lv_9渐进法及超静定结构影响线

§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。

超静定结构——各量值的影响线均为曲线。

2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。

但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。

机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。

简便、实用。

2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。

1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。

δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。

互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。

《结构力学》渐近法计算超静定结构-知识点归纳总结一、转动刚度与传递系数使杆端产生单位角位移时需要在该端施加（或产生）的力矩称为转动刚度，它表示杆端对转动的抵抗能力，是杆件及相应支座所组成的体系所具有的特性。

转动刚度与该杆远端支承及杆件刚度有关。

传递系数表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。

对等截面杆件来说，传递系数随远端支承情况不同而异，如表1所示。

这里，i 为杆的线刚度。

二、分配系数各杆端在结点A 的分配系数等于该杆在A 端的转动刚度与交于A 点的各杆端转动刚度之和的比值，即：同一结点各杆分配系数之和，这个条件通常用来校核分配系数的计算是否正确。

三、力矩分配法的基本原理其过程可形象地归纳为以下步骤：（1）固定结点在刚结点上施加附加刚臂，使原结构成为单跨超静定梁的组合体。

计算各杆端的固端弯矩，而结点上作用有不平衡力矩，它暂时由附加刚臂承担。

（2）放松结点取消刚臂，让结点转动，这相当于在结点上施加一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。

这个反号的不平衡力矩按分配系数分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩。

同时，各分配弯矩又向其对应远端进行传递，各远端得到传递弯矩。

（3）将各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩对应叠加，可得各杆端的最后弯矩值，即：近端弯矩等于固端弯矩加上分配弯矩，远端弯矩等于固定弯矩加上传递弯矩。

四、用力矩分配法计算连续梁和无侧移的刚架多结点的力矩分配法计算步骤如下：1、固定刚结点（施加附加刚臂），计算各杆端的固端弯矩，并计算各刚臂承担的不平衡力矩值。

2、依次放松各结点每次放松一个结点（其余结点仍固定住）进行力矩分配与传递。

对每个结点轮流放Aj Aj Aj S S μ=∑1Aj μ=∑松，经多次循环后，结点逐渐趋于平衡。

一般进行2-3个循环就可获得足够精度。

3、将各次计算所得杆端弯矩（固端弯矩、历次得到的分配弯矩和传递弯矩）对应相加，即得各杆端的最终弯矩值。

五、力矩分配法和位移法的联合应用力矩分配法与位移法的联合应用就是利用力矩分配法解算无侧移结构简便的优点和位移法能够解算具有结点线位移结构的特点，在解题过程中使其充分发挥各自优点的联合方法。

结构力学课程作业——连续梁的影响线、最不利荷载布置及内力包络图班级学号姓名华中科技大学土木工程与力学学院二0一三年十月结构力学课程作业一、题目EI=C K123x 1l 2l 3l二、要求1、用力法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；2、用挠度法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；3、求第二跨内截面K 的弯矩，剪力影响线及支座1反力影响线；4、在求影响线的基础上，进行均布移动荷载的最不利布置；5、连续梁承受均布活荷载18p KN m =及恒载12q KN m =时，绘出弯矩、剪力包络图。

