备考2019届中考：2018年数学中考真题演练(图形的旋转)(解析版)

一、选择题1.（2018·济宁，5，3分）6． （2018·济宁，6，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 在x 轴上，点C 的坐标为（－1，0），AC ＝2，将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（－1，2）D ．（2，－1）答案：A ．解析：如答图所示，先根据题意画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 1B 1C ．因为C 的坐标为（－1，0），A 1C ＝AC ＝2，所以点A 1的坐标为（－1，2）；再画出将△A 1B 1C 向右平移3个单位长度后的图形△A 2B 2C 2，所以点A 2的坐标为（2，2）．2.（2018·绵阳，5，3分） 下列图形是中心对称图形的是A30B C D答案：D ，解析：根据中心对称图形的定义：整个图形绕着某个点旋转180°后能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。

进行逐项识别． 3.（2018·绵阳，7，3分） 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A (3，4)逆时针旋转90°，得到点B ，则点B 的坐标为 A ．（4，－3） B ．（－4，3） C ．（－3，4） D ．（－3，－4）答案：B ，解析：如下图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，根据旋转的特征可证△AOD ≌△OBE ，所以BE ＝OD ＝3，OE ＝AD ＝4， 再根据B 点在第二象限，所以B (－4，3)．xyBA1234–1–2–3–4–512344.(2018·攀枝花，5，3分)下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A ．菱形 B ．等边三角形 C ．平行四边形 D ．等腰梯形4．A ，解析：这里等边三角形和等腰梯形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，只有菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选A ．O yx（第6题图）CAB（第6题答图）OyxCA B1B 1A 2A 2B 2C5．（2018·金华市，9，3分）如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（▲）A.55°B.60°C.65°D.70°答案．C，解析：根据旋转的性质：旋转前后两个图形全等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.直角三角形的性质和三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.由于旋转得出AC=CE，∠ACE=90°，即∠E=45°，所以∠ADC=∠ACB+∠E=65°.6．(2018·南充，2，3分)下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形答案：C，解析：菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，扇形、正五边形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形．7．（2018·德州，12，4）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②ODE BDES S=V V；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE的周长的最小值为6．上述结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案．C，解析：连接OB，OC．∵O是△ABC的中心，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°．∵∠FOG＝120°，∴∠DOB＝∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD＝OE，故①正解；四边ODBE的面积＝△OBC的面积＝111434233323ABCS=⨯⨯⨯=，故③正确；当D，E分别是AB，BC边中点时，ODE BDES S≠V V，DE不能平分四边ODBE的面积，故②不正确；∵△DOB≌△EOC，∴BD＝CE，∴△BDE 的周长＝BD＋DE＋EB＝CE＋DE＋EB＝BC＋DE，∴当DE最小时，△BDE的周长取得最小值，当CE越小时，DE越接近于BC长，当D，E分别是AB，BC边中点时，DE取得最小，此时△BDE的周长是6，故④正确．8．（2018·山东泰安，11，3分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．(2.8，3.6) B．(－2.8，－3.6)ABDCEC ．(3.8，2.6)D ．(－3.8，－2.6)答案．A ，解析：根据图形中点A 与其平移后的对应点A 1的坐标位置，可知△ABC 向左平移4个单位，再向下平移5个单位，所以P (1.2，1.4)平移后对应点P 1的坐标为(－2.8，－3.6)，则其关于原点成中心对称的点P 2的坐标为(2.8，3.6)．9.（2018·达州市，3，3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）．DC.B.A.答案：B ，解析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 ．根据中心对称图形的定义，得图形B 是中心对称图形．故选B. 10．（2018·成都，4，3分）在平面直角坐标系中，点P (－3，－5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．(3，－5) B ．(－3，5) C. (3，5) D ．(－3，－5) C 解析：点P (x ，y )关于原点的对称点坐标是P ′(－x ，－y )，所以点P (－3，－5)关于原点对称点坐标是(3，5). 11．（2018·台州市，2，4分）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（ ）答案：D ，解析：根据中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.12.如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90到ABF ∆的位置，若四边形AECF 的面积为25，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．5B ．23C ．7D ．29 【答案】DCAPB A 1B 1C 1 xyO【解析】∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置，∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt △ADE 中，AE=2229AD DE +=．故选D. 13．(2018·衡阳市，3题，3分)下列生态环保标志中，是中心对称图形的是()答案．B ，解析：本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．A 、C 、D 旋转后不能重合，不是中心对称图形，所以A 、C 、D 错误；B 旋转后能重合，是中心对称图形，故B 正确，故选B ． 14．（2018·聊城市，11，3分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．912(,)55- B ．129(,)55- C ．1612(,)55- D ．1216(,)55- 答案．A ，解析：过点C 1作C 1D ⊥x 轴，垂足为D.由题意得OA 1=OA=5，A 1C= 221OA OC -=4，∠A 1OC=∠C 1OD ，所以△A 1OC ∽△C 1OD ，所以1111A O A C OC C O OD C D ==，即15343OD C D ==，解得OD= 95，C 1D= 125，因为点C 1在第二象限，所以C 1912(,)55-，故选A. 15．（2018·长沙市，5，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A 、B 、C 、D 、答案．A ，解析：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，B 是轴对称图形不是中心对称图形，C 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D 是中心对称图形不是轴对称图形. 16．（2018·盐城，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A .B .C .D .答案：D ，解析：A 是中心对称图形，但不是轴对称图形；B 是轴对称图形，但不是中心对称图形；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形；D 既是轴对称图形，又是中心对称图形. 17．（2018·天津市，4，3分） 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A .B .C .D .答案．A ，解析：如图一个图形绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称图形的定义可知选项A 中的图形是中心对称图形. 18．（2018·广东，5，3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是（ ） A ．圆B ．菱形C ．平行四边形D ．等腰三角形答案：D ，解析：圆和菱形都是轴对称图形，也是中心对称图形，所以A 、B 都不对；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，所以C 不对。

天津市和平区普通中学2019届初三数学中考复习 图形的旋转与中心对称 专项练习1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A )3．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA ＝2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A ′的坐标为( C )A ．(3，－1)B ．(1，－3)C ．(2，－2)D ．(－2，2)4．如图，在平面直角坐标系中，点B ，C ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE .若点C 的坐标为(0，1)，AC ＝2，则这种变换可以是( A )A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移35．如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，连接AD ，BD .则下列结论： ①AC ＝AD ；②BD ⊥AC ；③四边形ACED 是菱形．其中正确的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC ′的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E .若AB ＝3，则△AEC 的面积为( D )A ．3B ．1.5C ．2 3 D. 37. 如图，在平面直角坐标系中，A(－8，－1)，B(－6，－9)，C(－2，－9)，D(－4，－1)．先将四边形ABCD 沿x 轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A 1B 1C 1D 1，最后将四边形A 1B 1C 1D 1，绕着点A 1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x 轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为( D )A ．(4，0)B ．(5，0) C.(4，0)或(－4，0) D ．(5，0)或(－5，0)8. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG .则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；②△AED ≌△GED ；③∠DFG ＝112.5°；④BC ＋FG ＝1.5， 其中正确的结论是__①②③__．9.若点(a ，1)与(－2，b )关于原点对称，则a b ＝__12__． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为__(1，－1)．11．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K .若正方形ABCD 的边长为3，则AK ＝．12．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是－6__．13．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)，B (－4，0)，C (0，0)(1)画出将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；(3)在x 轴上存在一点P ，满足点P 到A 1与点A 2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．解：(1)图略 (2)图略 (3)P (165，0) 14．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10，△ADP 绕点A 旋转到△ABP′，连接PP′，并延长AP 与BC 相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ 的大小；(3)求CQ 的长．解：(1)由旋转得，AP ′＝AP ，∠BAP ′＝∠DAP，∴∠PAP ′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°，∴△APP ′是等腰直角三角形(2)在Rt △APP ′中，∵AP ＝1，∴PP ′2＝12＋12＝2，又BP′＝DP ＝10，BP ＝22，∴PP ′2＋BP 2＝BP′2，∴△BPP ′是直角三角形，∴∠P ′PB ＝90°，又∠APP′＝45°，∴∠BPQ ＝180°－∠P′PB－∠APP′＝45° (3)过点B 作BM⊥AQ 于M.∵∠BPQ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形，由BP ＝22，可求BM ＝PM ＝2，∴AM ＝AP ＋PM ＝1＋2＝3，在Rt △ABM中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13，易证△ABM∽△AQB，∴AM AB ＝AB AQ ，∴AQ ＝AB 2AM ＝133，在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝（133）2－（13）2＝2133，∴QC ＝BC －BQ ＝13－2133＝13315．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F.(1)如图①，连接AC 分别交DE ，DF 于点M ，N ，求证：MN ＝13AC ； (2)如图②，将∠EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF ′分别与直线AB ，BC 相交于点G ，P ，连接GP ，当△DGP 的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．,图1),图2)解：(1)连接BD ，交AC 于O ，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 为等边三角形，∵DE ⊥AB ，∴AE ＝EB ，∵AB ∥DC ，∴AM MC ＝AE DC ＝12， 同理可得CN AN ＝12，∴MN ＝13AC (2)∵AB∥DC，∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝120°，又∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF ＝60°，当∠EDF 顺时针旋转时，由旋转知∠EDG＝∠FDP，∠GDP ＝∠EDF＝60°， 又∵DE＝DF ＝3，∠DEG ＝∠DFP＝90°，可证△DEG≌△DFP(AAS )，∴DG ＝DP ，∴△DGP 为等边三角形，∴△DGP 的面积＝34DG 2＝33，∴DG ＝23， 则cos ∠EDG ＝DE DG ＝12，∴∠EDG ＝60°， ∴当顺时针旋转60°时，△DGP 的面积等于33，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP 的面积也等于33，综上所述，将△EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积等于3 3。

