人教版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用章末过关检测卷

第一章、(二)一、选择题(每小题分，共分)．下列运算中正确的是( )．(＋＋)′＝()′＋()′．( －)′＝( )′－′()′．′＝．( · )′＝( )′＋( )′解析：项中(＋＋)′＝()′＋()′，故正确．答案：．已知()＝＋′()，则′()＝( )．．－．－．解析：因为′()＝＋′()，所以′()＝＋′()．解得′()＝－，所以′()＝－，所以′()＝－.故选.答案：．曲线＝在点()处的切线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝解析：′＝，∵点()在曲线上，∴切线的斜率＝′＝＝＝＝－，由直线的点斜式方程得切线方程是＋－＝.答案：．若函数()＝，则此函数图象在点(，())处的切线的倾斜角为( )．．．钝角．锐角解析：′()＝＋＝(＋)＝，′()＝＜，则此函数图象在点(，())处的切线的倾斜角为钝角．答案：二、填空题(每小题分，共分)．函数＝的导数是．解析：′＝′＝＝＝.答案：．(全国大纲卷改编)已知曲线＝＋＋在点(－，＋)处切线的斜率为，则＝. 解析：′＝＋，因为曲线在点(－，＋)处切线的斜率为，所以′＝－＝－－＝，解得＝－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．求下列函数的导数：()＝－－＋；()＝(＋)(－)；()＝；()＝－.解析：()′＝(－－＋)′＝()′－()′－()′＋′＝－－.()方法一：′＝(＋)′(－)＋(＋)(－)′＝(－)＋(＋)＝－＋.方法二∵＝(＋)(－)＝－＋－，∴′＝－＋.()方法一：′＝′＝＝＝.方法二：∵＝＝＝－，∴′＝′＝′＝－＝.()∵＝－＝－＝，∴′＝))′＝( )′＝.．求下列函数的导数：()＝；()＝；()＝(＋)；()＝·.解析：()设＝－，则＝－，∴′＝′·′＝(－)′·(－)′＝－－·(－)＝－。

第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设 y1 x 2（ ）．，则 y'sin xA ．2x sin x (1x 2 ) cos x2x sin x(1 x 2 ) cos xsin 2xB ．sin2x2x sin x (1x 2 )2x sin x(1 x 2 )C ．sin xD ．sin x2．设 f ( x)ln x21 ，则 f ' (2) （ ）．42C ．1 D ．3A ．B ．55553．已知 f (3)2, f ' (3)2 ，则 lim2x3 f ( x) 的值为（ ）．x3x 3A ． 4B ． 0C ． 8D ．不存在4．曲线 yx 3 在点( 2,8) 处的切线方程为（）．A ． y6x 12 B ． C ． y8x10D ． y 12x 16y2x 325．已知函数 f ( x) ax 3 bx 2cx d 的图象与 x 轴有三个不一样交点(0,0), ( x 1,0) ，(x 2 ,0) ，且 f (x) 在 x1， x 2 时获得极值，则 x 1 x 2 的值为（）A ． 4B ． 5C ． 6D ．不确立6．在 R 上的可导函数 f ( x)1 x 3 1 ax2 2bx c ，当 x (0,1) 获得极大值， 当 x (1,2)32获得极小值，则 b2的取值范围是（）．a 1A ． (1,1)B ． (1,1)C ．( 1,1)D ． ( 1,1)422 42 27．函数 f ( x)1 e x (sin x cos x) 在区间 [0, ] 的值域为（ ）．22A ．[1 , 1e 2 ]B ． (1 , 1e 2 )C ． [1, e 2 ]D ． (1, e2)2 22 2aa2x 2dx （）．8．积分aA．1a2 B．1a 2 C．a2 D ．2 a24 29．由双曲线x 2 y 21，直线 y b, y b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体a 2 b2积为（）A．8ab2 B．8a2b C．4a2b D．4ab2 3 3 3 310．由抛物线y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积是（）．A ．1838 16D．16 B．C．3 311．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ． 3 V Ｂ．3 2V Ｃ．34V D．23V二、填空题13．曲线y x3在点 (a, a 3 )( a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x a 所围成的三角形的面积为1，则 a _________ 。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 22．已知物体的运动方程为23s t t=+（t 是时间，s s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为( ) A ．194B ．174C ．154D ．1343． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝05．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．已知函数()cos 2f x x x =⋅，则)(x f 的导函数()f x '= ( )A ．cos22sin2x x x -B ． cos2sin 2x x x -C ． cos22sin2x x x +D ． cos2sin 2x x x +7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t 的最小值是()A．20 B．18C．3 D．09.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如下，则()A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点10.函数f(x)＝12e x(sinx＋cosx)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()A.[12，21e2π] B.(12，21e2π)C.[1，2e π] D.(1，2eπ)二、填空题（每小题6分, 共24分）11．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6 s间的运动路程为__________．12. 曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.13. 已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．14.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是.三、解答题（共计76分）15.（本题满分12分）已知函数322()1f x x mx m x=+-+（m为常数，且0m>），当2x=-时有极大值.(1）求m的值；(2）若曲线()y f x=有斜率为5-的切线，求此切线方程.16.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.17.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x2－a ln x(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．18.(本题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知5858－u与221()4x-成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．19．（本题满分14分）定义在R上的函数f(x)＝13ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦，求函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值．20．（本题满分14分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>(Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；(Ⅲ）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求m 的取值范围.高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1．【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e.2. 【答案】 D【解析】物体在时刻2t =时的速度就是路程在2t =时的导数232s t t '=-所以22313|2224t v s ='==⨯-= 3. 【答案】 B【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2 4. 【答案】A【解析】切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝430x ＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 5. 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0.∴a >6或a <－3. 6.答案 A解析：()(cos2)cos22sin 2f x x x x x x ''=⋅=- 7.【答案】 C【解析】∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴当x <－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0； 当x >－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.∴当x <－2时，y ＝xf ′(x )>0； 当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0； 当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x >0时，y ＝xf ′(x )>0. 8. 【答案】 A【解析】()f x '＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令()f x '＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 9．【答案】 A【解析】由图可知，x 1，x 2，x 3，x 4是导函数y ＝f′(x)的零点，在x 1左、右两侧，x 4左、右两侧，导函数的符号相同，∴x 1，x 4不是函数y ＝f(x)的极值点，同理易知，x 2是函数y ＝f(x)的极大值点，x 3是函数y ＝f(x)的极小值点. 10. 【答案】A【解析】f′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e x cosx ，当0<x<2π时，f′(x)>0，∴f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数.∴f(x)的最大值为f(2π)＝122e π，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)的值域为[12，122e π].二、填空题 11【答案】494m 【解析】由题图可知，该物体在12s ～6 s 间运动的路程为61361113221()22(1)3s v t dt tdt dt t dt ==+++⎰⎰⎰⎰494=12 【答案】212e 【解析】∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x =2＝e x |x =2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)， ∴S △＝12×1×e 2＝212e13. 【答案】4【解析】∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 14. 【答案】 (－2,2)【解析】令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2，画出函数图像如图所示，可得－2<a <2时，恰有三个不同公共点.三、解答题15. 【解析】（1）22()32()(3)0f x x mx m x m x m '=+-=+-= 则21240,6(), 2.m m m m =-==-=舍去6分(2）由（1）知，32()241f x x x x =+-+ 依题意知2()324=5f x x x '=+-- 1,x =-或13x =- 10分又168(1)6,()327f f -=-=,所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=12分16. 【解析】(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.4分(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 6分又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为300000(2)32,1y x x x x ---+=-8分所以32000032331x x x x -+=--，即30x －3x 0＋2＝3(20x －1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝319(1)44-=-.10分所以l 的方程为9(2)(1),4y x --=--即9410x y +-=.12分17. 