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近世代数课件--2.6 置换群

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2.6 置 换 群

2.6 置 换 群

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

近世代数课件--置换群

近世代数课件--置换群

3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21

2 3
32


2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
2020/3/4
数学与计算科学学院
15
l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
14
4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1

而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)

《近世代数》课件

《近世代数》课件

近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。

置换群2-6

置换群2-6
2 1 3 5 3 1 2
2 1 3 4 1 3 2
, 三次对称群为：S3 0 1 , 2 , 3 , 4 , 5
2 3 1 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 0 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.
S4 {
2013-8-14
17:21
作业：给出下列6元置换： 2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4
2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 1 4 2 3 6 5
1 2n 可表示成 : k1 k 2 k n
1 2 n 我们用 k k k 来表示 n 1 2
A 的一个置换,当然也可以用
1 n , k1 kn
17:21
1 k1
2 n 2 , k2 kn k2
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
2013-8-14 17:21
1
2
3
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1
3
2
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1
2
3
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定义4 设 i1 , i2 ,, ik 和 j1 , j2 ,, js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素， 则称 与 是不相连的.
2 4 2 4 1 3 5 1 3 5 1 3 5 (135)(24) 2 4 4 2 3 5 1

大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件

大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件

2.6 置 换 群

2.6 置 换 群

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

近世代数_置换群_讲义学习ppt

近世代数_置换群_讲义学习ppt

jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl

近世代数课件--2.6 置换群

近世代数课件--2.6 置换群

• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些

里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成

近世代数 置换群PPT

近世代数 置换群PPT
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或

近世代数课件 第6节 置换群

近世代数课件 第6节 置换群

(2 3) (1 2 3)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3)
(1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1)
(1 3 2)
(1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1)
(1 2 3)
17/20
近世 代数
Sn的子群
定理2 设An是所有的n元偶置换作成一个集合，则An 关于置换的合成作成一个群，称为n元交错群或n元
2-循环置换称为对换.
7/20
近世 代数
n元置换的循环置换表示
约定: n元恒等置换
I
11
2 2
3 3
n n
简记为(1), (2), …，(n)，并把(i)称为1-循环置换.
对k=1, 2, …, n， k-循环置换统称为循环置换.
8/20
近世 代数
n元置换的性质
性质1 (i1 i2 … ik)=(i2 i3 … ik i1)=(i3 i4 … ik i1 i2)=… = (ik i1 i2 … ik-1 )=( i1 i2) ( i1 i3)… ( i1 ik).
性质5 每个置换都能分解成若干个没有共同数字的 循环置换的乘积. 如果不计这些循环置换的顺序，这 个分解是唯一的.
11/20
近世 代数
实例
例1 设S = {1, 2, … , 8},
1 5
2 3
3 6
4 4
5 2
6 1
7 8
8 7
1 8
2 1
3 4
4 2
5 6
6 7
7 5
8 3
则 置换可分解为：
= (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7)
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一个任意的置换当然不一定是一个循环置换．
例４ S4 的 但是,
就不是一个循环置换． 2143
1234
1234 1234 12 34 2134 1243
一般来说，我们有
定理２ 每一个 n 个元的置换 都可以写成 若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置 换的乘积．
6.3 循环
为了说明置换的第二种表示方法，我们先证 明一个公式．看两个特殊的置换 1 , 2 ：
j1 jk 1 (1) (1) j j k 1 jk 1 jn jk 1 jn
,
j1 jk jk 1 jn 23 132 213 231 312 321 231 213 321 312 123 132
123 来表示这个 不过我们普通用 231
．
例２
S3有６个元．这６个元可以写成
123 123 123 123 123 123 ， ， ， ， ， 321 312 213 213 123 132
●
如何计算乘法? (注意我们规定的顺序)
那么以下公式成立：
j1 jk jk 1 jn 2 1 1 2 (1) (1) (2) (2) j j j j k k 1 n 1
●
●
先看一个例子
证明这个公式.我们只须注意，因为 1 a j2 ，…, a jn 这 n 个元的一一变换， 是 a j1 ， a jk+1，…, a j 已经各是 a j ， 而在 1 之下， n k+1 …, a jn 的象,所以它们不能再是 a j (i k )的 象,这就是说,
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 =?? 132
1
●
所以 S3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
证明 先看一个例子. 在
1 2 3 4 5 6 7 8 S8 中， 3 5 6 4 8 2 7 1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现 在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动 ai 的象 ai3 ，这样找 的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai 的象 ai ， 1 下去，直到我们第一次找到一个 aik 为止，这个 ai 的象不再 是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: ai ai , j k 因为我们一共只有 n 个元，这样的 ai 是一定存在的．我们 说 ai ai ．因为 ai (2 j k ) 已经是 ai 的象，不能再是 aik 的 象．这样，我们得到
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
6.1 置换群
定义1 一个有限集合的一个一一变 换叫做一个置换． 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群．
我们看一个有限集合 A ，A 有 n 个元 a1 , a2 ,...an ．由 Ⅱ，５， A 的全体置换作成一个群 G ．
定义2 一个包含 n 个元的集合的全体置换 作成的群叫做 n 次对称群． 这个群用 Sn 来表示． 定理１ n 次对称群 Sn 的阶是 n！．
6.2 置换的表示方法:2-行法
1 k1
2 k2

n kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用
213 n k2 k1 kn
例１ 那么
n 3 ．假如
: a1 a2 , a2 a3 , a3 a1
i
j jk
(1) 1
(1)
只能取自 j1 jk
这样， 21 将 j1 jk 变成 j1(1) jk (1) .
显然， 21将 jk 1 jn变成 jk 1(2) jn(2)
ai 变到 ai3 ，…， 定义 Sn 的一个把变成 ai1变到 ai ， aik 变到 ai1 ，而使得其余的元，假如还有的话，不变 的置换，叫做一个 k 循环置换．这样的一个置换我 们用符号 (i1i2 ik ) ， (i2i3 ik i1 ) ，…或 (ik i1 ik 1 ) 来表示．2-循环称为对换.
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai aki
i 1, 2,...n!
这样一个置换所发生的作用完全可以 (n, kn ) 这 n 对整数来决定． (2, k2 ) ， …， 由 (1, k1 ) ， 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
2
2
例３
我们看 S5 ，这里
12345 123 231 312 23145
12345 12345 23451 51234 23451
12345 1 2 3 4 5 12345