备考2019年中考数学考点过关练习：图形的旋转综合一．选择题1．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数为（）A．55°B．75°C．85°D．90°2．下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④等边三角形中，是中心对称图形的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④3．如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC 交于点F，则∠AFB的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的．①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2A．4B．3C．2D．15．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（）A．75°B．78°C．80°D．92°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC 的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）A．8B．6C．4D．5），C（﹣2，0）．将△7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（）A．B．C．2D．8．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（）A．B．C．D．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）A ．64°B ．36°C ．26°D ．22°10．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（）A ．二．填空题B ．C ．D ．11．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACP 位置，则∠PAD ＝°．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，AB ＝5cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，则点E 与点C 之间的距离是cm ．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．14．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG 的中点M，N连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝．15．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝（用含a的代数式表示）．16．如图，正方形ABCD的边长为，点E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C顺时针旋转90°，点E的对应点F和点B，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF＝6，则GF的长为．17．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD ＝．18．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2019的坐标为．19．如图，将△ABC 的边AB 绕着点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB ′，边AC 绕着点A 逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC ，连接B ′C ′，当α+β＝60°时，我们称△AB ′C ’是△ABC 的“双展三角形”，已知一直角边长为2的等腰直角三角形，那么它的“双展三角形”的面积为．20．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是．三．解答题21．将一副三角尺的直角重合放置（∠B ＝30°，∠C ＝45°），如图1所示，（1）图1中∠BEC 的度数为；（2）三角尺AOB 的位置保持不动，将三角尺COD 绕其直角顶点O 顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD ∥AB ，求此时∠AOC 的大小；②若将三角尺COD 继续绕O 旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD 其中一边能与AB 平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC 的大小；如果不存在，请说明理由．22．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ＝4，CD ＝3．（1）如图1，求△BCD 的面积；（2）如图2，M 是CD 边上一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°，可得线段BN ，过点N 作NQ ⊥BC ，垂足为Q ，设NQ ＝n ，BQ ＝m ，求n 关于m 的函数解析式．（自变量m 的取值范围只需直接写出）23．如图，将一个直角三角形纸片AOB ，放置在平面直角坐标系中，点A （3，3），点B （3，0），点O （0，0），将△AOB 沿OA 翻折得到△AOD （点D 为点B 的对应点）．（Ⅰ）求OA 的长及点D 的坐标：（Ⅱ）点P 是线段OD 上的点，点Q 是线段AD 上的点．①已知OP ＝1，AQ ＝，R 是x 轴上的动点，当PR +QR 取最小值时，求出点R 的坐标及点D 到直线RQ 的距离；②连接BP ，BQ ，且∠PBQ ＝45°，现将△OAB 沿AB 翻折得到△EAB （点E 为点O 的对应点），再将∠PBQ 绕点B 顺时针旋转，旋转过程中，射线BP ，BQ 交直线AE 分别为点M ，N ，最后将△BMN 沿BN 翻折得到△BGN （点G 为点M 的对应点），连接EG ，若的坐标（直接写出结果即可）．，求点M24．如图，把直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，使得A 、B 、D 三点在一直线上．（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？（2）AC 与DE 的位置关系怎样？请说明理由．25．将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C ＝90°，∠EDF ＝90°，∠B ＝60°，∠F ＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，BC ＝4（1）求DG 的长；（2）如图2．将△DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF 两边DE ，DF 与△ABC 两边AC ，BC 分别交于K 、cm ．T 两点，则KT 的最小值为．26．如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）判断A E、BE、BC之间的数量关系（直接写出结果，不必证明）；（2）如图2，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角a（0°＜a＜＜144°）得到△AE'F'，连结CE'，BF′，求证：CE'＝BF'：（3）在（2）的旋转过程中，当a＝时，CE'∥AB？（请直接写出结果）．27．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC．28．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；（2）在旋转过程中，①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值．29．综合与实践数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE展开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P．数学思考：（1）求DC的长；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；②如图3，当GF经过点B时，AM的长为；③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）30．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD、CE的交点．（1）判断线段BD与CE的关系，并证明你的结论；（2）若AB＝8，AD＝4，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②求旋转过程中线段PB长的最大值．参考答案一．选择题1．解：根据旋转的性质可知：∠C＝∠A＝110°，在△COD中，∠COD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．旋转角∠AOC＝85°，所以∠α＝85°﹣30°＝55°．故选：A．2．解：平行四边形，矩形，菱形是中心对称图形．故选：A．3．解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，∴∠CAE＝60°，∵∠C＝20°，∴∠AFC＝100°，∴∠AFB＝80°．故选：C．4．解：由旋转可知：△BAE≌△CAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠EAF＝∠BAC＝90°，∵∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠FAD＝45°，∴AD平分∠EAF，∵AD＝AD，AE＝AF，∴△DAE≌△DAF（SAS），故①③正确，∴DE＝DF，∵∠ACF∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∴DF2＝CD2+CF2，∵DF＝DE，BE＝CF，∴BE2+CD2＝DE2，故④正确，无法判断△ABE≌△ACD，故②错误．故选：B．5．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．∴∠DAC＝45°﹣10°＝35°．在△BEC和△ADC中∴△BCE≌△ACD（SAS）．∴∠EBC＝∠DAC＝35°．∴∠ABE＝∠EBC+∠DAC＝80°．故选：C．6．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝8，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．7．解：∵△OAB是直角三角形，点P在以AB为直径的圆上运动，∵A（2，0），B（0，），∴AB＝4，AB的中点为（1，），∵C（﹣2，0），∴CP的最小值为2故选：B．8．解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，∴∠CAE＝∠FAD，∴△ADF≌△AEC（SAS），∴DF＝CE，由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝1，∠ABE＝60°，∴∠EBG＝30°，∴EG＝BE＝，BG＝∴CG＝1﹣∴Rt△CEG，中，CE＝＝＝＝，﹣2；＝＝，∴DF＝故选：A．，9．解：如图设BC交C′D′于K．在四边形ABKD ′中，∵∠B ＝∠D ′＝90°，∠BKD ′＝∠1＝116°，∴∠BAD ′＝180°﹣116°＝64°，∵∠BAD ＝90°，∴∠DAD ′＝90°﹣64°＝26°，故选：C ．10．解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，∵∠EOF +∠EON ＝90°，∠MON +∠EON ＝90°，∴∠EOF ＝∠MON ，在△OEF 和△OMN 中，∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝S 正方形CTKW ，即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的，∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的，故选：D ．二．填空题（共10小题）11．解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACP ，∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°，故答案为：60．12．解：连接EC ，即线段EC 的长是点E 与点C 之间的距离，在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC ＝∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，∴△BEC 是等边三角形，∴EC ＝BE ＝BC ＝4cm ，故答案为：4．13．解：连接CD ，＝＝4（cm ），在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝A ′B ′＝2BC ＝4，∵DB ′＝DA ′，∴CD ＝A ′B ′＝2，∴BD ≤CD +CB ＝4，∴BD 的最大值为4，14．解：连接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，∵M为AC中点，∴BM＝AC＝5．∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，∴BM＝BN，且∠MBN＝90°，∴MN＝BM＝5．故答案为5．15．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，∴∠B′AC＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，在Rt△AB′H中，AH＝AB′＝a，∴B′H＝AH＝a，a．∴B′C′＝2A′H＝16．解：作CH ⊥BF 于H ，GK ⊥BC 于K ．∵四边形ABCD 是正方形，∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵∠ECF ＝90°，∴∠BCD ＝∠ECF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），∴BE ＝DF ＝6，∵CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，CH ⊥EF ，∴EH ＝HF ，∴CH ＝HE ＝HF ，设CH ＝HE ＝HF ＝a ，在Rt △BCH 中，∵BC 2＝BH 2+CH 2，∴50＝（6+a ）2+a 2，解得a ＝1或﹣7（舍弃），∴CH ＝HE ＝HF ＝1，BF ＝8，∵tan ∠CBH ＝∴8k ＝5∴k ＝∴BG ＝，，＝5＝＝，设GK ＝k ，BK ＝7k ，则GK ＝CK ＝k ，k ＝，∴FG＝BF﹣BG＝8﹣故答案为．＝，17．解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AE＝AD＝1，DE＝，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BED＝90°，∴BD＝故答案为．＝＝．18．解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019＝4×504+3，所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．19．解：如图1中，当△AB′C′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交B′A的延长线于D，在C′D上取一点F，使得FA＝FC，连接AF．∵B ∠B ′AC ′＝60°+45°＝105°，∴∠DAC ′＝75°，∵∠D ＝90°，∴∠DC ′A ＝15°，∵FA ＝FC ′，∴∠FAC ＝∠FC ′A ＝15°，∴∠AFD ＝∠FAC +∠FC ′A ＝30°，设AD ＝x ，则AF ＝FC ′＝2x ．DF ＝∵AB ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AC ＝AC ′＝2，x ，在Rt △ADC ′中，则有x 2+（解得x ＝x +2x ）2＝（2）2，﹣1（负根已经舍弃），∴DC ′＝2x +x ＝+1，+1．∴S △AB ′C ′＝•AB ′•C ′D ＝如图2中，当△A ′BC ′是△ABC 的“双展三角形”时，作C ′D ⊥B ′A 交A ′B 的延长线于D ．由题意：∠A ′BC ′＝60°+90°＝150°，∴∠C ′BD ＝30°，∴C ′D ＝BC ′＝1，∴S △A ′BC ′＝•BA ′•C ′D ＝1，综上所述，满足条件的故答案为+1或1．+1或1．20．解：由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE ＝90°，∴∠E ＝∠CAE ＝45°，∵∠ACD ＝70°，∴∠DCE ＝20°，∴∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∠CAE ＝180°﹣∠BAO ＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC ＝∠C +∠CAE ＝45°+120°＝165°，故答案为：165°．（2）①∵OD ∥AB ，∴∠BOD ＝∠B ＝30°，又∠BOD +∠BOC ＝90°，∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°．′②存在，如图1，当AB ∥OC 时，则∠COB ＝∠B ＝30°，∴∠AOC ＝90°+30°＝120°；如图2，当AB ∥CD 时，延长DO 交AB 于D ′，∴∠AD ′O ＝∠D ＝45°，∴∠AOD ′＝75°，∴∠AOC ＝∠AOD ′+90°＝165°；如图3，当AB ∥OD 时，∠DOB ＝∠B ＝30°，∴∠AOC ＝∠DOB ＝30°；如图4，当AB∥OD时，∠AOD＝∠A＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°；如图5，当AB∥OC时，∴∠AOC＝∠A＝60°；如图6，当AB∥CD时，∠1＝∠A＝60°，∴∠AOC＝60°﹣45°＝15°；综上所述，∠AOC的度数为：15°，30°，60°，120°，150°，165°．22．解：（1）过点D作DE⊥BC，则∠DEB＝90°．∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE＝60°．∴在Rt△CDE中，∠CDE＝30°．∴CE＝CD＝．∴DE＝＝．∴△BCD的面积为BC DE＝×4×＝（2）方法一：连接AN，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，∴NB＝MB，∠NBM＝60°．∵∠MBC+∠MBA＝∠MBA+∠NBA．∴∠MBC＝∠NBA，∵AB＝BC，∴△MBC≌△NBA（SAS）．∴∠NAB＝∠BCM＝120°．连接AC，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠NAB+∠BAC＝180°．∴N，A，C三点在一条直线上．∵NQ＝n，BQ＝m，∴CQ＝4﹣m．∵NQ⊥BC，∴∠NQC＝90°．∴在Rt △NQC 中，NQ ＝CQ •tan ∠NCQ ．∴n ＝即n ＝﹣（4﹣m ）．m +4．所以n 关于m 的函数解析式为：n ＝﹣m +4（≤m ≤2）．方法二：∵线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BN ，∴NB ＝BM ，∠NBM ＝60°．∵∠MBC +∠MBA ＝∠MBA +∠NBA ．∴∠MBC ＝∠NBA ，∵AB ＝BC ，∴△MBC ≌△NBA ．∴∠NAB ＝∠BCM ＝120°．设AB 与NQ 交于H 点，∵NQ ⊥BC ，∴∠HQB ＝90°．∵∠ABC ＝60°，∴∠BHQ ＝∠NHA ＝30°．∴∠HNA ＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴NA ＝AH ．∴在Rt △BHQ 中，HQ ＝BQ •tan ∠HBQ ＝又∵BH ＝2m ，∴AH ＝4﹣2m ．过点A 作AG ⊥NH ，∴NG ＝GH ．m ．在Rt△AGH中，GH＝AH cos∠AHN＝∴NH＝2GH＝4∵NQ＝N H+HQ，∴n＝﹣﹣2（4﹣2m）＝2﹣m，m．m+4．所以n关于m的函数解析式为：n＝﹣m+4（≤m≤2）．23．解：（Ⅰ）如图1中，∵A（3，3），B（3，0），∴AB＝OB＝3，∠ABO＝90°，∴∠BOA＝45°，∵将△AOB沿OA翻折得到△AOD，∴∠AOD＝∠AOB＝45°，∴∠BOD＝90°，∴点D在y轴的正半轴上，∴D（0，3）．（Ⅱ）①如图1中，作点P关于点O的对称点K，连接KQ交OB于R′，此时PR′+QR′的值最小．作DH⊥QK于H．由题意：K （0，﹣1），Q （，3）．∴直线KQ 的解析式为y ＝∴R ′（，0），x ﹣1，令y ＝0，得到x ＝，∵DH ⊥KQ ，∴直线KQ 的解析式为y ＝﹣x +3，由，解得，∴H （∴DH ＝∴R ′（，），＝．，0），点D 到直线KQ 的距离为②如图2中，易证△ABM ≌△EBG （SAS ），∴∠BAM ＝∠BEC ＝45°，∵∠AEB ＝45°，∴∠GEN ＝90°，∵，∴可以假设EN ＝12k ，EG ＝5k ，则NG ＝MN ＝13k ，∵AM ＝EG ＝5k ，∴5k +13k +12k ＝3∴k ＝∴AM ＝，，，作MH ⊥AB 于H ，∵∠MAH ＝45°，AM ＝∴AH ＝MH ＝，可得M （，）．24．解：（1）直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∴旋转中心是点B ，旋转角是90°；（2）AC ⊥DE ，理由：延长DE 交AC 于F ，∵把直角三角形ABC 按逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∴∠C ＝∠D ，∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴∠C +∠A ＝∠D +∠A ＝90°，∴∠DFA ＝90°，∴AC ⊥DE ．，25．解：（1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝4∴AB ＝2BC ＝8，，∠CAB ＝30°∵DF 垂直平分线段AB ，∴AD ＝DB ＝4，×＝4．在Rt △ADG 中，DG ＝AD tan30°＝4（2）结论：CN ＝理由：如图2中，HM ．∵∠ACB ＝90°，AD ＝DB ，∴CD ＝DA ＝DB ，∵∠B ＝60°，∴△BDC 是等边三角形，∴∠DCB ＝∠CDB ＝60°，∵∠ACB ＝∠CDH ＝90°，∴∠MDH ＝∠HCD ＝30°，∴CD ＝DH ，∵∠DHM ＝∠DCN ＝60°，∠DMH ＝∠DNC ＝90°，∴△DMH ∽△DNC ，∴＝＝，∴CN ＝HM ．（3）如图3中，连接CD ．∵∠KCT ＝∠KDT ＝90°，∴∠KCT +∠KDT ＝180°，∴K ，D ，T ，C 四点共圆，∴KT 是该圆的直径，当CD 是该圆的直径时，KT 的长最短，此时KT ＝CD ＝AB ＝426．解：（1）∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝（180°﹣36°）＝72°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝×72°＝36°，∴∠BEC ＝∠A +∠ABE ＝36°+36°＝72°，∴∠ABE ＝∠A ，∠BEC ＝∠C ，∴AE ＝BE ，BE ＝BC ，∴AE ＝BE ＝BC ，故答案为：AE ＝BE ＝BC ；（2）证明：∵AB ＝AC ，EF ∥BC ，∴AE ＝AF ，由旋转的性质得，∠E ′AC ＝∠F ′AB ，AE ′＝AF ′，在△CAE ′和△BAF ′中，，∴△CAE ′≌△BAF ′（SAS ），∴CE ′＝BF ′；．（3）解：由（1）可知AE＝BC，由旋转知，AE'＝AE，∴AE'＝BC，如图，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，①当点E'与点M重合时，∵CM∥AB，∴四边形ABCM是等腰梯形，∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∵∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°；②当点E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝72°，∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°，∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．故答案为：36°或72°．27．解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC ∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC28．（1）证明：如图2中，∵∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，∴∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CDF，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∵∠EDC＝90°，∴∠DEF+∠ECD＝90°，∠FDE+∠FDC＝90°，∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，∴EF＝FC．（2）①解：如图1中，结论仍然成立．理由：连接AF．∵∠FCA＝∠ABF，∴A，B，C，F四点共圆，∴∠AFC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥EC，∵AE＝AC，∴EF＝CF．②如图3﹣1中，当CF＝CD，∠FCD＝90°时，连接AF，作CH⊥BF于H．设CF＝CD＝a．则DE＝＝a，DF＝a，∵CF＝CD，CH⊥DF，∴HF＝HD，∴CH＝DF＝∴BC＝DE＝∴BH＝a，a，＝a，∵AE＝AC，EF＝CF，∴AF平分∠EAC，∵A，B，C，F四点共圆，∴∠CAF＝∠CBH＝α，∴tanα＝＝＝．如图3﹣2中，当DF＝DC，∠CDF＝90°时，作DH⊥CF于H，连接AF．设CD＝DF＝m．则CF ＝EF ＝∴DE ＝BC ＝∴BD ＝∴tan α＝a ，DH ＝CF ＝＝＝2a ，＝．a ，a ，29．解：（1）如图1中，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠A ＝90°，∴DE ∥AB ，∵AE ＝EC ，∴BD ＝DC ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝∴CD ＝BC ＝5．（2）结论：MF ＝ME ．理由：如图1中，连接DM ，＝＝10，∵∠DFM ＝∠DEM ＝90°，DM ＝DM ，DF ＝DE ，∴Rt △DMF ≌Rt △DME （HL ），∴MF ＝ME ．（3）①如图2中，作AH ⊥BC 于H ，交FG 于K ．易知AH ＝∴DF ＝KH ＝3，＝，四边形DFKH 是矩形，∴AK ＝AH ﹣KH ＝，∵KM ∥CH ，∴＝，∴＝，∴AM ＝3．②如图3中，∵DG ＝DB ＝DC ，∴∠G ＝∠DBG ，∵∠G ＝∠C ，∴∠MBC ＝∠C ，∴BM ＝MC ，设BM ＝MC ＝x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AB 2+AM 2，∴62+（8﹣x ）2＝x 2，∴x ＝，∴AM＝AC﹣CM＝8﹣故答案为．＝．③尺规作图如图4﹣1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG＝DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4﹣1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM＝HK，只要求出HK即可．∵TE⊥DE，TH⊥DC，DG平分∠CDE，∴TE＝TH，设TE＝TH＝x，在Rt△TCH中，x2+22＝（4﹣x）2，∴x＝，∴DT＝＝，∵DK平分∠CDT，KJ⊥DT，KH⊥CD，∴KJ＝KH，设KJ＝KH＝y，在Rt△KTJ中，y2+（﹣3）2＝（﹣y）2，∴y＝3∴EM＝3﹣6，﹣6，∴AM＝AE﹣EM＝4﹣（3﹣6）＝10﹣3．30．解：（1）结论：BD＝CE，BD⊥CE．理由如图1中，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．∠ACE＝∠ABD设CP与AB交于点O，∵∠AOC＝∠BOP∴∠BPC＝∠OAC＝90°∴BD⊥CE；（2）解：a：如图2中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝4．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ．∴∴＝＝，，，∴PB ＝b ：如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝12．∵∠EAC ＝90°，∴CE ＝＝4，同（1）可证△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ．∴∴＝＝，，，或．∴PB ＝∴PB 的长为（3）a 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝4，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝4∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝4﹣4．，b、如图5中，以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，BE ＝CE ＝4∴∠ADP ＝∠DAE ＝∠AEP ＝90°，∴四边形AEPD 是矩形，∴P D ＝AE ＝4，∴PB ＝BD +PD ＝4∴PB 最大值是4+4．+4；，。

1.（2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】5. （2008年北京市4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （2019年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2019年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱9.（2019年北京市3分）下图是几何体的三视图，该几何体是【】A.圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥1.（2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于 ▲ cm 2。