【解析】(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ， 当x ∈(1，＋∞)时， 22(1)()0x f x x-'=>，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．3分 (2) 22()(0)x af x x x-'=>，4分当x ∈[1，e]时，2x 2－a ∈[2－a ，2e 2－a ]．若a ≤2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 又f (1)＝1，故函数f (x )在[1，e]上的最小值为1. 6分若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在[1，e]上是减函数，又f (e)＝e 2－a ，所以f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 8分若2<a <2e 2，则当1≤x <2a时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数, 当 2a<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数． 又f (2a )＝2a -2a ln 2a ， 所以f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a.10分综上可知，当a ≤2时，f (x )在[1，e]上的最小值为1； 当2<a <2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a；当a ≥2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 12分18. 【解析】(1)设5858－u ＝k 221()4x -，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k 221(10)4-，解得k ＝2.3分∴u ＝－2221()4x -2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．6分(2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，8分 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.9分∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，11分∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12分19. 【解析】(1)f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，由题意知(1)0,20,(0)1,f b f '=⎧⎪=⎨⎪'=-⎩即20,0,1,a b c b c ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得1,0,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩6分所以函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－x ＋2.7分(2)g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦＝(x －2)e x .g ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0， 所以函数g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．9分当m ≥1时，在[m ，m ＋1]上， g (x )单调递增，g (x )min ＝g (m )＝(m －2)e m ；10分当m <1<m ＋1，即0<m <1时，g (x )在[m,1)上单调递减，在(1，m ＋1]上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝－e ；11分当m ＋1≤1，即m ≤0时，在[m ，m ＋1]上，g (x )单调递减，g (x )min ＝g (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.12分综上，函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值g (x )min ＝1(2),1,,01,(1),0,m m m e m e m m e m +⎧-≥⎪-<<⎨⎪-≤⎩1４分20. 【解析】（Ⅰ）∵f′(x)=3x 2+2a x －a 2=3(x 3a-)(x+a ),1分又a >0，∴当x<－a 或x>3a时f′(x)>0； 当－a <x<3a时，f′(x)<0. 4分∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a ），(3a，+∞)， 单调递减区间为(－a ，3a ).6分(Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x 2+2a x －a 2=0在[－1，1]上没有实根∴⎪⎩⎪⎨⎧><'<-'00)1(0)1(a f f ，解得a >3. 10分(Ⅲ）∵a ∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知3a∈[1，2]，－a ≤－3 又x ∈[－2,2] ∴f(x)max =max{f(－2),f(2)} 而f(2)－f(－2)=16－4a 2<0 f(x)max =f(-2)= －8+4a +2a 2+m 12分又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 ∴f(x)max ≤1即－8+4a +2a 2+m≤1即m≤9－4a －2a 2,在a ∈[3，6]上恒成立 ∵9－4a 2a -2的最小值为－87，∴m≤－87.14分。

数学人教A 选修2-2第一章 导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立， 即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增 －5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方， 得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-． 此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。

⎩ ⎭ 《数学选修 2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数 y = f (x ) 在区间 (a , b ) 内可导,且 x ∈(a , b ) 则 lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )的值为( )A. f '( x 0 )B. 2 f '( x 0 )C. -2 f '( x 0 )D. 0h →0 h 2、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒 3、曲线 y = x 3 - 4x 在点(1, -3) 处的切线倾斜角为()3πππA. πB.C.D.42 4 64、曲线 f (x ) = () x 3 + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p 0 点的坐标为A. (1, 0)B. (2,8)C. (2,8) 和(-1, -4)D. (1, 0) 和(-1, -4)5、若 f (x ) = sin- cos x ,则 f '() 等于()A. cosB. sinC. sin+ c os D. 2 s in 6、若曲线 y = x 4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直,则l 的方程为( ) A. 4x - y - 3 = 0 B. x + 4 y - 5 = 0 C. 4x - y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 07、对正整数 n ,设曲线 y = x n(1 - x ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列⎧ a n ⎫ 的前 n 项和的公式是( )⎨ n +1⎬ A. 2nB. 2n - 2C. 2n +1D. 2n +1 - 28、已知 f (x ) = ax 3 + 9x 2 + 6x - 7, 若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于()19 16 10 13 A.B.C.D.33339、二次函数 y = f (x ) 的图象过原点,且它的导函数 y = f '(x ) 的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y = f (x ) 的图象的顶点所在象限是()A. 第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数 y = f (x ) 的图象在点 M (1,f (1))处的切线方程是 y = 1x +2,则 f (1) + f '(1) 的2 值等于()⎪ 5 A.1 B.C.3D.0211、下列式子不正确的是()2'⎛1 ⎫' 12A. (3x + x c os x )= 6x + cos x - x sin xB. ln x - 2 ⎪ =-⎝x ⎭ x x '⎛ sin x ⎫'cos x - sin xC. (sin 2x ) = 2 cos 2xD. x = x 212、设 a ∈ R ,函数 ⎝ ⎭ f (x ) = e x + a ⋅ e -x 的导函数是 f '(x ) ,且 f '(x ) 是奇函数.若曲线y = f (x ) 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为( ) 2A. ln 2B. -ln 2ln 2 C. D. 2ln 2 2第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数 f (x ) = -x 2 + x 的图象上的一点 A (-1, - 2) 及临近一点B (-1 + ∆x , - 2 + ∆y ) 则 ∆y= .∆x14、曲线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 在点(1,一3)处的切线方程是15、在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y = x 3 -10x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.16、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 , 等式 f ( x ) > 0 的解集是.xf '(x ) - f (x )x 2> 0 ( x > 0) ,则不三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知函数 f (x ) = ax 2 + 2 ln(2 - x )(a ∈ R ) ,设曲线 y = l ,若l 与圆C : x 2 + y 2 = 1相切,求 a 的值.4f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线为-318、(12 分)设函数f (x) = cos( 3x +)(0 <<),且f (x) +f '(x) 为奇函数. (1)求的值;(2)求f ( x) +f '( x) 的最值.19、(12 分)已知a ∈R ,函数 f (x) =x2 (x -a) ,若 f '(1) = 1 .(1)求a 的值并求曲线 y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 y =g( x) ;(2)设h( x) =f '( x) +g( x) ,求h( x) 在[0,1] 上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数 f (x) =ax3+bx +c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点(1, f (1)) 处的切线与直线x + 18 y - 7 = 0 垂直,导函数f '(x) 的最小值为12 .(1)求a , b , c 的值;f ( x)(2)设g( x)x2,当x > 0 时,求g( x) 的最小值.21、(12 分)设函数 f (x) =ax -bx,曲线 y =f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为7x - 4 y -12 = 0 .(1)求f (x) 的解析式;(2)证明:曲线y =f (x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.