《圆周角》导学案

24.1.4《圆周角》（1）学习目标1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算. 2．了解分类思想和完全归纳的思想.学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用. 学习难点: 了解分类思想和化归思想. 学习过程 一．自主学习1．圆周角定义: 叫圆周角. 2．判断下列各图形中的是不是圆周角.（A ）2个， （B ）3个， （C ）4个， （D ）5个。

3．圆周角的两个特征： ① 角的顶点在 ；② 角的两边都 . 4．分别度量下图中AB 所对的两个圆周角∠C ，∠D 的度数，比较一下，∠C_____∠D.变动点C 的位置，圆周角的度数有没有发生变化？ （1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于 的的一半. 二．探索新知如图所示，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时折痕可能下图出现三种情况：你能分别证明这三种情况中 AB 所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？（1）如图1，当圆周角∠BAC 的一边AB 刚好是折痕（⊙O 的直径）时；OA DB C（2）如图2，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的两侧时；（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。

问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC =DF 吗？为什么？结论:___________________________________________三．应用新知例1 如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.例2 如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.OCBA87654321DCBA例3 已知:四边形ABCD 的四个顶点都在圆上，且AB ∥CD . 求证:AB=CD四．发现总结1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想. 五．巩固提高如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，点P 是CAD 上的一点，（不与C 、D 重合） （1）求证：∠CPD=∠COD.（2）如图 2，若点P 在劣弧CD 上（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COD 的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明. 图1 图2ODB AD C PD C六．课堂检测1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒2．如图2，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）A.100°B.80°C.70°D.50°3．如图3，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线交于点A ，如果∠A=30°, ∠CFE=70°,∠CDE=（ ） A ．20° B.40 ° C.50 ° D.60°4．如图4，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 、BE 是高，交点为H ，BE 的延长线交⊙O 于F ，下列结论：①∠BAO=∠CAD ；②AO=AH ；③DH=DC ；④EH=EF ，其中正确的的结论（ ） A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ③④5．如图5，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，E 为劣弧CB 上的一动点(不与B 、C 重合)，DE 交弦BC 于点N ，AE 交半径OC 于点M ，在E 点运动过程中，∠AMC 与∠BNE 的大小关系为（ ）A ．∠AMC>∠BNE B. ∠AMC=∠BNEC. ∠AMC<∠BNED. 随着E 点的运动以上三种关系都有可能6．如右图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=32cm ，（1）求∠ABC 的度数； （2）求⊙O 的面积7．如下图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴上的一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCQ ，A （－1，0）,C （0，3）.图2D C BA 图3OE FDB 图O F HE DC B A图5O N M E D CBA（1）求M 点的坐标.（2）当P 点运动时，线段AQ 的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.y x M O Q P DCB A。