2.（2007年北京市4分）下图是对称中心为点O 的正六边形。

如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 ▲ 。

中考数学真题《图形的旋转》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（30题）一 、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD =3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF 与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)ky x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧） 现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，ADDC的值为________．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2）边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1 一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起 M N 分别是斜边DE AB 的中点 2,4DE AB ==．(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周 请直接写出点M N 距离的最大值和最小值(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2） 求MN 的长．18．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1 ABC 的顶点均在小正方形的格点上．(1)将ABC 向下平移3个单位长度得到111A B C △ 画出111A B C △ (2)将ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到222A B C △ 画出222A B C △ (3)在（2）的运动过程中请计算出ABC 扫过的面积．19．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC ∆中 90°ACB ∠= CA CB = 点O 为AB 的中点 点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合） 连接CD 线段CD 绕点C 逆时针旋转90° 得到线段CE 过点B 作直线l BC ⊥ 过点E 作EF l ⊥ 垂足为点F 直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时 请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系 (2)如图，当点D 在线段AB 上时 求证：2CG BD BC +=(3)连接DE CDE 的面积记为1S ABC 的面积记为2S 当:1:3EF BC =时 请直接写出12S S 的值．20．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后 刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达AB C ''△的位置 那么可以得到：AB AB '=AC AC '= BC B C ''= BAC B AC ''∠=∠ ABC AB C ''∠=∠ ACB AC B ''∠=∠（ ）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中 即“变”中蕴含着“不变” 这是我们解决图形旋转的关键 故数学就是一门哲学． 【问题解决】（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________（2）如图，小王将一个半径为4cm 圆心角为60︒的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90︒到达扇形纸板A B C '''的位置．①请在图中作出点O①如果=6cm BB '则，在旋转过程中 点B 经过的路径长为__________ 【问题拓展】小李突发奇想 将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠 一个固定在墙上 使得一边位于水平位置 另一个在弧的中点处固定 然后放开纸板 使其摆动到竖直位置时静止 此时 两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示 请你帮助小李解决这个问题．21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD 中（顶点,,,A B C D 按逆时针方向排列） 12,10,AB AD B ==∠为锐角 且4sin 5B =．(1)如图1 求AB 边上的高CH 的长．(2)P 是边AB 上的一动点 点,C D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90︒得点,C D ''． ①如图2 当点C '落在射线CA 上时 求BP 的长． ①当AC D ''△是直角三角形时 求BP 的长．22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中 点M 在边BC 上 点E 是AM 的中点 连接EDEC ．(1)求证：ED EC =(2)将BE 绕点E 逆时针旋转 使点B 的对应点B '落在AC 上 连接MB '．当点M 在边BC 上运动时（点M 不与B C 重合） 判断CMB '的形状 并说明理由．(3)在（2）的条件下 已知1AB = 当45DEB ∠'=︒时 求BM 的长．23．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上 李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动 两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△ 设2AB =． 【操作探究】如图1 先将ADB 和A D C ''的边AD A D ''重合 再将A D C ''绕着点A 按顺时针．．．方向旋转 旋转角为()0360αα︒≤≤︒ 旋转过程中ADB 保持不动 连接BC ．(1)当60α=︒时 BC =________ 当22BC = α=________︒ (2)当90α=︒时 画出图形 并求两块三角板重叠部分图形的面积(3)如图2 取BC 的中点F 将A D C ''绕着点A 旋转一周 点F 的运动路径长为________． 24．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外） 连接PD PB 、．①求证：PD PB =①将线段DP 绕点P 逆时针旋转 使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．当点P 在线段AO 上的位置发生变化时 DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由 ①探究AQ 与OP 的数量关系 并说明理由． （2）[迁移探究]如图2 将正方形ABCD 换成菱形ABCD 且60ABC ∠=︒ 其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系 并说明理由．25．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年 法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A B C 求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置 意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明 该点也被称为“费马点”或“托里拆利点” 该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法 请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空 ①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空 ①处填写角度数 ①处填写该三角形的某个顶点）当ABC 的三个内角均小于120︒时如图1 将APC △绕 点C 顺时针旋转60︒得到A P C '' 连接PP '由60PC P C PCP ''=∠=︒， 可知PCP '△为 ① 三角形 故PP PC '= 又P A PA ''= 故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由 ① 可知 当B P P ' A 在同一条直线上时 PA PB PC ++取最小值 如图2 最小值为A B ' 此时的P 点为该三角形的“费马点” 且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ①已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时 “费马点”为该三角形的某个顶点．如图3 若120BAC ∠≥︒则，该三角形的“费马点”为 ① 点．(2)如图4 在ABC 中 三个内角均小于120︒ 且3430AC BC ACB ==∠=︒，， 已知点P 为ABC 的“费马点” 求PA PB PC ++的值(3)如图5 设村庄A B C 的连线构成一个三角形 且已知4km 23km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A B C 三个村庄铺设电缆 已知由中转站P 到村庄A B C 的铺设成本分别为a 元/km a 元/km 2a 元/km 选取合适的P 的位置 可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）26．（2023·四川·统考中考真题）如图1 已知线段AB AC 线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转 连接BC 以BC 为边在BC 上方作Rt BDC 且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒ 以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △ 且90AEB ∠=︒ 30EBA ∠=︒ 连接DE 用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是(2)如图2 在(1)的条件下 若DE AB ⊥ 4AB = 2AC = 求BC 的长(3)如图3 若90BCD ∠=︒ 4AB = 2AC = 当AD 的值最大时 求此时tan CBA ∠的值．27．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形 90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒== 连接AD BE 探究ADBE 的位置关系．(1)如图1 当1m =时 直接写出AD BE 的位置关系：____________(2)如图2 当1m ≠时 （1）中的结论是否成立？若成立 给出证明 若不成立 说明理由． 【拓展应用】(3)当3,7,4m AB DE ===时 将CDE 绕点C 旋转 使,,A D E 三点恰好在同一直线上 求BE 的长．28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图① 把一个含有45︒角的三角尺放在正方形ABCD 中 使45︒角的顶点始终与正方形的顶点C 重合 绕点C 旋转三角尺时 45︒角的两边CM CN 始终与正方形的边AD AB 所在直线分别相交于点M N 连接MN 可得CMN ．【探究一】如图① 把CDM 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH 同时得到点H 在直线AB 上．求证：CNM CNH ∠=∠【探究二】在图①中 连接BD 分别交CM CN 于点E F ．求证：CEF CNM △∽△【探究三】把三角尺旋转到如图①所示位置 直线BD 与三角尺45︒角两边CM CN 分别交于点E F ．连接AC 交BD 于点O 求EFNM的值．29．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后 进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G 以BG 为边长向外作正方形BEFG 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时 连接DF AC ，相交于点P 小红发现点P 恰为DF 的中点 如图①．针对小红发现的结论 请给出证明（2）小红继续连接EG 并延长与DF 相交 发现交点恰好也是DF 中点P 如图① 根据小红发现的结论 请判断APE 的形状 并说明理由 规律探究：（3）如图① 将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α 连接DF 点P 是DF 中点 连接AP EP AEAPE 的形状是否发生改变？请说明理由．30．（2023·贵州·统考中考真题）如图① 小红在学习了三角形相关知识后 对等腰直角三角形进行了探究 在等腰直角三角形ABC 中 ,90CA CB C =∠=︒ 过点B 作射线BD AB ⊥ 垂足为B 点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图① 若点P 在线段CB 上 画出射线PA 并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 根据题意在图中画出图形 图中PBE ∠的度数为_______度 (2)【问题探究】根据（1）所画图形 探究线段PA 与PE 的数量关系 并说明理由 (3)【拓展延伸】如图① 若点P 在射线CB 上移动 将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点E 探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中 55BAC ∠=︒ 将ABC 逆时针旋转(055),αα︒<<︒得到ADE DE 交AC 于F ．当40α=︒时 点D 恰好落在BC 上 此时AFE ∠等于（ ）A ．80︒B ．85︒C ．90︒D ．95︒【答案】B【分析】根据旋转可得B ADB ADE ∠=∠=∠ 再结合旋转角40α=︒即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=︒ AB AD = ①40α=︒①15DAF ∠=︒ 70B ADB ADE ∠=∠=∠=︒ ①85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了几何—旋转问题 掌握旋转的性质是关键．2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE 点B C 的对应点分别是点D E 且点E 在BC 的延长线上 连接BD 则，下列结论一定正确的是（ ）A ．CAE BED ∠=∠B ．AB AE =C ．ACE ADE ∠=∠D ．CE BD = 【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意 由旋转的性质可得AB AD = AC AE = BC DE = 故B 选项和D 选项不符合题意=ABC ADE ∠∠=ACE ABCBAC∴=ACE ADEBAC 故C 选项不符合题意=ACB AED =ACB CAECEA=AED CEA BED∴=CAE BED 故A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质 熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 把ADE 以A 为中心顺时针旋转 点M 为射线BD CE 的交点．若3AB 1AD =．以下结论： ①BD CE = ①BD CE ⊥ ①当点E 在BA 的延长线上时 33MC -=①在旋转过程中 当线段MB 最短时 MBC 的面积为12．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】证明BAD CAE ≌即可判断① 根据三角形的外角的性质得出① 证明DCM ECA ∠∠∽得出313-= 即可判断① 以A 为圆心 AD 为半径画圆 当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 可得四边形AEMD 是正方形 在Rt MBC 中22MC BC MB -21 然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：①ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形 ①,,90BA CA DA EA BAC DAE ==∠=∠=︒ ①BAD CAE ∠=∠ ①BAD CAE ≌①ABD ACE ∠=∠ BD CE = 故①正确 设ABD ACE α∠=∠= ①45DBC α∠=︒-,①454590EMB DBC BCM DBC BCA ACE αα∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-+︒+=︒ ①BD CE ⊥ 故①正确当点E 在BA 的延长线上时 如图所示①DCM ECA ∠=∠ 90DMC EAC ∠=∠=︒ ①DCM ECA ∠∠∽①MC CDAC EC= ①3AB = 1AD =．①31CD AC AD =-= 222CE AE AC =+= 313-=①33MC -=故①正确 ①如图所示 以A 为圆心 AD 为半径画圆①90BMC ∠=︒ ①当CE 在A 的下方与A 相切时 MB 的值最小 90ADM DAE AEM ∠=∠=∠=︒①四边形AEMD 是矩形 又AE AD =①四边形AEMD 是正方形 ①1MD AE ==①222BD EC AC AE =- ①21MB BD MD =-= 在Rt MBC 中 22MC BC MB -①PB 取得最小值时 222MC AB AC MB +-()2332121+--①)()1112121222BMCSMB MC =⨯==故①正确 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质 相似三角形的性质 勾股定理 切线的性质 垂线段最短 全等三角形的性质与判定 正方形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC 90ACB ∠=︒ 2AB = 点C 是矩形ECGF与ABC 的公共顶点 且1CE = 3CG = 点D 是CB 延长线上一点 且2CD =．连接BG DF 在矩形ECGF 绕点C 按顺时针方向旋转一周的过程中 当线段BG 达到最长和最短时 线段DF 对应的长度分别为m 和n 则，mn的值为（ ）A ．2B ．3C 10D 13【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得1AC BC == 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且BC G 三点共线 求得4BG = 5DG = 根据勾股定理求得26DF = 即26m = 当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线则，2BG = 1DG = 根据勾股定理求得2DF 即2n = 即可求得13mn【详解】①ABC 为等腰直角三角形 2AB = ①2sin 4521AC BC AB ==⋅︒== 当线段BG 达到最长时 此时点G 在点C 的下方 且B C G 三点共线 如图：则4BG BC CG =+= 5DG DB BG =+=在Rt DGF △中 22225126DF DG GF =++ 即26m =当线段BG 达到最短时 此时点G 在点C 的上方 且B C G 三点共线 如图：则2BG CG BC =-= 1DG BG DB =-=在Rt DGF △中 2222112DF DG GF =++ 即2n = 故26132m n == 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数 勾股定理等 根据旋转推出线段BG 最长和最短时的位置是解题的关键．二 填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形ABCDE 的顶点C 为旋转中心 按顺时针方向旋转 使得新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，正五边ABCDE 旋转的度数至少为______°．【答案】72【分析】依据正五边形的外角性质 即可得到DCF ∠的度数 进而得出旋转的角度． 【详解】解：①五边形ABCDE 是正五边形①530726DCF ∠÷=︒=︒①新五边形A B CD E ''''的顶点D 落在直线BC 上则，旋转的最小角度是72︒故答案为：72．【点睛】本题主要考查了正多边形 旋转性质 关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，AO 为BAC ∠的平分线 且50BAC ∠=︒ 将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C ''' 且100OAC '∠=︒则，四边形ABOC 旋转的角度是______．【答案】75︒【分析】根据角平分线的性质可得25BAO OAC ==︒∠∠ 根据旋转的性质可得50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠ 求得75OAO '∠=︒ 即可求得旋转的角度．【详解】①AO 为BAC ∠的平分线 50BAC ∠=︒①25BAO OAC ==︒∠∠①将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后 得到四边形AB O C '''①50BAC B AC ''∠=∠=︒ 25B AO O AC ''''==︒∠∠①1002575OAO OAC O AC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：75︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质 旋转的性质 熟练掌握以上性质是解题的关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = D 是AB 上一点 且2AD = 过点D 作DE BC ∥交AC 于E 将ADE 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．【答案】45【分析】首先根据勾股定理得到2210AC AB BC += 然后证明出ADE ABC △△∽ 得到AD AEAB AC= 进而得到ADABAE AC = 然后证明出ABD ACE ∽ 利用相似三角形的性质求解即可．【详解】①在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 8AB = 6BC = ①2210AC AB BC +①DE BC ∥①90ADE ABC ∠=∠=︒ AED ACB ∠=∠①ADE ABC △△∽ ①ADAEAB AC = ①ADABAE AC =①BAC DAE ∠=∠①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠①BAD CAE ∠=∠①ABD ACE ∽ ①84105BD AB CD AC ===． 故答案为：45．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定 解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线12C C 、分别是函数2(0),(0,0)k y x y k x x x=-<=>>的图像 边长为6的正ABC 的顶点A 在y 轴正半轴上 顶点B C 在x 轴上（B 在C 的左侧）现将ABC 绕原点O 顺时针旋转 当点B 在曲线1C 上时 点A 恰好在曲线2C 上则，k 的值为__________．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可） 当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥ 可得3OB OA = 过点A B 分别作x 轴垂线构造相似则，BFO OEA ∽ 根据相似三角形的性质得出3AOE S =△ 进而根据反比例函数k 的几何意义 即可求解．【详解】当点A 在y 轴上 点B C 在x 轴上时 连接AOABC 为等边三角形且AO BC ⊥则，30BAO ∠=︒∴tan tan30BAO ∠=︒=3OB OA = 如图所示 过点,A B 分别作x 轴的垂线 交x 轴分别于点,E FAO BO ⊥ 90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒∴90BOF AOE EAO ∠=︒-∠=∠∴BFO OEA ∽ ∴213BFO AOE S OB SOA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴212BFO S -==∴3AOE S =△∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质 k 的几何意义 相似三角形的性质与判定 正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段8AB = 点C 是线段AB 上的动点 将线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD 连接CD 在AB 的上方作Rt DCE ∆ 使90,30DCE E ∠=∠= 点F 为DE 的中点 连接AF 当AF 最小时 BCD ∆的面积为___________．3【分析】连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒为定角 可得点F 在射线BF 上运动 当AF BF ⊥时 AF 最小 由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接CF BF ， BF ，CD 交于点P 如图，①90DCE ∠= 点F 为DE 的中点①FC FD =①30E ∠=①60FDC ∠=︒,①FCD 是等边三角形①60DFC FCD ∠=∠=︒①线段BC 绕点B 顺时针旋转120°得到线段BD①BC BD =①FC FD =①BF 垂直平分CF 60ABF ∠=︒①点F 在射线BF 上运动①当AF BF ⊥时 AF 最小此时9030FAB ABF ∠=︒-∠=︒ ①142BF AB == ①1302BFC DFC ∠=∠=︒ ①90FCB BFC ABF ∠=∠+∠=︒①122BC BF == ①112PB BC == ①由勾股定理得223PC BC PB - ①223CD PC == ①11231322BCD S CD PB =⋅=⨯△3【点睛】本题考查了等腰三角形性质 含30度直角三角形的性质 斜边中线性质 勾股定理 线段垂直平分线的判定 勾股定理 旋转的性质 确定点F 的运动路径是关键与难点．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， 将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为_______．【答案】90︒或270︒或180︒【分析】连接AC 根据已知条件可得90BAC ∠=︒ 进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接AC 取BC 的中点E 连接AE 如图所示①在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=， ①12BE CE BC AB ===①ABE 是等边三角形①60BAE AEB ∠=∠=︒ AE BE =①AE EC = ①1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=︒ ①90BAC ∠=︒①AC CD ⊥如图所示 当点P 在AC 上时 此时90BAP BAC ∠=∠=︒则，旋转角α的度数为90︒当点P 在CA 的延长线上时 如图所示则，36090270α=︒-︒=︒当P 在BA 的延长线上时则，旋转角α的度数为180︒ 如图所示①PA PB CD == PB CD ∥①四边形PACD 是平行四边形①AC AB ⊥①四边形PACD 是矩形①90PDC ∠=︒即PDC △是直角三角形综上所述 旋转角α的度数为90︒或270︒或180︒故答案为：90︒或270︒或180︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形的性质与判定 旋转的性质 熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在ABC 中 35C ∠=︒ 将ABC 绕着点A 旋转(0180)αα︒<<︒ 旋转后的点B 落在BC 上 点B 的对应点为D 连接AD AD ，是BAC ∠的角平分线则，α=________．【答案】1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】如图，AB AD = BAD ∠=α 根据角平分线的定义可得CAD BAD α∠=∠= 根据三角形的外角性质可得35ADB α∠=︒+ 即得35B ADB α∠=∠=︒+ 然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：AB AD = BAD ∠=α①AD 是BAC ∠的角平分线①CAD BAD α∠=∠=①35ADB C CAD α∠=∠+∠=︒+ AB AD =①35B ADB α∠=∠=︒+则在ABC 中 ①180C CAB B ∠+∠+∠=︒①35235180αα︒++︒+=︒ 解得：1103α⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故答案为：1103⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了旋转的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识 熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 3cm AB = =60B ∠︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转 得到AB C ''△ 若点B 的对应点B '恰好落在线段BC 上则，点C 的运动路径长．．．．．是___________cm （结果用含π的式子表示）．3π【分析】由于AC 旋转到AC ' 故C 的运动路径长是CC '的圆弧长度 根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ' 如图所示．在直角ABC 中 =60B ∠︒则，30C ∠=︒则()2236cm BC AB ==⨯=． ①)22226333cm AC BC AB =--．由旋转性质可知 AB AB '= 又=60B ∠︒①ABB '是等边三角形．①60BAB '∠=︒．由旋转性质知 60CAC '∠=︒．故弧CC '的长度为：()602333cm 3603AC πππ⨯⨯⨯=⨯ 3π【点睛】本题考查了含30︒角直角三角形的性质 勾股定理 旋转的性质 弧长公式等知识点 解题的关键是明确C 点的运动轨迹．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,3,1ACB AC BC ∠=︒== 将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒ 得到AB C ''△．连接BB ' 交AC 于点D 则，AD DC 的值为________．【答案】5【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F 利用勾股定理求得10AB根据旋转的性质可证ABB ' DFB △是等腰直角三角形 可得DF BF = 再由1122ADB SBC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 得=10AD DF 证明AFD ACB 可得DF AF BC AC = 即3AF DF = 再由=10AF DF 求得10=DF 从而求得52AD = 12CD = 即可求解． 【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F①90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC = ①223110AB +①将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△ ①==10AB AB ' 90BAB '∠=︒①ABB '是等腰直角三角形①45ABB '∠=︒又①DF AB ⊥①45FDB ∠=︒①DFB △是等腰直角三角形①DF BF = ①1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ① 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠①AFD ACB ①DF AF BC AC= 即3AF DF = 又①=10AF DF ①10=DF ①105=10=2AD 51=3=22CD - ①52==512AD CD 故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质 等腰三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 三角形的面积 熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰ABC 120A ∠=︒ 2AB =．现将ABC 以点B 为旋转中心旋转45︒ 得到A BC ''△ 延长C A ''交直线BC 于点D ．则A D '的长度为_______． 【答案】423423+-或【分析】根据题意 先求得23BC = 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F 分别画出图形 根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示 过点A 作AM BC ⊥于点M①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒ ①112AM AB == 223BM CM AB AM =- ①23BC =如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ 过点B 作BE A B '⊥交A D '于点E①120BAC ∠=︒①60DA B '∠=︒ 30A EB '∠=︒在Rt A BE '中 24A E A B ''== 2223BE A E A B ''-= ①等腰ABC 120BAC ∠=︒ 2AB =． ①30ABC ACB ∠=∠=︒①ABC 以点B 为旋转中心逆时针旋转45︒ ①45ABA '∠=︒①180********DBE ∠=︒-︒-︒-︒=︒ 1804530105A BD '∠=︒-︒-︒=︒ 在A BD '中 1801806010515D DA B A BD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=''︒, ①D EBD ∠=∠ ①23EB ED ==①423A D A E DE ''=+=+如图所示 当ABC 以点B 为旋转中心顺时针旋转45︒ 过点D 作DF BC '⊥交BC '于点F在BFD △中 45BDF CBC ∠'=∠=︒ ①DF BF =在Rt DC F '中 30C '∠=︒ ①3'DF ①33BC BF BF ==①33DF BF ==①2623DC DF '==-①6232423A D C D A C ''''=-=-=- 综上所述 A D '的长度为423-423+ 故答案为：43-43+【点睛】本题考查了旋转的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握旋转的性质 分类讨论是解题的关键．15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板ABC 和DEF 中90304512C D B E BC EF ∠=∠=︒∠=︒∠=︒==，，，．将它们叠合在一起 边BC 与EF 重合 CD 与AB 相交于点G （如图1） 此时线段CG 的长是___________ 现将DEF 绕点()C F 按顺时针方向旋转（如图2） 边EF 与AB 相交于点H 连结DH 在旋转0︒到60︒的过程中 线段DH 扫过的面积是___________．【答案】6662 1218318π-【分析】如图1 过点G 作GH BC ⊥于H 根据含30︒直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出3BH GH = GH CH = 然后由12BC =可求出GH 的长 进而可得线段CG 的长 如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 作1DN CD ⊥于N 过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 首先证明1CDD 是等边三角形 点1D 在直线AB 上 然后可得线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 求出DN 和BM 然后根据线段DH 扫过的面积111121D DBCD DD DBD D D CD D S SS SS=+=-+弓形扇形列式计算即可．【详解】解：如图1 过点G 作GH BC ⊥于H①3045ABC DEF DFE ∠=︒∠=∠=︒， 90GHB GHC ∠=∠=︒ ①3BH GH = GH CH = ①312BC BH CH GH GH =+=+= ①36GH =①()226366662CG GH ===如图2 将DEF 绕点C 顺时针旋转60︒得到11D E F 1FE 与AB 交于1G 连接1D D 由旋转的性质得：1160E CB DCD ∠=∠=︒ 1CD CD = ①1CDD 是等边三角形①30ABC ∠=︒ ①190CG B ∠=︒ ①112CG BC =①1CE BC =①1112CG CE = 即AB 垂直平分1CE①11CD E 是等腰直角三角形 ①点1D 在直线AB 上连接1AD 22D E F 是DEF 旋转0︒到60︒的过程中任意位置 则线段DH 扫过的面积是弓形12D D D 的面积加上1D DB 的面积 ①12BC EF == ①22DC DB === ①1162DC D D == 作1DN CD ⊥于N 则，132ND NC == ①()()222211623236DN D D ND =-=-过点B 作1BM D D ⊥交1D D 的延长线于M 则，90M ∠=︒ ①160D DC ∠=︒ 90CDB ∠=︒①118030BDM D DC CDB ∠=︒-∠-∠=︒ ①1322BM BD == ①线段DH 扫过的面积112D DBD D D S S =+弓形111CD DD DBCD D S S S=-+扇形(260621123623236022π⋅=-⨯⨯ 1218318π=-故答案为：6662 1218318π-．【点睛】本题主要考查了旋转的性质 含30︒直角三角形的性质 二次根式的运算 解直角三角形 等边三角形的判定和性质 勾股定理 扇形的面积计算等知识 作出图形 证明点1D 在直线AB 上是本题的突破点 灵活运用各知识点是解题的关键．三 解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明． 【答案】(1)见解析 (2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．。

