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【数学】江苏省泰州市姜堰区2015届高三上学期期中考试

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2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1},{012}A B =-=,,，则=B A ▲．2．已知角α的终边经过点(4,3)P -，则sin α的值是▲．3. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =▲． 4．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ． 5．将函数()2sin 2f x x =的图象上每一点向右平移6π个单位，得函数()y g x =的图象，则()g x =▲．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线023=--y x 与圆522=+y x 相交于两点B A ，， 则线段AB 的长度为 ▲ . 7. 不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为▲.8.已知sin(45)α-︒=090α︒<<︒，则cos 2α的值为 ▲ ． 9. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r▲．11．设1m >，已知在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数22z x y =+的最大值为32，则实数m 的值为 ▲ .12．已知等比数列的首项211-=a ，其前四项恰是方程0)2)(2(22=++++nx x mx x 的四个根，则=+n m ▲ .13．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：2+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B使得3=，则点P 的横坐标的取值范围是▲． 14. 已知两条平行直线1l ：m y =和2l ：31y m =+（这里0>m ），且直线1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，直线2l 与函数8log y x =的图像从左至右相交于C 、D ．若记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，则当m 变化时，ba的最小值为▲． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求2ac b -的值；（Ⅱ）若b =32BA BC ⋅= ，求BC BA +的值．16．设a R ∈，函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）已知()f x '是()f x 的导函数，且()()(0)f x g x x x'=≠为奇函数，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求函数)(x f 的单调递增区间。

{}n a17．某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠= ，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形M BCDN 的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DN x m =，试将五边形M BCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．18.已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（Ⅰ）当切线PA 的长度为P 的坐标；（Ⅱ）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．19.若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（d 为常数），则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数||1221(),()()4162x m mx f x f x x -==+，其中.m R ∈ （Ⅰ）若2m =，试判断函数12()()()([2,))f x f x f x x =+∈+∞的单调性，并说明理由； （Ⅱ）设函数12(),2()(),2f x xg x f x x ≥⎧=⎨<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的实数()2,2x ∈-∞，使得12()()g x g x =成立，试确定实数m 的取值范围.高三数学期中试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1},{012}A B =-=,,，则=B A ▲．【答案】{}10，2．已知角α的终边经过点(4,3)P -，则sin α的值是▲． 【答案】353. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =▲． 【答案】134．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ． 【答案】10x y -+=5．将函数()2sin 2f x x =的图象上每一点向右平移6π个单位，得函数()y g x =的图象，则()g x =▲．【答案】()π2sin 23x -6．在平面直角坐标系xOy 中，直线023=--y x 与圆522=+y x 相交于两点B A ，， 则线段AB 的长度为 ▲ . 【答案】47. 不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为▲. 【答案】()1,08.已知sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos 2α的值为 ▲ ． 【答案】7259. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r▲．【答案】32-11．设1m >，已知在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数22z x y =+的最大值为32，则实数m 的值为 ▲ .【答案】32+12．已知等比数列的首项211-=a ，其前四项恰是方程0)2)(2(22=++++nx x mx x 的四个根，则=+n m ▲ . 【答案】215 13．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：2+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B 使得PB PA 3=，则点P 的横坐标的取值范围是▲． 【答案】[]2,2-14. 已知两条平行直线1l ：m y =和2l ：31y m =+（这里0>m ），且直线1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，直线2l 与函数8log y x =的图像从左至右相交于C 、D ．若记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，则当m 变化时，b a的{}n a最小值为▲． 【答案】32二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求2ac b -的值；（Ⅱ）若b =32BA BC ⋅= ，求BC BA +的值．解：（Ⅰ）因为2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，所以20ac b -=……………………………4分（Ⅱ）因为ac b =2，b 22b =，2ac =所以3cos 2BA BC ca B ⋅==，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以225a c +=．……………………………8分所以2222222cos 8BC BA a c BC BA a c ac B +=++⋅=++=即BC BA +=……………………………14分16．设a R ∈，函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）已知()f x '是()f x 的导函数，且()()(0)f x g x x x'=≠为奇函数，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求函数)(x f 的单调递增区间。