《24．1.4 圆周角》教案【教学目标】1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．【教学过程】一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )A．25° B．30° C．35° D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B .又由题意可知∠AOC ＝2∠ADC .∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD ，可得AO ＝OD ，CO ＝OD .∴∠OAD ＝∠ODA ，∠OCD ＝∠ODC .∴∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补.三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.《24.1.4 圆周角》教案第1课时圆周角定理及推论【教学内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．【重难点、关键】1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．【教学过程】一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天A 要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．CC（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin c C=2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．第2课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用【教学目标】1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论.2.培养演绎推理能力和识图能力. 【教学重点和难点】1.重点：圆内接四边形的对角互补.2.难点：结论的证明. 【教学过程】（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如图， x= °.2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°， 则∠DBC= °，∠BDC= °， ∠BCD= °.3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.（二）创设情境，导入新课 （师出示下面的板书）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）.师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示下图）x 50︒40︒ABCDOABCD.师：（指准图）这是四边形ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍停）这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我们还把⊙O 叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）.师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形.师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）.师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）.师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）.师：（把BAD描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？生：（齐答）∠C.师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪个？生：（齐答）∠BOD.师：红弧所对的圆心角是∠BOD （边讲边用红笔标∠BOD ）. 师：（把BCD 描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？ 生：（齐答）∠A.师：黄弧所对的圆周角是∠A （边讲边用红笔标∠A ），那黄弧所对的圆心角是哪个？生：……师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）. 师：（指准图）根据圆周角定理，∠A 等于这个圆心角的一半，∠C 等于这个圆心角的一半，所以∠A+∠C 等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角等于360°，所以∠A+∠C 等于360°的一半，等于180°.师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来做几个练习.（四）试探练习，回授调节4.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=60°， 填空：(1)∠BCD= °； (2)∠DCE= °； (3)∠B+∠D= °.5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∠BOD=100°， 则∠BAD= °， ∠BCD= °.（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们来看一道例题. （师出示例题）例 求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，图形、已知、求证及证明过程如下）E.D CBAOA BOC D已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形. 求证：∠DCE=∠A.证明：∵∠DCE+∠BCD=180°， 又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A.（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论3，圆内接四边形的对角互补；还学习了一个例题，利用推论3证明了圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接拿来用.（作业：P 88习题6.7.） 课外补充作业6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E= °， ∠D= °，∠ACB= °. 四、板书设计《24.1.4 圆周角》教案EDAOB C.ABCDE5、几何语言：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 三、应用举例：例1、若四边形ABCD 为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是（ ）A.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4D.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如图，点C 、D 是⊙O 上不与点A 、B 重合的两点，（1）若∠AOB=70°，则∠ACB= ° （2）若∠ACB=130°，求∠AOB 的度数. （写出推理过程）练习：1、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ， 则∠A+∠C= °，∠B+∠ADC= °， 若∠B=80°，则∠ADC= ，∠CDE= ；2、如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC=100°，则∠B= ， ∠D= ；3、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ：∠C=1:3，则∠A= ；4、如图3，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠B=75°，则∠C= °。

圆周角（1）导学案绵竹市孝德中学:王伦平【学习目标】：1、 理解圆周角的概念,能运用概念进行辩识圆周角。

2、 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系。

3、 经历探索过程，体会分类、化归和完全归纳等数学思想方法。

4、 会运用圆周角定理解决简单问题。

【学习重点】：圆周角概念及圆周角定理.【学习难点】：圆周角定理的探索过程。

【学习过程】专题一：课前预习: 1、观察右图1.1右图中∠C,∠D 和∠E 是圆心角吗？它们是____________.1.2右图中∠C,∠D 和∠E 有什么共同特点？2、★圆周角定义：阅读教材P84内容，回答下列问题 2.1什么是圆周角？2.2你觉得识别圆周角要把握哪些件： ； 。

2.3运用圆周角的定义，判断下列各图中，各图中的角是不是圆周角？并说出判断理由．．．．．．．（1）（2）（3）（4）（5）专题二：新知探究 3. ★探究圆周角定理 3.1 ：量一量①还能再画一个与∠C 具有共同特点的角吗？观察演示（一）: 观察»AB所对的圆周角有多少个？ 结论：在同一个圆中，同弧所对的圆周角有_____个。

②同学乙、丙、丁看到的海洋范围（视角）一样吗？观察演示（二）：观察»AB所对的圆周角的大小关系 结论：在同一个圆中，同弧所对的圆周角________。

③乙、丙、丁的视角∠C 、∠D 、∠E 与同学甲的视角∠AOB 又有什么关系？观察演示（三）：»AB所对的圆周角与»AB 所对的圆心角的大小有什么关系？ 结论：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的_______.④根据度量结果和观察结论猜想：：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____ ，并且都等于这条弧所对的圆心角的__________。