=0 x =2 ( ) ⎩ ⎭22、(14 分) 已知关于 x 的方程大依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .sin x = k (k ∈(0,1)) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根,从小到x(1) 求证: x 4 = tan x 4 ;(2) 是否存在常数 k ,使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列?若存在求出 k 的值,否则说明理由.1.Blimf (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) 参考答案= lim 2[ f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )]h →0hh →0 2h= 2 lim f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h ) = 2 f '( x ) .h →0 2h2.C s '(t ) = 2t - 1, s '(3) = 2 ⨯ 3 - 1 = 5 .3.A y ' = 3x 2- 4, k = y ' | = -1, tan = -1,= 3π . 44.D 设切点为 P (a , b ) , f '( x ) = 3x 2+1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1,把 a = -1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = -4 ;把 a = 1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所 以P 0 (1, 0) 和(-1, -4) .5.Bf '( x ) = sin x , f '() = sin .6.A 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直的直线l 为4x - y + m = 0 ,即 y = x 4 在某一点的导数为4 ,而y ' = 4x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1) 处导数为4 ,此点的切线为4x - y - 3 = 0 .7.Dy ' = -2n -1 (n + 2),切线方程为: y + 2n = -2n -1 (n + 2)( x - 2) ,令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y = (n +1)2n ,所以 a n= 2n ,则数列⎧ a n ⎫的前 n 项和 S n 02 1- 2n == 2n +1 - 2 1- 2n +1⎨n +1⎬x =12a ⎝ ⎭x =1 x =1 8.B f '(x ) = 3ax 2 +18x + 6 ,由 f '(-1) = 4, 得3a - 18 + 6 = 4 ,即a =16 .39.C 设 f (x ) = ax 2 + bx , f '(x ) = 2ax + b , f '(x ) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,⎛b ⎫2b 2 ⎛ b b 2 ⎫ 故2a > 0, b > 0 ,又 f (x ) = a x + ⎪ ⎝ ⎭ - 4a ,即项点 - 2a , - 4a ⎪ 在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以 f (1)= 1 + 2 = 5 ,切点处的导数为切线斜率,所以 f '(1)＝ 1,所以 f (1) + f '(1)＝⎛ sin x ⎫' 2 2 2 3x cos x - sin x11.D x ⎪ = x 2⎝ ⎭12.Af '( x ) = e x - ae -x , f '(x ) 是奇函数 f '(0) = 1 - a = 0 ,∴ a = 1 ,有 f '( x ) = e x - e -x ,x - x 3 x x 1 设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 f '( x 0 ) = e 0 - e 0 = ,得e 0 = 2 或e 0= - 2 2(舍去),∴ x 0 = ln 2 .13. 3 - ∆x -2 + ∆y = -(-1+ ∆x )2 + (-1+ ∆x )∴ ∆y = ∆x - (-1 + ∆x )2 + (-1 + ∆x ) - 2 ∆x= 3 - ∆x 14. 5x + y - 2 = 0易 判 断 点 (1,-3)在 曲 线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 上 ,故 切 线 的 斜 率k = y ' | = (3x 2 - 4x - 4) | = -5,∴切线方程为 y + 3 = -5( x -1) ,即5x + y - 2 = 015.( - 2,15) y ' = 3x 2 -10 = 2 ⇒ x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = -2 ,得点 P 的坐标为(- 2,15)f ( x ) 16. (-1,0) (1,+∞) 可得 f '( x ) >,由导数的定义得,当0 < x < 1 时,xf ( x ) - f (1) >x - 1 ,又 f (1) = 0 , xf ( x ) < ( x - 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) < 0 ;当 x > 1时,x同理得 f ( x ) < 0 .又 f (x ) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) > 0 ⇒ x ∈(-1, 0) (1, +∞) .17.解:依题意有: f (1) = a , f '(x ) = 2ax +∴ l 的方程为2(a - 1)x - y + 2 - a = 02x - 2(x < 2) ,| 2 - a |l 与圆相切,∴= 4(a - 1)2 + 1 1 ⇒ a =11 28 ∴ a 的值为11 .818.解:(1) f ( x ) + f '( x ) = cos( 3x +) -3 sin( 3x +)f ( x )6 6 ) 1 13 ⎨ 3 3= 2 sin( 3x ++5 ,6又0 << π , f ( x ) + f '( x ) 是奇函数,∴= . 6(2)由(1)得 f ( x ) + f '( x ) = 2 sin( 3x + π) = -2 sin 3x .∴ f ( x ) + f '( x ) 的最大值为 2,最小值为-2 .19、解:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2ax ,由 f '(1) = 1 得3 - 2a = 1 ,所以a = 1 ;当a = 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 , f (1) = 0 ,又 f '(1) = 1 ,所以曲线 y = f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1⨯ ( x - 1) ,即 g ( x ) = x - 1 ;(2)由(1)得h ( x ) = 3x 2 - x - 1 = 3( x - 1)2 -13,6 12又h (0) = -1 , h (1) = 1, h ( ) = -, 6 1213∴ h ( x ) 在[0,1] 上有最大值 1,有最小值.1220.解:(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f (-x ) = - f (x ) ,即-ax 3 - bx + c = -ax 3 - bx - c ,∴ c = 0 ,又∵ f '(x ) = 3ax 2 + b 的最小值为12 ,∴ b = 12 ;1又直线 x + 18 y - 7 = 0 的斜率为- 18∴ a = 2 , b = 12 , c = 0 为所求.,因此, f '(1) = 3a + b = 18 , ∴ a = 2 ,(2)由(1)得 f ( x ) = 2x 3 + 12x ,∴当 x > 0 时, g ( x ) =f ( x ) = 2( x + 6) ≥ 2 ⋅ 2 = 4 ,x 2 x∴ g ( x ) 的最小值为4 .721.解:(1)方程7x - 4 y -12 = 0 可化为 y = x - 3 .4当 x = 2 时, y = 1 . 又 f '(x ) = a + b,2 x 2⎧2a - b = 1 ⎪ 于是⎨ ⎧a = 1 解得 b 7 b = 3 , 故 f (x ) = x - . x ⎪a + = ， ⎩ ⎩⎪ 4 4(2)设 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ' = 1+x 2知曲线在点 P (x 0，y 0 ) 处的切线方程为 x ⋅ 6 x2 21 2 3 3 y - y = ⎛1+ 3 ⎫ (x - x ) ,即 y - ⎛x- 3 ⎫ = ⎛1+3 ⎫(x - x ) .0 x 2 ⎪ 0 0 x ⎪ x 2 ⎪ 0 ⎝ 0 ⎭6 ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎛ 6 ⎫ 令 x = 0 得 y = - x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0，- x ⎪ . 0 ⎝ 0 ⎭令 y = x 得 y = x = 2x 0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0，2x 0 ) .所以点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为 -2x 0 = 6 .故曲线 y = 此定值为6 .f (x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,22.解:(1)由原方程得sin x = kx (x ≠ 0) ,设函数 f (x ) = sin x , g (x ) = kx (x ≠ 0) ,它们的图象如图所示:方程得sin x = kx (x ≠ 0) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根, x 4 必是函数 g (x ) = kx 与 f (x ) = sin x 在(2π,5π) 内相切时切点的横坐标,即切点为(x , sin x ) , g (x ) = kx 是 f (x ) = sin x 的切线.24 4由 f '( x ) = cos x ,∴ k = cos x 4 ,又∵ sin x 4 = kx 4 ,于是 x 4 = tan x 4 .1(2)由题设知 x 2 = -x 3 ,又 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列,得2x 3 = x 2 + x 4 ,∴ x 3 = 3x 4 .1 1 1由sin x 3 = kx 3 ,得sin 3 x 4 = 3 kx 4 ,即sin x 4 = 3sin 3 x 4 .由题设 x ∈(2π, 5π) ,得 x 4 ∈( 2π , 5π) ,42 ∴ sin x 4 ∈ 13 3 6x 4 3 3( , ) ,有3sin 3 ∈( , ) ,即sin x 4 ∈( , ) ,与sin x 4 < 1 矛盾!故不存在常数 k 使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列yxO2 36x3 3 3 2 2 3 2 2 2 2。

【成才之路】 2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1． (2014 ～2015 ·福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线 y ＝ sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是 ()π 3πB ． [0， π)A ．[0， 4]∪[ ， π)4π 3ππ π 3π C ．[ ，4 ]D ．[0，]∪( ，4]442[答案 ]A[剖析 ]先求导数，再依照弦函数性质获得导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[分析 ]y ′＝ cosx ，∵ cosx ∈ [－ 1,1] ，∴切线的斜率范围是 [－ 1,1] ，∴倾斜角的范围是π 3π [0， ]∪[， π)．442．(2015 青·岛市胶州高二期中)若 a>0，b>0，且函数 f( x)＝ 4x 3－ ax 2 － 2bx ＋ 2 在 x ＝ 1 处有极值，则 ab 的最大值等于 ()A ． 2B ． 3C ．6D ． 9[答案] D[分析 ]∵ f ′(x)＝ 12x 2－2ax － 2b ，又因为在 x ＝ 1 处有极值，∴ a ＋ b ＝ 6，∵ a>0 ，b>0，a ＋b 2 ∴ ab ≤() ＝ 9，2 当且仅当a ＝b ＝ 3 时取等号，所以ab 的最大值等于9.应选D.3． (2014·博市临淄区学分认定考试淄)以下函数中，x ＝0 是其极值点的函数是( )A ． f(x)＝－ x 3B ． f( x)＝－ cosxC．f(x)＝ sinx－ x1 D． f(x)＝ x[答案 ]B[分析 ]对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝s inx，当 x∈ (－π， 0)时， f ′(x)<0 ，当 x∈ (0，π)时， f ′(x)>0 ，故 f(x)＝－ cosx 在 x＝0 的左边区间 (－π， 0)内单一递减，在其右边区间 (0，π)内单一递加，所以 x＝ 0 是 f(x)的一个极小值点；对于 C，f ′(x)＝ cosx－ 1≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于 D，f(x)＝1x在x＝0 没有定义，所以 x＝ 0 不行能成为极值点，综上可知，答案选 B.4．