高一数学反函数的图象

反函数及其图象知识点的辅导：反函数也是函数，它是函数部分的重要概念之一.从映射的观点认识，反函数也是一种映射：如果函数y ＝f （x ）是定义域集合A 到值域集合C 的映射，那么它的反函数y=f －1（x ）是集合C 到集合A 的映射.但必须明确只有一一映射确定的函数才有反函数.要正确地理解反函数的概念，关键是要弄清y ＝f （x ）、x= f －1（y ）以及y ＝f －1（x ）三者之间的关系，特别是在不同的函数中x 、y 在含义、地位上的区别，以及三个函数的图象之间的关系. 一、反函数的定义函数y ＝f （x ）中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，我们根据函数y ＝f （x ）中x 、y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=φ（y ），如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=φ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么x=φ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=φ（y ）（y ∈C ）叫做函数y= f （x ）（x ∈A ）的反函数.记作x= f －1（y ）.在函数x= f －1（y ）中，y 是自变量，x 表示函数，但在习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x= f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y ＝f －1（x ）.注：1o不是任何函数都有反函数，因为函数是数集A 到数集B 的映射，它的对应法则包括一对一和多对一两种情况，根据反函数的定义，只有给出的函数y= f （x ）的对应关系是一对一的，才有反函数.例：（1）函数y=x 2（x ∈R ）有没有反函数？为什么？（2）怎样改变定义域才能使它有反函数？反函数是什么？解：（1）函数y=x 2（x ∈R ）没有反函数（2）如果把定义域分为（－∞，0]、[0，＋∞）两个区间，则y ＝x 2在（－∞，0]上存在反函数，其反函数是y ＝－)0(≥x x ，y ＝x 2在[0，＋∞）上存在反函数，其反函数是y ＝)0(≥x x .一般地，由于严格单调函数的对应关系是从“定义域到值域”的“一对一”，所以能求出它的反函数，即严格单调函数必有反函数，且严格递增函数的反函数也必严格递增，如果用某一个解析式表示的函数不是单调函数，可以将其定义域限制在一个单调区间内，也能研究它的反函数.2o 反函数的定义域与值域正好是原函数的值域与定义域，否则，即使对应法则互逆，也不能算是原函数的反函数.如：)(2)(2z x x y z y y x ∈=∈=与前者的值域不是后者的定义域，所以求原来函数的反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域.3o 函数y ＝f （x ）如果有反函数y ＝f －1（x ），那么原来函数y=f （x ）也是反函数 y ＝f －1（x ）的反函数，即它们互为反函数.因而f －1[f （x ）]=x ，f[f －1（x ）]=x.4o y ＝f （x ），x ＝f －1（y ），y ＝f －1（x ）之间的关系.a. y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ）：x ，y 所表示的量相同，但是地位不同.在y=f （x ）中，x 是自变量，y 是函数值；在x ＝f －1（y ）中，y 是自变量，x 是函数值. b. y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）：x 、y 地位相同，x 都是自变量，y 是函数值，这比较符合 习惯，并给研究函数带来某些方便，但是x 、y 所表示的量（指实际意义）在两式中被互换了，在y ＝f （x ）中的x 、y 所表示的量分别是y ＝f －1（x ）中的y 、x 所表示的量.c. x ＝f －1（y ）与y ＝f －1（x ）：都是y ＝f （x ）的反函数，它们的对应法则相同，故实质上是同一个函数.二、互为反函数的函数图象间的关系例：求函数y=3x －2（x ∈R ）的反函数，并且画出y ＝f （x ）、x ＝f －1（y ）与y ＝f －1（x ）考虑：在例中，函数y ＝3x －2的图象与其反函数32+=y x 的图象有何关系？函数y=3x －2的图象与其反函数32+=x y 的图象有何关系？为什么？分析：函数y ＝3x －2与其反函数32+=y x ，虽然形式上它们的图象是同一条直线，但它们的自变量轴与因变量轴恰恰相反.如果我们把x 轴都看作是自变量轴，y 轴看作因变量轴，那么它们的图象是关于直线y=x 对称的.为了看清这一点，我们把函数y ＝3x －2的反函数32+=y x 换写成32+=x y ，这时函数与反函数中x 都表示自变量，y 都表示因变量，从图中看到，它们的图象是关于直线y=x 对称的.