解：（Ⅰ）22()(21)()f x x a x a a '=-+++， ……………………………2分 故 2()()(21),0f x a a g x x a x x x'+==+-+≠，()()(0)f x g x x x '=≠ 为奇函数，0,()()0x g x g x ∴∀≠-+=，即210,a +=12a ∴=-； ……………………………6分（Ⅱ）22()(21)()f x x a x a a '=-+++ ()[(1)]x a x a =--+列表如下：……………………………9分∴()f x 在1x a =+处取得极小值，在x a =处取得极大值，由题设12a +=，1a ∴=； ……………………………12分 所以函数的递增区间为),2(),1,(+∞-∞ ……………………………14分 17．某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠= ，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形M BCDN 的市民健身广场．（Ⅰ）假设()DN x m =，试将五边形M BCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域；（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．解：（Ⅰ）作GH ⊥EF ，垂足为H ，因为DN x =，所以40,60NH x NA x =-=-，因为,NH NAHG AM = 所以406010x x AM --=，所以6001040xAM x-=- ………………2分 过M 作//M T BC 交CD 于T ，则MBCDWMBCT MTDN SS S =+1(40)60(60)2AM x AM =-⨯++⨯，所以600101(60)(60010)(40)6040240x x x y x x-+-=-⨯+⨯--()xx ---=4060524002………………………7分 由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,…………………………8分（Ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002x x x x y ，…………………10分所以当且仅当xx -=-4040040，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000， ……13分答：当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ．…………14分 18.已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（Ⅰ）当切线PA 的长度为P 的坐标；（Ⅱ）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．解：（Ⅰ）由题可知，圆M 的半径r ＝2，设P （2b ,b ），因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°,所以MP 4=，解得580==b b 或 所以168(0,0)(,)55P P 或 ……………………………4分 （Ⅱ）设P （2b ，b ），因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为： ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ 即()22(24)40x y b x y y +--+-=由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩， ……………………………7分解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……………………9分（Ⅲ）因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ 即222(4)40x y bx b y b +--++= ……① 圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+= ……②②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-= ……………………………11分点M 到直线AB的距离d =……………………………13分相交弦长即：AB == 当45b =时，AB……………………………16分 19.若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（d 为常数），则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+= ……………………………4分 （Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（A ）)1(221+=+++n a a n n （B ）（B ）-（A ）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分 当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； ……………………………8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=； 当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． ……………………………12分 故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ． 所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分20.已知函数||1221(),()()4162x m mx f x f x x -==+，其中.m R ∈ （Ⅰ）若2m =，试判断函数12()()()([2,))f x f x f x x =+∈+∞的单调性，并说明理由；（Ⅱ）设函数12(),2()(),2f x xg x f x x ≥⎧=⎨<⎩，若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得12()()g x g x =成立，试确定实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）()f x 为减函数。

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江苏省泰州市泰兴市2015届高三上学期期中考试数学试卷

江苏省泰州市泰兴市2015届高三上学期期中考试数学试卷

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则=　　．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　（填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　　．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为　9　．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　　．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于　4　．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是　1　．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　　．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为　2　．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。

江苏省泰州市姜堰区高三上学期期中考试数学试题(Word版含答案).pdf

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2013～2014学年度第一学期期中考试 高数学试题(考试时间：120分钟 总分160分) 命题人： 审题人：注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应答题线上．） ，，则 ▲ ．”的否定是 ▲ ．函数的域为．函数的值域为． ▲ ．，则 ▲ ．满足，若，则 ▲ ．前项和为，若，则 ▲ ．设是定义在上的奇函数,当时, (为自然对数的底数),则的值为．集合，， ，若，则实数的取值范围是 ▲ ．（其中）有两个相等的实根，则 的最小值为 ▲ ．，若，则的取值范围是 ▲ ．，，则数列的前项和等于 ▲ ．是直线上三点，是直线外一点，，，，则＝ ▲ ．二、解答题：（6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） ，，其中． (Ⅰ)若，且，求的值； (Ⅱ)若，求的值． 16．（本题满分14分） 表示的平面区域为A． (Ⅰ)画出平面区域A，并求面积； (Ⅱ)点在平面区域内，求的取值范围； (Ⅲ)一次函数的图像平分区域A的面积，求． 17．（本题满分1分） 已知等差数列中，． (Ⅰ)求数列的前项和的最小值； (Ⅱ)求数列的前项和． 18．（本题满分1分） . (Ⅰ)若， (i)求曲线在点处的切线方程， (ii)求在区间上的最大值； (Ⅱ)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题满分16分） 和互补，且AB=BC． (Ⅰ)设AB=x米，cosA=,求的解析式，并指出x的取值范围； 求四边形ABCD面积的最大值． 20．(本题满分16分) 的三边长分别为，面积为，已知，. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)求证：无论取何正整数，恒为定值； (Ⅲ)判断函数的单调性，并加以说明. 2013～2014学年度第一学期期中考试 高数学试题(考试时间：分钟 总分分) 命题人： 审题人：注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．(本题分分)有两个零点1,2，且在轴上的截距为3. (Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)求函数在区间[0,3]上的值域. B．在等比数列中. (Ⅰ)已知，求；(Ⅱ)已知，求. 22．(本题分)设平面向量,若存在实数和角,其中，使向量,且. 求的关系式; 若,求的最小值,并求出此时的值.(本题分). (Ⅰ)若函数在区间上有极值，求实数的取值范围； (Ⅱ)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； (Ⅲ)当，时，求证：.2013～2014学年度第一学期期中考试 高数学 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8 8.3 9. 10. 11. 12 . 13.2 14. 二、解答题 15.解：(Ⅰ)∵，∴，----------------2分 ∴，∴，----------------------4分 而，∴，∴，即，------6分 又，所以，---------------------------7分 (Ⅱ) ----------------------10分 ∴，即 ∴-------------------------14分 16.解：(Ⅰ)不等式表示直线及直线下方的平面区域；不等式表示直线及直线上方的平面区域；不等式表示直线及直线左侧的平面区域。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。