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1在 (－∞，＋∞)上是单一函数，则实数 a 的取值范围是()A ． (－∞，－ 3)，∪ (3，＋∞)B． (－ 3， 3)C．( －∞，－ 3] ∪[ 3，＋∞ )D．[－ 3， 3][答案 ]D[分析 ] f ′(x)＝－ 3x2＋ 2ax－ 1，∵ f(x)在 (－∞，＋∞)上是单一函数，且 f ′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴ f ′(x)≤0恒成立，∴＝ 4a2－ 12≤0，∴－3≤a≤ 3，应选 D.5．设函数 f( x)在定义域内可导， y＝ f(x)的图象以以下图所示，则导函数y＝ f ′(x)的图象可能是 ()[答案 ]A[分析 ]f( x)在 (－∞， 0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→ 增→减，所以 f ′(x)的图象在 (－∞， 0)上， f ′(x)>0 ，在 (0，＋∞)上 f ′(x)的符号变化规律是负→正→ 负，应选 A.6．已知函数f(x)的导函数的图象以下图，若△ABC为锐角三角形，则必定成立的是()A ． f(sinA)>f(cosB)B ． f(sinA)<f(cosB)C ．f(sinA)>f(sinB)D ． f(cosA)<f(cosB)[答案 ] A[分析 ]由导函数图象可知， x>0 时， f ′(x)>0，即 f(x)单一递加，又△ ABC 为锐角三角π π π π ，故 f(sinA)>f(cosB) ，形，则 A ＋B> ，即 >A> － B>0，故 sinA>sin( － B)>0 ，即 sinA>cosB>02222选 A.7．(2014 ～ 2015 ·祁东县模拟 )函数 f(x)＝1ax 3＋ 1ax 2－ 2ax ＋ 1 的图象经过四个象限， 则实3 2数 a 的取值范围是 ()3 6 8 3A ．－ 10<a<7B ．－ 5<a<－ 168 13或 a>6C ．－ 3<a<－16D ． a<－ 107[答案 ] D[分析 ]f ′(x)＝ ax 2＋ ax －2a ＝ a(x ＋ 2)(x － 1)，要使函数 f(x)的图象经过四个象限，则f( －2)f(1)<0 ，即 (10 7 ，解得 a<－3 63a ＋ 1)(－ a ＋ 1)<010或 a> .67应选 D.8．定义域为 R 的函数 f(x)知足 f(1) ＝ 1，且 f(x)的导函数 f ′(x)> 1，则知足 2f(x)<x ＋ 1 的 x2 的会合为 ()A ． { x|－ 1<x<1}B ． { x|x<1}C ．{ x|x<－ 1 或 x>1}D ． { x|x>1}[答案 ] B[分析 ]令 g(x)＝ 2f(x)－ x － 1，∵ f ′(x)> 1，2∴ g ′(x)＝ 2f ′(x)－ 1>0 ，∴ g( x)为单一增函数， ∵ f(1) ＝ 1，∴ g(1)＝ 2f(1) － 1－ 1＝0，∴当 x<1 时， g(x)<0 ，即 2f(x)<x ＋ 1，应选 B.9．(2013 ·池一中高二期中华 )若对于 x 的方程 x 3－ 3x ＋ m ＝ 0 在 [0,2] 上有根， 则实数 m 的取值范围是 ()A ． [－ 2,2]B ． [0,2]C ．[ －2,0]D ． (－ ∞，－ 2)∪(2，＋ ∞)[答案 ] A[分析 ]令 f(x)＝ x 3 －3x ＋ m ，则 f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，明显当 x<－ 1 或 x>1 时，f ′(x)>0 ， f(x)单一递加，当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减，∴在 x ＝－ 1 时， f(x)取极大值 f(－ 1)＝ m ＋ 2，在 x ＝ 1 时， f(x)取极小值 f(1) ＝m －2.f ， ∵ f(x)＝0 在 [0,2] 上有解，∴f，∴m － 2≤0， ∴－ 2≤m ≤2.2＋ m ≥0，10．(2014 ～2015 ·天门市调研 )已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)＝ a(x － b)2＋ c 的图象以下图，则函数 f(x) 的图象可能是 ()[答案 ] D[分析 ]由导函数图象可知， 当 x<0 时，函数 f(x)递减，清除 A ，B ；当 0< x<x 1 时，f ′(x)>0 ，函数 f( x)递加．所以，当 x ＝ 0 时， f(x)获得极小值，应选 D.a3211．(2015 河·南八市质量监测 )已知函数 f(x)＝ x ＋xln x ，g(x)＝ x － x － 5，若对随意的 x 1，x 2∈1， 2 ，都有 f(x 1)－ g(x 2) ≥2成立，则 a 的取值范围是 ()2A ． (0，＋ ∞)B ． [1，＋ ∞)C ．( －∞，0)D ． (－ ∞，－ 1][答案 ] B[分析 ]因为 g(x)＝ x 3－x 2－ 5? g ′(x)＝ 3x 2－ 2x ＝x(3x － 2)，∴函数 g( x)在 1， 2上单一递2 321 1 1 41减，在3， 2 上单一递加， g 2＝ 8－ 4－ 5＝－ 8 ， g(2)＝ 8 － 4－ 5＝－ 1.因为对 ? x 1， x 2∈1， 2 ， f(x 1)－ g( x 2) ≥2恒成立，∴ f(x) ≥[g(x)＋ 2]max ，即 x ∈ 1， 2 时， f(x) ≥1恒成立，即a＋22xxlnx ≥1，在1， 2 上恒成立， a ≥x － x 2lnx 在1，2 上恒成立，令h(x)＝ x － x 2ln x ，则 h ′(x)＝ 122－ 2xlnx －x ，1而 h ″(x)＝－ 3－ 2ln x ， x ∈ 2， 2 时， h ″(x)<0，所以 h ′(x)＝ 1－ 2xlnx － x 在12， 2 单一递减，1因为 h ′(1)＝ 0，∴ x ∈ 2， 1 时，h ′(x)>0 ，x ∈ [1,2] 时， h ′(x)<0 ，所以 h(x) ≤h(1) －1，∴ a ≥1.12．(2014～ 2015 ·黑龙江龙东南四校高二期末 3＋ 2bx 2＋cx ＋ 1 有两个极)已知函数 f(x) ＝ x 值点 x 1、 x 2，且 x 1∈ [ － 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，则 f(－ 1)的取值范围是 ()A ．[－3， 3]B ．[3，6]22C ．[3,12]D ． [－ 3，12]2[答案 ] C[剖析 ]依据极值的意义可知，极值点x 1、 x 2 是导函数等于零的两个根，依据根的散布成立不等关系，画出知足条件的地区．利用参数表示出 f(－ 1)的值域，设 z ＝ x ＋ 3y ，再利用z 的几何意义求最值．[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋c ，依题意知，方程 f ′(x)＝ 0 有两个根 x 1、 x 2，且 x 1∈ [－ 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，等价于 f ′(－2) ≥0， f ′(－1) ≤0， f ′(1) ≤0，f ′(2) ≥0.12－ 8b ＋ c ≥0，3－ 4b ＋ c ≤0， 由此得 b ， c 知足的拘束条件为3＋ 4b ＋ c ≤0， 12＋8b ＋ c ≥ 0.知足这些条件的点 (b ， c)的地区为图中暗影部分．由题设知 f(－ 1)＝2b－ c，令 z＝ 2b－ c，当直线 z＝ 2b－ c 经过点 (0，－ 3)时， z 最小，最小值为 3.当直线 z＝ 2b－ c 经过点 C(0 ，－ 12)时， z 最大，最大值为 12.应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知 f(x)＝x3＋ 3x2＋ a(a 为常数 )，在 [－ 3,3] 上有最小值 3，那么在 [－ 3,3]上 f(x)的最大值是 ________________ ．[答案 ]57[分析 ] f ′(x)＝ 3x2＋ 6x＝3x(x＋ 2)，当 x∈ [ － 3，－ 2)和 x∈ (0,3] 时， f ′(x)>0， f(x)单一递增，当 x∈ (－ 2,0)时， f ′(x)<0 ， f(x)单一递减，∴极大值为f( － 2)＝ a＋ 4，极小值为 f(0)＝ a，又 f(－ 3)＝ a， f(3)＝ 54＋ a，由条件知 a＝3，∴最大值为f(3) ＝54＋ 3＝57.1214．如图暗影部分是由曲线y＝x、 y ＝ x 与直线 x＝ 2、 y＝ 0 围成，则其面积为 ______．[答案 ]2＋ ln2 3y 2 ＝x ， [分析 ]由1 ，得交点 A(1,1)y ＝ xx ＝ 2得交点 B 2，1由1.y ＝ x21 32212故所求面积 S ＝ 1xdx ＋ 2x dx ＝3x 2|0 ＋ lnx |1＝3＋ ln2.115．函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 在区间 (－ 1,1)上为单一减函数，则 a 的取值范围是 __________．[答案 ]a ≤1[分析 ]f ′(x)＝ 3ax 2－ 3，∵ f( x)在 (－ 1,1)上为单一减函数，∴ f ′(x)≤0在 (－ 1,1)上恒成立，即 3ax 2－ 3≤0在 (－ 1,1)上恒成立，1∴ a ≤x 2，∵ x ∈ [－ 1,1)，∴ a ≤ 1.[警告 ]此题常因混杂 f(x)在区间 A 上单一递减与f(x)的单一递减区间为 A 致误， f( x)在区间 A 上单一递减时， A 可能是 f(x)的单一减区间的一个真子集．若 f(x) 的单一减区间为 [m ，n]，则在 x ＝m(x ＝ n)双侧函数值异号，f ′(m)＝ 0(f′(n)＝ 0)；若 f(x)在区间 [m ， n]上单一递减，则f ′(x)≤0在 [m ， n]上恒成立．16． (2015·南高考适应性测试河)已知函数f(x) 的图象在[ a ， b] 上连续不停，定义：f 1( x)＝ min{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b]) ， f 2(x)＝ max{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b])，此中， min{ f(x)|x ∈ D} 表示函数 f(x)在区间 D 上的最小值， max{ f(x)|x ∈D } 表示函数 f(x)在区间 D 上的最大值．若存在最小正整数 k ，使得 f 2( x)－ f 1(x) ≤k(x － a)对随意的 x ∈ [a ，b]成立，则称函数为区间 [a ，b]上的“k 阶缩短函数 ”．有以下三个命题， 此中正确的命题为 ________________ ．(请把正确命题序号填在横线上 )．①若 f(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，则 f 1(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，f 2(x)＝ 1， x ∈ [0， π]；32③若函数 f(x)＝ x 2， x ∈ [－1,4] 是 [ － 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.[答案 ] ①②③[分析 ]对于①，因为 f(x) ＝cosx 在 [0， π]上单一递减，由已知可得 f 1(x)＝cosx ， f 2(x)＝f(0)＝ 1，故①正确；对于②，f ′(x)＝－ 3x 2 ＋6x ，当 x ∈ [0,1] 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 [0,1] 上单一递增，故 f 1(x)＝ f(0) ＝ 0，f 2(x)＝－ x 3＋ 3x 2，f 2(x)－f 1(x)＝－ x 3＋ 3x 2≤kx 对? x ∈ [0,1] 成立，当 x ≠0－ x 3＋ 3x 2x ＝1 时，－ x 2＋ 3x 获得最大值 2，∴ k ≥2，即②正时， k ≥＝－ x 2＋ 3x 恒成立，又当xx 2， x ∈ [ － 1， 1， x ∈[ － 1， 确；③中， f 1(x)＝，f 2(x)＝，0， x ∈ [0， 4]x 2， x ∈ [1 ，4]1－ x 2， x ∈ [－ 1，∴ f(x 2)－ f(x 1) ＝ 1，x ∈ [0，.2x ， x ∈ [1， 4]当 x ∈ [－ 1,0]时， 1－ x 2≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥1－x ， k ≥ 2.1当 x ∈ (0,1)时， 1≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥，∴ k ≥1.2x 216 当 x ∈ [1,4] 时， x ≤k(x ＋ 1) ，∴ k ≥，∴ k ≥ .x ＋ 15即 f(x) ＝x 2 ， x ∈ [ － 1,4] 是 [－ 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 )17． (此题满分 12 分)设函数 f(x)＝ lnx ＋ln(2 － x)＋ax(a>0) ． (1) 当 a ＝ 1 时，求 f(x)的单一区间；(2)1，求 a 的值．若 f(x)在 (0,1] 上 的最大值为 2[分析 ] 函数 f(x)的定义域为 (0,2)， f ′(x)＝ 1－ 1＋ a ，x 2－x－ x 2 ＋2(1)当 a ＝ 1 时，f ′(x)＝，∴当 x ∈ (0， 2)时，f ′(x)>0，当 x ∈( 2，2)时，f ′(x)<0 ，x － x所以 f( x)的单一递加区间为 (0，2)，单一递减区间为 ( 2，2)；(2)当 x ∈ (0,1] 时， f ′(x)＝ 2－ 2x ＋a>0，－ xx即 f(x) 在(0,1] 上单一递加，故 f(x) 在(0,1] 上的最大值为 f(1)＝ a ，所以 a ＝1.218．