2018年各地中考数学卷（圆）真题集锦一．选择题1．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）A ．2B ．1C ．D ．2．（2018•黑龙江）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，是图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣6B ．πC ．π﹣3D ． +π3．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是上的点，若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5．（2018•贵港）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是（ ）A．24°B．28°C．33°D．48°6．（2018•深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3 B．C．6 D．7．（2018•烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E 在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°8．（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．29．（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π10．（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB ＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°11．（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°12．（2018•台湾）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣7二．填空题13．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．14．（2018•梧州）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．15．（2018•山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作⊙O 的切线FG ，交AB 于点G ，则FG 的长为 ．16．（2018•烟台）如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点，以点O 为圆心，以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1：r 2＝ ．17．（2018•吉林）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，＝，若∠AOB ＝58°，则∠BDC＝ 度．18．（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为 ．19．（2018•北京）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，＝，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝ ．20．（2018•潍坊）如图，点A 1的坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y ＝x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3；…．按此作法进行下去，则的长是 ．21．（2018•泰州）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝，AC ＝12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C ，P 为线段A ′B '上的动点，以点P 为圆心，PA ′长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 ．三．解答题22．（2018•济南）如图AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，BP 与⊙O 相交于点D ，C 为⊙O 上的一点，分别连接CB 、CD ，∠BCD ＝60°．（1）求∠ABD 的度数；（2）若AB ＝6，求PD 的长度．23．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tan C＝，AC＝8，求⊙O的半径．24．（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．25．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．26．（2018•抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．27．（2018•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．28．（2018•沈阳）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．29．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．30．（2018•广西）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切；（2）若＝，求的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．31．（2018•玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．32．（2018•郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．33．（2018•东莞市）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长．34．（2018•随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB 于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD＝MC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．35．（2018•株洲）如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图（1），O 为△ABC 的中心，AD 为△ABC 的边BC 上的高，则OD 为边心距，∴∠BAD ＝30°，又∵AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAD ＝30°，∴∠OBD ＝60°﹣30°＝30°，在Rt △OBD 中，BO ＝2DO ，即AO ＝2DO ，∴OD ：OA ：AD ＝1：2：3．在正△ABC 中，AD 是高，设BD ＝x ，则AD ＝BD •tan60°＝BD ＝x ．∵正三角形ABC 面积为cm 2，∴BC •AD ＝，∴×2x •x ＝，∴x ＝1．即BD ＝1，则AD ＝， ∵OD ：OA ：AD ＝1：2：3，∴AO ＝cm ．即这个圆的半径为cm ．所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝， 故选：B ．2．解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π，故选：B．3．解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD＝90°，∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOB＝∠ADO，∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝＝，故选：D．4．解：∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∴∠D＝，故选：B．5．解：∵∠A＝66°，∴∠COB＝132°，∵CO＝BO，∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣132°）＝24°，故选：A．6．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．7．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．8．解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，∴△ABC的面积为＝，S＝＝π，扇形BAC∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，故选：D．9．解：该扇形的面积＝＝12π．故选：C．10．解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，故选：D．11．解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB＝90°，∵OD∥AB，∴∠COD＝90°，∴∠CED＝∠COD＝45°，故选：D．12．解：连接AC，由题意得，BC＝OB+OC＝9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9，在Rt△AOC中，AO＝＝2，∵a＜0，∴a＝﹣2，故选：A．二．填空题（共9小题）13．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．14．解：设圆锥底面圆的半径为r，∵A C＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．15．解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，∴点D是AB中点，∴CD＝BD＝AB＝5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴BF＝CF＝BC＝4，∴DF＝＝3，连接OF，∵OC＝OD，CF＝BF，∴OF∥AB，∴∠OFC＝∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG＝90°，∴∠OFC+∠BFG＝90°，∴∠BFG+∠B＝90°，∴FG⊥AB，＝DF×BF＝BD×FG，∴S△BDF∴FG＝＝＝，故答案为．16．解：连OA由已知，M 为AF 中点，则OM ⊥AF∵六边形ABCDEF 为正六边形∴∠AOM ＝30°设AM ＝a∴AB ＝AO ＝2a ，OM ＝∵正六边形中心角为60°∴∠MON ＝120°∴扇形MON 的弧长为：a则r 1＝a同理：扇形DEF 的弧长为：则r 2＝r 1：r 2＝故答案为：：2 17．解：连接OC ．∵＝，∴∠AOB ＝∠BOC ＝58°，∴∠BDC ＝∠BOC ＝29°，故答案为29．18．解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝4，∠B ＝∠D ＝30°，∴AE ＝AB ＝2，BE ＝＝2， ∵OA ＝OB ＝OE ，∴∠B ＝∠OEB ＝30°，∴∠BOE ＝120°，∴S 阴影＝S 扇形OBE ﹣S △BOE ，＝﹣×，＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣．19．解：∵＝，∠CAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＝30°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝30°，∵∠ACD ＝50°，∴∠ABD ＝50°，∴∠ACB ＝∠ADB ＝180°﹣∠CAB ﹣∠ABC ＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°． 故答案为：70°．20．解：直线y ＝x ，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交 直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，2）， 以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2＝OB 1，OA 2＝＝4，点A 2的坐标为（4，0），这种方法可求得B 2的坐标为（4，4），故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8，8） 以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0），则的长是＝．故答案为：． 21．解：如图1中，当⊙P 与直线AC 相切于点Q 时，连接PQ ．设PQ ＝PA ′＝r ，∵PQ ∥CA ′，∴＝，∴＝，∴r ＝．如图2中，当⊙P 与AB 相切于点T 时，易证A ′、B ′、T 共线，∵△A ′BT ∽△ABC ，∴＝，∴＝，∴A′T＝，∴r＝A′T＝．综上所述，⊙P的半径为或．三．解答题（共14小题）22．解：（1）方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．即∠ABD＝30°．（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．23．证明（1）如图：连接OE，BE∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A ∴∠C＝∠A∴BC＝AB，∵BC是直径∴∠CEB＝90°，且AB＝BC∴CE＝AE，且CO＝OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）∵AC＝8，∴CE＝AE＝4∵tan∠C＝＝∴BE＝2∴BC＝＝2∴CO＝即⊙O半径为24．解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝8，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x＝，AP＝；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD＝＝10PG，PG＝，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，综上所述，AP 的值的取值范围是：＜AP ＜或AP ＝5．故答案为：＜AP ＜或AP ＝5．25．（1）证明：∵OA ＝OB ，DB ＝DE ，∴∠A ＝∠OBA ，∠DEB ＝∠DBE ，∵EC ⊥OA ，∠DEB ＝∠AEC ，∴∠A +∠DEB ＝90°，∴∠OBA +∠DBE ＝90°，∴∠OBD ＝90°，∵OB 是圆的半径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ，∵点E是AB的中点，AB＝12，∴AE＝EB＝6，OE⊥AB，又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，DB＝DE，∴EF＝BF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO＝4.5，∴△AOB的面积是：＝27．26．（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（8﹣r）2＝r2+42，∴r＝3，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝6，在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．27．解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴BC＝CD＝BC＝，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP＝16.9cm．28．解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵，∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵，∴∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AO C+∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，设⊙O的半径为r，∵CE＝2，∴r＝，解得：r＝2，∴⊙O的半径为2．29．解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．30．解：（1）如图，连接OB，则OB＝OD，∴∠BDC＝∠DBO，∵∠BAC＝∠BDC、∠BDC＝∠GBC，∴∠GBC＝∠BDC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBO+∠OBC＝90°，∴∠GBC+∠OBC＝90°，∴∠GBO＝90°，∴PG与⊙O相切；（2）过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，则∠AOM＝∠COM＝∠AOC，∵＝，∴∠ABC＝∠AOC，又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，∴△BEF∽△OAM，∴＝，∵AM＝AC，OA＝OC，∴＝，又∵＝，∴＝2×＝2×＝；（3）∵PD＝OD，∠PBO＝90°，∴BD＝OD＝8，在Rt△DBC中，BC＝＝8，又∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴∠DOB＝60°，∵∠DOB＝∠OBC+∠OCB，OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴＝，＝，∴可设EF＝x，则EC＝2x、FC＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BEF中，BE2＝EF2+BF2，∴100＝x2+（8﹣x）2，解得：x＝6±，∵6+＞8，舍去，∴x＝6﹣，∴EC＝12﹣2，∴OE＝8﹣（12﹣2）＝2﹣4．31．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4，在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2+AC2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴CE＝5．32．解：（1）如图，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，连接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，在Rt△AOM中，AM＝OA•sin∠AOM＝4×sin60°＝2，∴AE＝2AM＝4．33．解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，∵，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）∵tan∠ABC＝＝2，∴设BC＝a、则AC＝2a，∴AD＝AB＝＝，∵OE∥BC，且AO＝BO，∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，在△AED中，DE＝＝2a，在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2＝a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切；（3）连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠BAD＝90°，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴＝，即DF•BD＝AD2①，又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴＝，即OD•DE＝AD2②，由①②可得DF•BD＝OD•DE，即＝，又∵∠EDF＝∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC＝1，∴AB＝AD＝、OD＝、ED＝2、BD＝、OB＝，∴＝，即＝，解得：EF＝．34．解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，∴MD＝MC；（2）由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD＝2.5，设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，解得：x＝，即MC＝．35．解：（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠O CA+∠OCB＝90°，∵∠GAF＝∠GCE，∴∠GCE+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB＝CH，∴∠CBH＝∠CHB，∵OB＝OC，∴∠CBH＝∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：∵AB＝8，∴BC2＝HB•OC＝4HB，∴HB＝，∴OH＝OB﹣HB＝4﹣∵CB＝CH，∴OH+HC＝4+BC，当∠BOC＝90°，此时BC＝4∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜4，令BC＝x∴OH+HC＝﹣（x﹣2）2+5当x＝2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5。

（1）选择题1. （深圳2005年3分）我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是【】2. （深圳2006年3分）如图所示，圆柱的俯视图是【】3. （深圳2007年3分）仔细观察图所示的两个物体，则它的俯视图是【】4.（深圳2008年3分）如图，圆柱的左视图是【】5.（深圳2008年3分）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于【】6.（深圳2009年3分）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是【】7.（深圳2019年招生3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有【】8.（深圳2019年3分）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是【】9. （2018广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM 上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【】10.（2019年广东深圳3分）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是【】二、填空题1. （深圳2005年3分）如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为22 cm，则FC的长为▲ cm。

2.（深圳2009年3分）如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是▲ ．3.（深圳2018学业年3分）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少．．是▲ 个．4.（深圳2019年招生3分）如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为▲ cm（结果不取近似值）．5.（深圳2019年3分））如图，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为▲ .6.（2019年广东深圳3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有▲ 个正方形。

专题5.1 图形的平移对称与旋转一、单选题1．点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可.【详解】因为点（m，n）关于x轴的对称的点的坐标为（m，-n），所以点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5），故选A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【来源】湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题【答案】C点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【来源】湖北省宜昌市2018年中考数学试卷【答案】D点睛：本题考查了轴对称图形的定义，能够正确观察图形和理解轴对称图形的定义是解此题的关键．4．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．详解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（）A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）【来源】湖北省宜昌市2018年中考数学试卷【答案】A点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．6．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN 的最小值是（）A． B． 1 C． D． 2【来源】新疆自治区2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析：先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．详解：如图，点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【来源】四川省内江市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析：先求得直线AB解析式为y=x-1，即可得出P（0，-1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．令x=0，则y=-1，∴P（0，-1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则=0，=-1，∴m=-4，n=-5，∴A'（-4，-5），故选：A．点睛：本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），故选A．【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心I的坐标是解题的关键.9．下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．详解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．，故选：D．点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．10．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A． 1 B． 2 C． 3 D．不能确定【来源】浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷【答案】A在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1，故选A．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A． l1 B． l2 C． l3 D． l4【来源】河北省2018年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．12．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A． 6＜t≤8 B．6≤t≤8 C． 10＜t≤12 D．10≤t≤12【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷【答案】D【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.二、填空题13．在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．【来源】湖南省长沙市2018年中考数学试题【答案】（1，1）【解析】分析：直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．详解：∵将点A′（-2，3）向右平移3个单位长度，∴得到（1，3），∵再向下平移2个单位长度，∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．故答案为：（1，1）．点睛：此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键．14．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________．【来源】四川省内江市2018年中考数学试卷【答案】点睛：此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比.15．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．【来源】湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题【答案】15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，故答案为：15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．16．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为_____．【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试卷【答案】（﹣1，）【详解】如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．17．点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC 边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________【来源】陕西省2018年中考数学试题【答案】2S1＝3S2【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，∴2S1＝3S2，故答案为：2S1＝3S2.【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键.18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．【来源】四川省达州市2018年中考数学试题【答案】（-2，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC-2，则tan∠BOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2，∴点B1的坐标为（-2，6），故答案为：（-2，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．19．如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷【答案】20【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．【来源】黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键.三、解答题21．【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．【答案】作图见解析.【解析】【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合题意的图形．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题【答案】(1)作图见解析，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）；（2）y=-x.详解：（1）如图所示， C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．24．如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=﹣1，求的值．【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题【答案】（1）D到点D1所经过路径的长度为π；（2）（负根已经舍弃）．详解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，∴BA1=2HA1，∴∠ABA1=30°，∴旋转角为30°，∵BD=，∴D到点D1所经过路径的长度=（2）∵△BCE∽△BA2D2，点睛：本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．求证：≌；当时，求的度数．【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷【答案】证明见解析；.【解析】【分析】由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌；由≌可知：，，从而可求出的度数．【详解】由题意可知：，，，，，，在与中，，≌；【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．26．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE 与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m 的取值范围是．（直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．【来源】江苏省徐州巿2018年中考数学试卷【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+；探究二：（1）当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析；探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．【详解】探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，∠PBE=∠C，又∠BEP=∠CEQ，则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），∴∠MPE=∠EQN（等量代换），∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴，在Rt△AME∽Rt△ENC，∴，∴，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+；（当m＞2+时，EF与BC不会相交）．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解是关键．27．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.①求证；②求点的坐标.（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.【来源】天津市2018年中考数学试题【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.详解：（Ⅰ）∵点，点，∴，.∵四边形是矩形，∴，，.∵矩形是由矩形旋转得到的，∴.在中，有，∴.∴.∴点的坐标为.（Ⅲ）.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.28．在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，），射线，分别交直线于点，.（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.【来源】四川省成都市2018年中考数学试题【答案】（1）60°；（2）；（3）详解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2，∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，∴BC=，∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A'BC=90°，∴cos∠A'CB=，∴∠A'CB=30°，∴∠ACA'=60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM=∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C=∠A，∴∠A=∠A'CM，∴tan∠PCB=tan∠A=，∴PB=BC=，∵tan∠Q=tan∠A=，∴BQ=BC×=2，∴PQ=PB+BQ=；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．29．如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷【答案】（1）作图见解析；（2）EB是平分∠AEC，理由见解析；（3）△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．【详解】（1）依题意作出图形如图①所示；（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵点E是CD的中点，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理、判断出△AEP≌△△FBP是解本题的关键．30．已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC= °；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【来源】广东省2018年中考数学试题【答案】（1）60；（2）；（3）.【详解】（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，故答案为：60；（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，如图，则NE=ON•sin60°=x，∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，∴y=x2，∴x=时，y有最大值，最大值=；②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，如图，MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=•MN•OG=12﹣x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为．【点睛】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的关键.。

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2018年数学中考真题演练（锐角三角函数）一．选择题1．（2018•巴彦淖尔）南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰,请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上,则A和C之间的距离为( ）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里2．（2018•益阳）如图，小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（)A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米3．(2018•凉山州)无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°,此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为( )A．h(tan50°﹣tan20°）B．h（tan50°+tan20°)C．D．4．（2018•苏州)如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里5．（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC 的值为（）A．B．1 C．D．6．（2018•云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（) A．3 B．C．D．7．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin A等于（）A．B．C．D．8．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB 上的一点C,测得PC＝100米，∠PCA＝35°,则小河宽PA等于( ）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米9．（2018•重庆）如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为（）(参考数据：sin58°≈0。

2018届中考数学复习《旋转》专项练习含答案专题复习旋转1. 下列图中的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( ) A．6 B．4 3 C．3 3 D．33. 下列四组图形中成中心对称的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4. 如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′5. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )6. 点P(3，2)关于原点对称的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7. 若点A(n，2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝( )A．－1 B．－5 C．1 D．58. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C按逆时针方向旋转后与△P′CB 重合，若PC＝1，则PP′＝．9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．10. 已知A，B两点关于点O成中心对称，若AO＝3 cm，则BO＝____cm.11. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则点D的坐标为．12. 已知，点A(5，m)关于x轴的对称点为(5，－2)，那么m的值为____，点A关于原点对称的点的坐标是．13. 若a－3＋(b＋2)2＝0，则点M(a，b)关于原点的对称点的坐标为．14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．参考答案：1---7 DACDC CD8. 29. (4，2)10. 311. (0，1)12. 2 (－5，－2)13. (－3，2)14. 解：(1)提示：A，B，C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4，1)，(－1，2)，(－2，4)，连接这三个点，得△A1B1C1(2)提示：A，B，C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连接这三个点，得△A2B2C2(3)P(2，0)．作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点。

（1）选择题1. （2002年浙江金华、衢州4分）圆锥的轴截面是【】(A)梯形(B)等腰三角形 (C)矩形(D)圆2. （2003年浙江金华、衢州4分）在下列几何体中，轴截面是等腰梯形的是【】A．圆锥B．圆台C．圆柱D．球3. （2003年浙江金华、衢州4分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【】4. （2004年浙江金华4分）圆柱的轴截面是【】A、等腰三角形B、等腰梯形C、矩形D、圆5. （2004年浙江金华4分）将一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是【】A、三角形B、矩形C、菱形D、梯形6. （2004年浙江金华4分）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）7. （2005年浙江金华4分）圆柱的侧面展开图是【】Ａ、等腰三角形Ｂ、等腰梯形Ｃ、扇形Ｄ、矩形8. （2005年浙江金华4分）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点Ｏ是横板AB的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ′OA）是【】Ａ、80°Ｂ、60°Ｃ、40°Ｄ、20°9. （2005年浙江金华4分）如图（１），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段ＤＥ向下折叠，得到图（２），下列关于图（２）的四个结论中，不一定成立的是【】Ａ、点Ａ落在边ＢＣ的中点Ｂ、∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°Ｃ、△DBA是等腰三角形Ｄ、DE∥BC10. （2006年浙江金华4分）下图所示的几何体的主视图是【】11. （2006年浙江金华4分）将叶片图案旋转180°后，得到的图形是【】12. （2007年浙江金华4分）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是【】13. （2008年浙江金华3分）在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小。

