§1.1 集合的含义与表示(3课时)

第一章集合
§1 集合的含义与表示(2课时)
一、新课讲授
1、集合的含义：具有某种属性的对象的全体称为集合。

1）集合的标记方法：大写字母A、B、C、D等标记。

2）元素：集合中的每个对象叫该集合的元素，常用小写字母a、b、c、d表示。

3）元素与集合的关系：任给一个元素a，则必有a∈A或a∉A
2、集合的三个性质：
（1）元素的确定性：即给定的集合的元素必须是确定的
（2）元素的互异性：即对于一个给定的集合，它的元素必须互不相同（3）元素的无序性：即集合与其中元素的排列次序无关
3、集合的分类：
（1）以元素的个数分：有限集、无限集、空集（∅）。

（2）以元素的特点分：数集、点集、式集、图形集等。

4、集合的表示法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法。

①符号形式为：{….,…}
比如{1, 2, 3 ……}， {青海湖，鄱阳湖} ，{（1，1），（2，2）（3，3），（4，4）}等。

②适用范围：有限集或有规律的无限集
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内
的方法。

①符号形式为：{代表元素| p(代表元素)}
比如{x| x 2 –1=0，x∈R } ， {x|1< x ≤ 2} ， {x2+bx+c=0| b+c+1=0} {三角形|含300角的三角形}等。

②代表元素可以是数、点、式子、图形等。

P(代表元素)是表示代表元
素所具有的属性。

③适用范围：常用于无限集，有限集也可用。

5、常见的几种集合
①数集：
自然数集→N；正整数集→N+或N*；
整数集→Z 有理数集→Q
实数集→R 正实数集→R+
②点集：如{(x, y)| y = x +1}表示直线y = x +1上的点构成的集合； {(x, y)| y = x 2+1}表示抛物线y = x 2+1上点构成的集合。

【认识以下集合】：A = {(x, y)| y = x 2 – 1，x∈R}； B = {y | y = x
2 – 1，x∈R }；
C = {x | y = x 2 – 1 }；
D = {x | x 2 – 1=0，
x∈R }。

〖解〗 A是抛物线y = x 2 –1 (x∈R)上的点所组成的集合；
B是二次函数y = x 2 –1 (x∈R)的值域，故B =｛y | y ≥–1｝； C是二次函数y = x 2 –1 (x∈R)的定义域，即C = R；
D 是二次方程x 2 – 1=0，x ∈R 的根所组成的集合。

6、∅与{ ∅}，0与{ 0}的区别
二、练习点评
例1、完成下列各小题。

（1）下列各组对象中，能构成集合的是_________
A ．高一数学书中的所有难题
B ．某班级16岁以下的学生
C ．某中学的大个子
D ．1，2，3，1
E. 方程210x -=的实数解
F. 周长为10cm 的三角形
（2）已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 .
（3）用∈或∉符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈， 则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .
（4）有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）∅={ ∅}（3）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（4）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（5）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ ）.
A. 只有（1）和（4）
B. 只有（2）和（3）
C. 只有（2）
D. 以上四种说法都不对
（5）已知集合{}c b a S ，，=中的三个元素是ABC ∆的三个边长，那么ABC ∆一定不是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
（6）已知{}12,52,22a a a A +-=且A ∈-3，求a 的值
（7）含有三个实数的集合既可以表示成⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,
a b
a ，又可表示成{}0,,2
b a a +，
求实数b a 、
（8）数集{}x x x -21，，中元素x 应满足什么条件？
（9）数集A 满足条件：若A a ∈，则
()111≠∈-+a A a a ，若A ∈31，求集合A
例2、用列举法把下列集合表示出来
（1）{}2(23)0,x x x x x R --=∈ （4）()
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎩⎨⎧=-=+00,y x y x y x （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈N x N x 916 （4）169N x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭
（5）{}N y N x x y y ∈∈+-=,,62 （6）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+
+=ab ab b b
a a y y （7）{x 2+bx+c=0| b+c —1=0，a ∈N ，
b ∈N }
例3、指出下列集合的几何意义，并画出其表示的图形。

（1）{}2(,)
1x y y x =-+ （2）()
{},12,120x y x y xy -≤≤-≤≤≥且
例4、
1、已知集合A={}2(32)0,x ax x a R -+=∈，则 1）若A 中仅有一个元素时，求a 的值；
2）若A 中有两个元素时，求a 的取值范围；
3）若A 中至多有一个元素时，求a 的取值的集合；
2、已知集合A={（x,y ）|y=ax 2+2x+1, x ∈R}和B={（x,y ）|y=x+5, x ∈R}恰有一个相同的一个元素，求a 的值。