玻璃丁乙玻璃丁乙3.2 定理证明已知：在⊙O 中，»BC所对的圆周角是∠A ，圆心角是∠BOC 求证：1= BOC 2A ∠∠观察演示（四）：观察»AB所对圆心角的顶点O 与»AB 所对圆周角有几种不同的位置关系？Ⅰ:圆心在圆周角一边上时(图1) Ⅱ: 圆心在圆周角内部时(图2) 证明：如图1 证明：如图2_________21_____2O OA OCA BOC A BOC AA =∴∠=∠=∠+∴∠=∠∠=e Q Q 在中即： Ⅲ:圆心在圆周角外部时(图3)定理辩析：圆周角定理使用条件是什么？结论有几个？它们是？圆周角定理的三种语言：（1）文字语言：（在上面）（2）图形语言(如右图) （3）符号语言图11____=____(1)21____=____(2)22_______I ∠∠∠∠∠∠e 连接AO 并延长交O于点D 由证明易得：1由(1)___()得：_____=21____=____(1)21____=____(2)22_______I ∠∠∠∠∠∠e 连接AO 并延长交O 于点D 由证明易得：1由(1)___()得：_____=2»______O AB ∴∠=∠e Q 在中»1______21___2O ABD AOB∴∠=∠∠=∠e Q 在中图2图33.3 及时反溃1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．2、如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形的对角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？3.4 例题讲解：例1：在⊙O 中， AB 是⊙O 的一条弦，圆周角∠CBD=30° ,∠BDC=20°, 求∠A想一想：（1）在圆周角定理中，能把 “同弧”能否改成“同弦”吗？为什么？专题三：学习小结请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……作业：必做：①87页 87页 习题21﹒4 第 4题、第5题 ②完成例1的解题过程；③选做：88页 第12题第2题图专题四：尝试练习1、如图1，AB 是⊙O 的直径，»»BCBD ，∠A=30°，则∠BOD=_______。

圆周角学习目标：理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，体会定理证明屮的分类、转化，由特殊到一般等数学思想方法。

重点：定义的理解、定理的推导及运用难点：定理的发现与证明三.基础题1.如图，点A、B、C、D在。

0上，点A与点I)在点B、C所在直线的同侧，ZBAC=35°(1)ZBDC= __________ °，理由是_(2)ZBOC= __________ °，理由是—2.如图，占A、B、C在00上，(1)若ZBAC=60° ,求ZB0C=(2)若ZA0B=90°，求ZACB=_提高运用题(独立完成后小组合作交流)1. ______________________________ 如图，有一圆形展厅，在其图形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°,为了监控整个展厅，最少需要圆形人边缘上共安装这样的监视器台。

学具准备：量角器、圆规、直尺教学过程：一、知识链接：圆心角定义及性质二、圆周角定义(自学课木第15页的议一议)圆周角的定义：___________________________巩固练习(独立完成，说明理由)ACAB2. ____________________________________ 如图，量角器外沿上有A,B两点，它们的读数分别是70° ,40° ,则Z1的度数为____________________ o|TT1 谟晋小结本扫课我们盂有哪些收获? 知识：数学思想：解题：五、达标检测1.下列命题中是真命题的是（）A顶点在圆周上，一边与圆相交的角叫圆周角B顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角C圆周角是圆心角的一半D —条弧的度数为120。

，则它所对的圆周角度数为120。

2、如图，D是弧AC的中点,与ZABD相等的角的个数是（）3、如图，A,B,C,D是00上四点，D是弧的中点，CD 交OB 于E, ZAOB=\OQ° , ZOBC=55° ,则ZOEC= ____________ ° .六、分类作业（每小组6人）A类作业：（每组1〜3号）习题4.5 第1题添加条件Z1 = Z2,找岀相等的角和相似的三角形2、一条弦分圆周成1:4两部分，那么这条弦所对的圆周角是多少度。

圆周角导学案学习目标：1、了解圆周角的概念，理解圆周角的定理。

理解圆周角定理的推论。

熟练掌握圆周角的定理及推论的灵活运用。

2、通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法。

3、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。

学习重点：圆周角定理、圆周角的定理的推论及运用。

学习难点：运用数学分类思想证明圆周角定理。

学习过程：一、新课引入上节课我们学习了圆心角，什么叫圆心角？今天我们又要学习另一种角。

二、自学探究1、自学提纲P64-66（1）什么叫圆周角？你能列举出生活中的圆周角吗？（2）量出图3-10中∠BAC和∠BOC的度数，它们有什么关系？（3）画一个圆，然后任意画一个圆周角，以及相应的圆心角，量出它们的度数，看它们之间有什么关系？（4）一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角有什么关系？书上分几种情形来证明的？你会证吗？（5）P66的几个推论你懂吗？（6）P66练习T1、22、小组讨论交流3、小组展示学习成果4、教师点拨：（1）圆周角要具备两个条件：①角的顶点在圆上；②角的两边与圆相交。

