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信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
《信息科学导论》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12301 课程英文名称：《Introduction of Information Science》课程所属单位：数理系电子信息科学与技术教研室课程面向专业：电子信息科学技术专业课程类型：必修课先修课程：（高中数理基础）学分：2学分总学时：40学时二、课程性质与目的信息科学导论是一门介绍信息科学与技术的基本内容的入门和导引性质的课程。
该课程面向电子信息科学与技术专业以及其他相近专业的低年级学生，从整体的角度介绍当代信息科学与技术的主要内容和发展前沿的概貌。
其目的是使学生在信息科学与技术方面能增加兴趣、扩展视野、立足前沿、展望未来，提高信息素养，为进入本专业的进一步学习奠定必要的基础三、课程教学内容与要求（一）第一章信息科学与技术概述1、教学内容与要求（1）理解信息的概念、性质与特点；（2）理解信息科学和信息技术的概念；（3）了解信息科学与技术发展的历史与现状；（4）了解信息科学与技术的发展趋势；（5）了解信息化的概念；（6）了解与信息化相关的基础学科。
2、教学重点理解信息的概念、性质和特点，了解信息科学与技术的发展现状与发展趋势，了解与信息化相关的基础学科。
3、教学难点信息的概念、性质与特点。
（二）第二章微电子技术1、教学内容与要求（1）了解微电子技术发展的历史；（2）理解微电子技术的物理基础；（3）了解集成电路；（4）了解微电子系统设计的基本知识；（5）了解微电子技术的发展趋势。
2、教学重点了解微电子技术的发展历史与发展趋势，理解微电子技术的物理基础，了解集成电路，了解微电子系统设计的基本知识。
3、教学难点微电子技术的物理基础，集成电路，微电子系统设计的基本知识。
（三）第三章光信息科学与技术1、教学内容与要求（1）了解光子学与电子学发展的并行性和互补性；（2）理解关于激光的基本知识；（3）理解光纤的原理与基本特点；（4）了解光纤通信系统与网络；（5）初步了解光放大技术；（6）了解光网络中关键的光子学功能部件；（7）了解光信息存储。
第四章 标量衍射理论如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．4.1 标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是：(1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．(2)给出了比例系数，λλπ//2/i e i K -=-=．(3)指出波前面(∑)并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。
第四章 标量衍射理论如图所示，衍射理论所要解决的问题是：光场中任一点Q 的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来，例如由孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点处的复振幅．显然，这是一个根据边界值求解波动方程的问题．4.1 标量衍射理论◆惠更斯—菲涅耳原理及其数学形式历史上第一个给出求解衍射理论所要解决问题的学者，是法国物理学家菲涅耳(A ．J ．Fresnel ，1788—1827)．他汲取了惠更斯原理中的次波概念，并以光波干涉的思想补充了惠更斯原理，提出了“次波相干叠加”的理念，据此成功地解释了衍射现象，它为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架，从此光波衍射研究进入了正确轨道．后人称之为惠更斯—菲涅耳原理的内容，可表述如下：波前上的每个面元可以看为次波源，它们向四周发射次波；波场中任一场点的扰动，是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加，见下图参见上图，设波前上任一面元dS 对场点P 贡献的次级扰动为)(p dU ，则场点的总扰动)(p U 按惠更斯—菲涅耳原理应当表达为其中上述积分称为菲涅耳衍射积分式，它可以作为惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式。
