高中数学不等式知识点总结

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

常用的方法为：拆、凑、平方。

如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修一2.1等式与不等式-知识点1、等式的性质：①传递性，如果a=b ，b=c ，那么a=c ；②加法性质，如果a=b ，那么a+c=b+c ；③乘法性质，如果a=b ，那么a c=b c ；④幂的性质，如果a=b ，那么a n =b n ，其中n 是正整数；⑤开方性质，如果a=b ＞0n 是正整数；⑥倒数性质，如果a=b ≠0，那么b a 11=；⑦比例合比性质，如果d c b a =，那么 d d c b b a ±=± ；⑧比例等比性质，如果k d c b a ==，那么 k d b c a =++ ；⑨非负性0+0=0模型，如果（a-b ）2+（b-c ）2=0，那么a=b=c 。

2、解关于x 的方程ax=b 的解集，有三种情况。

①当a ≠0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b ，②当a=0，b=0时，解集为R ，③当a=0，b ≠0时，解集为 ∅。

3、韦达定理：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=a b -，x 1x 2=a c 。

熟记：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2 ；② 21x x -；③2111x x +=2121x x x x +；④立方和公式a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)，立方差公式a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)。

4、不等式的性质：①传递性，如果a>b ，b>c ，那么a>c ；②加法性质，如果a>b ，那么a+c>b+c ；③乘法性质，如果a>b ，且c>0，那么a c>b c ；如果a>b ，且c<0，那么a c<b c ④加合性质，如果a>b ，c>d ，那么a+c>b+d ；⑤放缩性，如果a>b，c>d ，那么a-d>b-c ；⑥幂的性质，如果a ＞b ＞0，那么a n >b n ，其中n 是正整数；⑦开方性质，如果a>b>0n 是正整数；⑧倒数性质，当ab>0（即a 、b 同号）时，如果a>b ，那么b a 11<；当ab<0（即a>0>b ）时，如果a>b ，那么b a 11>；倒数不改变一个数的正负；⑨同正可乘性，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd 。

