2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第九章第四节 概率与统计的综合问题

用样本估计总体[考试要求]1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．常用统计图表(1)频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图． 横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． (3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(4)茎叶图的画法第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n称为x 1，x 2，…，x n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]； s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． [常用结论]1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2.①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2；②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )[答案](1)√ (2)× (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )A ．4B ．8C ．12D ．16B [设频数为n ，则n 32＝0.25， ∴n ＝32×0.25＝8.] 2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,91,92,93,94,96，则这组数据的中位数和平均数分别是( )C ．91和91.5D ．92和92A [∵这组数据为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋922＝91.5， 平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.] 3．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x －甲，x －乙，则下列判断正确的是( )A.x －甲>x －乙；甲比乙成绩稳定B.x －甲>x －乙；乙比甲成绩稳定C.x －甲<x －乙；甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙；乙比甲成绩稳定D [∵x －甲＝16＋17＋28＋30＋345＝25，x －乙＝15＋28＋28＋26＋335＝26，∴x －甲<x －乙， ∴s 2甲＝15[(16－25)2＋(17－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，s 2乙＝15[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，∴s 2甲＞s 2乙，所以乙成绩稳定，故选D.]4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)X 围内的居民有________人．25 [××100＝25.]考点一 样本的数字特征的计算与应用利用样本的数字特征解决决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．1．(2020·某某模拟)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝4，s 2<2B.x ＝4，s 2>2C.x >4，s 2<2D.x >4，s 2>2A [∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴x ＝28＋48∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数的方差s 2＝7×2＋(4－4)28＝74<2，故选A.]2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )甲 乙A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C [根据条形统计图可知甲的中靶情况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为5环、5环、5环、6环、9环.x甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x 乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)25＝2， 乙的成绩的方差为(5－6)2×3＋(6－6)2＋(9－6)25＝2.4；甲的成绩的极差为4环，乙的成绩的极差为4环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为5环，综上可知C 正确，故选C.]3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 D [由题意可知 ⎩⎨⎧ 15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋1＋1]＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2＝208. ∴(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ，即208＋2xy ＝400，∴xy ＝96.∴(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝16，∴|x －y |＝4，故选D.]4．(2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数 28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？[解](1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为40100＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为28100＝0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40＋25×20－5×20－75×20100＝15. 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70 30 0 －70 频数 28 17 34 21因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28＋30×17＋0×34－70×21100＝10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．考点二 茎叶图(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．注意“叶”中数不一定按大小次数排列．2．利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息．3．以茎叶图为载体，一般考查中位数、平均数、方差．1．(2020·某某模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为()A．2 B．4C．5 D．6A[由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为8×1040＝2(人)．]2.(2020·某某质检)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为()A．2 B． 2C．10 D．10B[甲地该月5天11时的气温数据(单位：℃)为28,29,30,30＋m,32；乙地该月5天11时的气温数据(单位：℃)为26,28,29,31,31，则乙地该月11时的平均气温为(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，所以甲地该月11时的平均气温为30 ℃，故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得m＝1.则甲地该月11时的平均气温的标准差为15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2] ＝ 2.]3.空气质量指数 (Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________(该年为365天)．146 [该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25， 由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25， 估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.]考点三 频率分布直方图频率、频数、样本容量的计算方法(1)频率组距×组距＝频率． (2)频数样本容量＝频率，频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数． [典例] (1)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32(2)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件：“”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(1)D[由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故选D.](2)[解]①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.②甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.点评：(1)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率，切莫与条形图混淆． (2)频率分布直方图考查时，重视求平均数、中位数、方差，计算要准确，解决突破口是各个矩形面积之和为1.[跟进训练]a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27B [前两组中的频数为100××a ＝22＋32＝54.]2．(2020·某某模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.word- 11 - / 11 (ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解]×5＝0.05，∴6x＝0.05，∴x ＝120. (2)设中位数为a ××5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32. (3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定(感想合理即可)．。