(此题满分 12 分 )(2014 韶·关市曲江一中月考 )已知函数 f(x)＝ ax 3＋cx ＋ d(a ≠0)是 R 上的奇函数，当 x ＝ 1 时， f(x)获得极值－ 2.(1)求函数 f(x)的分析式；(2)求函数 f(x)的单一区间和极大值；(3)证明：对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1 )－ f(x 2)|<4 恒成立．[分析 ] (1)∵ f(x)是 R 上的奇函数，∴ f(－ x)＝－ f( x)，即－ ax 3－ cx ＋ d ＝－ ax 3－ cx － d ，∴ d ＝－ d ，∴ d ＝ 0(或由 f(0) ＝ 0 得 d ＝ 0)．∴ f(x)＝ax 3＋cx ， f ′(x)＝ 3ax 2＋ c ，又当 x ＝1 时， f(x) 获得极值－ 2，f ＝－ 2， a ＋ c ＝－ 2， a ＝ 1，∴＝0，即解得f3a ＋ c ＝ 0，c ＝－ 3.∴ f(x)＝x 3－ 3x.(2) f ′(x)＝3x 2 －3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，令 f ′(x)＝0，得 x ＝ ±1， 当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减； 当 x<－ 1 或 x>1 时， f ′(x)>0，函数 f(x)单一递加；∴函数 f(x)的递加区间是 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞)；递减区间为 (－ 1,1)．所以， f(x)在 x ＝－ 1 处获得极大值，且极大值为 f(－ 1)＝ 2.(3)由 (2) 知，函数 f(x) 在区间 [ － 1,1] 上单一递减，且 f( x)在区间 [－ 1,1]上的最大值为 M ＝f(－ 1)＝ 2.最小值为 m ＝ f(1) ＝－ 2.∴对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，|f( x 1)－ f(x 2 )|<M － m ＝4 成立．即对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1)－ f(x 2)|<4 恒成立．19． (此题满分 12 分)(2014 北·京海淀期中 )已知函数 f(x)＝ x 2－ 2(a ＋ 1)x ＋ 2aln x(a>0)．(1)当 a ＝ 1 时，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程； (2)求 f(x)的单一区间；(3)若 f(x) ≤0在区间 [1， e]上恒成立，务实数 a 的取值范围． [分析 ] (1)∵ a ＝ 1，∴ f( x)＝ x 2－ 4x ＋2ln x ， ∴ f ′(x)＝ 2x 2－ 4x ＋ 2x(x>0) ，f(1) ＝－ 3， f ′ (1)＝ 0， 所以切线方程为 y ＝－ 3.2x ＋ 2ax －x － a2x －a ＋＝(2)f ′(x)＝xx(x>0) ，令 f ′(x)＝ 0 得 x 1 ＝a ， x 2＝ 1，当 0<a<1 时，在 x ∈ (0，a)或 x ∈(1 ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在 x ∈ (a,1)时， f ′(x)<0 ，∴ f( x)x － 2的单一递加区间为 (0， a) 和(1，＋ ∞)，单一递减区间为 (a,1)；当 a ＝1 时， f ′(x)＝x≥0，∴ f(x)的单一增区间为 (0，＋ ∞)；当 a>1 时，在 x ∈ (0,1)或 x ∈ (a ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在x ∈(1 ，a)时， f ′(x)<0 ，∴ f(x)的单一增区间为 (0,1)和 (a ，＋ ∞)，单一递减区间为 (1， a)．(3) 由 (2)可知， f(x)在区间 [1， e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间 [1， e]上的最大值必在区间端点取到，e 2－ 2e∴ f(1) ＝ 1－ 2(a ＋ 1) ≤0且 f(e)＝ e 2－ 2(a ＋1)e ＋ 2a ≤0，解得 a ≥2e － 2.lnx ，x ≥120．(此题满分 12 分 )(2015 河·南六市联考 )已知函数 f(x)＝ 1x ＋(ae x －a ， x<1为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰巧有三个公共点，务实数 a 的取值范围．[分析 ]因为 f ′ (e)＝1，得 f(x)在点 A 处的切线方程为：y－ 1＝1(x－ e)，即1x－ y＝ 0 e e e1由题意知切线与y＝e(x＋ 2)(x－ a)(x<1) 有两个交点，112＋(1－ a)x－ 2a＝ 0 有两个小于 1 的根，设即 x＝ (x＋ 2)(c－ a) 有两个小于 1 的根，即xe e两根为 x1， x2，则>0－ a2＋ 8a>0x1＋ x2<2即a－ 1<2x1－x2－－ 2a－a－＋ 1>0解得： a<－ 3－ 22或－ 3＋ 222<a< .322x y21．(此题满分 12 分 )(2015 重·庆文， 21)如图，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆于P， Q 两点，且 PQ⊥PF1.(1)若 |PF 1|＝ 2＋2，|PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；34，试确立椭圆离心率 e 的取值范围．(2)若 |PQ|＝λ|PF1 |，且4≤λ<3[分析 ](1)由椭圆的定义，2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝ (2＋2)＋ (2－2) ＝4，故 a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知 PF 1⊥ PF 2，所以 2c＝ |F1F2|＝|PF 1|2＋ |PF 2|2＝＋ 22＋－ 22＝ 2 3，即 c＝ 3.从而 b＝a2－c2＝ 1.故所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝ 1. 4(2)如图，由PF 1⊥ PQ， |PQ|＝λ|PF 1|得，|QF1 |＝222|PF 1|＋|PQ| ＝1＋λ|PF 1|，由椭圆的定义， |PF 1|＋ |PF2|＝ 2a，|QF 1|＋ |QF2|＝ 2a，从而 |PF 1|＋|PQ|＋ |QF 1|＝ 4a.2于是 (1＋λ＋1＋λ)|PF 1|＝ 4a.4a2a2解得 |PF 1|＝λ＋ 1＋ λ－.2，故 |PF 2|＝ 2a － |PF 1|＝21＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ由勾股定理得 |PF 1|2＋ |PF 2|2＝ |F 1F 2|2＝ (2c)2＝ 4c 2， 从而4a2＋2aλ＋2－2＝ 4c 2，21＋λ 2 1＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ两边除以 4a 2，得4＋λ＋2－ 2 ＝ e 2，21＋ λ 2＋ λ＋2＋ λ＋21＋ λ1＋λ若记 t ＝ 1＋λ＋21＋ λ，则上式变为2 4＋ t －211 2 1＝ 8 －e ＝2t 4 ＋ .t23 4，并注意到 1＋λ＋2由 ≤λ<3 1＋ λ对于 λ的单一性，4得 3≤t<4，即1 1 1 12 5 2<e<54 < ≤ ，从而 <e ≤ ，即23 .t32922． (此题满分 14 分)(2015 洛·阳市期末 )已知函数 f(x)＝ ln x － ax 2－ (1－ 2a)x(a>0) ．(1)若 ? x>0，使得不等式 f(x)>6 a 2－ 4a 成立，务实数 a 的取值范围； (2)设函数 y ＝ f(x)图象上随意不一样的两点为 A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2 )，线段 AB 的中点为 C(x 0，y 0)，记直线 AB 的斜率为 k ，证明： k>f ′(x 0)．[分析 ](1)∵ f(x)＝ ln x － ax 2－(1 － 2a)x ，其定义域为 (0，＋ ∞)，1x －ax ＋∴ f ′(x)＝ x － 2ax － (1－ 2a)＝－x，∵ a>0 ，x>0，∴ 2ax ＋ 1>0，所以当 0< x<1 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 (0,1)上单一递加；当 x>1 时， f ′(x)<0， f(x)在(1，＋ ∞)上单一递减；从而当 x ＝ 1 时， f(x)获得最大值 f(1) ＝ ln 1－ a － (1－ 2a)＝ a － 1，2 11a 的取值范围1 1.由题意得 a － 1>6a － 4a ，解得<a< ，即实数，2323(2)∵ f ′(x)＝ 1－ 2ax － (1－2a)，x∴ f ′(x1－ 2ax － (1－ 2a)＝ 2 － a(x ＋ x2)－ (1－ 2a)，0)＝x 0x 1＋ x 21f x 2 － f x 1＝ 又 k ＝x 2－x 1[ln x 2－ ax 22 －－ 2a x 2 ]－ [ln x 1－ ax 12－ － 2ax 1]x 2－ x 1[ln x 2－ln x 1] － a x 22 － x 12－－ 2ax 2－ x 1＝x 2－ x 1ln x 2＝ x － a(x 2＋ x 1)－(1－ 2a)．x 2－ x 1 不如设 x 2>x 1>0，要证明 k>f ′(x 0)，x 2lnx 12即证明 x 2－x 1－ a(x 2＋ x 1)－ (1－ 2a)>x 1 ＋x 2－ a( x 1＋ x 2)－ (1－ 2a)，x 2 只要证明 lnx 1 > 2，－ x x 1 ＋ x x 2 1 2x 2即证明 lnx 2>x 2－ x 1 ＝ 2 x 1－ 1 ， x 2＋ x 1x 2x 1＋ 1x 1结构函数 g(x)＝ ln x －x －，x ＋ 1则 g ′(x)＝1－ 4x － 2＝ 2≥0，x x ＋ 2x x ＋所以 g(x)在 [1，＋ ∞)上是增函数，当x>1 时， g(x)> g(1) ＝0，x 2又 x 2x 2 2 x 1－ 1 ，从而 k>f ′(x >1，所以 ln>x 2 0)成立．x 1x 1 ＋ 1x 1 1一、选择题1． (2015 锦·州一中高二期中 )曲线 y ＝ x 3－ 3x 2＋ 1 在点 (1 ，－ 1)处的切线方程为 ()A ． y ＝ 3x － 4B ． y ＝－ 3x ＋ 2C ．y ＝－ 4x ＋ 3D ． y ＝ 4x － 5[答案 ]B[分析 ]2∵点 (1，－ 1)在曲线上， y ′＝ 3x － 6x ， ∴ y ′|＝＝－ 3，即切线斜率为－ 3.x 1∴利用点斜式得，切线方程为y ＋ 1＝－ 3(x － 1)，即 y ＝－ 3x ＋ 2.应选 B.2． (2014 ·江杜桥中学期中浙)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋3x － 9 在 x ＝－ 3 时获得极值，则a ＝ ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 5[答案 ] D[分析 ]2＋ 2ax ＋3，由条件知， x ＝－ 3 是方程 f ′(x)＝ 0 的实数根，∴ a ＝ 5.f ′(x)＝ 3x3．函数 y＝2x3－ 3x2－ 12x＋ 5 在 [0,3] 上的最大值，最小值分别是 ()A．5，－ 15B． 5，－ 4C．－ 4，－15D． 5，－ 16[答案 ]A[分析 ]∵ y′＝ 6x2－ 6x－12＝ 0，得 x＝－ 1(舍去 )或 x＝ 2，故函数 y＝ f(x) ＝2x3－ 3x2－ 12x ＋5 在 [0,3] 上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值，而f(0) ＝ 5， f(2)＝－ 15，f(3)＝－ 4，故最大值为5，最小值为－ 15，应选 A.4.41) dx 等于 (2xA ．－ 2ln2B． 2ln2 C．－ ln2D． ln2 [答案 ]D[分析 ]1，因为 (ln x) ＝′x所以14＝ ln2.4 dx＝ lnx|2＝ ln4－ ln2x25．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数 f ′(x)的大概图象以下图，则以下结论必定正确的是()A ． f(b)>f(c)> f(d) C．f(c)>f(b)>f(a)B． f( b)>f(a)>f(e) D． f(c)>f(e)>f(d)[答案 ]C[分析 ]由图可知 f ′(x)在 (－∞，c)和 (e，＋∞)上取正当，在(c，e)上取负值，故f(x)在 (－∞， c)和 (e，＋∞)上单一递加，在(c， e)上单一递减，∵a<b<c，∴ f( a)<f(b)<f(c)，应选 C.6．已知函数的取值范围为 (f(x)＝ 4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1， 1)，假如)f(1－a)＋f(1－ a2 )<0成立，则实数aA ． (0,1)B． (1，2)C．