九年级数学中考专题--图形的旋转精炼卷1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长A1A2（结果保留π）．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上.(1)求n的值；(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.3.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．4.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．5.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC．（1）特殊情形：如图1,当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．6.（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．7.在平面直角坐标系中,O为原点,点B在x轴的正半轴上,D（0,8）,将矩形OBCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A,若OD=2CP,求点A的坐标．（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点,求∠AOB的度数．（3）如图②，在（1）的条件下,擦去折痕AO,线段AP,连接BP,动点M在线段OP上（点M与P，O不重合）,动点N在线段OB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M，N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化？若变化,说明理由；若不变,求出线段EF 的长度（直接写出结果即可）8.如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．9.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为 (直接写答案)；（3）求在旋转过程中线段AB ，OB扫过的图形的面积和．10.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是；（2）旋转角是度；（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．11.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．12.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．13.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ(0°<ɑ<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求ɑ的值．14.在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．15.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．参考答案1.解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长==π．2.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；(2)四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形.3.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．4.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．5.解：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．6.解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．7.解：（1）∵D（0，8），∴OD=BC=8，∵OD=2CP，∴CP=4，设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：4=（x﹣4）：AC，则AC==3，∴AB=5，∴点A（10，5）；（2）∵点 P 恰好是CD边的中点，设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+y2=（2y）2，解得：y=，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：y=y：AC，则AC==，∴AB=8﹣=，∵OB=2y=，∴tan∠AOB===，∴∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=4，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．8.9.解：（1）△A1OB1如下图所示；（2）由勾股定理得，BO==，所以，点B所经过的路径长==π；（3）由勾股定理得，OA==，∵AB所扫过的面积= S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB=S扇形A1OA==π．10.解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，因为∠ADE′=∠ADF=90°，所以E'、D、F三点共线，又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．11.证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．12.由∠BAC=120°知∠ABC＋∠ACB=60°.又∵∠ABD=∠ABC＋∠CBD=∠DCE，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB＋∠BCD＋∠DCE=∠ACB＋∠BCD＋∠ABC＋∠CBD=180°，即点A．C、E在一条直线上．又∵AD=ED，∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC＋CE=AC＋AB=5.13.(1)30°-0.5α.(2)△ABE为等边三角形．证明：连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°.∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°－∠DBE=∠EBC=30°－0.5α.又∵BD=CD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD=CD.又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC=0.5α.∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°－(30°－0.5α)－150°=0.5α.∴∠BAD=∠BEC.在△ABD与△EBC中，△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB=BE.又∵∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形．(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°.∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD=CE=BC.∵∠BCE=150°，∴∠EBC=15°.又∵∠EBC=30°－0.5α=15°，∴α=30°14.解：15.（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．。

备战2019：2018年中考数学试卷真题汇编之图形的变换一、选择题1、（甘肃酒泉8．（3分））如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A．5 B．C．7 D．【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE==．故选：D．2．（3.00分）（2018•绵阳）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．故选：B．3．（4.00分）（2018•遂宁）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，=中过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴EF=FG，∵DE=BG，∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，∵BC=CD=AD=4，EC=1，∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2=（4﹣x）2+12，解得x=，∴BF=，AF==，故②正确，③错误，∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴=（）2，=，故④正确，∴S△FBM故选：D．4．（3.00分）（2018•宜宾）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：如图，∵S△ABC =9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE =S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=﹣（舍），故选：A．5．（4.00分）（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．6．（3.00分）（2018•南充）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（）A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2）C．y=2x﹣2 D．y=2x+2【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．故选：C．7．（3.00分）（2018•内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD 于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选：D．7．（3.00分）（2018•天津）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成，∴BE=BC．∵AE+BE=AB，∴AE+CB=AB，故D正确，故选：D．8．（3.00分）（2018•临安区）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1．故选：A．9．（5.00分）（2018•新疆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．10．（3.00分）（2018•湖州）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E 在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．AB=2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△ADE和△FDE的面积相等【解答】解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE =S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE =S△FDE，∴S△ADE =S△FDE，故D正确，当AD=AC时，△ADF和△ADE的面积相等∴C选项不一定正确，故选：C．11．（4.00分）（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．12．（3.00分）（2018•金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，∴∠ACD=90°﹣20°=70°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC+∠EDC=180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，即45°+70°+∠ADC=180°，解得：∠ADC=65°，故选：C．13．（3.00分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．化简，得y=2x﹣4，故选：A．14、（贵州毕节14.3分）如图,在矩形ABCD中,AD=3,M是CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折得到△ANM,若AN平分∠MAB,则折痕AM的长为( )A.3B.32 C.23 D.615、（海南6．）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是 CA．（-2，3）B．（3，-1）C．（-3，1）D．（-5，2）16、（海南12．）如图4，在△ABC 中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC 绕点Ａ逆时针旋转60°得到△A B1C1，连接B C1，则B C1 的长为 CA．6 B. 8 C. 10 D. 1217、（海南14．）如图6-1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC、EG 剪开，拼成如图6-2 所示的□KLM N，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且□KLM N的面积为50，则正方形E FGH 的面积为 B27A．24 B．25 C．26 D．18、（哈尔滨6.）将抛物线y=-5x2+l向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ A ）.A y=-5(x+1)2-1 (B)y=-5(x-1)2-1 (C)y=-5(x+1)2+3 (D)y=-5(x-1)2+319、（湖北黄石6）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P＇的坐标是CA.（-1,6）B.（-9,6）C.（-1,2）D.（-9,2）P20、（湖北荆门9.）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（ A ）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3-21、（湖北宜昌11）（3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，﹣2）C ．（2，5）D ．（﹣2，5）【解答】解：∵点A ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2）， ∴点O 是AC 的中点，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD经过点O，∵B的坐标为（﹣2，﹣2），∴D的坐标为（2，2），故选：A．22．（4.00分）（2018•德州）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE =S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE，∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；∴S△BOD =S△COE，∴四边形ODBE的面积=S△OBC =S△ABC=××42=，所以③正确；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，∵∠DOE=120°，∴∠ODE=∠OEH=30°，∴OH=OE，HE=OH=OE，∴DE=OE，∴S△ODE=•OE•OE=OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE ≠S△BDE；所以②错误；∵BD=CE，∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确．故选：C．23．（3.00分）（2018•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【解答】解：∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=2，∴点A的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，2），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2），故选：A．24．（3.00分）（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选：A．25．（3.00分）（2018•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x 轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．26．（3.00分）（2018•青岛）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕相交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=AB，EF=，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC==3，故选：B．27．（3.00分）（2018•青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（4，0）C．（3，﹣3）D．（5，﹣1）【解答】解：画图如下：则A'（5，﹣1），故选：D．28．（3.00分）（2018•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）【解答】解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．29．（3.00分）（2018•烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：连接AC、BD，如图，∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD==5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选：D．30．（3.00分）（2018•枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选：B．二、填空题31．（4.00分）（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= 3+2．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE﹣HE=x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为3+2．32．（3.00分）（2018•天津）将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=x+2 ．【解答】解：将直线y=2x直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=x+2．故答案为：y=x+2．33．（4.00分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=，由勾股定理可得，CH=，∵，可得，AN=，∴ME=AN=，∴PE+PF最小为，故答案为．34．（3.00分）（2018•常德）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=错误！未找到引用源。

2018全国中考真题汇编——图形的平移和旋转一．选择题（共4小题）1．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣5，2）【解答】解：∵点B的坐标为（3，1），∴向左平移6个单位后，点B1的坐标（﹣3，1），故选：C．2．（2018•黄石）如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P 的对应点P'的坐标是（）A．（﹣1，6）B．（﹣9，6）C．（﹣1，2）D．（﹣9，2）【解答】解：由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），故选：C．3．（2018•宜宾）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）A．2B．3C．D．【解答】解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=﹣（舍），故选：A．4．（2018•温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A ．（1，0）B．（，）C．（1，）D．（﹣1，）【解答】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0），所以图形向右平移1个单位长度，所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，），即（1，），故选：C．二．填空题（共4小题）5．（2018•长沙）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．【解答】解：∵将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，∴得到（1，3），∵再向下平移2个单位长度，∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．故答案为：（1，1）．6．（2018•宿迁）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是．【解答】解：∵将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，∴得到（5，﹣2），∵再向上平移3个单位长度，∴所得点的坐标是：（5，1）．故答案为：（5，1）．7．（2018•曲靖）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依次规律，P0P2018=个单位长度．【解答】解：由图可得，P0P1=1，P0P2=1，P0P3=1；P0P4=2，P0P5=2，P0P6=2；P0P7=3，P0P8=3，P0P9=3；∵2018=3×672+2，∴点P2018在正南方向上，∴P0P2018=672+1=673，故答案为：673．8．（2018•株洲）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B 的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为．【解答】解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），∴AA′=BB′=2，∵△OAB是等腰直角三角形，∴A（，），∴AA′对应的高，∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4．故答案为：4．三．解答题（共14小题）9．（2018•枣庄）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．【解答】解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作10．（2018•吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：（2）观察图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称．（3）周长=4×=8π．11．（2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，∴∠FBB′=15°；（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，则BF=2BH=+．12．（2018•徐州）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．13．（2018•温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）在图1中画出一个面积最小的▱PAQB．（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：14．（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF，∴∠EDA=∠DEF，又∵DE=ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF=AE，又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=AD=AG，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°﹣60°=300°．15．（2018•宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°16．（2018•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积=﹣=﹣=2π．17．（2018•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A （1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．18．（2018•眉山）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），所以直线l的函数解析式为y=﹣x，19．（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．20．（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB 沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．21．（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB 绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）填空：∠OBC=°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，∴S △AOC=•OA•AB=×2×2=2，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=x，∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，∴y=x2．∴x=时，y有最大值，最大值=．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．当x=时，y取最大值，y＜，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=•MN•OG=12﹣x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为．。

2018年数学中考真题演练（三角形）一．选择题1．（2018•玉林）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直2．（2018•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°3．（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 4．（2018•大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC ＝110°，则∠MAB＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°5．（2018•贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 6．（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC 交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°7．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°8．（2018•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C9．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17 10．（2018•黔西南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙11．（2018•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN ∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．D．8 12．（2018•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB 边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．2 13．（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米14．（2018•绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝，AD＝，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．B．3C．D．3 15．（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD ＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°16．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．D．二．填空题17．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为．18．（2018•曲靖）如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是．19．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n＝．20．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S＝AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）21．（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF ⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝．23．（2018•永州）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有种．24．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝cm．25．（2018•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为．三．解答题26．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．27．（2018•长春）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．28．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B ＝∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．29．（2018•哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．30．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）31．（2018•杭州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由．②若AD＝EC，求的值．32．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．33．（2018•淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．34．（2018•扬州）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．35．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB 于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．参考答案一．选择题1．解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠C+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵∠C+∠BAC＝145°，∴∠C＝35°，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠AED＝45°，∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°，故选：D．3．解：A、1+1＝2，不满足三边关系，故错误；B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；D、2+3＝5，不满足三边关系，故错误．故选：C．4．解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故选：B．5．解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选：B．6．解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB＝78°＝39°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB＝39°，故选：C．7．解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝50°，故选：C．8．解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B．9．解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°＝∠ABE+∠ABC，∴∠D＝∠ABE，又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB，又∵AD＝AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE＝×5×5＝12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．10．解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．11．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故选：B．12．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝，故选：C．13．解：∵52+122＝132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500＝7500000（平方米）＝7.5（平方千米）．故选：A．14．解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECA＝∠DCB，∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD＝，∵∠EDC＝45°，∴∠ADB＝∠ADC+∠CDB＝90°，在Rt△ADB中，AB＝＝2，∴AC＝BC＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM＝ON，∵＝＝＝＝，∴S△AOC＝2×＝3﹣，故选：D．15．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°．故选：B．16．解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24∴该矩形的面积为24，故选：B．二．填空题（共9小题）17．解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，∴AC＝AB＝5，∴OC＝5﹣4＝1，∴点C的坐标为（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0），18．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，故答案为：18．19．解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝B1C＝1，∠ACB＝60°，∴B1B2＝B1C＝，B2C＝，∴S1＝××＝依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为，故S n＝•（）n﹣1．故答案为：•（）n﹣1．20．解：∵在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD，∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；四边形ABCD的面积S＝，故②错误；当AC＝BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2＝（r﹣3）2+42，得r＝，故④正确；将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB＝BE＝5＝AD＝DE，BO＝DO＝4，∴AO＝EO＝3，∵S△BDE＝×BD×OE＝×BE×DF，∴DF＝＝，∵BF⊥CD，BF∥AD，∴AD⊥CD，EF＝＝，∵S△ABF＝S梯形ABFD﹣S△ADF，∴×5h＝（5+5+）×﹣×5×，解得h＝，故⑤错误；故答案为：①③④．21．解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EF C＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝．故答案为：．22．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD＝∠BAC＝30°．故答案是：30°．23．解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；故答案为4．24．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．故答案为6．25．解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∴NF＝x，AN＝4﹣x，∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝＝，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x＝，∴AF＝＝．故答案为：．三．解答题（共10小题）26．证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE，∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB，∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．27．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，∴AC＝2，∵PD⊥AC，∴∠ADP＝∠CDP＝90°，在Rt△ADP中，AP＝2t，∴DP＝t，AD＝AP cos A＝2t×＝t，∴CD＝AC﹣AD＝2﹣t（0＜t＜2）；（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC＝∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ，∵PD⊥AC，∴AD＝DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ＝AC，∴2×t＝2，∴t＝1；（3）当0＜t≤1时，S＝S△PDQ＝DQ×DP＝×t×t＝t2；当1＜t＜2时，如图2，CQ＝AQ﹣AC＝2AD﹣AC＝2t﹣2＝2（t﹣1），在Rt△CEQ中，∠CQE＝30°，∴CE＝CQ•tan∠CQE＝2（t﹣1）×＝2（t﹣1），∴S＝S△PDQ﹣S△ECQ＝×t×t﹣×2（t﹣1）×2（t﹣1）＝﹣t2+4t﹣2，∴S＝；（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2，∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP+PF＝2t+2t＝2，∴t＝；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t，在Rt△NMQ中，NQ＝＝t，∵AN+NQ＝AQ，∴+t＝2t，∴t＝，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1，在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t，∴AH＝AP+PH＝AB+BH，∴2t+2t＝5，∴t＝，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．28．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED＝CD，∵EG＝5，∴CD＝10，∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD＝10．29．解：（1）∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，∴∠ADE＝∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE＝∠CGF+∠GCF，∴∠DAE＝∠GCF，∴AD＝CD；（2）设DE＝a，则AE＝2DE＝2a，EG＝DE＝a，∴S△ADE＝AE•DE＝•2a•a＝a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH＝HE＝a，∵AD＝CD、AC⊥BD，∴CE＝AE＝2a，则S△ADC＝AC•DE＝•（2a+2a）•a＝2a2＝2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE＝AE＝2a，∴S△ABE＝AE•BE＝•（2a）•2a＝2a2，S△BCE＝CE•BE＝•（2a）•2a＝2a2，S△BHG＝HG•BE＝•（a+a）•2a＝2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．30．解：（1）由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴＝cos45°＝，即CE＝BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CD＝AD，∴＝；（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，∴AE＝（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（﹣1）a，设AP＝x，则BP＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°；②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，又∵∠DCH＝∠ECH，∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．31．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝59°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；（2）①由勾股定理得，AB＝＝，∴AD＝﹣a，解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝﹣a，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；②∵AD＝AE，∴AE＝EC＝，由勾股定理得，a2+b2＝（b+a）2，整理得，＝．32．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．33．解：（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG＝NG，MG⊥NG，故答案为：MG＝NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG＝NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同（1）的方法得，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．34．解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠D＝45°，∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝．（3）如图3中，如图取格点H，连接AN、HN．∵PC∥HN，∴∠CPN＝∠ANH，∵AH＝HN，∠AHN＝90°，∴∠ANH＝∠HAN＝45°，∴∠CPN＝45°．35．（1）证明：如图1中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠DCB＝90°，∵DM＝MB，∴CM＝DB，EM＝DB，∴CM＝EM．（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，∵CM＝DM＝ME，∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．（3）证明：如图2中，设FM＝a．∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，∵CN＝NM，∴MN＝a，∴＝，＝，∴＝，∴EM∥AN．（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）。

