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Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆的定义及几何性质椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。
知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐1椭圆的定义及几何性质标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴xx.当焦点在轴xx时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴xx时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b和a。
|B1B2|=2b椭圆的定义及几何性质（4）离心率表示，记exx的比叫做椭圆的离心率，用①椭圆的焦距与长轴作。
，则1。
e越接近10 ②因为a＞c＞，所以e的取值范围是0＜e＜就0，cac就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于a=b当且仅当这时椭圆就越接近于圆。
椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。
知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。
知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质（1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
讲练结合：（2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，；知识点四：椭圆与（a ＞b ＞0）的区别和联系标准方程图形焦点，，焦距范围，，性质对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b ＞0和，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程化简的结果是。
()()10222222=++++-y x y x 【例2】已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为（）A 圆B 椭圆C 线段D 直线【变式训练】已知椭圆22169x y =1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为。
考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。
【例4】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心ABC ∆16=BC AC AB G 的轨迹和顶点的轨迹．A【例5】求以椭圆的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程．229545x y +=M 【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程213a =212c =为。
2、焦点在轴上，，椭圆的标准方程为。
x 1:2:=b a 6=c 3、已知三点P （5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P 的椭圆的1F 2F 1F 2F 标准方程；4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过P P 354352点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．P 考点三：利用标准方程确定参数【例6】若方程+=125x k -23y k -（1）表示圆，则实数k 的取值是.（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .【例7】椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标22425100xy +=是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于。
【变式训练】1、椭圆的焦距为，则=。
2214x y m+=2m 2、椭圆的一个焦点是，那么。
5522=+ky x)2,0(=k 考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率（1）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆C 22221,(0)x y a b a b+=>>12(1,0),(1,0)F F -C经过点.则椭圆的离心率 。
41(,)33P C （2）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12()B23()C 34()D 45（3）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.（4，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为。
2、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。
2220()0n c cma nac pc m p m a a++==>+⋅+=（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A.54B.53C. 52D. 51（2）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为xOy C )0,0(12222>>=+b a by a x ,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,F l B BF 1d F l 2d 若,则椭圆的离心率为_______.126d d =C （3）设椭圆的两个焦点分别为F 1.F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。
二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立不等关系求解.,a c （1）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F x ，若，则该椭圆离心率的取值范围是。
M N ，12MN F F ≤2（2）已知为椭圆的焦点，为椭圆短轴上的端点，21,F F ()012222>>=+b a by a x B ，求椭圆离心率的取值范围。
2121212BF BF F F ⋅≥ 2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立不等关系求解,a c 设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使12F F ，22221x y a b+=0a b >>,P 线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是。
1PF 2F 3、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）,a c （1）椭圆（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,22221x y a b+=则椭圆离心率的取值范围为。
（2）已知椭圆右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直22221(0)x y a b a b+=>>于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围。
（3）椭圆和圆（其中为椭圆半焦距）有四个）（012222>>=+b a b y a x 2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c b y x c 不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。
考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，()012222>>=+b a by a x 1A 2A 1F 2F P是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．θ=∠21PA A α=∠21PF F 21PF F ∆a b α分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面αC ab S sin 21=∆积．【变式训练】1、若P 是椭圆上的一点，、是其焦点，且16410022=+y x 1F 2F ，求△的面积.︒=∠6021PF F 21PF F 2、已知P 是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若192522=+y x 1F 2F，则△的面积为（ ）2121=PF PF 21PF F A.B. C. D.3332333课后作业：一、选择题1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=25，则点P 的轨迹为()A 圆B 椭圆C 线段D 直线3已知方程表示椭圆，则k 的取值范围是()22111x y k k+=+-A -1<k<1B k>0C k≥0D k>1或k<-117、椭圆＋=1与椭圆＋=λ(λ>0)有（）32x 22y 22x 32y (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线(D)以上都不对18、椭圆与（0<k<9）的关系为（）192522=+y x 125922=-+-λλy x (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则CDF 1的周长为______221169x y -=∆4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3) 经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________6.椭圆的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P22221(0)x y a b a b-=>>点。
若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________7、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为____ ___椭圆方程为 ___________________.8已知椭圆的方程为，P 点是椭圆上的点且,求的面积22143x y +=1260F PF ∠=︒12PF F ∆9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是13610022=+y x 11．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB 过点，)5(125222>=+a y ax 1F 2F 821=F F 1F 则△的周长2ABF。
