近世代数_置换群_讲义学习

3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21

2 3
32


2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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2 3
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62 1
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6 (2
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1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1

而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)

晶体学
化学分子
置换群可用于描述晶体中的对称 性，进而推测晶体的结构和性质。
变换和置换群可用于描述和分析 分子中的对称性和反应过程。
实例分析：八皇后问题
1
问题描述
在8×8的国际象棋棋盘上，摆放8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
2
解决方法
利用回溯算法，通过枚举置换的组合方式，找到符合要求的八皇后放置方法。
变换群的性质和定义
群元素
• 变换 • 恒等变换
性质
• 封闭性 • 结合律 • 单位元 • 逆元
置换群的性质和定义
对称性
置换群是对称性的代数描述。
置换的类型
置换可以分为置换对和置换 环。
性质：
满足群的四个基本要素：群
音乐理论
变换群与音乐理论有密不可分的 关系，可描述音乐创作和演奏过 程。
《变换和置换群》PPT课 件
本课件将介绍变换群和置换群的定义、性质和应用。通过实例讲解八皇后问 题，帮助大家理解群论的基本概念。
变换群和置换群是什么？
1 变换群
是一组变换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
2 置换群
是一组置换的集合，满足 封闭性、结合律、单位元 和逆元。
3 联系
置换群是变换群的一种特 殊情况。
3
应用
解决类似的组合问题，例如数独、图像识别等。
总结
群论基础
变换群和置换群是群论中最基础的概念，可应用于 各领域。
更广泛的应用
广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，展 现了其重要性和实用价值。

是由 1 个1-轮换、 2个2-轮换、…、 n 个
n-轮换组成，则称 是一个 1
1
2 n
2


n
型置换，其中1 1 2 2 n n n. 例如，在 S 6 中 (2345) 是一个 12 41 型置换，
(12)(35)(46) 是一个 2 3 型置换，(123456)
培根培根francisbacon1561francisbacon156116261626第二章一置换群第四节第四节变换群和置换群凯莱定理二凯莱cayley定理三小结与思考机动目录上页下页返回结束一一置换群置换群1置换的轮换分解1定义1设a是一个非空集合a上的所有可逆变换构成的群称为a上的对称群
《应用近世代数》
r1r2 rk .
---置换的标准轮换分解式。 若不计因子的次序，则分解式是惟一的。
此处的不相交指的是任何两个轮换中无相同元素。
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(b) o( ) [l1 , l 2 ,, l k ] ，其中 l 是 r 的长度。 i i 2、置换的对换分解 定理2 任何一个置换可分解为对换之积：
r (a1 习惯上，把长度为2的轮换称为对换（transposition）。
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1234567 ) (135)( 274). 例如， ( 3752164
3）定理1设 是任一个 n 次置换，则 (a)可分解为不相交的轮换之积：
是一个 61 型置换。
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此外，可证在 S n 中， 1

1
2 n
2


n
型置换的个数为

置换的表示
1 2 k i i i k 1 2
3、用循环置换的形式表示 4、用对换的形式表示
3/17
近世代数 1、用映射表示
置换的表示
例如: S={a1, a2, a3, a4, a5}, 下述5元置换
(a1 ) a5 , (a2 ) a3 , (a3 ) a2 , (a4 ) a1 , (a5 ) a4
9/17
近世代数
n元置换的性质
定义4 设(i1 i2 … ik)与 (j1 j2 … jr )是两个循环置换，如 果{i1,i2 ,… ,ik} ∩ (j1, j2 ,… ,jr )=Ф，则称这两个循环 置换是没有共同数字的循环置换(不相交). 置换乘法(合成)不满足交换律，但两个没有共同数字 的循环置换是可交换的. 性质4 设σ=(i1 i2 … ik)与 τ=(j1 j2 … jr )是两个没有共 同数字的循环置换，则σ与τ可交换，即στ =τσ.
15/17
近世代数
实例
例2 设 S = {1, 2, 3}， 3元对称群 S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (2 3) (2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)

jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl

近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
第 3 页共 12 页
3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。

f a • f b ＝ f ab 。
易验证，G′对“• ”形成一个群。 作 G 到 G′的映射 ϕ ，∀ a,b∈G，有 ϕ : a 6 f a ∈ G ' 。可验证 ϕ 为 故 ϕ 为单射， 1－1 映上的 （由 ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ f a = f b ⇒ ax = bx ⇒ a = b ， 而 ∀f c ∈ G ' ， 知 ϕ (c) = f c ， ϕ 为 满 射 。）。 ∀ a,b ∈ G ，
(1) G＝{e , (1,2,3), (1,3,2) }为 3 元置换群。 (2) G＝{e ,(1 3) ,(2 4), (1 2 3 4), (1 3 )(2 4), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)}. ，则 定理 1 设 σ ∈ S n （ σ 为 n 次置换，n＞1） （1） σ 可分解为两两不交的轮换之积。


1<s≤n
λ1
λ2
ห้องสมุดไป่ตู้
λs
若将其中的 n 个文字任意换位而保留分解式各轮换直接的括号 线不变，这样就得出了 n! 个 1λ 2 λ ⋅ ⋅ ⋅ n λ 型的置换，他们包含了集
1 2
n
合 S λ ,λ ,...,λ 之中的全部置换。然而，如此产生的 n! 个置换是有重复
1 2
1 1
σ ( il ) = i k
1
1 2 l1
， 1 < k < l1 ， 与 σ (ik −1 ) = ik 矛 盾 。 ）于是得到轮换
1 1
σ 1 = σ |{i ,i ,...,i } = (i1 , i2 ,…, il ) 。 然 后 取 ji ∈ Ω \ {i1 , i2 ,..., il } ，造出新的轮换

• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
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等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
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除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么‫ג‬x：

• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些

里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成

子环的充分必要条件是,S关于R的减法与乘法封闭, 即任给 , 有a.b~s,有a-b~S,ab~S
§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里，我们计算的对象是数， 计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐 进步，我们发现，可以对于若干不是数的 事物，用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多， 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数（或抽象代数）的 主要内容就是研究所谓代数系统，即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.

反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。

逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。

d ) (ik a d ) (ik a
binc b)(inc
d) d)
20
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1 2 3 4 5 6 例3 将 表为不相交轮 4 3 6 1 5 2
换的乘积.
解 容易看出,以下列的顺序作用与 X 的元素上:
1 4 1, 2 3 6 2, 5 5.
证 首先, 由于置换是一一对应, 所以
(1), (2), , (n)恰好包含了集合X 1,2,
中的 n 个数.又对任意的 (i ) X
n
( (i)) (i) (ki )
1
10
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所以 1将 (i )映到 ( ki ), i 1,2,
有 n!个 n 阶置换.
6
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
例1 写出 S 3的全部元素. 解 按（1.6.1）式, 我们只要在每个置换的第一行 按顺序写上1,2,3, 再在第二行分别写上,1,2,3的全部6 个排列即可. 据此, 我们得到 S 3 的六个元素为
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1 3 2 , 3 2 1 ,
n, 即

1
(1) (2) (k1 ) (k2 )
( n) ( kn )
11
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二、置换群的结构
定义1.6.1 设是一个n 阶置换 .如果存在1到 n 中 r 的个不同的数i1 , i2 ,
ir ,使
(i1 ) i2 , (i2 ) i3 , , (ir 1 ) ir , (ir ) i1

p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或

(1) 证明2: 设 |a| = r，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1a rb b1eb e
可知b1ab的阶为有限. 令|b1ab| = t，从而有t | r.
另一方面，由 (b1ab)t=e可知
(b1ab)t = b1atb1 = e
at = e，从而有 r | t.
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
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近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
性质7 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k . (2 )|a1| = |a|.
证明： (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶为有限. 令|a1| = t，从而有t | r. 同时，at = ((a-1)-1)t = (a-1)-t = ((a-1)t)-1 = e-1 = e ， 所以 r | t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a| .
22/30
近世 代数
例题
例5 设G是群，a, b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|