2018 年数学中考真题演练（图形的旋转）一．选择题1．（ 2018?鞍山）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（ 2018?营口）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 100°，在同一平面内，将△ ABC 绕点A 顺时针旋转到△ 1 1 的位置，连接 1，若 BB 1 ∥ 1 ，则∠ 1 的度数是（ ） ABC BB AC CACA ． 10°B ． 20°C ． 30°D ．40°3．（ 2018?本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（ 2018?济南）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C．D．5．（ 2018?济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P 顺时针方向旋转 90°，得到△ ′ ′ ′，则点P的坐标为（）A B CA．（ 0， 4）B．（ 1，1）C．（ 1， 2）D．（ 2， 1）6．（ 2018?德阳）如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A． 3 B．C． 3﹣D．3﹣7．（ 2018?牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．A． 0 B．1 C．2D．38．（ 2018?牡丹江）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（ 1，﹣ 1）， B（ 2，﹣ 2），C（ 4，﹣ 1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1 的坐标为（）A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）9．（ 2018?黑龙江）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．（ 2018?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点 O逆时针旋转 45°后得到正方形OAB C O连续旋转2018 次得到正方形OABC1 1 1，依此方式，绕点2018 20182018，如果点A 的坐标为（ 1，0），那么点 B2018 的坐标为（）A．（ 1， 1）B．（ 0，）C．（）D．（﹣ 1，1）11．（ 2018?贺州）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．12．（ 2018?大连）如图，将△ABC绕点 B 逆时针旋转α，得到△ EBD，若点 A恰好在 ED的延长线上，则∠ CAD的度数为（）A． 90°﹣αB．αC． 180°﹣αD．2α13．（ 2018?桂林）如图，在正方形中，＝ 3，点M在CD的边上，且＝ 1，△AEMABCD AB DM与△关于所在的直线对称，将△按顺时针方向绕点A旋转 90°得到△，连ADM AM ADM ABF 接 EF，则线段EF的长为（）A．3 B．C．D．14．（ 2018?遂宁）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°15．（ 2018?海南）如图，在△ABC中， AB＝ 8，AC＝ 6，∠ BAC＝ 30°，将△ ABC绕点 A逆时针旋转 60°得到△ AB C，连接 BC，则 BC 的长为（）1 1 1 1A． 6 B． 8 C． 10 D．1216．（ 2018?遂宁）已知如图，在正方形A BCD中， AD＝ 4，E， F 分别是 CD，BC上的一点，且∠ EAF＝ 45°， EC＝ 1，将△ ADE绕点 A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点 B作 BM∥ AG，交 AF于点 M，则以下结论：① DE+BF＝ EF，② BF＝，③ AF＝，④ S＝中正确的是（）△MBFA．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二．填空题17．（ 2018?青海）如图，将Rt△ ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠ BAC＝ 25°，则∠BAD＝．18．（ 2018?镇江）如图，△ ABC中，∠ BAC＞ 90°， BC＝ 5，将△ ABC绕点 C按顺时针方向旋转 90°，点 B 对应点 B′落在 BA的延长线上．若sin ∠ B′ AC＝，则 AC＝．19．（2018?贺州）如图，将Rt△ ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′ B′C，连接BB' ，若∠ A′ B′ B＝ 20°，则∠A 的度数是．20．（ 2018?咸宁）如图，已知∠ MON＝120°，点 A，B 分别在 OM，ON上，且 OA＝ OB＝ a，将射线 OM绕点 O逆时针旋转得到 OM′，旋转角为α（ 0°＜α＜ 120°且α≠ 60°），作点 A 关于直线 OM′的对称点 C，画直线 BC交 OM′于点 D，连接 AC， AD，有下列结论：①A D＝CD；②∠ ACD的大小随着α的变化而变化；③当α＝ 30°时，四边形OADC为菱形；④△ ACD面积的最大值为a2；其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．21．（ 2018?苏州）如图，在Rt △ ABC中，∠B＝ 90°， AB＝ 2， BC＝．将△ ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB' C′，连接B'C，则sin∠ ACB′＝．22．（ 2018?陕西）如图，点O是 ?ABCD的对称中心，AD＞ AB，E、 F是AB边上的点，且EF＝AB； G、 H 是BC边上的点，且GH＝BC，若S1 ，S2 分别表示△EOF和△ GOH的面积，则S1 与 S2 之间的等量关系是．23．（ 2018?台州）如图，把平面内一条数轴x 绕原点O逆时针旋转角θ（ 0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y， x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y 轴的平行线，交 x 轴于点 A，过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 B，若点 A 在 x 轴上对应的实数为a，点B 在 y 轴上对应的实数为 b，则称有序实数对（ a，b）为点 P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝ 60°，点 M的斜坐标为（ 3， 2），点 N 与点 M关于 y 轴对称，则点 N的斜坐标为．24．（ 2018?张家界）如图，将△ABC绕点 A 逆时针旋转150°，得到△ ADE，这时点B， C，D 恰好在同一直线上，则∠ B 的度数为．三．解答题25．（2018?丹东）如图，网格中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，点A，B，C 的坐标分别为 A（﹣ 2， 3）， B（﹣ 5，1）， C（﹣ 3，1）．先将△ ABC沿一个确定方向平移，得到△ A1B1C1，点 B 的对应点 B1的坐标是（ 1，2）；再将△ A1B1C1绕原点 O顺时针旋转90°，得到△ A2B2C2，点 A1的对应点为A2．（1）画出△ A1B1C1，并直接写出点 A1的坐标；（2）画出△ A2B2C2，并直接写出 cos B 的值．26．（ 2018?铁岭）如图，△ ABC与△ CDE是等边三角形，连接AD，取 AD的中点 P，连接 BP 并延长至点 M，使 PM＝ BP，连接 AM， EM， AE，将△ CDE绕点 C顺时针旋转．（ 1）如图 1，当点 D在 BC上，点 E在 AC上时，则△ AEM的形状为；（2）将△ CDE绕点 C顺时针旋转至图 2 的位置，请判断△ AEM的形状，并说明理由；（3）若 CD＝ BC，将△ CDE由图 1 位置绕点 C顺时针旋转α（ 0°≤α＜ 360°），当 ME ＝CD时，请直接写出α的值．27．（ 2018?鄂尔多斯）（ 1）【操作发现】如图 1，将△ 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到△ ，连接 ，则∠ ＝ 度．ABC ADE BD ABD（ 2）【类比探究】如图 2，在等边三角形 ABC 内任取一点 P ，连接 PA ， PB ，PC ，求证：以 PA ， PB ， PC 的长为三边必能组成三角形．（ 3）【解决问题】如图 3，在边长为的等边三角形 ABC 内有一点 P ，∠ APC ＝ 90°，∠ BPC ＝ 120°，求△APC 的面积． （ 4）【拓展应用】如图 4 是 A ，B ，C 三个村子位置的平面图，经测量 AC ＝ 4，BC ＝ 5，∠ ACB ＝ 30°， P 为△ABC 内的一个动点，连接 PA ， PB ，PC ．求 PA+PB+PC 的最小值．28．（ 2018?牡丹江）在等腰△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AM 是△ ABC 的角平分线，过点 M 作 MN ⊥ AC 于点 N ，∠ EMF ＝ 135°．将 ∠ EMF 绕点 M 旋转，使∠ EMF 的两边交直线 AB于点 E ，交直线 AC 于点 F ，请解答下列问题： （ 1）当∠ EMF 绕点 M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF ＝ BM ；（ 2）当∠ EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；（ 3）在（ 1）和（ 2）的条件下， tan ∠ BEM ＝，AN ＝+1，则 BM ＝ ，CF ＝ ．29．（ 2018?青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（ 1）探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 中，∠ ＝90°，＝ ，将边 AB 绕点 BABC ACB BC a 顺时针旋转 90°得到线段 ，连接 ．求证：△ 的面积为2 ．（提示：过点 D 作 BD CD BCD aBC 边上的高 DE ，可证△ ABC ≌△ BDE ）（ 2）探究 2：如图 2，在一般的 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， BC ＝ a ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BD ，连接 CD ．请用含 a 的式子表示△ BCD 的面积，并说明理由．（ 3）探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， BC ＝ a ，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BD ，连接 CD ．试探究用含 a 的式子表示△ BCD 的面积，要有探究过程．30．（ 2018?绥化）如图，在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣ 4，1），B （﹣ 1，﹣ 1），C （﹣ 3，3）．（每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形）（ 1）将△ ABC 先向上平移 2 个单位长度，再向右平移4 个单位长度得到△ A1B1C1（点 A 、 B 、 C 的对应点分别为点 A1、 B1、 C1），画出平移后的△A1B1C1；（ 2）将△ A 1B 1C 1 绕着坐标原点 O 顺时针旋转 90°得到△ A 2B 2C 2（点 A 1、 B 1、C 1 的对应点分别为点 A2、 B2、 C2），画出旋转后的△ A2B2 C2；（ 3）求△ A 1 B 1C 1 在旋转过程中，点 C 1 旋转到点 C 2 所经过的路径的长． （结果用含 π 的式子表示）31．（ 2018?黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ ABC的三个顶点坐标分别为A（ 1，4）， B（ 1， 1）， C（3， 1）．（1）画出△ ABC关于 x 轴对称的△ A1B1C1．（2）画出△ ABC绕点 O逆时针旋转 90°后得到的△ A2 B2C2．（ 3）在（ 2）的条件下，求点 A 所经过的路径长（结果保留π）．32．（2018?赤峰）将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与 AC相交于点G， BC＝2cm．（ 1）求GC的长；（ 2）如图2，将△DEF绕点D 顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点 H，分别过 H、C作AB的垂线，垂足分别为M、 N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．（3）在（ 2）的条件下，将△ DEF沿 DB方向平移得到△ D′ E′F′，当 D′ E′恰好经过（1）中的点 G时，请直接写出 DD′的长度．33．（ 2018?阜新）如图，△ ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣ 4，4），B（﹣2， 5）， C（﹣ 2， 1）．（ 1）平移△ ABC，使点 C移到点 C1（﹣ 2，﹣ 4），画出平移后的△ A1 B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（ 2）将△ ABC绕点（ 0，3）旋转 180°，得到△ A2B2 C2，画出旋转后的△A2 B2 C2；（ 3）求（ 2）中的点 C旋转到点C2时，点 C经过的路径长（结果保留π）．34．（ 2018?广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC的三个顶点坐标分别是 A（ 1，1），B（ 4，1）， C（ 3， 3）．（1）将△ ABC向下平移 5 个单位后得到△ A1 B1C1，请画出△ A1B1C1；（2）将△ ABC绕原点 O逆时针旋转 90°后得到△ A2B2C2，请画出△ A2B2C2 ；（3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）35．（ 2018?临沂）将矩形ABCD绕点 A顺时针旋转α（ 0°＜α＜ 360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点 E 在 BD上时．求证： FD＝ CD；（2）当α为何值时， GC＝ GB？画出图形，并说明理由．36．（ 2018?自贡）如图，已知∠ AOB＝ 60°，在∠ AOB的平分线OM上有一点 C，将一个 120°角的顶点与点 C重合，它的两条边分别与直线OA、 OB相交于点 D、 E．（1）当∠ DCE绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时（如图 1），请猜想 OE+OD与 OC的数量关系，并说明理由；（ 2）当∠ DCE绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，到达图 2 的位置，（ 1）中的结论是否成立？并说明理由；（ 3）当∠ DCE绕点 C旋转到 CD与 OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图OD、OE与 OC之间又有怎样的数量3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段关系？请写出你的猜想，不需证明．参考答案一．选择题1．解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选： D．2．解：∵将△ABC绕点 A 顺时针旋转到△ABC 的位置，1 1∴∠ CAB＝∠ CAB＝ 100°， AB＝AB，∠ CAC＝∠ BAB，1 1 1 1 1∵ BB∥ AC，1 1∴∠ CAB+ABB＝ 180°，1 1 1∴∠ AB1B＝ 80°，∵ AB＝AB，1∴∠ ABB1＝∠ AB1B＝ 80°，∴∠ BAB＝ 20°，1∴∠ CAC＝ 20°，1故选： B．3．解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选： B．4．解： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选： D．5．解：由图知，旋转中心P 的坐标为（ 1， 2），故选： C．6．解：连接 BM，在△ ABM和△ C′BM中，，∴△ ABM≌△ C′BM，∠ 2＝∠ 3＝＝30°，在△ ABM中，AM＝× tan30 °＝ 1，S△ ABM＝＝，正方形的面积为：＝ 3，阴影部分的面积为： 3﹣2×＝ 3﹣，故选： C．7．解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选： C．8．解：由点 B 坐标为（ 2，﹣ 2）则OB＝，且 OB与 x 轴、 y 轴夹角为 45°当点 B绕原点逆时针转动 75°时，OB1与 x 轴正向夹角为30°则 B1到 x 轴、 y 轴距离分别为，，则点 B1坐标为（，）；同理，当点 B 绕原点顺时针转动 75°时，OB1与 y 轴负半轴夹角为30°，则 B1到 x 轴、 y 轴距离分别为，，则点 B1坐标为（﹣，﹣）；故选： C．9．解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．故选： C．10．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝ 1，∴B（ 1，1），连接 OB，由勾股定理得： OB＝，由旋转得：＝1＝2＝ 3 ＝⋯＝，OB OB OB OB∵将正方形 OABC绕点 O逆时针旋转45°后得到正方形OAB C，1 1 1相当于将线段OB O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB BOB B OB绕点＝∠ 1 ＝∠ 1 2＝⋯＝ 45°，∴ B1（ 0，）， B2（﹣ 1，1）， B3（﹣， 0），⋯，发现是 8 次一循环，所以2018÷ 8＝ 252⋯余 2，∴点 B2018的坐标为（﹣ 1， 1）故选： D．11．解： A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确，故选： D ． 12．解：由题意可得，∠ C BD ＝α，∠ ACB ＝∠ EDB ，∵∠ EDB+∠ ADB ＝ 180°， ∴∠ ADB+∠ ACB ＝ 180°，∵∠ ADB+∠ DBC+∠ BCA+∠CAD ＝ 360°，∠ CBD ＝α， ∴∠ CAD ＝ 180°﹣α，故选： C ．13．解：如图，连接 BM ．∵△ AEM 与△ ADM 关于 AM 所在的直线对称，∴ A E ＝AD ，∠ MAD ＝∠ MAE ．∵△按照顺时针方向绕点A 旋转 90°得到△ ，ADMABF∴ A F ＝AM ，∠ FAB ＝∠ MAD ． ∴∠ FAB ＝∠ MAE∴∠ FAB+∠ BAE ＝∠ BAE+∠MAE ．∴∠ FAE ＝∠ MAB ．∴△ FAE ≌△ MAB （ SAS ）．∴ E F ＝BM ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴ B C ＝CD ＝ AB ＝3．∵ DM ＝1，∴ C M ＝2．∴在Rt △ BCM 中， BM ＝ ＝ ，∴EF ＝，故选： C ． 解法二： 如图， 过 E 作 HG ∥ AD ，交 AB 于 H ，交 CD 于 G ，作 EN ⊥ BC 于 N ，则∠ AHG ＝∠ MGE ＝ 90°，由折叠可得，∠ AEM ＝∠ D ＝ 90°， AE ＝ AD ＝ 3， DM ＝ EM ＝ 1，∴∠ AEH+∠ MEG＝∠ EMG+∠MEG＝ 90°，∴∠ AEH＝∠ EMG，∴△ AEH∽△ EMG，∴＝＝，设MG＝x，则 EH＝ 3x， DG＝ 1+x＝ AH，∴ Rt △AEH中，（1+x）2+（ 3x）2＝ 32，解得 x1＝， x2＝﹣ 1（舍去），∴E H＝＝ BN， CG＝ CM﹣MG＝＝ EN，又∵ BF＝ DM＝ 1，∴F N＝，∴ Rt △AEN中， EF＝＝，故选： C．14．解： A、有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D、六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选： B．15．解：∵将△ABC绕点 A 逆时针旋转60°得到△ ABC ，1 1∴A C＝AC1，∠ CAC1＝ 60°，∵A B＝8， AC＝ 6，∠ BAC＝30°，∴∠ BAC1＝ 90°， AB＝8， AC1＝6，∴在Rt△ BAC1中， BC1 的长＝，故选： C．16．解：∵ AG＝ AE，∠ FAE＝∠ FAG＝ 45°， AF＝AF，∴△ AFE≌△ AFG，∴E F＝FG，∵DE＝BG，∴E F＝FG＝ BG+FB＝ DE+BF，故①正确，∵ BC＝CD＝ AD＝4， EC＝ 1，∴D E＝3，设 BF＝ x，则 EF＝ x+3，CF＝ 4﹣ x，在 Rt △ECF中，（ x+3）2＝（ 4﹣ x）2 +12，解得 x＝，∴ BF＝， AF＝＝，故②正确，③错误，∵B M∥AG，∴△ FBM∽△ FGA，∴＝（）2，∴＝，故④正确，S△FBM故选： D．二．填空题（共8 小题）17．解：∵ Rt△绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转 90°后得到Rt△，ABC DEC ∴A C＝CD，∴△ ACD是等腰直角三角形，∴∠ CAD＝ 45°，故答案为： 70°．18．解：作 CD⊥ BB′于 D，如图，∵△绕点C 按顺时针方向旋转 90°，点B对应点′落在的延长线上，ABC B BA ∴C B＝CB′＝ 5，∠ BCB′＝ 90°，∴△ BCB′为等腰直角三角形，∴ BB′＝BC＝5，∴ CD＝ BB′＝，在 Rt △ACD中，∵sin ∠ DAC＝＝，∴ AC＝×＝．故答案为．19．解：∵ Rt △ ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△ A′ B′ C，∴B C＝B′ C，∴△ BCB′是等腰直角三角形，∴∠ CBB′＝ 45°，∴∠ B′ A′ C＝∠ A′ B′ B+∠ CBB′＝ 20° +45°＝ 65°，由旋转的性质得∠ A＝∠ B′ A′ C＝ 65°．故答案为： 65°．20．解：①∵ A、 C关于直线OM'对称，∴O M'是 AC的垂直平分线，∴C D＝AD，故①正确；②连接 OC，由①知： OM'是 AC的垂直平分线，∴O A＝OB＝ OC，以O为圆心，以 OA为半径作⊙ O，交 AO的延长线于 E，连接 BE，则 A、B、C都在⊙ O上，∵∠ MON＝ 120°，∴∠ BOE＝ 60°，∵ OB＝OE，∴△ OBE是等边三角形，∴∠ E＝ 60°，∵ A、 C、 B、 E 四点共圆，∴∠ ACD＝∠ E＝60°，故②不正确；③当α＝ 30°时，即∠ AOD＝∠ COD＝30°，∴∠ AOC＝ 60°，∴△ AOC是等边三角形，∴∠ OAC＝ 60°， OC＝ OA＝AC，由①得： CD＝ AD，∴∠ CAD＝∠ ACD＝∠ CDA＝60°，∴△ ACD是等边三角形，∴ AC＝AD＝ CD，∴ OC＝OA＝ AD＝CD，∴四边形 OADC为菱形；故③正确；④∵ CD＝ AD，∠ ACD＝ 60°，∴△ ACD是等边三角形，当 AC最大时，△ ACD的面积最大，∵ AC是⊙ O的弦，当AC为直径时最大，此时AC＝ 2a，S△＝ACD ×（ 2a） 2＝；故④正确，所以本题结论正确的有：①③④故答案为：①③④．21．解：在 Rt △ ABC中，由勾股定理得： AC＝＝5，过C作 CM⊥ AB′于 M，过 A 作 AN⊥CB′于 N，∵根据旋转得出 AB′＝ AB＝ 2 ，∠ B′ AB＝ 90°，即∠ CMA＝∠ MAB＝∠ B＝ 90°，∴C M＝AB＝ 2 ， AM＝ BC＝，∴B′M＝2 ﹣＝，在 Rt△ ′中，由勾股定理得：′ ＝＝＝5，B MC B C∴S△AB′C＝＝，∴5×AN＝2 ×2 ，解得：AN＝ 4，∴ sin ∠ ACB′＝＝，故答案为：．22．解：∵＝＝，＝＝，∴S＝S△，S＝S△．1 AOB2 BOC∵点 O是 ?ABCD的对称中心，∴S ＝S ＝S ，△AOB △ BOC ?ABCD∴＝＝．即 S1与 S2之间的等量关系是＝．故答案为＝．23．解：如图作ND∥ x 轴交 y 轴于 D，作 NC∥ y 轴交 x 轴于 C． MN交 y 轴于 K．∵N K＝MK，∠ DNK＝∠ BMK，∠ NKD＝∠MKB，∴△ NDK≌△ MBK，∴ DN＝BM＝ OC＝3， DK＝ BK，在 Rt △KBM中， BM＝ 3，∠ MBK＝60°，∴∠ BMK＝ 30°，∴ DK＝BK＝ BM＝，∴O D＝5，∴N（﹣ 3， 5），故答案为（﹣ 3， 5）24．解：∵将△ABC绕点 A 逆时针旋转150°，得到△ ADE，∴∠ BAD＝ 150°， AD＝ AB，∵点 B， C， D恰好在同一直线上，∴△ BAD是顶角为 150°的等腰三角形，∴∠ B＝∠ BDA，∴∠ B＝（ 180°﹣∠ BAD）＝ 15°，故答案为： 15°．三．解答题（共12 小题）25．解：（ 1）如图，△ A1 B1C1为所作；点A1的坐标为（ 4， 4）；（ 2）如图，△ A2B2C2为所作；cos B＝＝．26．解：（ 1）如图 1 中，∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ABC＝ 60°，∵A P＝PD， PB＝PM，∴四边形 ABDM是平行四边形，∴∠ AME＝∠ ABC＝ 60°，∵△ CDE是等边三角形，∴∠ DEC＝ 60°，∴∠ AEM＝∠ DEC＝60°，∴△ AEM是等边三角形，故答案为：等边三角形；（ 2）如图 2 中，结论：△ AEM是等边三角形．理由：设 AE交 BD于 O，AC交 BD于 K，连接 DM．∵△ ABC，△ DEC都是等边三角形，∴C B＝CA， CD＝CE，∠ BCA＝∠ DCE，∴∠ BCD＝∠ ACE，∴△ BCD≌△ ACE（ SAS），∴B D＝AE，∠ CBK＝∠ OAK，∵∠ BKC＝∠ AKO，∴∠ AOK＝∠ BCK＝ 60°，∵A P＝PD， BP＝PM，∴四边形 ABDM是平行四边形，∴ AM＝BD， AM∥BD，∴∠ AOB＝∠ OAM＝ 60°， AM＝ AE，∴△ AEM是等边三角形．（ 3）设CD＝ a，则AC＝ 2a， AE＝a，2 2 2∴ AC＝ AE+EC，∴∠ AEC＝ 90°①如图 3 中，当点D在 AC的中点时，满足条件，此时α＝ 60°②如图 4 中，当点E 落在 BC的中点时，满足条件，此时α＝ 300°．综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．27．（ 1）【操作发现】解：如图1 中，连接BD．∵△ ABC绕点 A顺时针旋转60°，得到△ ADE，∴A D＝AB，∠ DAB＝ 60°，∴△ DAB是等边三角形，∴∠ ABD＝ 60°故答案为 60．（2）【类比探究】证明：如图 2 中，以 PA为边长作等边△ PAD，使 P、 D分别在 AC的两侧，连接 CD．∵∠ BAC＝∠ PAD＝ 60°，∴∠ BAP＝∠ CAD，∵A B＝AC， AP＝AD，∴△ PAB≌△ ACD（ SAS），∴ BP＝CD，在△ PCD中，∵ PD+CD＞ PC，又∵ PA＝ PD，∴ AP+BP＞ PC．∴ PA，PB， PC的长为三边必能组成三角形．（ 3）【解决问题】解：如图 3 中，∵将△ APB绕点 A 按逆时针方向旋转60°，得到△ AP′C′，∴△ APP′是等边三角形，∠AP′ C＝∠ APB＝360°﹣ 90°﹣ 120°＝ 150°，∴P P′＝ AP，∠ AP′ P＝∠ APP′＝60°，∴∠ PP′ C＝ 90°，∠ P′PC＝30°，∴P P′＝PC，即 AP＝PC，∵∠ APC＝ 90°，2 2 2 2 2 2∴ AP+PC＝ AC，即（PC） +PC＝（），∴P C＝2，∴A P＝，∴ S ＝AP?PC＝××2＝．△APC（ 4）【拓展应用】解：如图 4 中，将△ APC绕点 C顺时针旋转60°，得到△ EDC，连接 PD、BE．∵将△ APC绕点 C顺时针旋转60°，得到△ EDC，∴△ APC≌△ EDC（旋转的性质），∴∠ ACP＝∠ ECD， AC＝ EC＝ 4，∠ PCD＝ 60°，∴∠ ACP+∠ PCB＝∠ ECD+∠PCB，∴∠ ECD+∠ PCB＝∠ ACB＝30°，∴∠ BCE＝∠ ECD+∠ PCB+∠PCD＝ 30° +60°＝ 90°，在 Rt △BCE中，∵∠ BCE＝90°， BC＝ 5， CE＝ 4，∴BE＝＝＝，即PA+PB+PC的最小值为；28．解：（ 1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ BAC＝∠ C＝45°，∵A M是∠ BAC的平分线， MN⊥ AC，∴ BM＝MN，在四边形 ABMN中，∠ BMN＝ 360°﹣ 90°﹣ 90°﹣ 45°＝135°，∵∠ ENF＝ 135°，∴∠ BME＝∠ NMF，∴△ BME≌△ NMF，∴ BE＝NF，∵M N⊥AC，∠ C＝ 45°，∴∠ CMN＝∠ C＝45°，∴N C＝NM＝ BM，∵C N＝CF+NF，∴ BE+CF＝ BM；（2）针对图 2，同（ 1）的方法得，△ BME≌△ NMF，∴ BE＝NF，∵ MN⊥AC，∠ C＝45°，∴∠ CMN＝∠ C＝45°，∴ NC＝NM＝BM，∵ NC＝NF﹣ CF，∴ BE﹣CF＝ BM；针对图 3，同（ 1）的方法得，△BME≌△ NMF，∴B E＝NF，∵M N⊥AC，∠ C＝ 45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴ NC＝NM＝ BM，∵N C＝CF﹣ NF，∴C F﹣BE＝ BM；（ 3）在 Rt △ ABM和 Rt △ANM中，，∴R t △ABM≌ Rt△ ANM（ HL），∴A B＝AN＝ +1，在 Rt△中，＝＝+1，ABC AC AB∴A C＝ AB＝2+ ，∴ ＝﹣＝2+ ﹣（+1）＝1，CN AC AN在Rt △CMN中， CM＝ CN＝，∴BM＝BC﹣ CM＝ +1﹣＝ 1，在 Rt △BME中， tan ∠ BEM＝＝＝，∴BE＝，∴①由（ 1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴C F＝BM﹣ BE＝1﹣②由（ 2）知，如图2，由 tan ∠ BEM＝，∴此种情况不成立；③由（ 2）知，如图3， CF﹣ BE＝ BM，∴C F＝BM+BE＝ 1+ ，故答案为 1， 1+ 或 1﹣．29．解：（ 1）如图 1，过点 D作 DE⊥ CB交 CB的延长线于E，∴∠ BED＝∠ ACB＝ 90°，由旋转知， AB＝BD，∠ ABD＝ 90°，∴∠ ABC+∠ DBE＝ 90°，∵∠ A+∠ ABC＝ 90°，∴∠ A＝∠ DBE，在△ ABC和△ BDE中，，∴△ ABC≌△ BDE（ AAS）∴B C＝DE＝ a．∵ S△＝BC?DEBCD∴ S△BCD＝；解：（ 2）△ BCD的面积为．理由：如图 2，过点 D作 BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠ BED＝∠ ACB＝ 90°，∵线段 AB绕点 B顺时针旋转90°得到线段BE，∴A B＝BD，∠ ABD＝ 90°．∴∠ ABC+∠ DBE＝ 90°．∵∠ A+∠ ABC＝ 90°．∴∠ A＝∠ DBE．在△ ABC和△ BDE中，，∴△ ABC≌△ BDE（ AAS）∴ BC＝DE＝ a．∵ S△BCD＝B C?DE∴S△＝；BCD（ 3）如图 3，过点 A作 AF⊥ BC与 F，过点 D作 DE⊥BC的延长线于点E，∴∠ AFB＝∠ E＝90°， BF＝BC＝a．∴∠ FAB+∠ ABF＝ 90°．∵∠ ABD＝ 90°，∴∠ ABF+∠ DBE＝ 90°，∴∠ FAB＝∠ EBD．∵线段 BD是由线段 AB旋转得到的，∴A B＝BD．在△ AFB和△ BED中，，∴△ AFB≌△ BED（ AAS），∴B F＝DE＝ a．∵ S△＝BC?DE＝? a?a＝a2．BCD∴△ BCD的面积为．30．解：（ 1）根据题意得： A1（ 0， 3）， B1（ 3， 1），C1（ 1， 5），连接 A1C1， B1C1， A1B1如下图：（2）利用网格和旋转的性质画出△ A2B2C2如上图所示，（3）∵ C1（1， 5），∴ OC1＝，∴点 C1旋转到点 C2所经过的路径的长为：＝．31．解：（ 1）如图：△ A1 B1C1，即为所求；（ 2）如图：△ A2B2C2，即为所求；（ 3） r ＝＝，A 经过的路径长：× 2×π×＝π．32．解：（ 1）如图 1 中，，∠ B＝ 60°，在 Rt △ABC中，∵ BC＝ 2∴ AC＝BC?tan60 °＝ 6， AB＝，2BC＝4在 Rt △ADG中， AG＝＝4，∴C G＝AC＝ AG＝6﹣ 4＝ 2．（ 2）如图 2 中，结论： DM+DN＝ 2 或 DM＝ DN．理由：∵ HM⊥ AB， CN⊥ AB，∴∠ AMH＝∠ DMH＝∠ CNB＝∠ CND＝90°，∵∠ A+∠ B＝ 90°，∠ B+∠BCN＝ 90°，∴∠ A＝∠ BCN．∴△ AHM∽△ CBN，∴＝①，同法可证：△ DHM∽△ CDN，∴＝②由①②可得 AM?BN＝ DN?DM，∴＝，∴＝，∴＝，∵A D＝BD，∴AM＝DN，∴ DM+DN＝ AM+DM＝ AD＝ 2 ．或∵△ ABC为直角三角形， D为斜边 AB的中点，∴ CD＝BD＝ AD．又∠ B＝ 60°，∴△ BDC为等边三角形，∴∠ CDB＝60°．又∠ EDF＝ 90°，∴∠ MDA＝ 30°．∵∠ A＝ 90°﹣∠ B＝ 30°，∴ AH＝HD，又 HM⊥AD，∴ MD＝．在等边三角形 BCD中， CN⊥ BD，∴ND＝NB．又AD＝BD，∴MD＝ND．（ 3）如图 3 中，作 GK∥DE交 AB由 K．在△ AGK中， AG＝ GK＝ 4，∠ A＝∠ GKD＝ 30°，作 GH⊥ AB于 H．则 AH ＝AG?cos30 °＝ 2 ， 可得 ＝2 ＝4 ，此时 K 与 B 重合． AK AH ∴ D D ′＝ DB ＝ 2 ．33．解：（ 1）如图所示，则△A 1B 1C 1 为所求作的三角形， （2 分）∴ A 1（﹣ 4，﹣ 1）， B 1（﹣ 2， 0）；（ 4 分）（ 2）如图所示，则△A2B2 C2 为所求作的三角形， （ 6 分）（ 3）点C 经过的路径长：是以（ 0， 3）为圆心，以 CC 为直径的半圆，2 由勾股定理得： CC ＝4 ，2＝∴点 C 经过的路径长： × 2π r＝2 π．（ 8 分）34．解：（ 1）如图所示，△ A B C 即为所求：1 1 1（ 2）如图所示，△ A2B2C2 即为所求：（ 3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB OAA B ， ＝ 1 ＝， 1 ＝即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．35．【解答】解：（ 1）由旋转可得，AE＝ AB，∠ AEF＝∠ ABC＝∠ DAB＝ 90°， EF＝BC＝ AD，∴∠ AEB＝∠ ABE，又∵∠ ABE+∠ EDA＝ 90°＝∠ AEB+∠ DEF，∴∠ EDA＝∠ DEF，又∵ DE＝ ED，∴△ AED≌△ FDE（ SAS），∴D F＝AE，又∵ AE＝ AB＝ CD，∴C D＝DF；（2）如图，当 GB＝ GC时，点 G在 BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点 G在 AD右侧时，取 BC的中点 H，连接 GH交 AD于 M，∵G C＝GB，∴G H⊥BC，∴四边形 ABHM是矩形，∴A M＝BH＝ AD＝ AG，∴G M垂直平分 AD，∴G D＝GA＝ DA，∴△ ADG是等边三角形，∴∠ DAG＝ 60°，∴旋转角α＝ 60°；②当点 G在 AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠ DAG＝ 60°，∴旋转角α＝ 360°﹣ 60°＝ 300°．36．解：（ 1）∵ OM是∠ AOB的角平分线，∴∠ AOC＝∠ BOC＝∠ AOB＝ 30°，∵C D⊥OA，∴∠ ODC＝ 90°，∴∠ OCD＝ 60°，∴∠ OCE＝∠ DCE﹣∠ OCD＝60°，OC，在 Rt △OCD中， OD＝ OC?cos30 °＝同理： OE＝ OC，∴O D+OE＝ OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 C作 CF⊥ OA于 F， CG⊥ OB于 G，∴∠ OFC＝∠ OGC＝90°，∵∠ AOB＝ 60°，∴∠ FCG＝ 120°，同（ 1）的方法得，OF＝OC， OG＝OC，∴O F+OG＝ OC，∵C F⊥OA， CG⊥OB，且点 C是∠ AOB的平分线 OM上一点，∴ CF＝CG，∵∠ DCE＝ 120°，∠ FCG＝120°，∴∠ DCF＝∠ ECG，∴△ CFD≌△ CGE，∴D F＝EG，∴O F＝OD+DF＝ OD+EG， OG＝ OE﹣ EG，∴O F+OG＝ OD+EG+OE﹣ EG＝OD+OE，∴O D+OE＝ OC；（ 3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ OD＝OC，理由：过点 C作 CF⊥ OA于 F， CG⊥OB于 G，∴∠ OFC＝∠ OGC＝ 90°，∵∠ AOB＝ 60°，∴∠ FCG＝ 120°，同（ 1）的方法得，OF＝OC， OG＝OC，∴O F+OG＝ OC，∵C F⊥OA， CG⊥OB，且点 C是∠ AOB的平分线 OM上一点，∴ CF＝CG，∵∠ DCE＝ 120°，∠ FCG＝ 120°，∴∠ DCF＝∠ ECG，∴△ CFD≌△ CGE，∴D F＝EG，∴O F＝DF﹣ OD＝EG﹣ OD，OG＝ OE﹣EG，∴O F+OG＝ EG﹣ OD+OE﹣ EG＝ OE﹣ OD，∴O E﹣OD＝ OC．。

