a b ab abC =+-=+--212323()92=-⨯-⨯⨯-=所以 3c = ----------------------------------------------------12分（17）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点，=90ABC ACD ︒∠∠=,=60BAC CAD ︒∠∠=,2AC AP ==.（Ⅰ）求证：PC AE ⊥；（Ⅱ）求二面角A CE P --的余弦值． 解：（Ⅰ）取PC 的中点F ,连接EF ,AF ,A BDPE则EF ∥CD . 因为2AC AP ==所以PC AF ⊥.………………………………1分 因为 PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以 PA CD ⊥ 又 AC CD ⊥所以 CD ⊥平面PAC ……………………………………………………………3分 因为PC ⊂平面PAC ,所以 CD ⊥PC ； 又 EF ∥CD ，所以 EF PC ⊥； 又因为 PC AF ⊥,AFEF F = ；所以 PC ⊥平面AEF ……………………………………………………………5分 因为AE ⊂平面AEF ，所以 PC AE ⊥ …………………………6分 （注：也可建系用向量证明）（Ⅱ）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.则()0,0,0B ,()0,1,0A,)C，()D,)2,1E,()0,1,2P()3,1,0AC =-，()0,2,1CE =.………………………………………………8分 设平面ACE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以0,20.y y z -=+=⎪⎩ 令1x=.所以1(1=-n . ……………………9分 由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAC ,AF ⊂平面PAC ,所以CD ⊥AF . 同理PC ⊥AF .所以AF ⊥平面PCE 所以平面PCE 的一个法向量231(,1)22AF ==-n . …………………10分所以121212cos ,4⋅==-⋅n n n n n n ， ……………………11分由图可知，二面角A CE P --为锐角，所以二面角A CE P -- ……………………12分 （18）（本小题满分12分）某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．P根据以往的比赛情况统计：（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（Ⅱ）设随机变量为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量的分布列与数学期望；（Ⅲ）在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）解析：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A 1、A 2、A 3，乙队胜、平、负丁队为事件B 1、B 2、B 3． 则1()P A =2()P A =14，3()P A =12；1()P B =2()P B =3()P B =13；…………2分 设乙队最后积4分为事件C ， 则1313()()()()()P C P A P B P B P A =+=1111143234⨯+⨯=．…………………4分 （Ⅱ）随机变量的可能取值为：7，5，4，3，2，1．………………5分11111(7)()()4312P X P A P B ===⨯=；122111111(5)()()()()43436P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；133111111(4)()()()()43234P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；22111(3)()()4312P X P A P B ===⨯=；233211111(2)()()()()43234P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；33111(1)()()236P X P A P B ===⨯=；随机变量的分布列为：11111110()754321126412463E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………10分 （Ⅲ）N 同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．……………12分当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线； 当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线； （19）（本小题满分12分）下表是一个有正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等.已知1,11a =，2,38a =，3,26a =. (Ⅰ)求数列{}2,n a 的通项公式； （Ⅱ）设2,,12,2,1(1)(1)(1)nnn n n n a b a a a +=+---，求数列{}n b 的前n 和n S .解：(Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为d ， 设第一行依次组成的等比数列的公比为(0)q q ≠，则222,32,13,23,1(1)8(12)6a a q d q a a q d q ⎧==+=⎪⎨==+=⎪⎩ ………………………………4分 解得：718d d =-=或，因为等差数列是正数数列，所以1d =，2q = …………5分 12,2,12n n n a a q -== ………………………………6分（Ⅱ）因为,11,1(1)n a a n d n =+-= ………………………………7分所以 2,,12,2,1(1)(1)(1)nn n n n n a b a a a +=+---11211(1)(1)(21)(21)2121n n nn n n n n n ++=+-=-+----- ……………………9分 11111111(1)()()()12345(1)3377152121n n n n S n +=-+-+-++--+-+-++---11112345(1)2n n n +=--+-+-++- ………………………………10分当n 为偶数时11122n n nS +=-+ ………………………………11分 当n 为奇数时111122n n n S ++=-- ………………………………12分 （20）（本小题满分13分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．由题意知，直线MP 、MQ 的斜率存在． 设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………………6分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）（方法一）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1．…………………………11分 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………13分 （方法二）由（2）直线PQ 的斜率为1，设其方程为y x m =+22163xy y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩由 得2234260x mx m ++-= 21212426,33m m x x x x -∴+=-=1122(2,1),(2,1)MP x y MQ x y =++=++121221212222(2)(2)(1)(1)=2(3)()25263=2(3)2533=21MP MQ x x y y x x m x x m m m mm m m m m ∴⋅=+++++++++++--⨯++⨯+++-+假设PMQ ∠为直角，则由2210m m -+=得1m =………………………………11分所以直线PQ 的方程为1y x =+因为点M （-2，-1）在直线1y x =+上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意．所以PMQ ∠不可能为直角．………………………………13分 （21）（本小题满分14分）已知函数()=ln(1+)axf x x x a-+． （Ⅰ）证明：当1a =，0x >时，()0f x >； （Ⅱ）若1a >，讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性； （Ⅲ）设*n N ∈，比较12231nn ++⋅⋅⋅++与ln(1)n n -+的大小，并加以证明． 解：（Ⅰ）当1a =时，()=ln(1+)1xf x x x -+，2221(1)()=1+(1)(1)x x x x f x x x x +-+'-=++……1分 所以0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)=0f ， ()(0)0f x f >=；结论得证．………………………………………………………4分 （Ⅱ）由题设，()()()()()2220,,1x x a a x f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'∈+∞=++．…………………5分① 当220a a -≤，即12a <≤时，则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．…………………7分 ② 当220a a ->，即2a >时，有()20,2x a a ∈-时，()0,f x '<()f x 在()20,2a a -上是减函数；()22,x a a ∈-+∞时，()0,f x '>()f x 在()22,a a -+∞上是增函数．……9分综上可知，当12a <≤时， ()f x 在()0,+∞上是增函数；当2a >时，()f x 在()20,2a a -上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数．……10分（Ⅲ）12ln(1)231nn n n ++⋅⋅⋅+>-++，证明如下： 方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>x1＋x，x>0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .………………………………11分下面用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．………………………………12分②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．………………………………………………………14分 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>x1＋x，x>0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.………………………………11分故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n>1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．………………………………………………………14分方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1dx 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和，………………………………12分错误！未找到引用源。