（2）两个推论的前提都是“在同圆或等圆中”。

将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立。

因为一条弦（除直径）所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。

三、小结反思你这节课有什么收获？你还有什么疑问？四、当堂检测1、如图1，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中有个圆周角。

2、如图2，点A、B、C都在⊙O上，若∠O=40度，则∠C= 。

3、如图3，已知∠BOD=100度，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，那么∠DAB= 。

4、如图4，∠BAC=25度，∠CED=30度，则∠BOD= 。

5、如图5，AB为⊙O的直径，AC为弦，O D∥BC交AB于点D，若AB=20cm，∠A=30度，则AD= cm。

CD 24.1.4 圆周角 第 课时班级: 姓名： 授课教师： 时间：学 习目 标:1． 理解并掌握圆周角的定义2. 掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.一．自主学习（一）阅读课本P84-86, 并完成以下各题。

1．圆周角的定义： ，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2．定理：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 。

3，推论：（1） （或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦 是 。

（2）在同圆或等圆中， 的圆周角所对的 。

4．圆内接多边形：圆内接四边形的 。

二、展示时刻：1．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°，则∠C 的大小为（ ）2.如图,A,B,C 是⊙O 上三点, ∠AOC=100°, 则∠ABC= °.3.. 如图,在⊙O 中, ∠ACB=∠BDC=60°,AC=32, (1)求∠BAC 的度数;(2)求⊙O 的周长.ODA4、例题分析例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB的度数.【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质三、达标检测1.如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.3.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。

4.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则弧AC的度数是( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？四．小结1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断.2.一条弦所对的圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。

24.1.4 圆周角
姓名：班级：组别：评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆周角的定义.
2．圆周角定理.
3.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为 .
（二）新知导学
1.直径（或半圆）所对的圆周角是 .
2.900的圆周角所对的弦是 .
3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。

圆内接四边形的对角。

【合作探究】
如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE．
【自我检测】
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，
则∠AOD= ．
2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
4．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝．
5．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半6．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
7．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等B．互补C．相等或互补 D．都不对
8．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对D．8对。

第5课时 24.1.4圆周角(1)［学习目标］1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角．2．掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明. ［学习流程］ 一、依标独学1．阅读教材认真读图，如图1，视角∠AOB 叫做 角， 2.顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在 ；（2）两边都与圆 ． 二、扣标展示活动1：(1) 阅读教材内容，动手量一量（如图2）： 问题1：同弧（弧AB ）所对的圆心角AOB ∠ 与圆周角ACB ∠的大小关系是怎样的？ 问题2：同弧（弧AB ）所对的圆周角ACB ∠与圆周角ADB ∠的大小关系是怎样的？（2）规律：同弧所对的圆周角的度数 ，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 ．活动2：（1）同学们在下面图3的⊙O 中任取AB ⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如图） （3）如何对活动1得到的规律进行证明呢？证明：①当圆心在圆周角的一 边上，如上图(1),②当圆心在圆周角内部（或在圆周角外部）（4）同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？（5）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ．活动3：（小组讨论）由图5，结合圆周角定理思考 问题1：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？问题2：90°的圆周角所对的弦是什么?推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径．四、达标测评1. 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 长．（1） （2） （3） （4） （2）（3）（1） （2）（8）五、课后反思。

圆周角【知识与技能】理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.【过程与方法】经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.【情感态度】通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.【教学重点】圆周角定理及其推论的探究与应用.【教学难点】圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用.一、情境导入，初步认识如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，获取新知1.圆周角的定义探究1 观察下列各图，图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置，此时∠APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O 上，角的两边都与⊙O相交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.2.圆周角定理探究2如图，（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D，它们所对的都是AB（2）∠C=∠D=1/2∠AOB.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C，让学生观察当C 点位置发生改变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫.为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部.已知：在⊙O中，AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB.［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］如图（1），圆心O在∠ACB的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。