第四讲变量间的相关关系、统计案例知识梳理·双基自测知识梳理知识点一回归分析(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种__非确定性关系__．(2)散点图：表示具有__相关__关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点有y随x增大而增大的趋势，则称两个变量__正相关__；若这些散点有y随x增大而减小的趋势，则称两个变量__负相关__．(3)回归方程：y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1x i y i－n x－y－∑ni＝1x2i－n x2，a^＝__y－－b^x__，它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解．(4)相关系数：r＝∑ni＝1x i y i－n x－y－∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r＞0时表示两个变量正相关，当r＜0时表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性__越强__；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在相关关系，相关性__越弱__．知识点二独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为X2)＝n ad－bc2n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变a＋b c＋d a＋c b＋d(其中量有关系”的方法称为独立性检验．(3)独立性检验的一般步骤①根据样本数据列出2×2列联表；②计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系\”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关\”．归纳拓展1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)(2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0．( ×)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．( ×)(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( √)(6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( ×)题组二走进教材2．(P97T2)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( C )A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率[解析]“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．3．(P81例1)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9．零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__68__．[解析]由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75．设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68．题组三走向高考4．(2017·某某高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^，已知∑10i＝1x i＝225，∑10i＝1y i＝1 600，b^＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( C )A ．160B ．163C ．166D ．170[解析]由题意知y ^＝4x ＋a ^又x ＝22.5，y ＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，∴a ^＝70，因此y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝4×24＋70＝166，故选C ．5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d．P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828[解析](1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)由题可得K 2＝100×40×20－30×10250×50×70×30≈4.762．由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．考点突破·互动探究考点一 相关关系的判断——自主练透例1 (1)(2021·某某资阳模拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( B )A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%(2)对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是( A )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3[解析](1)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B．(2)由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选A．名师点拨判断两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：b^＞0时，正相关；b^＜0时负相关．考点二线性回归分析——师生共研例2 (1)(2021·湖湘名校教育联合体联考)2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：价格x 99.51010.511销售量y 111086 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：y＝－3.2x＋a，相关系数|r|＝0.986，则下列说的是( D )法不正确．．．A．变量x，y线性负相关且相关性较强B．a^＝40C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8D．相应于点(10.5,6)的残差约为0.4(2)(2020·全国Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑i ＝120xi ＝60，∑i ＝120y i ＝1 200，i ＝120(x i －x －)2＝80，i ＝120(y i －y －)2＝9 000，i ＝120(x i －x －)(y i －y －)＝800．①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；②求样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；③根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r ＝i ＝1nx i －x－y i －y－i ＝1nx i －x－2i ＝1ny i －y－2，2≈1.414．[解析](1)对A ，由表可知y 随x 增大而减少，可认为变量x ，y 线性负相关，且相关性强，故A 正确．对B ，价格平均x －＝15(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，销售量y －＝15(11＋10＋8＋6＋5)＝8．故回归直线恒过定点(10,8)，故8＝－3.2×10＋a ^⇒a ^＝40，故B 正确．对C ，当x ＝8.5时，y ^＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C 正确．对D ，相应于点(10,8)的残差约为e ^＝6－(－3.2×10.5＋40)＝－0.4，故D 不正确．故选D ．(2)①样区野生动物平均数为 120∑i ＝120y i ＝120×1 200＝60，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200×60＝12 000． ②样本(x i ，y i )的相关系数为r＝i＝120x i－x－y i－y－i＝120x i－x－2i＝120y i－y－2＝80080×9 000＝223≈0.94．③由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样方法抽取样本即可．名师点拨线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程：①利用公式，求出回归系数b^，a^．②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．(2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b^．〔变式训练1〕(2021·某某六校教育研究会素质测试)某商场近5个月的销售额和利润额如表所示：销售额x/千万元35679利润额y/百万元1334 5(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；(2)求出利润额y关于销售额x的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该商场的利润额(百万元)．b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2＝i＝1n x i－x－y i－y－i＝1n x i－x－2，a^＝y－－b x－．[解析](1)散点图如图所示：两个变量正相关，且具有线性相关关系．(2)易求x－＝6，y－＝3.2，由公式有b^＝3×2.2＋1×0.2＋0＋1×0.8＋3×1.832＋12＋12＋32＝1320＝0.65，且a^＝3.2－0.65×6＝－0.7，则线性回归方程为y^＝0.65x－0.7，(3)当x＝4时，由(1)可求得y^＝1.9，即利润额约为1.9百万元．考点三,独立性检验——师生共研例3 (1)(2020·新高考Ⅰ，19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]3218 4(35,75]6812(75,115]3710①估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；②根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]③根据②中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．①估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)②结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意 不满意 合计男生 女生 10合计100K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中P (K 2＝k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.8415.0246.6357.879n ＝a ＋b ＋c ＋d ．[解析](1)①根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64．②根据抽查数据，可得2×2列联表：SO 2PM2.5[0,150] (150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010K 2＝100×64×10－16×10280×20×74×26≈7.484．由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关．(2)①由已知得(0.015＋b ＋0.03)×10＝0.85， 解得b ＝0.04，又(0.005＋a )×10＝1－0.85，解得a ＝0.01， 评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80． ②完成2×2列联表如下表：态度性别满意 不满意 合计男生 25 35 60 女生 30 10 40 合计5545100K 2＝100×10×25－35×3055×45×60×40≈10.774＞6.635，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．名师点拨解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确：①明确两类主体．②明确研究的两个问题． (2)两个关键：①准确列出2×2列联表：②准确理解K 2．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k 值与求得的K 2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p ．〔变式训练2〕(2021·某某某某、崇左质检)某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来的报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如下：使用寿命年数4年5年6年7年总计A型出租车(辆)10204525100B型出租车(辆)153********(1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？使用寿命不高于5年使用寿命不低于6年总计A型B型总计(2)司机师傅小李准备在一辆开了3年的A型车和一辆开了3年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参加公式：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d．参考数据：P(K2≥k0)0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828[解析](1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联考：使用寿命不高于5年使用寿命不低于6年总计A型3070100B型5050100总计80 120 200由列联表可知：K 2＝200×30×50－70×502100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关；(2)记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内(含3年)换车， 由表知P (A 1)＝10＋20＋45100＝0.75，P (A 2)＝15＋35＋40100＝0.9，因为P (A 1)＜P (A 2)，所以小李应选择A 型出租车．名师讲坛·素养提升非线性回归问题例4 (2020·某某乌兰察布等五市调研)一个调查学生记忆的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t (分钟)和答对人数y 的统计表格如下： 时间t (分钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 lg y1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7附：∑n ＝110t 2i ＝38 500，∑n ＝110y i ＝342，∑n ＝110lg y i ＝13.5，∑n ＝110t i y i ＝10 960，∑n ＝110t i lg y i ＝620.9，对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i v i －n u －v －∑i ＝1n u 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －．请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，y ＝at ＋b 与lg y ＝ct ＋d ，哪个更适宜作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果，建立y 与t 的回归方程；(数据保留3位有效数字)(3)根据(2)请估算要想记住75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)[解析](1)由图象可知，lg y ＝ct ＋d 更适宜作为线性回归类型； (2)设lg y ＝ct ＋d ，根据最小二乘法得c ＝∑i ＝110t i lg y i －10t －lg y ∑i ＝110t 2i －10t －2＝620.9－10×55×1.3538 500－10×552≈－0.014 7，d ＝lg y －c t －≈2.16，所以lg y ＝－0.014 7t ＋2.16， 因此y ＝10－0.014 7t ＋2.16；(3)由题意知y ＝10－0.014 7t ＋2.16≥75，即－0.014 7t＋2.16≥2＋lg 3－2lg 2≈1.88，解得t≤19.05，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍．名师点拨非线性相关问题一般通过换元法转化为线性相关(线性回归分析)问题解决．〔变式训练3〕(2020.课标Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1,2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( D )A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x[解析]观察题中散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象，故选D．。