◆基尔霍夫衍射积分式约六十年后的1880年，德国物理学家基尔霍夫，从定态波场的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在1>>kr ，即λ>>r 条件下，导出了无源空间边值定解的表达式，与菲涅耳凭借朴素的物理思想所构造的衍射积分式(*****)比较，两者主体结构是相同的．基 尔霍夫的新贡献是：(1)明确了倾斜因子2/)cos (cos ),(00θθθθ+=f ，据此，那些2/πθ>的次波面元依然对场点扰动有贡献，即闭合波前面上的各次波源均对场点扰动有贡献．(2)给出了比例系数，λλπ//2/i e i K -=-=．(3)指出波前面(∑)并不限丁等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面，如图（a,b,c ） 所示．形象地说，立足于场点P 而环顾四周是看不见真实光源的，看到的只有边界面上的大量次波源，在这个被包围的空间中是无源的．积分面不限于等相面这一点．有重要理论价值．它为求解实际衍射场分行大开方便之门。
◆亥姆霍兹方程 在自由空间中电磁场),(t r E ),(t r H具有波动性，满足波动方程若以标量场),(~t r U 代表六个分量中的任一个，则波动方程表现为而定态波函数的一般形式为这意味着，定态波场中每点均作谐振动且各点频率相同．而复振幅)(~r U 是稳定的，仅与位置有关，而与时间无关．代入以上波动方程，得到人们更喜欢写成以下形式这便是经常被提到的亥姆霍兹定态波方程．据此，可以进一步确认t i ikr e Ae t r U ω-=),(~（平面波解），r ee a t r U ti ikr /),(~1ω-=（球面波解）均满足亥姆霍兹方程。
◆基尔霍夫边界条件与傍轴衍射积分公式菲涅耳提出的次波相干叠加的衍射原理，显然不是为了给山自由传播的光场，而是为了求解光通过屏障以后的衍射场．为了将衍射积分面为闭合波前转换为有限的光孔面，基尔霍夫提出了关于边界条件的假设。
参见图，取闭合面基尔霍夫提出： (1)无穷远面(∑2)上的波前对场点的贡献为零，即0)(~2=p U ．(2)光屏面(∑1)是对光的反射和吸收，其上波前函数为零，它对场点无贡献，即0)(~1=p U ．(3)只有光孔面(∑)的波前对场点有贡献，且假设其波前函数)(~'0Q U 等于无屏障时自由传播的光场)(~0Q U ，即)(~)(~0'0Q U Q U =．据此，衍射积分面便只限于光孔面(∑)，衍射积分式简化为基尔霍夫边界条件的假设，其内容的主要方面是合理和正确的，但从严格的电磁波理论审视，它有不自治和不严格之处。
比如，光屏面上的光场为零，而一旦过边缘进入光孔就有了光场，这种场的突变，是不满足电磁场边值关系的；与此相关．屏障材料或是金属或是介质。
不可能不影响光孔面上的光场分布，认为此时的光场依然是无屏降时的自由光场，这就欠妥了；还有，无穷远处那里的波前函数虽然趋于零，但其积分面也是元穷大，积分结果对场点的贡献是否为零，结论并不显然．严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论．严格理论下的边界情况与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差别，仅局限于光孔边缘邻近区域、波长最级的范围内。
由于光波长往往远小于光孔线度，故采用基尔程夫边界条件计算远处λ>>r 区域的衍射场，与实际情况的偏差个大，实验观测也证认了这一点。
更常见的情况是在倍轴条件下求解衍射场，参见下图．设光屏面(00,y x )的坐标原点为O ，其上次波源),(00y x Q ，场点),(y x P 。
所谓傍轴条件是指倾角rad 5.0,0<<θθ，于是， 倾斜因子球面次波函数得到傍轴条件衍射积分公式，这是今后我们定量汁算衍射场的常用公式．此式表明，不同的光孔形状(∑)，或不同的瞳函数即波前函数)(~0Q U ，将造成不同的衍射场，而积分核ikre总是这个形式．至此，我们从菲涅尔提出的次波相干叠加的衍射原理出发，建立了光的标量波衍射理 论，它适用于傍油条件下自然光的衍射。
按理说，若光源发射自然光，则其波前上次波源发射的次波也是白然光，这大量的偏振结构为自然光的次波，在傍轴条件下的相干叠加，可以用标量叠加来处理，其近似程度是很好的，由此不难理解标量波衍射理论的使用条件． 4.2 衍射系统及其分类 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射凡是使波前上的复振幅分布发生改变的物结构，统称为衍射屏．衍射屏的品种是多种多样的，有透射屏，也有反射屏；有诸如单缝、短孔、圆孔等一类中间开孔型的，也有小球、细丝、跟点、颗粒等一类中间闭光型的；有光栅、波带片等一类周期结构，也有包含景物、数码、字符等信息的黑白底片这类复杂的非周期结构，还有如透镜等一类相位型的衍射屏．以衍射屏为界，整个衍射系统分成前后两部分，如图所示．