材料力学：ch15 动载荷
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材料力学：Ch15压杆稳定
4
1041.8kN
n PcrAC 1041 .8 5
P≤240.6kN PAC 0.866 P
例题7：已知压杆为如球果铰两,根由槽两钢根只等在边两角端钢连铆接成λ1＝100,λ2＝62, ,nslt==12..44cr8m，3，0[上4σ－A]述==11.2稳16×20定M28计P.9a算c，m和试2，强校铆度核钉计压孔算杆直会。不径会为发23生m变m，化P? ＝800kN
解：
FA
F
B
t Et cr
l 0.5 600 141.5
i 2.12
细长杆
Et π 2E 2
t
π 2E
E 2
π2
2
π2 12.5106 141.52
39.43
C
临界压力小结：
每一个压杆均有与之相应的临界应力 临界应力取决于压杆的材料、柔度
＝ l i
1
1
2E p
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
FP FP
FP>FPcr :在扰动作用下，
55.1(< s)短粗杆
A 235106 2.3103
b a d d 752KN
i1 11.55mm
Pcr11
129.9
375KN
i2 2
16.3mm 92
Pcr 2 644KN
P i3 15.95mm 3 94
Pcr3 635KN
材料力学CH15概要
2、轴的常用材料
碳素钢：常用的优质碳素钢有30、40、45、和50钢，其中45钢应用最多。优质碳 素钢具有较高的综合机械性能，常用于比较重要或承载较大的轴。
合金钢：常用的合金钢有20Cr、40Cr、35SiMn和35CrMo等。合金钢具有较高的综
合力学性能和较好的热处理性能，常用于重要、承载大而尺寸受限或有较高耐磨 性、防腐性要求的轴。
第十五章
§15-1 概述 §15-2 轴的结构设计 §15-3 轴的强度计算
轴
§15-1
一、轴的用途与分类 1、功用：
概述
1）支承回转零件； 2）传递运动和动力 2、分类：
按承载情况分：
◆心 轴─只承受弯矩的轴，如火车车轮轴。
◆ 传动轴─只承受扭矩的轴，如汽车的传动轴。 ◆转 轴─同时承受弯矩和扭矩的轴，如减速器的轴。
邻零件间必要的空间来确定。 例题中讲的详细，在课程设计中再进行练习。
四、提高轴的强度的常用措施
◆ ◆ ◆ ◆
合理布置轴上零件以减小轴的载荷 改进轴上零件的结构以减小轴的载荷 改进轴的结构以减小应力集中的影响 改进轴的表面质量以提高轴的疲劳强度
合理布置轴上零件以减小轴的载荷
二、轴上零件的定位
◆ 应保证轴上零件有可靠的轴向和周向固定。 1、 零件的轴向定位 圆螺母定位：定位可靠、能承受较大的轴向力。多用于轴端。
二、轴上零件的定位
◆ 应保证轴上零件有可靠的轴向和周向固定。 1、 零件的轴向定位 弹性挡圈定位：结构简单、紧凑，只能承受很小的轴向力，常用于轴 承定位。
二、轴上零件的定位
二、轴上零件的定位
◆ 应保证轴上零件有可靠的轴向和周向固定。 1、 零件的轴向定位 轴肩、轴环定位：结构简单，定位可靠，能承受较大的轴向力，应用广泛。
(整理)材料力学动载荷的概念及分类
第14章动载荷14.1 动载荷的概念及分类在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。
所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。
在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。
如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。
这些部属于动载荷研究的实际工作问题。
实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：1．构件作加速运动。
这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。
2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。
3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。
实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。
因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。
而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。
下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2 构件作加速运动时的应力计算本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1 构件作匀加速直线运动设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。
杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。
CH15轴解析