学习资料第二节 古典概型授课提示：对应学生用书第172页[基础梳理]1．基本事件的特点(1）任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．②每个基本事件出现的可能性相等．（2)计算公式：P (A )＝错误!.(3）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是错误!；如果某个事件A 包括的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）＝错误!。

［四基自测］1．(基础点：与数字有关的古典概型）一个盒子里装有标号为1，2,3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）A.错误! B 。

错误!C 。

错误! D.错误!答案：D2．(基础点：与数字有关的古典概型)从1，2，3，4这四个数字中任取两个数,这两个数恰为一奇一偶的概率是( ）A.错误!B.错误!C.错误! D 。

错误!答案：D3．（基础点：与所取元素有关的古典概型）盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案：错误!4．(基础点:与分配有关的古典概型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．答案：错误!授课提示:对应学生用书第172页考点一 古典概型的简单应用挖掘 基本事件的确定/ 自主练透［例］ （1)（2019·高考全国卷Ⅱ）生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B 。

错误!C 。

错误! D.错误!［解析］ 记5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2,则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3),(a 1,a 2，b 1)，（a 1,a 2，b 2），(a 1，a 3，b 1）,(a 1,a 3，b 2），（a 1，b 1,b 2)，(a 2，a 3，b 1），(a 2，a 3，b 2),（a 2，b 1，b 2),(a 3,b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1,a 2，b 1)，（a 1，a 2，b 2）,(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2),(a 2,a 3，b 1），（a 2，a 3,b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为错误!＝错误!.故选B.[答案] B(2）(2019·高考全国卷Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是（ ）A 。

学习资料第三节几何概型授课提示：对应学生用书第174页[基础梳理］1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件）有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．3．几何概型的概率公式P（A）＝错误!。

1．一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域）"只与大小有关，而与形状和位置无关．2．两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法(1）当题干是双重变量问题,一般与面积有关系．(2）当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动,则几何度量是长度；若变量在平面区域（空间区域）内移动，则几何度量是面积（体积），即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域．［四基自测]1．（基础点：面积型的几何概型）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）答案：A2．(基础点：区间长度型的几何概型)在区间[－2,3］上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案：B3．（基础点:时间型几何概型）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间少于20分钟的概率为________．答案：错误!4．（基础点：面积型的几何概型）求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第174页考点一与长度型有关的几何概型挖掘1与线段长度有关的几何概型/ 自主练透[例1]（2020·长春模拟）已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．［解析］设长方体的长为x，宽为12－x，由4x（12－x）>128，得x2－12x＋32〈0,∴4〈x〈8，即在线段BC内，截取点D，满足BD∈(4，8），其概率为错误!＝错误!。