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单．常用球面波或平面波，这两种波的等相面与等幅面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射光波比较复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等相面与等幅面一般不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成衍射图样．在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏三者之间距离的远近而将衍射(系统)分为两大类，见图所示．一类是菲涅耳衍射，指的是光源一衍射屏、衍射屏一接收屏之间的距离均为有限远，或其中之一是有限远的场合，或者说，球面波照明时在有限远处接收的是菲涅耳衍射场．另一类是夫朗和费衍射指的是衍射屏与两者的距离均是无限远的场合，或者说，平面波照明时在无穷远接收的是夫琅禾费衍射场．概略地看，菲涅耳衍射是近场衍射，而夫琅和费衍射是远场衍射．不过，在成像衍射系统中，与照明用的点光源相共轭的像面上的衍射场也是夫琅和费衍射场，此时，衍射屏与点光源或接收屏之距离在现实空间看，都是很近的．从理论上看，夫琅和费衍射显然是菲涅耳衍射的一种特殊情形，而实际上却更为人们所重视，这是因为夫琅和费射场的理论计算较为容易、应用价值又很大，而实验上又不难实现．尤其是，现代变换光学中博里叶光学的兴起，赋予经典夫琅禾费衍射以新的现代光学的意义——傅里叶光学是以夫琅和费衍射为枝杈而生长出来的．4.3单缝夫琅和费衍射◆实验装置与现家实验装置如图所示，平行光照射单缝，在透镜后焦面上接受夫琅禾费衍射场．设单狭缝的宽度a x =∆0，长度b a b y <<=∆,0，实验表明，其衍射强度显著地沿x 袖扩展．若无单缝限制波前，则入射的平行宽光束将聚焦于透镜后焦点F ’．目前应用高亮度的激光束，经准直系统后，可直接照射单缝而获得清晰的衍射图样。
◆矢量图解法——衍射强度)(θI现在，让我们分析后焦面上的衍射强度分布)(θI ，这里θ是衍射角，用以标定场点P 的位置，参见图 (a)．我们知道，像空间后焦面上的一个点对应于物空间的一个方向，即从单缝出发衍射角为θ的一束平行次波线才能会聚于P 点，发生相干叠加而决定了衍射强度．为此，将单缝从其上边A 开始，划分为一系列细缝，直至其下边B 。
每个细缝作为次波源对场点贡献一个小扰动，用一个小矢量表示；这一系列小矢量，长度相等，但取向依次变动，形成一段圆弧；这段圆弧AB 起点A 与终点B 的两条切线之夹角δ是确定的，因为它代表了A 边与B 边贡献的两个小扰动之间的相位差AB δ；而AB δ又决定于光程差，由矢量图解 (b)的几何关系，求得相干叠加的合成振幅为令：最后得单缝夫琅不费衍射场的振幅分布勺强度分布为200)sin ()(sin )(ααθααθI I A A == 这里，200A I =，而0A 是圆弧AB 被拉直了的长度，也正是—系列振动小矢量取向一致时的合成振幅，它就是等光程方向的次波束相干叠加的衍射振幅，它在公式中作为一个参考值，用以度量非等光程方向的衍射振幅．◆衍射积分法——衍射场)(~θU依据标量衍射理论，傍轴衍射积分公式为结合单缝衍射情况，具体化上式参量为①次波点源)(0x Q ，积分面元0bdx ds =，平行光正入射A x U =)(~00， ②经透镜变换，振幅系数fr 11→ 这一点稍后给出证明。
③我们要重点处理的是相位因子ikre，参见图(c)，有这里，002λπ=k ，真空中波数；λπ2=k ，介质中波数；0L 是坐标原点O 出发沿θ方向到达场点P 的光程)(0op L ，作为参考光程，它在衍射积分过程中是不变的常量，以上推演过程的实质是，引入了一个参考光程0L ，而将光程的直接计算转化为相对光程差的计算．于是衍射积分表示为其中，积分最后求得单缝夫琅禾费衍射场为其中，ab 正是单狭缝的面积，2A 表示照明平行光的光强，f 是透镜后焦距．上述结果与矢量图解法所得结果比较，两者主体部分是—致的，不过衍射积分法给出了更为丰富精细的物理内容．◆衍射图样的主要特征由****式，绘制单缝夫琅禾费衍射振幅分相与强度分布曲线于下图。
单缝夫琅禾费衍射的特征 (1)最大值．当1sin )(sin ,0===x x x c x ，为最大值．这在单缝衍射中，表现为0=θ时，衍射强度0)0(I I =，为最大值，称其为零级衍射峰，其位置正是几何光学像点位置一—等光程方位．(2)零点位置． sinc 函数存在一系列零点．当0)(sin ,,,1,0,=±±±==x c k k x π．这在单缝衍射中．表现为当衍射强度0)(=θI ，出现暗点．上式称为单缝衍射零点条件。