( －2，－2)D． (－∞，－ 2)∪(1，＋∞)[答案]B[分析 ]∵ f(x)＝4x＋3sinx，x∈ (－1,1)，∴f ′(x)＝ 4＋3cosx>0 在 x∈(－ 1,1)上恒成立，∴f(x)在( － 1,1)上是增函数，又 f(x) ＝4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1,1)是奇函数，∴不等式 f(1－ a)＋f(1－ a2)<0 可化为 f(1－ a)<f(a2－ 1)，－ 1<1－ a<1，从而可知， a 须知足－ 1< a2－ 1<1，解得 1<a< 2.1－ a<a2－1.7．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数，将y＝ f( x)和 y＝ f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是()[答案 ]D[分析 ] A 中，当 f( x)为二次函数时， f ′(x)为一次函数，由单一性和导数值的符号关系知 A 能够是正确的，同理 B 、C 都能够是正确的，但 D 中 f(x)的单一性为增、减、增，故 f ′(x)的值应为正负正，所以 D 必定是错误的．8．函数y＝ f(x)的图象以下图，则y＝ f′(x)的图象可能是()[答案 ]D[分析 ]由 f(x)的图象知， f(x)在 (－∞，0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，∴在(0，＋∞)上 f ′(x)≤0，在 (－∞， 0)上 f ′(x)≥0，应选 D.9．假如 1N 能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，所耗资的功为 ()A ． 0.18J B． 0.26JC．0.12J D． 0.28J[答案 ]A[分析 ]设 F(x)＝kx ，当 F(x)＝0.06 2 0.061 时， x ＝ 0.01m ，则 k ＝ 100，∴ W ＝ ∫0 100xdx ＝ 50x |0＝0.18.10．已知函数 f(x)＝ ln x ，则函数 g( x)＝ f(x)－ f ′(x)的零点所在的区间是 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(2,3)D ． (3,4)[答案 ] B[分析 ]由题可知 g(x)＝ lnx － 1，∵ g(1) ＝－ 1<0 ， g(2) ＝ln2 －1＝ ln2－ lne>0，∴选 B.x21322在 R上是增函数，则 m11．已知三次函数 f(x)＝ x － (4m －1)x ＋ (15m－ 2m － 7)x ＋ 23的取值范围是 ()A ． m<2 或 m>4B ．－ 4<m<－2C ．2< m<4D ．以上皆不正确[答案 ]D[分析 ]f ′(x)＝ x 2－ 2(4m － 1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7，由题意得 x 2－ 2(4m －1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7≥0恒成立，∴ ＝ 4(4m －1)2－4(15m 2－ 2m － 7)＝ 64m 2－ 32m ＋ 4－ 60m 2＋ 8m ＋ 28＝ 4(m 2－6m ＋ 8) ≤0，∴ 2≤m ≤4，应选 D.1 312m ＋ nx 的两个极值点分别为 x 1、12． (2014 浙·江省五校联考 )已知函数 f(x)＝x ＋ mx ＋2 32x 2，且 0<x 1<1< x 2，点 P(m ，n)表示的平面地区内存在点 (x 0，y 0)知足 y 0＝ log a (x 0＋4) ，则实数a 的取值范围是 ()1A ．(0， 2)∪ (1,3)B ． (0,1)∪ (1,3)C ．( 1， 1)∪ (1,3]D ． (0,1)∪ [3，＋ ∞)2 [答案 ] B[分析 ]f ′(x)＝ x 2＋ mx ＋m ＋ n，由条件知， 方程 f ′(x)＝ 0 的两实根为 x 1、x 2 且 0<x 1<1<x 2，2m ＋ n>0，f ， 2m ＋n>0，∴∴m ＋ n∴f，3m ＋ n<－ 2，1＋m ＋ 2 <0 ，m ＋ n ＝0， m ＝－ 1， x 0<－ 1， 由得n ＝ 1，∴3m ＋ n ＝－ 2，y 0>1.由 y 0＝ log a (x 0＋ 4)知，当 a>1 时，1<y 0<log a 3，∴1<a<3；当 0<a<1 时，y 0＝ log a (x 0＋ 4)>log a 3，因为 y 0>1， log a 3<0 ，∴对 ? a ∈ (0,1)，此式都成立，从而 0<a<1，综上知 0<a<1 或 1<a<3 ，应选 B.二、填空题13． (2014 杭·州七校联考 )若函数 f(x)＝ x 3－ 3bx ＋ b 在区间 (0,1)内有极值，则实数 b 的取值范围是 ________________ ．[答案 ](0,1)[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2－ 3b ，∵ f( x)在 (0,1)内有极值，∴ f ′(x)＝ 0 在(0,1) 内有解，∴ 0<b<1.14． (2015 陕·西文， 15)函数 y ＝ xe x 在其极值点处的切线方程为____________________ ．1[答案 ] y ＝－ e[分析 ]xxx ＝－ 1，此时 f(－ 1)＝－ 1，y ＝ f(x)＝ xe ? f ′(x)＝ (1 ＋ x)e ，令 f ′(x)＝ 0?e 函数 y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－ 1.e15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x n (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数a n列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________________ ．[答案 ]2n ＋1－2nnnn －1n[分析 ] ∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′＝＝ n ·x(1 － x)－ x .(x ) ′－(1x) ＋(1 －x) ′·xn － 1nn － 1f ′ (2)＝－ n ·2－ 2 ＝ (－ n － 2) ·2.n在点 x ＝2 处点的纵坐标为 y ＝－ 2 .∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －1(x － 2)．令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ，∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，a n 的前 n 项和为n －n ＋1－ 2.∴数列2－ 1＝ 2n ＋ 116．(2014 ·六中期中哈 )已知函数 f ( x ＋2) 是偶函数， x>2 时 f ′(x)>0 恒成立 ( 此中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数 )，且 f(4) ＝0，则不等式 (x ＋ 2)f(x ＋ 3)<0 的解集为 ________________ ．[答案 ](－ ∞，－ 3)∪ (－ 2,1)[分析 ]∵函数 y ＝ f( x ＋ 2)是偶函数，∴其图象对于 y 轴对称，∵ y ＝ f(x ＋ 2)的图象向右平移两个单位获得 y ＝f(x)的图象，∴函数y ＝ f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，∵ x>2时， f ′(x)>0，∴ f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，在(－ ∞， 2)上单一递减，又f(4) ＝0，x ＋ 2<0， ∴f(0)＝ 0，∴ 0<x<4 时，f( x)<0，x<0 或x>4 时，f(x)>0 ，由 ( x ＋2)f(x ＋ 3)<0得fx ＋，(1)x＋2>0 ，或(2)f x＋x<－2，由 (1)得∴ x<－3；x＋3<0 或 x＋ 3>4，x>－2，由 (2)得∴－2<x<1，0<x＋ 3<4.综上知，不等式的解集为(－∞，－ 3)∪ (－ 2,1)三、解答题17．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2－ 3bx＋ c(b>0) ，且 g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数．(1)求 a、 c 的值；(2)若函数 f(x)有三个零点，求 b 的取值范围．[分析 ](1)∵ g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数，∴g(－ x)＝－ g(x)对 x∈R成立，∴f(－ x)－ 2＝－ f(x)＋2 对 x∈R成立，∴ax2＋ c－ 2＝ 0 对 x∈R成立，∴a＝0 且 c＝ 2.(2)由 (1) 知 f(x)＝ x3－ 3bx＋2(b>0) ，∴f ′(x)＝ 3x2－ 3b＝3(x－ b)( x＋ b)，令 f ′(x)＝ 0 得 x＝± b，x(－∞，－ b)－ b( － b， b)b(b，＋∞) f ′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增依题意有f－ b，∴ b>1，f b，故正数 b 的取值范围是 (1，＋∞)．18． (2015 ·原市三模太)已知函数 f(x)＝ (x2－ax＋ a)e x－ x2， a∈R .(1)若函数 f(x)在 (0，＋∞)内单一递加，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 x＝ 0处获得最小值，求 a 的取值范围．[分析 ]x x 2(1)由题意得 f′(x)＝ x[( x＋ 2－ a)e－ 2]＝ xe x＋ 2－ x－a，x∈R，e∵ f(x)在(0 ，＋∞)内单一递加，∴f′(x)≥0在(0 ，＋∞)内恒成立．2∴x＋2－e x≥a在(0，＋∞)内恒成立，2又函数 g(x)＝ x＋ 2－e x在 (0，＋∞)上单一递加，∴ a ≤g(0) ＝0，∴ a 的取值范围是 ( －∞，0]；x2(2)由 (1) 得 f ′(x)＝ xex ＋ 2－e x － a ， x ∈ R ，2令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝ 0 或 x ＋ 2－ e x － a ＝ 0，即 x ＝ 0 或 g(x)＝ a ，2∵ g(x)＝ x ＋ 2－e x ，在 (－ ∞，＋ ∞)上单一递加，其值域为 R .∴存在独一 x 0∈ R ，使得 g(x 0)＝ a ，①若 x 0>0，当 x ∈( －∞，0)时， g(x)<a ，f ′(x)>0 ；当 x ∈(0 ，x 0)时， g( x)<a ，f ′(x)<0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极大值，这与题设矛盾；②若 x 0＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0) 时， g(x)<a ， f ′(x)>0 ；当 x ∈(0，＋ ∞)时， g(x)>a ， f(x)>0 ；∴f(x)在 x ＝ 0 处不取极值，这与题设矛盾；③若 x 0<0，当 x ∈ (x 0,0)时， g(x)>a ， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g(x)>a ，f ′(x)>0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极小值；综上所述， x 0<0，∴ a ＝ g(x 0)< g(0) ＝ 0.∴ a 的取值范围是 ( －∞，0)．19． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋5，若曲线 f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为 3，且 x ＝2时， y ＝ f(x)有极值．3(1) 求函数 f(x)的分析式；(2) 求函数 f(x)在 [ －4,1] 上的最大值和最小值． [分析 ] f ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋b ，f2 ＝2 2 233＋ 2a × ＋ b ＝ 0，(1) 由题意得，3＝ 3×12＋ 2a ×1＋ b ＝ 3.fa ＝ 2， 解得b ＝－ 4.2经查验得 x ＝ 时， y ＝ f(x)有极小值，所以 f(x)＝ x 3＋ 2x 2－ 4x ＋ 5.(2)由 (1) 知， f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x － 4＝ (x ＋ 2)(3x － 2)．令 f ′(x)＝ 0，得 x 1＝－ 2， x 2＝2， 3f ′(x)， f(x)的值随 x 的变化状况以下表：x－ 4(－4，－ 2)－2( －2， 2 )2 ( 2，1)13 33f ′(x)＋0－0＋f(x)单一递加极大值单一递减极小值单一递加函数值－1113954 27∵f(23)＝9527， f( －2)＝ 13， f(－ 4)＝－ 11， f(1)＝ 4，∴ f(x)在[ － 4,1]上的最大值为13，最小值为－ 11.2a3220．已知函数f(x)＝x － 2ax ＋ bx，此中 a、 b∈R，且曲线y＝f(x)在点 (0， f(0))处的切线斜率为 3.(1)求 b 的值；(2)若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，求 a 的值．[分析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－4ax＋ b，由题意 f ′(0)＝ b＝ 3.