第九章 概率、统计与统计案例第四节 概率与统计的综合问题课时规范练A 组——基础对点练1．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．若最高气温不低于25，则需求量为500瓶；若最高气温位于区间[20，25)，则需求量为300瓶；若最高气温低于20，则需求量为200瓶．为了确定6月份最高气温/℃[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 (1)求6月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设6月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当6月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率为0.8. 2．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率．解析：(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80.(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800⇒x≥50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.3．成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的学生利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．(1)否拥有驾驶证”有关？(2)若规定参加调查的200人中分数在70以上(含70)的为“具有较强安全意识”，从参加调查的200人中根据是否具有较强安全意识，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率．附表及公式：χ2＝n （ad －bc ）2，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：χ2＝200×（22×102－18×58）240×80×160×120＝7516＝4.687 5＞3.841. 所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与是否拥有驾驶证”有关．(2)5人中不具有较强安全意识的有3人，分别记为A ，B ，C ，“具有较强安全意识”的有2人，分别记为d ，e ，易知这是一个古典概型．则从5人中随机抽取3人构成的所有基本事件为(A ，B ，C )，(A ，B ，d )，(A ，B ，e )，(A ，C ，d )，(A ，C ，e )，(A ，d ，e )，(B ，C ，d )，(B ，C ，e )，(B ，d ，e )，(C ，d ，e )，共有10种； 抽取3人中恰有一人“具有较强安全意识”所包含的基本事件为(A ，B ，d )，(A ，B ，e )，(A ，C ，d )，(A ，C ，e )，(B ，C ，d )，(B ，C ，e )，共有6种．所以抽取的3人中恰有一人“具有较强安全意识”的概率P ＝610＝35. 4．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．解析：(1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50， 故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4. (2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x －2，s 22.x －1＝81＋84＋92＋90＋935＝88， x －2＝79＋89＋84＋86＋875＝85， s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22， s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6， ∵88＞85，11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人，把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个，∴P (M )＝315＝15， 故这2人两科均获一等奖的概率为15.。