三、计算由此可以求得2312211122122()()=,,363l l l l lEI EI EI δδδδ++===25 151212X=0.25L 3已知 115l m=212l m=312l m=30.250.25123x l m==⨯=111X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时()()11111112211230PP l PP l l ds M M l EI EI ds M M EIαδααδ-==⨯-⨯==⎰⎰得力法方程:2122111212321121()()()(1)(1)0366()()()063l l l l M X M X EI EI EIl l l M X M X EI EI ααα+++-+=++=解之得112175()(1)(1)1775()(1)(1)68M X M X αααααα=--+=-+大致弯矩图如下：由图可求出：1121121111211211111123()()825()(1)(1)4272()()125()(1)(1)272()()()205()=(1)(1)+272K QK R M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l ααααααααααα+==--+-==-+-=-++-+221X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时()()2211221123PP l l ds M M l EI EI αδαα-==⨯-⨯⎰()()2222211123P Pl l ds M M l EI EI αδαα+==⨯-⨯⎰得力法方程：212221222223221222()()()(1)(2)0366()()()(1)(1)0636l l l l M X M X EI EI EIl l l l M X M X EI EI EI αααααα+++--=+++-+=解之得1212()(1)(75)17M X ααα=--- 226()(1)(511)17M X ααα=--+大致弯矩图如下：由图可求出：21222222122212221212123,0.253()()(1)(57141)()99434()()(1)(921)()34()()()(1)(101145)()(1)(1)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααααααααα≤≤≤≤+--=+=+---=-=----=-++-=+-当 0即 0时大致弯矩图如下：由图可求出：212222221222122212121212,13()()(1)(57141)()3(1)3(1)434()()(1)(921)()(1)(1)34()()()(1)(101145)()(1)(1)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααααααααα≤≤≤≤+--=+-=+----=+-=+----=-++-=+-当 3即 0.25时331X l α≤≤≤≤当 0 ，即 0时3110PP l dsM M EIδ==⎰ ()()3322321123PP l l ds M M l EI EI αδαα-==⨯-⨯⎰得力法方程1221323223321323()()()036()()()(1)(2)0636l l lM X M X EI EIl l l l M X M X EI EI EI ααα++=+++--=解之得132312()(1)(2)1754()(1)(2)17M X M X αααααα=--=---大致弯矩图如下：由图可知：3132332313321323131312123()()9()(1)(2)434()()11()(1)(2)34()()()63()(1)(2)170K QK R X M X M X M X M X M X F X l M X M X M X F X l l αααααααααα≤≤≤≤+==----==----=-+=---当 0，即 01时下面用挠度法计算M 1(X),M 2(X)211122122313121111111111111212111213()(1)(1)6()(1)(75)24()(1)(2)248.52(20.25)66()75()(1)(1)17()12()(1)(75)17(()l y X EI l y X EI l y X EIl l EI EI EI y X M X y X M X y X M X αααααααααδδδαααδαααδ=-+=--=---'''=+=⨯+-==-=--+=-=---=-11)12(1)(2)17αααδ=-- 同理求得212122222222222322()(1)(1)68()6()(1)(511)17()54()(1)(2)17M X y X M X y X M X αααδαααδαααδ=-=-+=-=--+=-=---与力法求得值相同画出M1，M2 影响线1()()()K QK R M X F X F X 根据力法中求得的、、总长度/m置Mk(X) F Q k(X) F R1(X)第一跨0 0.0000 0.0000 0.00001.5 0.1 -0.3003 0.0455 0.17463 0.2 -0.5824 0.0882 0.34474.5 0.3 -0.8280 0.1255 0.50586 0.4 -1.0191 0.1544 0.65327.5 0.5 -1.1374 0.1723 0.78269 0.6 -1.1647 0.1765 0.889410.5 0.7 -1.0828 0.1641 0.969112 0.8 -0.8735 0.1324 1.017113.5 0.9 -0.5187 0.0786 1.0289 15 1 0.0000 0.0000 1.000016.2第二跨0.1 0.5419 -0.0817 0.945817.4 0.2 1.1901 -0.1774 0.867818 0.25 1.5510 -0.2293 0.8214 18 0.25 1.5510 0.7707 0.821418.6 0.3 1.3347 0.7167 0.771019.8 0.4 0.9656 0.6042 0.660721 0.5 0.6728 0.4890 0.541922.2 0.6 0.4461 0.3746 0.419823.4 0.7 0.2756 0.2648 0.299424.6 0.8 0.1511 0.1633 0.185925.8 0.9 0.0626 0.0738 0.0844 27 1 0.0000 0.0000 0.000028.2第三跨0.1 -0.0453 -0.0553 -0.063429.4 0.2 -0.0762 -0.0932 -0.106730.6 0.3 -0.0945 -0.1155 -0.132331.8 