结论：1o .函数y ＝f （x ）的图象和它的反函数y=f －1（x ）的图象关于直线y=x 对称； 2o .y ＝f （x ）与x ＝f －1（y ）的图象重合知识点的讲解例1：求下列函数的反函数：（1）y=)1(11≠-+x xxxxx（2）y=x 2－8x ＋13 （x ≥4） （3）y ＝x|x|＋2x （4）y ＝1－)01(12<≤-x x －（1）解：在原函数中，y=xxx xx -+-=-++--=-+12112)1(111-≠∴y 由y=xx -+11得：1＋x ＝（1－x ）y∴y －xy=1＋x∴（y ＋1）x ＝y －1 ① y ≠-1 ∴x=11+-y y ②∴原函数的反函数是y=11+-x x （x ≠-1）说明：本题在由①式得到②式时，不能想当然将等式两边同除y ＋1，应注意，这样做的前提条件是y ≠-1 ，所以本题一开始先求原函数的值域，一方面是为了得到反函数的定义域，另一方面是为了保证后面正确运算的可能性. （2）解：y ＝f （x ）＝x 2－8x ＋16=（x －4）2－3 ∴ 当x ≥4时，f （x ）单调递增 ∴它存在反函数.由y=（x －4）2－3得 （x －4）2＝y ＋3 ∴x －4＝3+±y∴x ＝43+±y 4≥x ∴ x ＝4＋3+y又)4(1382≥+-=x x x y的值域是 y ≥-3∴原函数的反函数是y ＝4＋3+x (x ≥-3)说明：通过本小题再次说明只有一一映射确定的函数才有反函数，y ＝x 2－8x+13本不存在反函数，但当把x 的取值范围限定在定义域的某个单调区间上以后，可以求出反函数，而且它的反函数也是唯一的，其表达式应由原函数中x 的范围(即x ≥4)加以确定. （3）解：y ＝x|x|＋2x ＝⎩⎨⎧<+-≥+0,20,222x x x x x x 1o .当x ≥0时，由y ＝x 2＋2x ＝（x ＋12）－1，得x ＋1＝1+±y ,11011++-=∴≥+±-=y x x y x又 y ＝x 2＋2x ，当x ≥0时，y ≥0∴y ＝x|x|＋2x 当x ≥0时的反函数是y ＝-1＋)0(1≥+x x ；2o .当x<0时，由y ＝-x 2＋2x ＝－（x －12）＋1，得（x －12）＝1－y ，即x-1＝y -±1，x ＝1y -±1 x<0 ∴x ＝1－y -1 又 y ＝x|x|＋2x 当x<0时，y<0∴y ＝x|x|＋2x （x<0）的反函数是y ＝1－)0(1<-x x∴y ＝x|x|＋2x 的反函数是 y ＝⎩⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x xx x说明：1o对于求分段函数的反函数问题，应分别求出每一段上原函数的反函数，然后再表示成分段函数的形式.2o要注意，本题反函数中的x ≥0与x<0是由原函数的值域得到的，而不是由原函数中的x ≥0，x<0直接得来的. （4）解：由y ＝1－21x －得21x －=1-y ∴1－x 2＝1－2y ＋y 2 ∴x ＝－22y y - 又 y ＝1－)01(12<≤--x x 的值域是0<y ≤1∴原函数的反函数是y ＝－)10(22≤<-x x x小结：求函数的反函数的步骤：①判断确定f(x)的映射是否为一一映射.一般情况下，所给的f(x)都是由一一映射所确定的函数，但是大家应明确不是由一 一映射确定的函数就求不出反函数；②将y=f(x)看成方程，解出x ＝f －1(y);③将x,y 互换，得到y ＝f －1(x);④写出y ＝f －1(x)的定义域.一般情况下，应通过原函数的值域确定反函数的定义域.例2：已知函数),(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=中a 、b 、c 、d 均不为0（1）试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时有反函数，并求出此反函数； （2）试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时函数与反函数的图象重合.解：（1）由dcx b ax y ++=得cyx ＋dy ＝a x ＋b ，得（cy －a ）x=b －dy ，这里必须cy －a ≠0，即 000·≠-≠+--+≠-++ad cb dcx adcax cb cax a dcx bax c 得得，在此条件下，得acy dy b x --=∴知当cb －a d ≠0时，函数)(cd x R x dcx b ax y -≠∈++=且的反函数是)(c b x R x acx b dx y ≠∈-+-=且（2）由条件，函数与反函数的图象重合即两函数是同一函数.由dcx b ax y ++=与acx b dx y -+=－比较可得a ＋d ＝0，知当cb －a d ≠0且a ＋d=0时，函数与反函数的图象重合.说明：本题中的结论可作为一个规律，加以记忆，这样对于dcx b ax y ++=型的反函数，不需进行推导，可直接写出结果. 例3：求下列函数的反函数。