第四节 随机事件的概率授课提示：对应学生用书第381页[A 组 根底保分练]1．在以下六个事件中，随机事件的个数为〔 〕①如果a ，b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；②从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某 总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度到达50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件；②④是随机事件．答案：A2．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A ：“这个三角形是等腰三角形〞，以下推断正确的选项是〔 〕A ．事件A 发生的概率等于15B ．事件A 发生的概率等于25C ．事件A 是不可能事件D ．事件A 是必然事件解析：从正五边形的五个顶点中随机选择三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A 是必然事件．答案：D3．〔2021·河北衡水中学模拟〕从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0．2，该同学的身高在[160，175]〔单位：cm 〕内的概率为0．5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为〔 〕A ．0．2B ．0．3C ．0．7D ．0．8解析：该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0．2－0．5＝0．3．答案：B4．〔2021·银川模拟〕甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，那么甲胜的概率和甲不输的概率分别为〔 〕A ．16，16B ．12，23C ．16，23D ．23，12解析：“甲胜〞是“和棋或乙胜〞的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16．设“甲不输〞为事件A ，那么A 可看作是“甲胜〞与“和棋〞这两个互斥事件的和事件，所以P 〔A 〕＝16＋12＝23⎝⎛⎭⎫或设“甲不输〞为事件A ，那么A 可看作是“乙胜〞的对立事件，所以P 〔A 〕＝1－13＝23. 答案：C5．〔2021·黄石联考〕天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．那么在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为〔 〕A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29解析：由题意可得，每天下雨的概率P 〔A 〕＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P 〔B 〕＝210＝15． 答案：C6．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号相连的概率为〔 〕A ．310B ．58C ．710D ．25解析：从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：〔1，2，3〕，〔2，3，4〕，〔3，4，5〕，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310． 答案：A7．〔2021·吉林模拟〕从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．那么两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是_________． 解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有〔0，4〕，〔1，3〕，〔2，2〕，〔3，1〕，〔4，0〕，所以数字之和恰好等于4的概率是P ＝15． 答案：158．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，那么所得的两段绳长均不小于2米的概率为_________．解析：随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为〔1，5〕，〔2，4〕，〔3，3〕，〔4，2〕，〔5，1〕．满足两段绳长均不小于2米的为〔2，4〕，〔3，3〕，〔4，2〕，共3种情况．所以所求概率为35． 答案：359求：〔1〔2〕至少3人排队等候的概率．解析：记“无人排队等候〞为事件A ，“1人排队等候〞为事件B ，“2人排队等候〞为事件C ，“3人排队等候〞为事件D ，“4人排队等候〞为事件E ，“5人及5人以上排队等候〞为事件F ，那么事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．〔1〕记“至多2人排队等候〞为事件G ，那么G ＝A ＋B ＋C ，所以P 〔G 〕＝P 〔A ＋B ＋C 〕＝P 〔A 〕＋P 〔B 〕＋P 〔C 〕＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56．〔2〕法一：记“至少3人排队等候〞为事件H ，那么H ＝D ＋E ＋F ，所以P 〔H 〕＝P 〔D ＋E ＋F 〕＝P 〔D 〕＋P 〔E 〕＋P 〔F 〕＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44．法二：记“至少3人排队等候〞为事件H ，那么其对立事件为事件G ，所以P 〔H 〕＝1－P 〔G 〕＝0．44．10．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧奋战，经过近期训练，某队员射击一次命中〔1〕射中9环或10环的概率；〔2〕至少命中8环的概率；〔3〕命中缺乏8环的概率．解析：记事件“射击一次，命中k 环〞为A k 〔k ∈N ＋，k ≤10〕，那么事件A k 彼此互斥． 〔1〕记“射击一次，射中9环或10环〞为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P 〔A 〕＝P 〔A 9〕＋P 〔A 10〕＝0．28＋0．32＝0．60．〔2〕设“射击一次，至少命中8环〞的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得P 〔B 〕＝P 〔A 8〕＋P 〔A 9〕＋P 〔A 10〕＝0．18＋0．28＋0．32＝0．78．〔3〕由于事件“射击一次，命中缺乏8环〞是事件B ：“射击一次，至少命中8环〞的对立事件，即B －表示事件“射击一次，命中缺乏8环〞．∴P 〔B －〕＝1－P 〔B 〕＝1－0．78＝0．22．[B 组 能力提升练]1．有一个游戏，其规那么是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南〞与事件“乙向南〞是〔 〕A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：由于每人一个方向，故“甲向南〞意味着“乙向南〞是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．答案：A2．〔2021·西安五校模拟〕在5张 卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任选2张，如果事件“2张全是移动卡〞的概率是310，那么概率是710的事件是〔 〕 A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：因为事件“2张全是移动卡〞的概率是310，1－310＝710，所以概率是710的事件是事件“2张全是移动卡〞的对立事件，也就是“2张不全是移动卡〞，即“至多有一张移动卡〞． 答案：A3．〔2021·长沙模拟〕同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是〔 〕A ．78B ．58C ．38D ．18解析：由题意知此题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是反面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－18＝78． 答案：A4．〔2021·合肥模拟〕某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如下图．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，那么他经过市中心O 的概率为〔 〕A ．13B ．23C ．14D ．34解析：由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O 〞为事件M ，那么M 包含的根本领件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P 〔M 〕＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23． 答案：B5．口袋内装有一些大小、形状均相同的红球、白球和黑球，如果从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是_________．解析：事件“摸出红球或白球〞与事件“摸出黑球〞是对立事件，设“摸出红球或白球〞为事件M ，那么M －表示“摸出黑球〞，由对立事件的概率公式得P 〔M －〕＝1－P 〔M 〕＝1－〔0．42＋0．28〕＝0．3．答案：0．36．盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735． 答案：17357．〔2021·徐州模拟〕为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处分，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处分时，有80人会闯红〔1〕当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处分降低多少？〔2〕将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，那么前两位均为B 类市民的概率是多少？解析：〔1〕设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为〞为事件A ，那么P 〔A 〕＝80－40200＝15． ∴当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处分降低15．〔2〕由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出2人，设从A 类市民抽出的两人分别为A 1，A 2，设从B 类市民抽出的两人分别为B 1，B 2．设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷〞为事件M ，那么事件M 中首先抽出A 1的事件有〔A 1，A 2，B 1，B 2〕，〔A 1，A 2，B 2，B 1〕，〔A 1，B 1，A 2，B 2〕，〔A 1，B 1，B 2，A 2〕，〔A 1，B 2，A 2，B 1〕，〔A 1，B 2，B 1，A 2〕．共6种．同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种．故事件M 共有4×6＝24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民〞为事件N ，那么事件N 有〔B 1，B 2，A 1，A 2〕，〔B 1，B 2，A 2，A 1〕，〔B 2，B 1，A 1，A 2〕，〔B 2，B 1，A 2，A 1〕，共4种．∴P 〔N 〕＝424＝16． ∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16． [C 组 创新应用练]1．假设p ：“事件A 与事件B 是对立事件〞，q ：“概率满足P 〔A 〕＋P 〔B 〕＝1〞，那么p 是q 的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：假设事件A 与事件B 是对立事件，那么A ＋B 为必然事件，再由概率的加法公式得P 〔A 〕＋P 〔B 〕＝1．设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面〞，事件B ：“3次出现正面〞，那么P 〔A 〕＝78，P 〔B 〕＝18，满足P 〔A 〕＋P 〔B 〕＝1，但A ，B 不是对立事件，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A2．〔2022·高考全国卷Ⅱ〕我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_________．解析：x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0．98．那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0．98．答案：0．98。