(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，∴f ′(1)＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝1 或 a＝ 3.2①当 a＝ 1 时， f ′(x)＝x － 4x＋ 3＝ (x－ 1)(x－ 3)，x(－∞， 1)1(1,3)3(3，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，切合题意．②当 a＝ 3 时， f ′(x)＝9x2－12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－1) ，x、 f ′(x)、 f(x)的变化状况以下表：x(－∞，1)1(1， 1)1(1，＋∞)333f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x＝ 1 处获得极小值，不切合题意．综上所述，若函数 f(x)在 x＝1 处获得极大值， a 的值为 1.21．设 f(x)＝ lnx， g(x)＝ f(x)＋ f ′(x)．(1)求 g(x)的单一区间和最小值；1(2)议论 g(x)与 g(x)的大小关系；1(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)<a对随意x>0成立．[分析 ](1)由 知1，g(x) ＝lnx ＋ x ∴ g ′(x)＝ x － 12 ，令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1.x当 x ∈ (0,1) ， g ′(x)<0 ，故 (0,1) 是 g(x)的 减区 ．当 x ∈ (1，＋ ∞) ， g ′(x)>0 ，故 (1，＋ ∞)是 g(x)的 增区 ，所以， x ＝ 1 是 g(x)的独一极 点，且 极小 点，从而是最小 点，所以最小g(1)＝ 1.1(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，h(x)＝ g(x)－ g(1)＝ 2ln x － x ＋ 1，xxx －2h ′(x)＝－x 2.当 x ＝ 1 ， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1x )．当 x ∈ (0,1)∪ (1，＋ ∞) ， h ′(x)<0 ，h ′(1)＝ 0，所以， h(x)在 (0，＋ ∞)内 减．1当 0<x<1 ， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x )，当 x>1 ， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1x )．(3)由 (1) 知 g( x)的最小1，所以 g(a)－g(x)<1随意 x>0 成立 ? g(a)－ 1<1，aa即 lna<1 ，从而得 0<a<e ，即 a 的取 范 (0， e)．x － 222． (2015 江·西教课 量)已知函数 f(x)＝ ln(ax ＋ 1)(x ≥0，a>0) ， g(x)＝ x ＋ 2.(1) 函数 y ＝ f(x)－ g(x)的 性；(2)若不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈[0，＋ ∞) 恒成立，求 数a 的取 范 ；1 1 111*(3)当 a ＝ 1 ， 明： 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2f(n)(n ∈ N ) ．x － 2，[分析 ](1)∵ y ＝ f(x) －g(x)＝ ln(ax ＋ 1)－x ＋ 2y ′＝ a －4 2＝ax 2＋ 4a － 42，x ＋ax ＋x ＋ax ＋ 1当 a ≥1 ， y ′≥0，所以函数 y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数；当 0<a<1 ，由 y ′>0得 x>21－ 1，所以函数 y ＝ f(x) －g( x)在 21－ 1，＋ ∞ 上是aa增函数，函数y ＝f(x)－ g(x)在 0， 21－ 1 上是 减函数；a(2)当 a ≥1 ，函数y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数．所以 f(x)－ g(x) ≥f(0)－ g(0)＝ 1，即不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈ [0，＋ ∞) 恒成立，当0<a<1，函数y ＝ f(x)－ g(x)是0， 21－ 1 a上的减函数， 存在x 0∈0， 21－ 1 a，使得 f( x 0)－ g(x 0)<f(0) － g(0) ＝ 1，即不等式 f(x 0) ≥g(x 0 )＋ 1 不行立，上， 数a 的取 范 是 [1，＋ ∞)．(3)当 a ＝ 1 ，由 (2) 得不等式 f(x)>g(x)＋ 1 在 x ∈(0，＋ ∞) 恒成立，即 ln(x ＋ 1)>2x，所以 ln1＋1 >2*) ，x ＋ 2 k1＋ 2k(k ∈ N即 112k ＋ < [ln( k ＋ 1)－ lnk]．1 21 1 (ln2 －ln1) ，所以 <23 1 15<2(ln3 － ln2) ，1 17<2(ln4 － ln3) ， ⋯ ，112n ＋ 1<2[ln( n ＋ 1)－ lnn]．1 1 111将上边各式相加获得， 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2[(ln2 － ln1) ＋ (ln3 － ln2) ＋ (ln4 － ln3)＋ ⋯＋ (ln( n ＋ 1)－ lnn)] ＝ 1ln(n ＋ 1)＝ 1f(n)．22∴原不等式成立．。

2021年高中数学第一章导数及其应用章末检测新人教版选修2-2一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则f1－x－f1＋x3x的值为( )A．3 B．－3 2C.13D．－232．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为( ) A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x43．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )A．4 B．－1 4C．2 D．－1 24．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为( )A.13B.12C.23D．15．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝1x－2D．y＝si n x6．如图，抛物线的方程是y＝x2－1，则阴影部分的面积是( )A.⎠⎛2(x2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( )A ．极大值427，极小值0B ．极大值0，极小值427C ．极大值0，极小值－427D ．极大值－427，极小值08．已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－19．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)10. 函数f (x )＝ax m (1－x )n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是( )A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34上单调递增，不符合题意． 二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．12.⎠⎛121x x ＋1d x ＝________. 13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意实数x都有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________．14. 如图所示，A 1，A 2，…，A m －1(m ≥2)将区间[0,1]m 等分，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝e x所围成的区域为Ω1，图中m 个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．15．若以曲线y ＝f (x )任意一点M (x ，y )为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点N (x 1，y 1)，以点N 为切点作切线l 1，且l ∥l 1，则称曲线y ＝f (x )具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y ＝x 3－x ②y ＝x ＋1x③y ＝si n x ④y ＝(x －2)2＋ln x三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．17．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．18．设曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ，求c os θ.19．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．20．设函数f (x )＝a e x＋1a ex ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案 1、解析：选D.由题意知f ′(1)＝ f 1＋x －f 1x＝1，∴f 1－x －f 1＋x3x＝13 f 1－x －f 1－[f 1＋x －f 1]x＝13[－f ′(1)－f ′(1)]＝－23. 2、解析：选C.由f ′(x )＝4x 3，可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)，由f (1)＝－1得－1＝1＋c ，∴c ＝－2.3、解析：选A .由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4，故选A .4、解析：选A.y ′＝－2e －2x，y ′|x ＝0＝－2， 点(0,2)处的切线方程为y －2＝－2x . 令y ＝0得x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－2x y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23，∴S＝12×23×1＝13.5、解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －22＜0， 且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．6、解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .而⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .故选C.7、解析：选 A.f ′(x )＝3x 2－2px －q .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f ′1＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.通过分析得，当x ＝13时，y 取极大值427；当x ＝1时，y 取极小值0.8、解析：选B.若存在实数m ，使直线l 是曲线y ＝f (x )的切线，∵f ′(x )＝2sin xc os x ＋2a ＝sin 2x ＋2a ，∴方程sin 2x ＋2a ＝－1有解，∴－1≤a ≤0，故所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.9、解析：选D.令F (x )＝f xg x，则F (x )为奇函数，F ′(x )＝f ′x g x －f x g ′xg 2x.∵当x ＜0时，F ′(x )＞0.∴F (x )在区间(－∞，0)上为增函数．又F (3)＝f 3g 3＝0，∴F (－3)＝0.∴当x ＜－3时，F (x )＜0； 当－3＜x ＜0时，F (x )＞0. 又F (x )为奇函数，∴当0＜x ＜3时，F (x )＜0； 当x ＞3时，F (x )＞0.而不等式f (x )g (x )＜0和f xg x＜0为同解不等式(g (x )恒不为0)，∴不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．10、解析：选 B.观察图象易知，a >0，f (x )在[0,1]上先增后减，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上有增有减且不对称．对于选项A ，m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )是二次函数，图象应关于直线x ＝12对称，不符合题意．对于选项B ，m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (x －1)(3x －1)，令f ′(x )≥0，得x ≥1或x ≤13，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递增，符合题意，选B. 对于选项C ，m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝ax (2－3x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤23，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增，不符合题意． 