备考2019年数学中考：2018年中考相似综合压轴真题实训1．（2018•朝阳）如图1，在四边形ABCD 中，若AC 平分∠BAD ，AC 2＝AB •AD ，且AD ＝AB +AC ，则我们称这样的四边形ABCD 为“黄金四边形”，∠BAD 称为“黄金角”．【概念理解】（1）已知四边形ABCD 为“黄金四边形”，∠BAD 为“黄金角”， AB ＜AD ，若AD ＝1，则AC ＝ ．【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，∠BAC ＝∠DAC ＝∠D ＝36°．求证：四边形ABC D 为“黄金四边形”．【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形”ABCA 1中，∠BAA 1为“黄金角”，AB ＜AA 1，在四边形ABCA 1外部依次作△AA 1A 2，△AA 2A 3，…，使四边形ACA 1A 2，AA 1A 2A 3，…均为“黄金四边形”，且满足∠CAA 2，∠A n AA n +2（n ＝1，2，3…）均为“黄金角”，AA n ＜AA n +1（n ＝1，2，3…）①若AC ＝1，则第n 个“黄金四边形”中，AA n ＝ （）n （用含n 的式子表示）． ②若“黄金角”∠BAA 1＝80°，则当A ，B ，A n 三点第一次在同一条直线上时，n ＝ ．（1）解：由题意：，∴AC 2+AC ﹣1＝0，解得AC ＝或（舍弃），故答案为．（2）证明：在AD 上截取一点H ，使得AH ＝AB ，连接CH ． ∵BC ∥AD ， ∴∠BCA ＝∠CAD ，∵∠CAD ＝∠D ， ∴∠BCA ＝∠D ， ∵∠BAC ＝∠CAD ， ∴△BAC ∽△CAD ，∴＝，∴AC 2＝AB •AD ，∵AC ＝AC ，AB ＝AH ，∠CAB ＝∠CAH ， ∴△CAB ≌△CAH （SAS ）， ∴∠ABC ＝∠AHC ，∠ACB ＝∠ACH ，∵∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ＝∠ACH ＝∠D ＝36°，∴∠ABC ＝∠AHC ＝∠ACD ＝108°，∠ACH ＝∠ACB ＝36°， ∴∠DHC ＝∠DCH ＝72°， ∴DC ＝DH ＝AC ， ∴AD ＝AB +AC ，∴四边形ABCD 是黄金四边形．（3）①∵AC 2＝AB •AA 1，且AA 1＝AB +AC ， ∴AC 2＝（AA 1﹣AC ）•AA 1， ∴AA 12﹣AC •AA 1﹣AC 2＝0，∴AA 1＝AC 或AC （舍弃），同法可得：AA 2＝AA 1＝（）2AC ，∴AA n ＝（）n AC ，∵AC ＝1，∴AA n ＝（）n ．②由题意：∠BAC ＝∠CAA 1＝40°， ∵360°÷40＝9，∴n ＝8时，A ，B ，A 8三点第一次在同一条直线上，故答案为（）n ，8．2．（2018•丹东）如图△ABC为等边三角形，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，延长AB 分别交CE、DE的延长线于点F，N，CH⊥AF于点H，EM⊥AF于点M，连接AE．（1）判断△CHB和△BME是否全等，并说明理由；（2）求证：AE2＝AC•AF；（3）已知AB＝，若点P是直线AF上的动点，请直接写出△CEP周长的最小值．（1）解：△CHB≌△BME（AAS）．理由如下：∵在正方形BCDE中，BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠EBM+∠CBH＝90°，∵CH⊥AF，EM⊥AF，∴∠CHB＝∠BME＝90，∴∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠HCB＝∠MBE，在△CHB和△BME中．∴△CHB≌△BME（AAS）．（2）证明：∵△ABC为等边三角形，CH⊥AB，∴∠BCH＝30°，又∵在正方形BCDE中，∠BCD＝90°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝45°，∴∠HCF＝75°∴∠F＝15°，∵AB＝BC＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠EBF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠AEB＝15°，∴∠AEB＝∠F，又∵∠EAB＝∠FAE，∴△ABE∽△AFE∵，又∴AB＝AC，∴AE2＝AB•AF．（3）解：作E点关于AF的对称点E′，连接GC，交AF与P，三角形CPE即为所求作三角形，作GO⊥CH交CH延长线与点O，∵△ABC为等边三角形，CH⊥AB，AB＝，∴∠CBH＝60°，BH＝，CH＝，由（1）可知△CHB≌△BME，∴E M＝，BM＝，∵∠OHM＝∠HMG＝∠O＝90°，故四边形OHMG为正方形，∴HO＝MG＝EM＝，OG＝HM＝HB+BM＝，∴在Rt△COG中，CG＝＝，在Rt△CEB中，CE＝＝2，∴△CEP周长的最小值＝CE+PE+PC＝CG+CE＝+2＝3+，3．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质得，CG＝AE＝12.5．4．（2018•苏州）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD ＝3时，＝ ；（2）设AD ＝m ，请你用含字母m 的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ∥BC ，AD ＝BC ，E 是AB 上一点（不与A ，B 重合），EF ∥BC ，交CD 于点F ，连接CE ．设AE ＝n ，四边形ABCD 的面积为S ，△EFC的面积为S ′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n 的代数式表示．解：问题1：（1）∵AB ＝4，AD ＝3， ∴BD ＝4﹣3＝1， ∵DE ∥BC ，∴，∴＝＝，∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴＝＝，∴＝，即，故答案为：；（2）解法一：∵AB ＝4，AD ＝m ， ∴BD ＝4﹣m ， ∵DE ∥BC ，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴＝，∴＝＝＝，即＝；问题2：如图②，解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4+n，∵EF∥BC，由问题1的解法可知：＝＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如图3，连接AC 交EF 于M ，∵AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴＝，∴S △ADC ＝，∴S △ADC ＝S ，S △ABC ＝，由问题1的结论可知：＝，∵MF ∥AD ， ∴△CFM ∽△CDA ，∴＝＝＝，∴S △CFM ＝×S ，∴S △EFC ＝S △EMC +S △CFM ＝+×S ＝，∴＝．5．（2018•贵港）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP ＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM 是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：＝；（3）若AO＝2，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．解：（1）∵2BM＝AO，2CO＝AO∴BM＝CO，∵AO∥BM，∴四边形OCBM是平行四边形，∵∠BMO＝90°，∴▱OCBM是矩形，∵∠ABP＝90°，C是AO的中点，∴OC＝BC，∴矩形OCBM是正方形．（2）方法一：连接AP、OB，∵∠ABP＝∠AOP＝90°，∴A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB＝∠AOB，∵AO∥BM，∴∠AOB＝∠OBM，∴∠APB＝∠OBM，∴△APB∽△OBM，∴方法二：如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证：四边形DBMO是矩形，∴BD＝OM，∵∠ABD+∠DBE＝∠DBE+∠PBM，∴∠ABD＝∠PBM，∵∠ADB＝∠PMB＝90°，∴△ABD∽△PBM，∴，∴；（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，∴易证：四边形DBMO是矩形，∴BD＝MO，OD＝BM∴MO＝2PO＝BD，∴，∵AO＝2BM＝2，∴BM＝，∴OE＝，DE＝，易证△ADB∽△ABE，∴AB2＝AD•AE，∵AD＝DO＝BM＝，∴AE＝AD+DE＝∴AB＝，由勾股定理可知：BE＝，易证：△PEO∽△PBM，∴＝，∴PB＝当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，∵MO＝2PO，∴点P是OM的中点，设PM＝x，BD＝2x，∵∠AOM＝∠ABP＝90°，∴A、O、P、B四点共圆，∴四边形AOPB是圆内接四边形，∴∠BPM＝∠A，∴△ABD∽△PBM，∴，又易证四边形ODBM是矩形，AO＝2BM，∴AD＝BM＝，∴＝，解得：x＝，∴BD＝2x＝2由勾股定理可知：AB＝3，PB＝3，综上所述，AB＝，PB＝或AB＝3，PB＝3，6．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF＝AE﹣BE；（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；（2）如图，∵＝，而AF＝BE，∴＝，∴＝，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1，∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP．7．（2018•昆明）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若＝，求的值．解：（1）解法一：过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2＝AG•GB，即AD2＝DP•PC；解法二：易证：△ADP∽△PCB，由于AD＝CB，∴AD2＝DP•PC；（2）∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴PM＝MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；（3）由于＝，可设DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，∵PG2＝AG•GB，∴4＝1•GB，∴GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴，又易证：△PCE∽△MAE，AM＝AB＝∴＝＝＝∴EF ＝AF ﹣AE ＝AC ﹣＝AC ，∴＝＝8．（2018•资阳）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连结AD 、CD ．（1）求证：△MED ∽△BCA ；（2）求证：△AMD ≌△CMD ；（3）设△MDE 的面积为S 1，四边形BCMD 的面积为S 2，当S 2＝S 1时，求cos ∠ABC 的值．解：（1）∵MD ∥BC ，∴∠DME ＝∠CBA ，∵∠ACB ＝∠MED ＝90°，∴△MED ∽△BCA ，（2）∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝MC ＝AM ，∴∠MCB ＝∠MBC ，∵∠DMB ＝∠MBC ，∴∠MCB ＝∠DMB ＝∠MBC ，∵∠AMD＝180°﹣∠DMB，∠CMD＝180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB＝180°﹣∠MBC ∴∠AMD＝∠CMD，在△AMD与△CMD中，△AMD≌△CMD（SAS）（3）∵MD＝CM，∴AM＝MC＝MD＝MB，∴MD＝AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，∴＝＝，∴S△ACB ＝4S1，∵CM是△ACB的中线，∴S△MCB ＝S△ACB＝2S1，∴S△EBD ＝S2﹣S△MCB﹣S1＝S1，∵＝，∴＝，∴＝，设ME＝5x，EB＝2x，∴MB＝7x，∴AB＝2MB＝14x，∵＝＝，∴BC＝10x，∴cos ∠ABC ＝＝＝，另解：设ME ＝5x ，EB ＝2x ，∴MB ＝MD ＝7x ．∵MD ∥BC ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠BMD ＝＝9．（2018•包头）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，E 是AD 上的一个动点．（1）如图1，连接BD ，O 是对角线BD 的中点，连接OE ．当OE ＝DE 时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE ，EC ，过点E 作EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接CF ，与BE 交于点G ．当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；（3）如图3，连接EC ，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落在EC 上的点D '处，过点D ′作D ′N ⊥AD 于点N ，与EH 交于点M ，且AE ＝1． ①求的值；②连接BE ，△D 'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．解：（1）如图1，连接OA ，在矩形ABCD 中，CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝5，∠BAD ＝90°在Rt △ABD 中，根据勾股定理得，BD ＝，∵O 是BD 中点，∴OD ＝OB ＝OA ＝， ∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ＝DE ，∴∠EOD ＝∠ODE ，∴∠EOD ＝∠ODE ＝∠OAD ，∴△ODE ∽△ADO ，∴，∴DO 2＝DE •DA ，∴设AE＝x，∴DE＝5﹣x，∴（）2＝5（5﹣x），∴x＝，即：AE＝；（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴AE＝CD＝3，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠CED＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠CED＝∠AFE，∵∠D＝∠A＝90°，∴△AEF≌△DCE，∴AF＝DE＝2，∴BF＝AB﹣AF＝1，过点G作GK⊥BC于K，∴∠EBC＝∠BGK＝45°，∴BK＝GK，∠ABC＝∠GKC＝90°，∵∠KCG＝∠BCF，∴△CKG∽△CBF，∴，设BK＝GK＝y，∴CK＝5﹣y，∴y＝，∴BK＝GK＝，在Rt△GKB中，BG＝；（3）①在矩形ABCD中，∠D＝90°，∵AE＝1，AD＝5，∴DE＝4，∵DC＝3，∴EC＝5，由折叠知，ED'＝ED＝4，D'H＝DH，∠ED'H＝∠D＝90°，∴D'C＝1，设D'H＝DH＝z，∴HC＝3﹣z，根据勾股定理得，（3﹣z）2＝1+z2，∴z＝，∴DH＝，CH＝，∵D'N⊥AD，∴∠AND'＝∠D＝90°，∴D'N∥DC，∴△EMN∽△EHD，∴，∵D'N∥DC，∴∠ED'M＝∠ECH，∵∠MED'＝∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴，∴，∴，∴；②相似，理由：由折叠知，∠EHD'＝∠EHD，∠ED'H＝∠D＝90°，∴∠MD'H+∠ED'N＝90°，∵∠END'＝90°，∴∠ED'N+∠NED'＝90°，∴∠MD'H＝∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD＝∠D'MH，∴∠EHD'＝∠D'MH，∴D'M＝D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'＝∠ECB，∴∠MD'H＝∠ECB，∵CE＝CB＝5，∴，∴△D'MH∽△CBE．10．（2018•山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：同理可得任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX＝BY＝XY的证明过程；（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是D（或位似）．A．平移B．旋转C．轴对称D．位似解：（1）四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA＝YZ，∴平行四边形AXYZ是菱形．（2）证明：∵CD＝CB，∴∠1＝∠3．∵ZY∥AC，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∴YB＝YZ．∵四边形AXYZ是菱形，∴AX＝XY＝YZ．∴AX＝BY＝XY．（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．11．（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝ 4 ；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为1﹣cosα（用含α的表达式表示）．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°．∵AE＝4，∴BE＝2，则BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，又∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°，则∠CDF＝∠C＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4．故答案是：4；（2）证明：如图①，∵∠EDF＝60°，∠B＝60°，∴∠CDF+BDE＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BED＝∠CDF．又∠B＝∠C＝60°，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE．∴DM＝DG＝DN．又∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠CND＝90°，∴△BDM≌△CDN，∴BD＝CD，即点D是BC的中点，∴＝；【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．则∠BGO＝∠CHO＝90°，∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠B＝∠C，OB＝OC，∴△OBG≌△OCH，∴OG＝OH，GB＝CH，∠BOG＝∠COH＝90°﹣α，则∠GOH＝180°﹣（∠BOG+∠COH）＝2α，∴∠EOF＝∠B＝α由（2）题可猜想应用EF＝ED+DF＝GE+FH（可通过半角旋转证明），则C＝AE+EF+AF＝AE+EG+FH+AF＝AG+AH＝2AG，△AEF设AB＝m，则OB＝m cosα，GB＝m cos2α．＝＝＝＝1﹣cosα．故答案是：1﹣cosα．12．（2018•邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD 的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE＝，OG＝1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE＝AC，GF∥AC、GF＝AC，∴OE∥GF，OE＝GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴＝，∴△OGM∽△OEN，∴＝＝．②添加AC＝BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG＝EF＝BD、OE＝GF＝AC，∵AC＝BD，∴OG＝OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM、OE＝ON，∠GOM＝∠EON，∴OG＝OE、OM＝ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM＝EN．13．（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，即AB•BC＝BH•DB，∴AB•BC＝BD2，又∵AB•BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝．14．（2018•襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝3．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．15．（2018•黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝（）2＝•＝；（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，∵FN⊥AB、CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴＝，∴＝＝；（3）连接AG 并延长交BC 于点M ，连接BG 并延长交AC 于点N ，连接MN ，则MN 分别是BC 、AC 的中点，∴MN ∥AB ，且MN ＝AB ，∴＝＝，且S △ABM ＝S △ACM ，∴＝，设＝a ，由（2）知：＝＝×＝，＝＝a ，则＝＝+＝+a ，而＝＝a ，∴+a ＝a ，解得：a ＝，∴＝×＝．16．（2018•常德）已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO＝NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM＝AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2＝NC•AC．解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD＝OA，∠AOM＝∠DON＝90°，∴∠OND+∠ODN＝90°，∵∠ANH＝∠OND，∴∠ANH+∠ODN＝90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM＝90°，∴∠ANH+∠OAM＝90°，∴∠ODN＝∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM＝ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC＝∠DOC＝90°，∠NEC＝∠BDC＝45°＝∠ACD，∴EN＝CN，同（1）的方法得，OM＝ON，∵OD＝OD，∴DM＝CN＝EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE＝EN，∴∠EDN＝∠END，∵EN∥BD，∴∠END＝∠BDN，∴∠EDN＝∠BDN，∵∠BDC＝45°，∴∠BDN＝22.5°，∵∠AHD＝90°，∴∠AMB＝∠DME＝90°﹣∠BDN＝67.5°，∵∠ABM＝45°，∴∠BAM＝67.5°＝∠AMB，∴BM＝AB；方法2、如图2，∵NE∥BD，∴∠ENO＝90°，∵∠2+∠OND＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠ADC+∠ANE＝180°，∴点A，D，E，N在以AE为直径的圆上，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠2+∠4＝∠2+∠5＝90°，∴∠3+∠MAB＝90°，∴∠MAB＝∠5，∴BA＝BM（3）如图3，∵DN⊥AE，∴∠DEH+∠EDH＝90°，∵∠DAE+∠DEH＝90°，∴∠DAE＝∠EDH，∵EN⊥CD，∴∠DEN＝90°＝∠ADE，∴△DEN∽△ADE，∴，∴DE2＝AD•EN，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BAC＝45°，∴CN＝EN，AC＝AD，延长EN交AB于P，∴四边形ADEP是矩形，∴DE＝AP，∵AN＝AP＝DE，∴AN2＝AC•CN．17．（2018•武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠PAC＝＝＝＝设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tan C＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．18．（2018•眉山）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB＝MN．（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD＝1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC＝90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠MAB＝∠EBC，又∵MB＝MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB＝∠MBN＝45°，∴∠EBC+∠NBE＝45°，∠MAB+∠ABN＝∠MNB＝45°，∴∠NBE＝∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）设BM＝CM＝MN＝a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN＝BC＝2a，在△ABN和△DBN中，∵，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN＝DN＝2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2＝AB2可得（2a+a）2+a2＝1，解得：a＝±（负值舍去），∴BC＝2a＝；（3）∵F是AB的中点，∴在Rt△MAB中，MF＝AF＝BF，∴∠MAB＝∠FMN，又∵∠MAB＝∠CBD，∴∠FMN＝∠CBD，∵＝＝，∴＝＝，∴△MFN∽△BDC．19．（2018•威海）如图1，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．（1）如图2，当BC＝4，DE＝5，tan∠FMN＝1时，求的值；（2）若tan∠FMN＝，BC＝4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；（3）连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．解：（1）∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，NF都是△ABE的中位线，∴MF＝AE＝AN，NF＝AB＝AM，∴四边形ANFM是平行四边形，又∵AB⊥AE，∴四边形ANFM是矩形，∴FN ＝FM ，∴矩形ANFM 是正方形，AB ＝AE ，又∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ABC ≌△EAD （AAS ），∴BC ＝AD ＝4，CA ＝DE ＝5，∴＝；（2）可求线段AD 的长．由（1）可得，四边形MANF 为矩形，MF ＝AE ，NF ＝AB ，∵tan ∠FMN ＝，即＝，∴＝， ∵∠1＝∠3，∠C ＝∠D ＝90°，∴△ABC ∽△EAD ，∴＝＝，∵BC ＝4，∴AD ＝8；（3）∵BC ⊥CD ，DE ⊥CD ，∴△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∵M ，N 分别是AB ，AE 的中点，∴BM ＝CM ，NA ＝ND ，∴∠4＝2∠1，∠5＝2∠3，∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠5，∵∠FMC ＝90°+∠4，∠FND ＝90°+∠5，∵FM＝DN，CM＝NF，∴△FMC≌△DNF（SAS）；（4）在（3）的条件下，BM＝AM＝FN，MF＝AN＝NE，∠FMB＝∠MFN＝∠MAN＝∠ENF＝90°，∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．20．（2018•湖州）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且＝＝m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM 交AB于点F．（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．①求证：四边形DHEC是平行四边形；②若m＝，求证：AE＝DF；（2）如图2，若m＝，求的值．解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴，∵，∴，∴，∴HE＝DC，∵EH∥DC，∴四边形DHEC是平行四边形；②∵，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∵，HE＝DC，∴HE＝DC，∴，∵∠BHE＝90°，∴sin B＝＝，∴∠B＝45°，∴∠BEH＝∠B＝45°∴BH＝HE，∵HE＝DC，∴BH＝CD，∴AH＝AD，∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE+∠HEA＝∠HAE+∠AFM＝90°，∴∠HEA＝∠AFD，∵∠EHA＝∠FAD＝90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G，∵CA⊥AB，∴EG∥CA，∴△EGB∽△CAB，∴，∴，∵，∴EG＝CD，设EG＝CD＝3x，AC＝3y，∴BE＝5x，BC＝5y，∴BG＝4x，AB＝4y，∵∠EGA＝∠AMF＝90°，∴∠GEA+∠EAG＝∠EAG+∠AFM，∴∠AFM＝∠AEG，∵∠FAD＝∠EGA＝90°，∴△FAD∽△EGA，∴＝。