学习资料第九章 概率、统计与统计案例第三节 几何概型课时规范练A 组——基础对点练1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯"为事件A ，则P (A ）＝错误!＝错误!. 答案：B2．（2020·武汉武昌区调研)在区间［0，1］上随机取一个数x ，则事件“log 0.5（4x －3)≥0”发生的概率为 ( ) A.34B 。

错误! C.错误! D 。

错误!解析：因为log 0.5(4x －3）≥0，所以0<4x －3≤1，即错误!〈x ≤1，所以所求概率P ＝错误!＝错误!，故选D.答案：D3．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ,则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为 （ ) A 。

错误! B 。

错误!C.错误! D 。

错误!解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝错误!＝错误!.答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为错误!，则错误!＝ ( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由已知,点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝(错误!AB )2＋AD 2，解得（错误!）2＝错误!,即错误!＝错误!，故选D.答案：D5．在区间错误!上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于错误!与错误!之间的概率为( ）A.错误! B 。

错误!C.15D.16解析：区间错误!的长度为1，满足cos(πx )的值介于错误!与错误!之间的x ∈错误!∪错误!，区间长度为错误!,由几何概型概率公式得P ＝错误!＝错误!.答案：D6．如图，正三角形ABC 内的图形来自中国古代的太极图．正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称．在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （ )A。

第九章 概率、统计与统计案例第一节 随机事件的概率 授课提示：对应学生用书第169页[基础梳理]1．事件的相关概念(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3名称 条件 结论 符号表示包含关系 A 发生⇒B 发生 事件B 包含事件A (事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系 若B ⊇A 且A ⊇B 事件A 与事件B 相等A ＝B 并(和)事件 A 发生或B 发生 事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ＋B (或A ∪B )交(积)事件 A 发生且B 发生 事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB )互斥事件 AB 为不可能事件 事件A 与事件B 互AB ＝∅斥对立事件AB为不可能事件，A＋B为必然事件事件A与事件B互为对立事件AB＝∅，P(A＋B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率为1．(3)不可能事件的概率为0．(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．辨析两组概念(1)频率与概率．①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)互斥事件与对立事件．①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[四基自测]1．(基础点：必然事件及概率)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．答案：12．(基础点：对立事件的概率)甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．答案：0.23．(基础点：互斥事件的概率)一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________．(结果用最简分数表示)答案：726授课提示：对应学生用书第170页考点一随机事件的关系挖掘事件的关系与运算/ 自主练透[例] (1)(2020·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对[解析] 从红牌的去向来看，有4种可能，故事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．[答案] B(2)(2020·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件[解析] 根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；BC＝∅，B＋C＝Ω，故事件B，C是对立事件．[答案] D(3)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球．其中互斥而不对立的事件共有( )A．0组B．1组C．2组D．3组[解析] 对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．[答案] A[破题技法] 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．考点二 随机事件的概率与频率挖掘 用频率估计概率/ 自主练透[例] (1)从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37[解析] 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A. [答案] A(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．[解析] x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.[答案] 0.98(3)(2020·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：该人支付的快递费不超过30元的概率；②该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？[解析]所有3概率为13.若裁员综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．[破题技法] 1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．考点三 互斥事件、对立事件的概率挖掘 互斥事件、对立事件/ 自主练透[例] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.[答案] B(2)(2020·太原模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16. 设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23. [答案] 16，23(3)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：①P (A )，P (B )，P (C )；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解析] ①P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. ②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000.③P (A －＋B －)＝1－P (A ＋B )＝1－(11 000＋1100)＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000. [。