对于选项D ，m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝ax 2(3－4x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤34，11、解析：f (x )＝f (－x )⇒f ′(x )＝－f ′(－x )⇒y ＝f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0.又f (x )＝f (x ＋5)⇒f ′(x )＝f ′(x ＋5)⇒y ＝f ′(x )为周期函数，周期为5.由于f ′(0)＝0，从而f ′(5)＝0. 答案：012、解析：f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x x ＋1d x＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝＝ln 43.答案：ln 4313、解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，有f ′(0)＞0⇒b ＞0.由于对于任意实数x 都有f (x )≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0，得c ＞0，从而f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋a ＋c 2ac ≥1＋2ac2ac＝2，当且仅当a ＝c 时取等号．答案：214、解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为S Ω2＝1m (1＋e 1m ＋e 2m ＋…＋e m －1m )＝1m·；区域Ω1的面积为：S Ω1＝⎠⎛01e x d x ＝e －1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案： 15、解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x 值，总存在x 1(x 1≠x )使得f ′(x 1)＝f ′(x )．对于①，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得x 21＝x 2，但当x ＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得1x 21＝1x2，此时对于定义域内的任意一个x 值，总存在x 1＝－x ，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于③，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得c os x 1＝c os x ，∃x 1＝x ＋2k π(k ∈Z )，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于④，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得2(x 1－2)＋1x 1＝2(x －2)＋1x ，整理得x 1x ＝12，但当x ＝22时不符合题意，综上，答案为②③. 答案：②③ 三、解答题：16、解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝3，故A (13，3)；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C(3,3)．17、解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； ∴f (x )在x ＝－1时取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.18、解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0，即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1，∴交点为(1,2)．又f ′(x )＝2x ， ∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在交点处的切线l 1的方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，又g ′(x )＝3x 2＋1. ∴g ′(1)＝4.∴曲线y ＝g (x )在交点处的切线l 2的方程为 y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2)，切线l 2的方向向量为b ＝(1,4)，则c os θ＝a·b |a|·|b|＝95×17＝98585.19.、解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈(1，e)恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.解：(1)f ′(x )＝a e x－1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.7 z25741 648D 撍40114 9CB2 鲲35564 8AEC 諬35118 892E 褮k33863 8447 葇36457 8E69 蹩x25379 6323 挣38158 950E 锎。

第一章本章达标测评一、单选题1．一个物体的运动方程为s(t)= 1-t+t ²，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是 ( ) A ．5米／秒 B.6米／秒 C ．7米／秒 D ．8米／秒 2．下列求导运算正确的是 ( ) A ．B ．C ．(χ²cos χ)’=-2χsin χD ．3．已知函数f(χ)=2In 3χ+8χ+1，则值为 ( )A.10 B ．-10 C.-20 D ．20 4．若，则实数a 等于 ( )A.-1B.1 C ． D ． 5．已知函数,χ∈R ，若f(χ)+9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．B ． C.D ．6．已知函数为偶函数，若曲线y=f(χ)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于 ( )χχ=)'n 11(1)'e (+=x e x x 211)'1(x x x -=+xf x f oim∆-∆-→∆)1()21(l χ⎰=+2π02)cos (sin dx x a x 3-3mx x x f 332421)(+-=23≥m 23>m 23≤m 23<m x ae x e x f -+=)(23A ．In 2B ．21n 2C ．2D ． 7．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是 ( )8．若曲线y=In （χ+a ）的一条切线为y=e χ+b ，其中a ，b 为正实数，则的取值范围是 ( )A ．B ． C. D ．[2，e)9．若函数χ在(1，+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞ ,1)D.(-∞,1] 10.若a>2，则方程在(0，2)上恰好有 ( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根2xf x x x f ',cos 241)(+=)(x f )('x f 2++b ea ),22(+∞+ee [)+∞,e [)+∞,2na x x f 1221)(-=012331=+-ax x11.若函数，且0<χ₁<χ₂<1，设，，则a,b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a 、b 的大小不能确定12．设函数f ’(χ)是函数f(χ)(χ∈ R)的导函数，若f(χ)-f( -χ)= 2χ³，且当x>0时，f ’(χ)>3χ²，则不等式f(χ)-f(χ-1)>3χ²-3χ+1的解集为 ( )A ．(-∞,2)B ．C ．D ．（2，+∞）二．填空题13．若曲线y=a χ²-1n(x+1)在点(1，b)处的切线平行于x 轴，则a=____． 14.定义1：若函数f(χ)在区间D 上可导，即f ’(χ)存在，且导函数f ’(χ)在区间D 上也可导，则称函数f(χ)在区间D 上存在二阶导数，记作f ’(χ)，即f ’(χ)=[f ’(χ)]’．定义2：若函数f(χ)在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ’(χ)>0恒成立，则称函数f(χ)在区间D 上为凹函数． 已知函数f(χ)=χ³-+1在区间D 上为凹函数，则χ的取值范围是_________ ．15.要数一个圆锥形漏斗，其母线的长为20 cm ，要使体积最大，则高为____． 16.函数y=χ²(χ>0)的图象在点（，a ）处的切线与χ轴的交点的横坐标为，其中k ∈N*，若a ₁=16，则a ₁+a ₃+a ₅，的值是_______三．解答题x x x f sin )(=11sin xx a =22sin x x b =),21(+∞)21,(-∞223x k a2k1+k a17．已知函数．(1)求函数在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，+∞）上，函数的图象在函数的图象的下方.18.设函数=(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间（-1，1）内单调递增，求k 的取值范围．19.已知函数=χIn χ，g （χ）=（-χ²+a χ-3）(a 为实数)． (1)当a=5时，求函数y=g （χ）的图象在χ=1处的切线方程；(2)若关于x 的方程g(χ)=在上有两个不相等的实数根，求实数anxx x f 1221)(+=)(x f )(x f 332)(x x g =)(x f )0(≠k kx xe )(x f )(x f )(x f xe )(2xf x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1的取值范围．20.设=xIn χ-a χ²+（2a-1）χ，a ∈R ． (1)令g （χ）=，讨论g(χ)的单调性；(2)已知在χ=1处取得极大值，求实数a 的取值范围.21.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为庆祝“双十一”网购狂欢节，某厂商决定对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P （万件）与促销费用菇（万元）满足（其中0<χ≤a ，a 为正常数）．已知生产该批产品P 万件还需投入成本( 10+2P)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元／件，假定厂)(x f )('x f )(x f 123+-=x p )204(p+家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润，y （万元）表示为关于促销费用χ（万元）的函数; (2)促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？22.已知函数=χ³+（1-a ）χ²-a(a+2)x+b ，a ，b ∈R. (1)若函数在区间（-1，1）上不单调，求a 的取值范围； (2)令，若对任意χ₁∈[-1,1]，存在χ₂∈[0，2]，使得f ’(χ₁) +2aχ₁=g(χ₂)成立，求a 的取值范围．第一章本章达标测评 一、选择题1．C 由题知s ’(t)= - 1+2t ’s ’(4)=7，故选C ．2．DA 项，;)(x f )(x f 31619)(-=x x g 2)1(1)'11(nx x nx -=B 项，C 项，D 正确，故选D ． 3．C，,故选C ．4.B ,=0-（-1）+a=2，a=1，故选B ．5.A,f ’(χ)=2χ³-6χ²，令，f ’(χ)=0，得χ=0或χ=3． 易知χ=3是函数的最小值点，所以函数f(χ)的最小值为f( 3)= 3m-．因为不等式f(χ)+9≥0恒成立，即f(χ)≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m ≥，故选A ．6．A 因为f(χ)是偶函数，所以f(χ)=f(-x ），即 ，解得a=1．所以f(χ)=，所以f ’(χ)=，设切点的横坐标为χₒ，则.设t=，则，解得t=2，即，所以χₒ=In 2，故选A ．x xe x e x xe +=)'(x x x x x x sin 2cos 2)'cos 2(-=836)('+=x x f 20)1('22)1()21(0lim 2)1()21(0lim-=-∆--∆-→∆-=∆-∆-→∆f x f x f x x f x f x ⎰=+202)cos (sin πdx x a x 2020sin 2020)cos (cos sin ππππ⎰⎰+-=+xa x xds a xdx 22722723)(x ae x ae x e --+-+x e x e -+x e x e --230)0('0=--=x e x e x f )0(0>t x e 231==t t 20=x e7．A 由于f(χ)=，f ’(χ)= ,f ’(-χ)=-f ’(χ),故f ’(χ)为奇函数，其图象关于原点对称， 排除B 和D ，又当时，排除C ．故选A ．8.C 由题意得，设切点为（χₒ，y ₒ），则有解得b=ae-2，b>0,,，当且仅当a=1时，等号成立，故选C ．9．D 由题意知f ’(χ)=。