6.3 反比例函数的应用

专题6.3反比例函数应用（知识解读）【学习目标】1．能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2．利用反比例函数求出问题中的值3．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力【知识点梳理】考点一行程与工程应用考点二物理学中的应用考点三经济学的应用考点四生活中其他的应用【典例分析】【考点1 行程与工程的应用】【典例1】（2022秋•礼泉县期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？【变式11】某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？【变式12】（2021秋•华州区期末）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，设轮船的航行时间为t（h），航行的平均速度为v（km/h）．（1）求出v关于t的函数表达式；（2）若航行的平均速度为40km/h，则该轮船从甲地匀速行驶到乙地要多长时间？【变式13】（2022秋•固安县期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如表：v（千米/小时）7580859095 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16（1）根据表中的数据，分析说明平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数关系，并求出其表达式：（2）汽车上午8：00从甲地出发，能否在上午10：30之前到达乙地？请说明理由．【考点2 物理学中的应用】【典例2】（2022秋•青县期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）变化蜡烛和小孔之前的距离，某一时刻像高为3cm，请回答蜡烛是怎样移动的？【变式21】（2023•项城市一模）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一就是减轻学生的作业辅导，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为．下列说法不正确的是（）A．上述问题中，当x的值增大，y的值随之减小B．当镜片焦距是0.2m时，近视眼镜的度数是500度C．当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25mD．东东原来佩量400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则东东的眼镜度数下降了200度【变式22】（2022秋•禅城区期末）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围；（2）如果要求压强不超过8000Pa，选用的木板的面积至少要多大？【变式23】（2022秋•武功县期末）经研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）之间的关系满足反比例函数，已知小明的近视眼镜度数为200度，他的镜片焦距为0.5m．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知王力的近视眼镜度数为400度，请你求出王力近视眼镜的镜片焦距．【考点3 经济学的应用】【典例3】（2022秋•阜平县校级期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：售价x（元/件）58商品的销售量Q（件）580400（1）求Q与x的函数关系式．（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？【变式31】（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（）A．B．C．D．y＝2000x﹣6000【变式32】（2022秋•峰峰矿区期末）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【考点4 生活中的其他应用】【典例4】（2022秋•金水区校级期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？【变式41】（2022春•吴中区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？【变式42】（2022秋•梅里斯区期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；（2）求全天的温度y与时间x之间的函数关系式；（3）若大棚内的温度低于10（℃）不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？【变式43】（2022秋•西丰县期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示，在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（5，n）．（1）n的值为；（2）当x≥5时，y与x的反比例函数关系式为；（3）当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，当教室药物喷洒完成45min后，学生能否进入教室？请通过计算说明．。