天津2018-2019中考数学试题分类解析专项4：图形的变换专题4：图形的变换一、选择题1.〔天津市2003年3分〕在以下图形中〔每个小四边形皆为全等的正方形〕，可以是一个正方体表面展开的是【】〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕【答案】C 。

【考点】几何体的展开图【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题：A 、出现了“田”字格，故不能；B 、折叠后上面两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体；C 、折叠后能围成一个正方体；D 、折叠后，上面的两个面重合，不能折成正方体。

应选C 。

2.〔天津市2003年3分〕在△ABC 中，AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边的中线，假设将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等。

其中，正确结论的个数是【】〔A 〕0个〔B 〕1个〔C 〕2个〔D 〕3个【答案】D 。

【考点】翻折变换〔折叠问题〕【分析】①假设AC=a 成立，根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形AB 1DC 为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解：假设AC=a 成立，如图〔1〕，在△ACD 中，由∠CAD=30°，AD=a ，∴∠ADC=12〔180°－∠CAD 〕=75°，∠CDB=180°－∠ADC=105°，而∠CDB 1=∠CDB,∴∠B 1DA=105°－75°=30°，∴AC ∥B 1D 。

∵B 1D=BD=a =AC ，∴四边形AB 1DC 为平行四边形。

∴S △CED =12S △ACD =14S △ABC ，满足条件，即AC 的长可以等于a ，故①正确。