第九章 概率、统计与统计案例第二节 古典概型课时规X 练A 组——基础对点练1．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，而以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种，故所求概率为336＝112. 答案：A2．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.19B.16C.118D.112解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝636＝16，故选B. 答案：B3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 答案：D4．在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12. 答案：C5．(2020·某某三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )A.34B.710C.45D.35解析：设2个红球分别为a 、b ，3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35. 答案：D6．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79B.13C.59D.23解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的共有6个，P ＝69＝23. 答案：D7．(2020·某某质检)从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：从1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12种结果，其中大于30的两位数有31，32，34，41，42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P ＝612＝12. 答案：A8．(2020·某某部分学校调研)标有数字1，2，3，4，5的卡片各1X ，从这5X 卡片中随机抽取1X ，不放回地再随机抽取1X ，则抽取的第1X 卡片上的数大于第2X 卡片上的数的概率为( )A.12B.15C.35D.25解析：5X 卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5X 卡片中随机抽取2X ，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1X 卡片上的数大于第2X 卡片上的数的情况有：①第1X 抽到2，第2X 抽到1；②第1X 抽到3，第2X 抽到1或2；③第1X 抽到4，第2X 抽到1或2或3；④第1X 抽到5，第2X 抽到1或2或3或4.共10种．故抽取的第1X 卡片上的数大于第2X卡片上的数的概率P ＝1020＝12. 答案：A9．(2020·某某调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140，1417，0371，6011，7610，∴所求概率P ＝1－520＝34.答案：3410．(2020·某某模拟)盒中有三X 分别标有3，4，5的卡片，从盒中随机抽取一X 记下后放回，再随机抽取一X 记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为奇数的概率为________．解析：法一：两次抽取的卡片有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，其中至少有一个是奇数的有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8种情况，因此所求概率为89. 法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片都为偶数，只有(4，4)这1种取法，而两次抽取的卡片有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，因此所求事件的概率为1－19＝89. 答案：89B 组——素养提升练11．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足b >a 的共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：512 12．(2020·某某模拟)从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．解析：从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的个数为5，即△ABD ，△ACD ，△ACE ，△BCE ，△BDE ，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P ＝510＝12. 答案：1213．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解析：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确．14．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1. (1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解析：(1)由题意，得－b2×12a ≥－1，即b ≤a .而(a ，b )可能为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，满足b ≤a 的有3种，故所求的概率为34. (2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故所求的概率为16.。