9550 10 3 P P 3 A0 0.2[ T ] n n
9550 103 －计算常数，见表15-3。 0.2[ ]
T －许用扭应力，见表15-3。
轴强度的计算
空心轴设计条件为：
d A0 3 P n(1 4 )
式中： 注意：
d1 d
－空心轴内外径之比，常取 0.5 ~ 0.6 。
轴的刚度 计算2 轴的设计实例
轴的设计实例
轴的设计包括结构设计和工作能力计算两方面的内容，下面通过设 计一个圆锥─圆柱齿轮减速器的输出轴来说明一具体轴的设计内容。
轴的设计实例
§15-5 轴的振动及临界转速
§1 ◆ 轴是一弹性体，旋转时，会产生弯曲振动、扭转振动及纵向振动。 2-5 ◆ 当轴的振动频率与轴的自振频率相同时，就会发生共振。 轴 ◆ 共振时轴的转速称为临界转速。 的 ◆ 临界转速有多个，其中一阶临界转速（其转速最低）下的共振最激烈。 振 动 一般通用机械中的轴很少发生共振。高速轴易共振，多为弯曲共振。 及 1. 单圆盘轴的一阶临界转速 nc1 详细推导 临 界 g 1 c1 （r/min） （rad/s）； nc1 964 转 y0 y0 速 刚性轴：工作转速 n 低于 nc1 的轴， 要求： n < 0.75nc1 挠性轴：工作转速 n 超过 nc1 的轴， 要求：1.4 nc1< n < 0.7nc2 满足上述条件的轴就是具有了弯曲振动的稳定 性。 2. 多圆盘轴的一阶临界转速 －见教材P253。
轴的 设计 实例
§15-3 轴的强度计算
结构设计结束之后，对轴进行适当简化，并进行受力分析，计算出 §12-3 轴所受的载荷，即可对轴进行校核计算。 轴的强 度计算1 轴的校核计算内容：满足强度、刚度和振动稳定性要求。
9550 103 －计算常数，见表15-3。 0.2[ ]
T －许用扭应力，见表15-3。
轴强度的计算
空心轴设计条件为：
d A0 3 P n(1 4 )
式中： 注意：
d1 d
－空心轴内外径之比，常取 0.5 ~ 0.6 。
轴的刚度 计算2 轴的设计实例
轴的设计实例
轴的设计包括结构设计和工作能力计算两方面的内容，下面通过设 计一个圆锥─圆柱齿轮减速器的输出轴来说明一具体轴的设计内容。
轴的设计实例
§15-5 轴的振动及临界转速
§1 ◆ 轴是一弹性体，旋转时，会产生弯曲振动、扭转振动及纵向振动。 2-5 ◆ 当轴的振动频率与轴的自振频率相同时，就会发生共振。 轴 ◆ 共振时轴的转速称为临界转速。 的 ◆ 临界转速有多个，其中一阶临界转速（其转速最低）下的共振最激烈。 振 动 一般通用机械中的轴很少发生共振。高速轴易共振，多为弯曲共振。 及 1. 单圆盘轴的一阶临界转速 nc1 详细推导 临 界 g 1 c1 （r/min） （rad/s）； nc1 964 转 y0 y0 速 刚性轴：工作转速 n 低于 nc1 的轴， 要求： n < 0.75nc1 挠性轴：工作转速 n 超过 nc1 的轴， 要求：1.4 nc1< n < 0.7nc2 满足上述条件的轴就是具有了弯曲振动的稳定 性。 2. 多圆盘轴的一阶临界转速 －见教材P253。
轴的 设计 实例
§15-3 轴的强度计算
结构设计结束之后，对轴进行适当简化，并进行受力分析，计算出 §12-3 轴所受的载荷，即可对轴进行校核计算。 轴的强 度计算1 轴的校核计算内容：满足强度、刚度和振动稳定性要求。
动载荷
材料力学课件
§10.1.2
应用动静法求解匀速转动构件
圆环以匀角速度ω 旋转，厚度δ远小于平均直径D，横截 面积A，密度ρ，求动应力。 D an 2 解：圆环内各点只有向心加速度， 2 A D 2 按动静法，惯性力集度 qd A an 方向背离圆心 2 qd ω ω
d
Fuzhou University
材料力学课件
计算动载荷的前提：试验表明，在静载荷下服从
Hooke定律的材料，只要动应力不超过比例极限，
应力和变形的计算在动载荷情况下仍然服从Hooke
定律，且弹性模量与静载荷情况下相同。
计算动载荷的方法：动静法、能量法。
Fuzhou University
材料力学课件 §10.1
2 2d j
d
2T j P
0
Fuzhou University
材料力学课件
2T d j 1 1 P j
求⊿d最大值，取“＋”号。
记
Kd 1 1
2T （冲击动荷系数） P j
d K d j
Fd K d P
Fuzhou University
M el M e k3 GI p
材料力学课件
弹簧系统：
T
P
d
假设冲击物体(重量为P)与构件接触时动能为T， 构件与物体一起运动，当速度为零时变形量为 ⊿d
系统在运动过程中，动能和势能减小，变形能 增加，根据能量守恒定律，速度为零时满足：
V d T Pd
T Md
0.5 KNm 3
Fuzhou University
材料力学课件
最大切应力为：
材料力学(单辉组)第十五章动载荷问题
9
冲击应力分析
10
elastic
v0
冲击物
被冲击物
当运动物体碰到静止构件时，前者运动将受到阻 碍而在迅速停止运动，这时构件受到冲击作用
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物， 而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物
11
冲击问题特点
作用过程时间短 速度急剧改变 较大动应力
elastic
v0
A P hl
B
15
初始状态
A P hl