• 1－循环置换只有 1 种表示方式，即恒等置换； 2－循环置换又称为对换。
• 注意，并非每一个置换都是循环置换！
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
55
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则 (G ,∘)是一个含幺元 e的半群，其中运算 ∘ 是复合 运算，e 为S上的恒等变换。
定理7.3.6 任一个有限群都同构于一个置换群。
证. 因为有限群( G, ∗)同构于一个变换群( S,◦)，于 是G与S对等，即S是有限集，故( S,◦)为置换群。
例7.3.2 模 n的剩余类加群(Zn, +n)是一个循环群。
[p]n∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当 p与 n互素。
注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的 差异！
定理7.3.1 循环群( G,◦)的阶= G的生成元 g的阶。
证. 设群 G的阶=m, G的生成元 g的阶=n。分二种情形： ① n<∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中, gs = gt ⇔ s≡t (mod n) . ∵ 若 gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 因此 G ={ g0, g, g2,···, gn-1}，故m=n；

（减法分配律）
设 S 是任意一个集， {Ai | i I } 是 S 中的一组子集，则有 (11) (12)
S S
iI
Ai Ai
iI
( S Ai ) ( S Ai )
iI
（1.1） （1.2）
iI
iI
证明. 记 S
iI
Ai 为 P ，记 ( S Ai ) 为 Q 。我们下面证明 P Q 。
(one one corespondence)） 。 (4) 如果 A=B ，双射 f 称为是一一变换；如果 A=B 是有限集合，双射 f 称为是置换 （Permutation） 。 例如，上面的例 1 的映射 f 是一个单射，也是满射，从而使一个双射。例 3 的映射 h 是 一个满射，但不是单射。对于映射 : A B ，其中 A {1, 2, 3} ， B {1,2,3,4} ，而 。则 是单射，但不是满射。 (i ) i 1, i 1, 2, 3 设 f 是集合 A 到 B 的一个映射， S 是 A 的一个子集，记 f ( S ) { f ( x) | x S} ，它是
A 或 2 。例如，若 (A ）
A={1,2,3} ，则 ( A ） ={， {1}， {2}， {3}， {1， 2}， {1， 3} ， {2 ， 3} ，A }。当 |A|< 时， | (A)| 即
| A| k 中元素个数正好是 2 。事实上，设 |A|= n ，则 A 的含有 k 个元素的子集共有个 Cn ， (A ）
a, b, c
等表示。
对于集合 A 来说， 某一事物 x 或是集合 A 的元素， 这时我们就说 x 属于 A ， 记为 x A ； 或者 x 不是 A 的元素，即 x 不属于 A ，记为 x A ；二者必居其一。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，如 A={1,2,3} ；另一种是规 定元素所具有的性质 P 来表示。例如， A={x | x 具有性质 P} 。 一个集合 A 的元素个数用 |A| 表示。当 A 中的元素个数有限时，称 A 为有限集（Finite set） ，否则，就称 A 为无限集（Infinite set） 。用 |A|= 表示 A 为无限集，用 |A|< 表示 A 为 有限集。 如果集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素，则称 A 为 B 的子集(Subset)，记为 A B ， 读作 A 包含在 B 中，或记作 B A ，读作 B 含有 A 。显然， A A 。不含有任何元素的集 合称为空集(Empty set 或 Null set)，记为 。例如， A={x | x 为有实数， x 2 1 0} 是一个 空集。如果 A B ，且 B 中有一个元素不属于 A ，称 A 是 B 的真子集（Proper set） 。 集合 A 与集合 B 称为相等的，记为 A=B ，如果它们含有相同的元素。所以， A=B 当且 仅当 A B 且 B A 。 由集合 A 的所有子集构成的集合称为 A 的幂集(Power set)，记作