0.4 -0.1016 -0.1242 -0.142333 0.5 -0.0993 -0.1213 -0.139034.2 0.6 -0.0889 -0.1087 -0.124535.4 0.7 -0.0723 -0.0883 -0.101236.6 0.8 -0.0508 -0.0621 -0.071237.8 0.9 -0.0262 -0.0320 -0.036739 1 0.0000 0.0000 0.0000 求出Mk的影响线求出F Qk的影响线求出F R1的影响线我们知道，求某一截面的Mmax,Mmin，F Q max，F Q min，要先求出这一截面的M恒，F恒，这种情况下全梁布满荷载q，如下图所示然后根据此截面的弯矩、剪力影响线布置荷载，若其M影响线为Mmax的荷载布置Mmin的荷载布置F Qmax 的荷载布置F Q min 的荷载布置则M 恒=q*(S1+S2+S3+S4)Mmax=M 恒+P*（S2+S4) Mmin=M 恒+P*（S1+S3) FQ 同理求出(S 表示曲线与横轴所包围的面积,上为“+”，下为“—”，也就是对应包络图函数对坐标轴的积分）显然仅仅单跨满载组合无法计算出绝对的Mmax 、Mmin 、F Q max 、F Q min ，现在考虑每跨仅有部分布置荷载的情况！！！ 现在求某一点（K 点）的弯矩、剪力影响线的函数表达式一、集中力在第一跨时112175()(1)(1)1775()(1)(1)68M X M X αααααα=--+=-+1111111111111111175()()+(1-)(1)(1)15(1-)17()5()(1)(1)17175()()+(1)(1)(1)+15(1)17()5()(1)17K K QK K QK X l M X M X l M X F X l M X M X l M X F X l λαλλλαλαααλααααααλαλλαλαααλαα=≤≤==--++=-=--+-≤≤=-=--+-=+-=-当 K 点在第一跨时，设，则当 0时，当 时，(1)(1)(1)αααα-++-21112121111275()(1)()()(54)(1)(1)68()()125()(1)(1)272K K QK X l M X M X M X M X M X F X l λλλλαααααα==-+=--+-==-+当 K 点在第二跨时，设，则3121211375()(1)()(1)(1)(1)68()25()(1)(1)272K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα==-=--+=-=--+当 K 点在第三跨时，设 ，则二、集中力在第二跨时1212()(1)(75)17M X ααα=--- 226()(1)(511)17M X ααα=--+ 1212122112()()(1)(75)17()4()(1)(75)85K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα===---==---当 K 点在第一跨时，设，则22122222212220126()(1)()()+(1)(1)(1)(75)(1)(511)1717+12(1)()()(1)(921)()34K K QK X l M X M X M X l M X M X F X l λαλλλλαλαααλαααλαααααα=≤≤=-+-=------+----=-=-当 K 点在第二跨时，设，当时2122222212221126()(1)()()+(1)(1)(1)(75)(1)(511)171712(1)()()(1)(921)()(1)(1)34K QK M X M X M X l M X M X F X l λαλλλαλαααλαααλαααααα≤≤=-+-=------++----=+-=+-当时322222236()(1)()(1)(1)(511)17()1()(1)(511)34K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα==-=---+=-=-+当 K 点在第三跨时，设，则三、集中力在第三跨时132312()(1)(2)1754()(1)(2)17M X M X αααααα=--=--- 1313133112()()(1)(2)17()4()(1)(2)85K K QK X l M X M X M X F X l λλλαααααα===--==--当 K 点在第一跨时，设，则23132323133201254()(1)()()(1)(1)(2)(1)(2)1717()()11()(1)(2)34K K QK X l M X M X M X M X M X F X l λαλλλλαααλαααααα=≤≤=-+=-------==---当 K 点在第二跨时，设，当时33233233312332154()(1)()+(1-)(1)(1)(2)12(1-)17()9()(1)(2)34154()(1)()+(1)(1)(1)(2)12(1)17()K K QK K QK X l M X M X l M X F X l M X M X l M F X λαλλλαλαααλααααααλαλλαλαααλα=≤≤=-=----+=--=---≤≤=--=----+-=-当 K 点在第三跨时，设，则当 0时，当 时，33()9(1)(1)(2)(1)34X l ααααα+-=--+- 现在对这些函数进行积分3221022210122211222112012013037515()(2)(1)68251()(2)6827515()(1)(1)68251()(1)(1)6829()=173()853()17()K QK K QK K Q K K Q K K M X d F X d M X d F X d M X d F X d M X d F X λλλλαλλλλαλλλαλλλλαλλαλααλ=--+-=---=--+-=--+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当点在第一跨时10185d α=⎰1101105432220432220154322275()=(54)272125()10886212525()(7)6(1)1742212191()(10)3442236212525()(6)(7)6(1)3417422(K Q K K QK K QK K M X d F X d M X d F X d M X d F λλλαλααλλλλλλαλλλλαλλλλλλλ-==--+-++-=-+-=-++-+-++-⎰⎰⎰⎰⎰当点在第二跨时143222130130112191)(10)(1)13634422633()3411()136K Q K X d M X d F X d