数学高中不等式知识点总结高中不等式是数学中的重要内容，在数学学习中有着重要的地位。

不等式作为数学中的一个概念，与等式类似，是数学中一种重要的推理等式。

不等式能够用来描述数的大小关系，包含等于、大于、小于、不等于等关系。

高中不等式的知识点主要包括：不等式的定义、解不等式的方法、不等式的性质、不等式方程的解法以及不等式的应用等。

1.不等式的定义：不等式是数学中用不等号表示的一种数的大于或小于关系。

不等式中的”不等号“主要包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）、不等于号（≠）等。

2.不等式的解法：解不等式的方法主要有图形法和代数法两种。

（1）图形法：可以借助图形来得到不等式的解集。

如在数轴上标明不等式的解集。

（2）代数法：借助数学运算的性质，对不等式进行等价变形，得出不等式的解集。

解不等式时常用的运算性质有：加减、乘除等。

- 加减性：如果将一个不等式的两边都加上或减去一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。

即如果a > b，则有a + c > b + c（其中c为常数），同样，如果a < b，则有a + c < b+ c。

- 乘除性：如果将一个不等式的两边都乘以或除以一个正数，不等式的大小关系保持不变。

即如果a > b 且c > 0，则有ac > bc，同样，如果a > b 且c < 0，则有ac < bc。

3.不等式的性质：不等式在数学中有一些特殊的性质。

（1）加法性：如果一个不等式两边都加上相同的正数，不等式的大小关系不变。

（2）乘法性：如果一个不等式两边都乘以相同的正数，不等式的大小关系不变。

但若两边都乘以或除以一个负数，则不等号方向会发生改变。

（3）传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c。

同样，如果a < b 且 b < c，则有a < c。

4.不等式方程的解法：不等式方程是不等式和等式相结合的方程，解不等式方程时可以先将不等式方程转化为等式方程，再根据等式方程的解法求解。

高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。

不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。

例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。

二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。

1.对称性：如果x > y，则y < x。

这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。

2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。

3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。

1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。

我们可以通过作差来比较两个数的大小。

2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。

我们可以通过作商来比较两个数的大小。

3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。

我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。

高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。

二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。

常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。

三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。

解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。

常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。

四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。

2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。

3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。

五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。

六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。

2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。

七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。

2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。

高中数学必修一等式与不等式知识点总结一、基本概念1. 等式：左右两边相等的代数式2. 不等式：左右两边不相等的代数式3. 方程：带有未知数的等式4. 不等式组：包含两个或更多个不等式的集合5. 绝对值：一个数与0的距离，表示为|a|二、等式的性质1. 可以对等式两边同时加或减相同的量2. 可以对等式两边同时乘或除相同的非零量3. 可以交换等式两边的位置4. 可以用等式左边的代数式替换等式右边的代数式，反之亦然三、不等式的性质1. 可以对不等式两边同时加或减相同的量2. 可以对不等式两边同时乘或除相同的正数3. 可以交换不等式两边的位置，但是要改变不等式符号的方向4. 可以用不等式左边的代数式替换不等式右边的代数式，反之亦然，但是需要保证代数式符号的一致性四、一元一次方程1. 基本形式为ax+b=02. 解一元一次方程的步骤：1. 移项，将常数项移到一边2. 约项，将同类项合并3. 系数化为1，将未知数系数变为14. 检验解五、一元二次方程1. 基本形式为ax²+bx+c=02. 解一元二次方程的步骤：1. 求出判别式△=b²-4ac的值2. 当△>0时，方程有两个不相等的实根；当△=0时，方程有一个二重根；当△<0时，方程无实根，有两个共轭复数根3. 代入求解，根据公式x1,2=(-b±√△)/2a求出根4. 检验解六、一元一次不等式1. 基本形式为ax+b>0或ax+b<02. 解一元一次不等式的步骤：1. 移项，将常数项移到一边2. 约项，将同类项合并3. 乘以一个正数或负数，使得未知数系数的符号与不等式的符号一致4. 检验解七、一元二次不等式1. 基本形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<02. 解一元二次不等式的步骤：1. 求出解集，将不等式化为(ax-d)·(ax-e)>0或(ax-d)·(ax-e)<0的形式，再根据函数图像、零点、辅助函数等方法求解2. 将求出的解集与区间合并，得到不等式的解集以上是高中数学必修一等式与不等式知识点的总结，通过掌握这些知识点，可以有效地解决数学中的方程与不等式问题。

高中数学不等式知识点总结
一、不等式的性质
1、非负性：对任意实数$a$，有 $a\geq0$；
2、对称性：对任意实数$a, b$，有 $a \gt b$ 等价于 $-a\lt -b$；
4、抽象性：不等式也是数的一种，即式子的值既可以是数，也可以是不等式；
1、绝对值不等式：$|x|\gt a$；
2、分组不等式：$\frac{x-a}{b} \gt c$；
1、速算不等式：
(3) $x-ay+by^2 \gt c$；
(1) 无穷不等式：$x \lt +\infty$；
(3) 大于等于零的不等式：$x \ge 0$；
(1) 确定不等式的种类；
(2) 求解出不等式的解集；
(3) 对不等式的解集进行分析。

(1) 速算不等式的解法：将不等式化简，然后在图表中求解；
(2) 特殊不等式的解法：如无穷不等式的解法为将不等式化简，根据此不等式轴线上的点，选择合适的区间，在该区间上求出不等式的解。

不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：〔1〕a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< 〔反对称性〕 〔2〕c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, 〔传递性〕 〔3〕c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ 〔移项法那么〕 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, 〔同向不等式相加〕 〔4〕bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强。

3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a 〔2〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则 〔3〕+∈R b a ,，那么ab b a 2≥+〔4〕222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由〔1〕如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=〔2〕如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：假设a>b,b>c, 那么a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否那么易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。