反比例函数的应用反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，也称为倒数函数。

它的形式可以表示为y=k/x，其中k是常数。

在实际生活中，反比例函数有着广泛的应用，本文将探讨几个常见的反比例函数应用场景。

1. 面积与边长的关系在几何学中，矩形的面积与其两条边长之间存在着反比例关系。

假设一个矩形的长为L，宽为W，那么它的面积S可以表示为S=L*W。

由于长度和宽度是矩形两个独立的参数，它们之间存在反比例关系。

当一个参数增加时，另一个参数相应地减小，以保持面积不变。

这种反比例关系可以应用于很多实际问题中，比如房间的面积与家具的数量，农田的面积与种植作物的产量等。

通过理解面积与边长之间的反比例关系，我们可以在实际问题中做出合理的决策。

2. 时间和速度的关系另一个常见的反比例函数应用是时间和速度之间的关系。

在物理学中，速度可以定义为物体在单位时间内所移动的距离。

假设一个物体在时间t内移动的距离为d，则它的速度v可以表示为v=d/t。

根据这个公式，我们可以看到时间和速度之间呈现出反比例关系。

这个关系在实际生活中有很多应用。

比如旅行中的车辆速度与到达目的地所需时间之间的关系，运输货物的速度与到达目的地所需的时间之间的关系等。

这种反比例关系帮助我们计算和预测在不同速度下所需的时间。

3. 电阻与电流的关系在电学中，电阻和电流之间存在着反比例关系。

根据欧姆定律，电流I通过一个电阻R时，产生的电压V可以表示为V=I*R。

由于电阻是电流通过的障碍物，当电阻增加时，电流减小，反之亦然。

这种反比例关系在电路设计和计算中起着重要的作用。

我们可以根据电阻和电流之间的关系来选择合适的电阻值，以控制电路中的电流大小。

此外，这种关系还能帮助我们解决一些实际电路中的问题，比如计算电路中的功率、阻值等。

总结：反比例函数在各个领域中都有广泛的应用。

通过理解反比例关系，我们能够分析和解决实际问题，做出合理的决策。

本文介绍了三个常见的反比例函数应用，包括面积与边长的关系、时间和速度的关系，以及电阻与电流的关系。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在讲授新课的过程中，我尽量用简洁明了的语言解释反比例函数的定义，并通过案例分析让学生看到函数是如何在现实世界中发挥作用的。我认为这样的方法有助于提高学生的数学应用意识，让他们明白学习数学不仅仅是为了应付考试，而是为了解决实际问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相当顺利。我看到了他们积极思考、互相交流的场景，这让我感到很欣慰。不过，我也观察到有些小组在讨论时，个别成员参与度不高，这可能是因为他们对问题还不够理解。在未来的教学中，我需要更加关注这些学生，鼓励他们积极参与，提高他们的自信心。
北师大版九年级数学上册：6.3反比例函数的应用（教案）
一、教学内容
北师大版九年级数学上册：6.3反比例函数的应用。本节课我们将围绕以下内容展开：
1.反比例函数在实际问题中的应用。
2.利用反比例函数解决几何问题，如相似多边形的面积比、相似三角形的周长比等。
3.通过实际例子，让学生掌握反比例函数在生活中的应用，如速度与时间的关系、密度与体积的关系等。
4.分析反比例函数的性质，如函数图像、单调性、奇偶性等，并探讨其在实际问题中的应用。
5.练习题：完成教材课后练习第1、2、3题，巩固反比例函数的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用反比例函数知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。

§6.3反比例函数的应用教学目标：1、知识能力目标：能运用反比例函数的图象和性质来解决相关的实际问题。

2、过程与方法目标：经历分析实际问题中的数量关系，建立数学模型，进而解决问题的过程，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

渗透数形结合的数学思想方法。

培养学生从不同角度去多观察、分析、解决问题的发散思维能力。

3、情感态度目标：通过运用反比例函数的知识解决实际问题的过程，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学生的应用意识。

通过思考、交流、合作等探索过程，培养学生的探索精神和创造能力，培养良好的学习习惯。

教学重点和难点:教学重点：综合运用反比例函数的性质解决相关问题.难点及关键：分析实际问题中的数量关系，建立反比例函数的模型。

综合运用函数的关系式，表格和图像解决实际问题。

教学设想：首先通过对反比例函数的知识整理，得到反比例函数学习的相关学习知识，构建系统的学习网络，形成较为完善的反比例函数知识体系。

主要结合学生的学习活动，体现学习的自主性和创造性。

教学过程设计一、课前回顾，导入新课：1、什么是反比例函数？它的一般表达式是什么？反比例函数的图象有何特征？反比例函数kyx，是由两支曲线组成——双曲线。

2、确定一个反比例函数表达式，一般需要几个条件？一个条件，一组相应的y、x的值或一个点坐标即可。

3、反比例函数有何重要的性质？当k>0时，两支曲线分别位于第_______象限内，在每一象限内，y随x的_________；当k<0时，两支曲线分别位于第＿＿＿象限内，在每一象限内，y随x的__________。

二、创设问题情境、引导探索：1、当人和本板对湿地的压力一定时，随着木板S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？（启发学生根据自己的生活经验，发表自己的见解）。

2、假若人和木板对湿地地面的压力合计为600N，请你解答：（1）用含S的代数式表示P，P是S的什么函数？为什么？（2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？（学生分组讨论，然后交流，教师讲解）3、在直角坐标系中，画出上述函数的图象（分组完成，然后交流，讲评、并启发思考：为什么需要作函数在第一象限的图象？）4、上述函数在第一象限的图象，并标出两个关键点：横坐标为0.2的点A，纵坐标为6000的点B），请你利用图象对（2）和（3）作出直观解释。