第二节排列与组合命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要考查排列与组合的综合应用，分组分配问题是命题热点，多为选择题、填空题，难度中等偏下．本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第205页知识点一排列与排列数1．排列与排列数（1）排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（2）排列数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n．2．排列数公式及性质（1）排列数公式A m n＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m）！（m、n∈N＋且m≤n）．（2）性质：①A n n＝n！；②0！＝1．1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120C ．72D ．24解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24． 答案：D2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120解析：末位数字排法有A 12种，其他位置排法有A 34种，共有A 12A 34＝48种排法，所以偶数的个数为48． 答案：C知识点二 组合与组合数 1．组合与组合数 （1）组合从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合Ｗ． （2）组合数从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作C m n ． 2．组合数的公式及性质 （1）组合数公式C m n ＝A m n A m m＝n （n －1）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！（n 、m ∈N ＋且m ≤n ）．（2）组合数性质①C0n＝1；②C m n＝C n－mn；③C m n＋C m－1n＝C m n＋1．•温馨提醒•二级结论与组合数相关的几个公式（1）C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n（全组合公式）．（2）C m n＋C m n－1＋…＋C m m＋1＋C m m＝C m＋1n＋1．（3）k C k n＝n C k－1n－1．必明易错易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A．18 B．24C．30 D．36解析：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18（种），选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12（种），故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14 C23＝30（种）．答案：C2．（易错题）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．423 B．288C．216 D．144解析：若2，4相邻，把2，4捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于5个元素排列），1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×C13×A44＝144，同理2，4与6相邻的有A22×2×2×A33＝48（个），所以只有2，4相邻的有144－48＝96（个），全部符合条件的六位数有96×3＝288（个）．答案：B3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有种．解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C35种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350（种）．答案：350授课提示：对应学生用书第206页题型一排列应用问题[例] 3名女生和5名男生排成一排．（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？（3）如果女生不站两端，有多少种排法？（4）其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法？（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？[解析] （1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320种不同排法．（2）（插空法）先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400种不同排法．（3）法一：（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二：（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法．（4）8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排法种数为12A 88＝20 160（种）． （5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一：（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种．由分类加法计数原理，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960（种）． 法二：（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960（种）． 法三：（间接法）8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960（种）．解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中1．（2021·某某市第二次质量检测）某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：（1）当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．（2）当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．（3）当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44（种）．答案：B2．（2021·某某高三质检）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”的个数为_________．（用数字作答）解析：由数字0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为2或5，有2A33－1＝11（个）；由数字0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为3或4，有2A33＝12（个）．故共有23个．答案：23题型二组合应用问题[例] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解析] （1）从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．（2）从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．（4）选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555（种）．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．（5）法一（间接法）：选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090（种）．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二（直接法）：共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090（种）．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2．“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理更简捷．[对点训练]甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？（2）甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？解析：（1）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24（种）．（2）甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30（种）．题型三排列与组合的综合应用[例]（2021·某某市高三二检）某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种．（用数字作答）[解析] 若甲、乙同时参加，有2C26A22A22＝120（种），若甲、乙有一人参加，有C12C36A44＝960（种），从而不同的发言顺序有1 080种．[答案] 1 080求解排列与组合问题的要点（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．（2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）或间接法（排除法）来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．[题组突破]1．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（）A．15 B．20C．30 D．42解析：四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三个篮球进行全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法．答案：C2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．18C．12 D．6解析：从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A23＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位（或百位），从1，3，5中选两个数字排在百位（或十位）、个位，共有A12·A23＝12（种），故共有A23＋A12A23＝18（种）．答案：B排列、组合应用中的核心素养数学运算——分组分配问题计数问题中的分组分配问题一直是排列、组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问题之一，也是排列、组合综合运用的充分体现．由于分组分配问题的种类繁多、条件各异，涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组后的元素是否有序等问题，因此在解答实际问题时非常容易混淆，导致错误．1．完全非均匀分组所谓“完全非均匀分组”，就是将问题中的所有元素分成彼此元素个数互不相等的组，解决此类问题时只需直接分组即可达到目的．[例1] 7人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？（1）分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；（2）选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人．[解析] （1）先从7人中选出1人，有C17种，再由剩下的6人中选出2人，有C26种，最后由剩下的4人为一组，有C44种．由分步乘法计数原理得分组方法共有C17C26C44＝105（种）．（2）可“选分同步”：先从7人中选出2人，有C27种，再由剩下的5人中选出3人，有C35种，分组方法共有C27C35＝210（种）．也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有C57C25C33＝210（种）．2．均匀分配[例2] 将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有种．（用数字作答）[解析] 先选出3人，有C39种，再由剩下的6人中选出3人，有C36种，最后由剩下的3人为一组，有C33种．由分步乘法计数原理以及每A33中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有C39C36C33·A33＝1 680（种），故填1 680．A33[答案] 1 6803．部分均分问题[例3] 小明有中国古代四大名著：《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有种．[解析] 根据题意，分两步进行分析：①将四本书分成3组，其中1组两本，其他2组各一本，有C24C12C11A22＝6（种）分组方法，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，即这两本书不能分在同一组，《西游记》《红楼梦》分在同一组的情况有1种，故四本书分成3组，符合题意的分法有6－1＝5（种）；②将分好的3组全排列，对应三位同学，有A33＝6（种）情况．则不同的借法有5×6＝30（种）．[答案] 30分组分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n（n为均分的组数），避免重复计数部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数不等分只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数1．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为_________．解析：先将5人分成三组（1，1，3或2，2，1两种形式），再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900（种）． 答案：9002．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有种不同的分法．解析：先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A 33＝360种分配方法． 答案：360。

学习资料第五节随机抽样授课提示：对应学生用书第181页[基础梳理]1．简单随机抽样(1）定义：设一个总体含有N个个体．从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．(2)常用方法:抽签法和随机数法．2．系统抽样（1)定义：在抽样时,将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本,这种抽样叫作系统抽样（也称为机械抽样）．(2)适用范围：适用于总体中的个数较多时．3．分层抽样（1)定义:在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．（2）适用范围:适用于总体由差异明显的几部分组成时．1．一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是错误!。

2．三种抽样方法的差异（1）简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少．（2)系统抽样:适用于元素个数很多且均衡的总体．（3）分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形．[四基自测]1．（基础点：抽样的概念）2019年4月13日,某中学初三650名学生参加了中考体育测试，为了了解这些学生的体考成绩，现从中抽取了50名学生的体考成绩进行了分析，以下说法正确的是（）A．这50名学生是总体的一个样本B．每位学生的体考成绩是个体C．50名学生是样本容量D．650名学生是总体答案：B2．(基础点：分层抽样）某工厂生产A，B,C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70 D．80答案：C3．(基础点：随机数法抽样)假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时,先将500名同学按000，001,…，499进行编号,如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的5名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行）() 84421753315724550688770474476721763350258392120676 63016378591695556719981050717512867358074439523879 A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212答案：B4．(基础点：系统抽样)设某校共有112名教师,为了支援西部教育事业，现要从中抽取12名组成暑期西部讲师团．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（) A．9，4 B．12，3C．10，2 D．8,2答案：A授课提示：对应学生用书第182页考点一简单随机抽样挖掘随机抽样的实施/ 自主练透［例］(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是(）A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]因为A，D中总体的个体数较大,不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．[答案] B（2)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的有(）①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析］①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个"抽取；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．［答案］ A［破题技法］1。