高级中学数学基本不等式知识点归纳及理解练习知识题

高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．答案 4解析 由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________.(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性． [失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)， 故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号， 即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4b a时取等号． 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8. 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________． 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3， 当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8. 11．(2015·南通二模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 答案 16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [0，4a 1] 解析 因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)， 所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4，因为a 1>a 2>0， 所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1， 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根为x2且X! x2, b2 4ac，则标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2 3 3）根据曲线显现f（x）的符号变化规律，写出不等式的解集。

女口：x 1 x 1 x 2 0 1是偶重根3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x) f(x) f(x)g(x) 0七0 f(x)g(x) 0;七0g(x) g(x) g(x) 04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f X A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X皿山A若不等式f x B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X max B二、线性规划1、用二兀一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 (X。

, y。

),从Ax^+Bw+C的正负即可判断Ax+By+C> 0表示直线哪一侧的平面区域•(特殊地，当C M 0时，常把原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1) 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3) 依据线性目标函数作参照直线a x+b y = 0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解三、基本不等式.ab —21、若a,b € R,则a 2+ b 2>2ab,当且仅当a=b 时取等号2、如果a,b 是正数，那么 乞丄 .ab （当且仅当ab 时取""号）.2a b 2变形： 有:a+b > 2.、ab ； ab< ---------- ，当且仅当a=b 时取等号.23、如果a,b € R+,a • b=P （定值）,当且仅当a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;如果a,b € R+,且a+b=S （定值）,当且仅当a=b 时,ab 有最大值注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时, 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” 求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 常用不等式 可以求它们2) 4、 有:1)a 2b 2 2ab1（根据并不等式左右的运算结构选用 b2) a 、b 、c R,b 2c 2ab bc ca （当且仅当a b c 时，取3) 0,m 0，则-am（糖水的浓度问题）。

基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。

高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用22 ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。