江苏省姜堰市蒋垛中学2015届高三上学期第一次诊断性考试数学试卷 (1)

江苏省姜堰市蒋垛中学2015届高三上学期第一次诊断性考试数学试卷 (1)

2014.9蒋垛中学2015届高三第一次诊断性考试数 学 试 卷参考公式： 样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ．2．若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ．7．则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 （填甲或乙）．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ．9．将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ．（第6题）11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ． 12．平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ．13．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =．（1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ． 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．A 1B 11CDD 1（第15题）17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．18．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(第18题图)19．(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ．(1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列．（ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小； (2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．南莫中学2015届高三第一次练习答案 09.061．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ．[)0,12．若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ．1- 3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ．x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ．3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ．7． 6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ．32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：的城市为 （填甲或乙）． 乙． 8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ．25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ．π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ．52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ．1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ．1-．13．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ．12(log 9,4)14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ．4 二、15．(本小题满分14分) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =．（1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ， AB ⊄平面11D DCC ，CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．……………… 9分又1AB BC ⊥，而1A BBC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ．………… 14分16．(本小题满分14分) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34． （1）求tan B 的值； （2）若2c =，求△ABC 的面积．A 1B 1C 1CDABD 1（第15题）（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，…………………2分即sin()3sin cos A B B A+=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-．从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．…………4分 又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+，解得1tan 2B =．………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =3sin 5C =． ……………………10分由正弦定理，得sin sin c A a C ===12分 所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ……………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． ………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1．… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．……………11分②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． …………………13分综上所述，a的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18． (本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210x xθ+=+，…4分(2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． (7)分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………9分所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， ………11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．………………………………………14分(注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)19．(本小题满分16分) 已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．19．(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以ABC ∆外接圆圆心(0,3)H=，圆H 的方程为22(3)10x y +-=． ………………………………………………4分 设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以3d ==．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………………6分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-，3，解得43k =，(第17题图)综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ………………………………8分 (2)直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤，因为点M 是线段PN 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的圆C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩…………………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r --++-++≤≤,…………12分又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立．而()2101210f m m m =+－在[0，1]上的值域为[325，10]，所以2325r ≤且2r 10≤9．……15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <. 故圆C 的半径r的取值范围为． …………………………16分 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列． （ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．20．(1)（ⅰ）因为2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x==，所以3149a x =-， ………………………………2分又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =， 所以()()()*1111221n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ………………………………4分 （ⅱ）因为()*21n a n n =-∈N ，所以21220n a n n b -==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--，………………………………………………5分所以其前n 项和()21641n nC t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--，…………………7分当14t <-或12t >时，n n C B >；当14t =-或12t =时，n n C B =； 当1142t -<<时，n n C B <．……………………………………………………………………9分（2）由2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()2*21312()n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得*2163(2,)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥，…………………………………………10分所以()*321613()n n n a a a n n +++++=++∈N ,作差得*36(2,)n n a a n n +-=∈N ≥， ……………11分所以，当1n =时，1n a a x ==；当31n k =-时，()31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-； 当3n k =时，()331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，()314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；………………14分因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<， 所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫ ⎪⎝⎭．…16分。