1. 反函数定义：设函数f(x)是从其定义域A到值B上的一一映射f:A→B，则其逆映射f-1:B→A确定的函数叫做函数f(x)的反函数，记为y=f-1(x)，函数f(x)叫做原函数。

反函数f-1(x)的定义域和值域，分别是f(x)的值域B和定义域A。

①函数f(x)是从定义域到值域上的一一映射，是函数f(x)存在反函数的充要条件。

②定义域上的单调函数必存在反函数，存在反函数的函数不一定是定义域上的单调函数。

③求解反函数的步骤：(i)求原函数f(x)的值域；(ii)由y=f(x)反解x=f-1(y)；(iii)交换变量x、y，写出y=f-1(x)解析式；(iv)以f(x)的值域作为y=f-1(x)的定义域。

2.反函数定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。

①函数f(x)与f-1(x)图象关于y=x对称是f(x)与f-1(x)互为反函数的充要条件。

②函数f(x)是定义域上单调函数，则f-1(x)与f(x)具有相同的单调性。

③函数f(x)的图象关于直线y=x对称的充要条件是f(x)的反函数是其自身。

3. 正确、灵活的应用函数的单调性、奇偶性，求解函数的值域，确定函数解析式，求解函数不等式等应用。

[教学难点]1. 在求解反函数的过程中，先确定原函数f(x)的值域，以确保反解y=f(x)的运算有意义。

2. 若y=f(x)的反解结果不唯一时，由f(x)的定义域确定其唯一性。

3. 反函数y=f-1(x)的定义域不一定是各运算同时有意义的自变量取值集合，它必须由f(x)的值域确定。

4. 复合函数单调性的性质：设f(x)、g(x)是两个单调函数(1)若f(x)、g(x)是两个单调性相同(同为增函数或同为减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的增函数。

(2)若F(x)、g(x)单调性相反，(一个是增函数，一个是减函数)则复合函数f[g(x)]是其定义域上的减函数。

[教学例题]例1. 设函数f(x)=x2-4x-1，当，求f(x)的反函数。

第七讲反函数及函数图象一．知识归纳：1.反函数的概念：一般地，函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，我们根据这个函数中x, y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。

这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。

习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调函数x=f-1(y)中的字母x, y,把它改写成y=f-1(x)。

注意：只有单调函数（一一对应的函数）才具有反函数。

2.求反函数的步骤：（1）确定原来函数的值域，也就是反函数的定义域（2）将函数y=f(x)看作方程，解出x=f-1(y)（3）将x=f-1(y)中的字母对调得y=f-1(x)3.反函数的图象：(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)和函数x=f-1(y)的图象是同一个图象。

(2)如果两个函数的图象关于直线y=x对称，那么这两个函数互为反函数。

(3)点（a, b）在y=f(x)的图象上 点（b, a）在y=f-1(x)的图象上。

(4)如果一个函数的图象关于直线y=x对称，那么这个函数的反函数就是它本身。

4 . 函数图象不同函数的函数图象是不同的。

同一函数由于函数定义域的不同，函数图象也不同。

对于分段函数，因根据不同的定义域范围，画出各段函数。

5. 函数图象的变换（1）平移变换①将函数y=f(x)的图象向左（向右）平移|k|个单位（k>0 向左，k<0 向右）得y=f(x+k)的图象。

②将函数y=f(x)的图象向上（向下）平移|k|个单位（k>0 向上,k<0 向下）得y=f(x) +k的图象。

（2）对称变换函数y=f(x)的图象与y=-f(x)，y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴，y轴，原点对称。