2019年中考专题《命题、定理、证明》复习课件(共30张PPT)

2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截， ∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠来自=180°.证明： ∵ ∠1=∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
内错角相等，两直线平行。
观察、操作、实验是人们认识事物的重 要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些 结论.
做一做 采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的
外角和”等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和 等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果 可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这 一例子即可判断该命题是假命题.
说一说 判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数； （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是
等腰三角形.
分别是根据有理数、等腰 （等边）三角形的定义作出的 判断.
从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利 用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题 是否为真.
事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远 远不够的.
古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年） 对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们 在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据， 称这些真命题为公理.
本书中，我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
根据题意
画出图形
第二步 根据命题的条件和结论，结合图形 写出已知、求证
答：直角三角形的两个锐角和不是钝角 （2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数. （3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题， 而且都是真命题. 答：两直线平行，内错角相等。
命题、定理、证明
下列语句，哪些是命题，哪些不是？
哪些命题正确？哪些不正确？
1、对顶角相等；
是√
2、画一个角等于已知角；
否
3、两直线平行，同位角相等； 是
√
4、a、b两条直线平行吗？
否
5、温柔的小明；
否
6、玫瑰花是动物；
是×
指出下列各命题的题设和结论，并改写 成“如果……那么……”的形式。
1、对顶角相等； 2、等角的补角相等； 3、两平行线被第三直线所截，同位角相等； 4、正数与负数的和为0 ； 5、同平行于一直线的两直线平行； 6、直角三角形的两个锐角互余。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成 “如果…，那么…”的形式。
2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他 命题真假的根据的命题，叫做公理。
3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推 理的依据。
4、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理， 才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）. ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是 说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三 种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从 另外一个角度来证明.
一说你的理由.
（1）每一个月都有31天；错误
（2）如果a是有理数，那么a是整数错. 误 （3）同位角相等错；误 （4）同角的补角相等正. 确
上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）都是错误的.
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命 题称为假命题.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理 （推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证 明. 例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180° （三角形内角和等于180°）， ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D.
例
下列四个命题中是真命题的有（C ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形
两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚； 2、内错角相等； 3、画一条直线；
是 真命题 是 假命题 否
4、四边形是正方形；
是 假命题
5、你的作业做完了吗？
否
6、同位角相等，两直线平行； 是
7、对顶角相等；
是
8、同垂直于一直线的两直线平行；是
真命题 真命题 假命题
议一议 下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说
证明的每一步都必须要有根据.
动脑筋 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
在分析出这一命题的条件和结论后，我们 就可以按如下步骤进行：
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分 别是△ABC的三个外角.
证明:∵
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
第三步 通过分析，找出证明的途径 写出证明的过程
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线 段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）， ∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知），
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路 可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
练习
1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A+∠B= 180°. 求证：∠C+∠D= 180°. 证明：∵∠A+∠B= 180°（已知）， ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行 ）. ∴ ∠C+∠D= 180° （两直线平行，同旁内角互补 ）.
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和 结论吗？
已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c．
证明中的每一步推理都要有根据，不能想“当然”
（3）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？
定理举例： 1、补角的性质： 同角或等角的补角相等。
2、余角的性质： 同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。
4、垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直；
②垂线段最短。 5、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条
直线平行，那么这两条直 线也互相平行。
定理举例： 6、平行线的判定定理：
证明: 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等60°， 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确. 因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
像这样，当直接证明一个命题为真有困难时， 我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件 或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设 不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为 反证法.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1. 因此∠2=∠3（等量代换）. 于是，我们得出： 同角（或等角）的补角相等.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的 条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
我们通常把这种方法称为“举反例”. 例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是
定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”
（2）判断这个命题的真假． 我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论
不一定成立，你能否利用图形举出一个反例说明当 两个角相等时它们不一定是对顶角的关系.
判断一个命题是假命题，只 要举出一个例子（反例），它符 合命题的题设，但不满足结论就 可以了。这种方法称为举反例。
3、
课堂小结