λαλλλλααα=--++--==-⎰⎰⎰110110120120432220432220143275()=(1)27225()108821()(1)347()136541()(1)()6(1)174911()()34425411()(1)(1744K Q K K Q K K QK K K M X d F X d M X d F X d M X d F X d M X d λλλαλααλααλλλλλλαλλλλαλλλλ-=-=--==---++-=-+-=----+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当点在第三跨时22143222)6(1)9111()()(1)34442QK F X d λλλαλλλλ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--++-⎢⎥⎣⎦⎰根据计算所需，计算下列积分K 点在第一跨时λ10()K M X d λα⎰10()QK F X d λα⎰11()K M X d λα⎰11()QK F X d λα⎰120()K M X d α⎰120()QK F X d α⎰130()K M X d α⎰0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.4265 0.0000 -0.0353 0.0000 0.1 0.0653 -0.0065 0.4994 0.3329 -0.0529 -0.0353 0.0176 0.2 0.2227 -0.0258 0.7567 0.2522 -0.1059 -0.0353 0.0353 0.3 0.4156 -0.0576 0.8285 0.1841 -0.1588 -0.0353 0.0529 0.4 0.5901 -0.1016 0.7687 0.1281 -0.2118 -0.0353 0.0706 0.5 0.6962 -0.1572 0.6273 0.0836 -0.2647 -0.0353 0.0882 0.6 0.6893 -0.2234 0.4489 0.0499 -0.3176 -0.0353 0.1059 0.7 0.5313 -0.2994 0.2717 0.0259 -0.3706 -0.0353 0.1235 0.8 0.1920 -0.3840 0.1256 0.0105 -0.4235 -0.0353 0.1412 0.9 -0.3493 -0.4759 0.0317 0.0023 -0.4765 -0.0353 0.1588 1.0-1.1029 -0.5735 0.0000 0.0000 -0.5294 -0.0353 0.1765K 点在第二跨时λ11()KM X d α⎰ 110()QKFX d α⎰ 2()KM X d λα⎰20()QK F X d λα⎰12()K M X d λα⎰12()QKFX d λα⎰13()KM X d α⎰13()QK F X d λα⎰0.0 -1.1029 0.1149 0.0000 0.0000 -0.5294 0.5074 0.1765 -0.0809 0.1 -0.9651 0.1149 0.0333 -0.0040 -0.0315 0.4113 0.0794 -0.0809 0.2 -0.8272 0.1149 0.1220 -0.0168 0.2909 0.3242 -0.0176 -0.0809 0.3 -0.68930.11490.2435-0.03980.46060.2471 -0.1147-0.08090.4 -0.5515 0.1149 0.3691 -0.0737 0.5062 0.1810 -0.2118 -0.0809 0.5 -0.4136 0.1149 0.4660 -0.1190 0.4605 0.1264 -0.3088 -0.0809 0.6 -0.2757 0.1149 0.4998 -0.1759 0.3578 0.0832 -0.4059 -0.0809 0.7 -0.1379 0.1149 0.4368 -0.2440 0.2320 0.0513 -0.5029 -0.0809 0.8 0.0000 0.1149 0.2458 -0.3226 0.1142 0.0300 -0.6000 -0.0809 0.9 0.1379 0.1149 -0.0994 -0.4109 0.0306 0.0182 -0.6971 -0.0809 1.0 0.27570.1149-0.6176-0.50740.00000.0147 -0.7941-0.0809K 点在第三跨时λ11()KM X d α⎰110()QKFX d α⎰120()KMX d α⎰120()QKFX d α⎰3()KM X d λα⎰30()QKFX d λα⎰13()KMX d λα⎰13()QKFX d λα⎰0 0.2757 -0.0230 -0.6176 0.0515 0.0000 0.0000 -0.7941 0.5662 0.1 0.2482 -0.0230 -0.5559 0.0515 0.0282 -0.0026 -0.2029 0.4688 0.2 0.2206 -0.0230 -0.4941 0.0515 0.1097 -0.0114 0.2150 0.3776 0.3 0.1930 -0.0230 -0.4324 0.0515 0.2334 -0.0278 0.4707 0.2940 0.4 0.1654 -0.0230 -0.3706 0.0515 0.3808 -0.0529 0.5827 0.2191 0.5 0.1379 -0.0230 -0.3088 0.0515 0.5267 -0.0878 0.5763 0.1540 0.6 0.1103 -0.0230 -0.2471 0.0515 0.6399 -0.1333 0.4825 0.0995 0.7 0.0827 -0.0230 -0.1853 0.0515 0.6847 -0.1902 0.3370 0.0564 0.8 0.0551 -0.0230 -0.1235 0.0515 0.6216 -0.2590 0.1795 0.0252 0.9 0.0276 -0.0230 -0.0618 0.0515 0.4082 -0.3401 0.0524 0.0063 10.0000 -0.0230 0.0000 0.0515 0.0000 -0.4338 0.0000 0.000011112301111230=(()()())(()()())K K K QK QK QK QK M q M X d M X d M X d F q F X d F X d F X d αααααα++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰恒恒根据影响线方程，当K 点在第一跨：集中力在第一跨的时候，画出Mk 的影响线，集中力在其他跨的时候不出现零点（影响线与坐标轴横轴相交）（结点除外）；F Q 影响线图不出现零点（结点除外）。