B
Dd
冲击过程两个状态：
Pd
危险状态
重物与圆盘接触后，速度减为零，杆下端B 就达到最低位臵，此时杆下端B的最大位移
为Dd (等于杆AB的伸长)，相应的冲击荷载为Pd
16
冲击物能量变化
当杆下端B到达最低点时，
冲击物势能的减少量
初始
V P(h Dd )
冲击物初速度和终速度为零， 所以动能无变化，即
动荷系数
2h
Kd 1
1 Dst
可见在冲击荷载计算中 确定相应的冲击动荷系数Kd是关键
23
预测评估
T V U
忽略被冲击物 动能和势能变化
A P
hl
B
Pd
P
Dd
Dst
实际过程不可避免存在声、热等能量损耗，因此， 被冲击构件中所增加的应变能Ud小于冲击物所减少 的能量，导致上述预测的冲击动荷系数偏大
安 臵 一个 刚 度为 C=300kN/m 的 弹 簧 P
则吊索受到的冲击荷载又是多少？
26
解: (1)确定两个状态
Pd---冲击荷载
Dst--滑轮D卡住不动,
吊索AC的静伸长
Dd--滑轮D卡住后,
材料力学动载荷ppt课件
FL3 48EI
F 2
C
Kd 1
1
2H FL3 F
48EI 2C
最大应力
1 FL
d max
K d j max
Kd
4 W
Z
最大挠度
d max
Kd st max
Kd
FL3 48EI
例 已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, 求两种情况 的动应力。（1）H = 1m自由下落；（2）H =1m, 橡皮垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
a) g
FNd
2、动应力的计算
lm
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
m
a
x
Ax
Ax a
g
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
最大动应力
x
L
d max
L(1
a g
)
a
应力分布
a = 0时 d x st
l(1 a )
d
st (1
a) g
令K d
d
Kd
j
Kd
Q; A
(Ld
Kd Lst
Kd
QL ) EA
例：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物 从距梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受 冲击时的最大应力和最大挠度。
A
F
C
H
B
b b
解（1）、动荷系数
h
Z
L/2
L/2
F
A
材料力学 动载荷
a qqstqd qst(1g)
引入动荷因数
Kd
1
a g
则
qKdqst
由对称关系可知，两吊索 的轴力相等，其值可由平衡方 程求得
FNd
1 2
ql
故得吊索的动应力为
d Kd(1ga)q2sAtl
2m 4m 4m 2m ACB a (a)
z y
FNd q
FNd
A
B (b)
第18页，共60页。
d Kd(1ga)q2sAtl
解：将集度为 qd=A a 的惯性
力加在工字钢上，使工字钢上
的起吊力与其重量和惯性力假
想地组成平衡力系〔见图b〕。
2m 4m 4m 2m ACB a (a)
z y
假设工字钢单位长度的重量记为
qst ，那么惯性力集度为
qd
q st g
a
FNd q A
FNd B (b)
于是，工字钢上总的均布力集度为
qqstqd qst(1ga) 第17页，共60页。
0
0
G(lx)2dx
gl
A ddF
B
x dx ldx l
G2 (lx x2 )
gl
2
FNd (x)
x
FNd (x)
dx
轴力是按抛物线规律变化
c.绘内力图。确定内力最大的
截面，并计算最大应力。
FNd (x)
x l 时，该截面上的轴力最大.
FNd
G 2l
FNd max 2g
第25页，共60页。
G 2l
假设——
1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律；
2、不考虑被冲击构件内应力波的传播；
3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失。
资料：ch15 动载荷(3rd)
第15章 动载荷15-2图a 所示圆截面轴AB ，在截面C 处装有飞轮。
在矩为M A的扭力偶作用下，轴与飞轮以角加速度ε转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为J ，轴的转动惯量忽略不计，试分析轴的受力，画轴的扭矩图。
题15-2图解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为εJ M =ε而其方向则与角加速度ε的方向相反（图b ）。
可见，εJ M M A ==ε由截面法可知，AC 与CB 段的扭矩分别为εJ M T A ==1， 02=T轴的扭矩图如图c 所示。
15-3图a 所示处于水平状态的等截面直杆，承受轴向载荷F 作用。
设杆长为l ，横截面面积为A ，弹性模量为E ，材料密度为ρ，杆底滚轮的摩擦力忽略不计，试求杆内横截面上的最大正应力与杆件的轴向变形。
题15-3图解：惯性力集度为lF q =d 轴力方程为)()()(d N x l lFx l q x F --=--= 杆的轴向变形为EAFlx x l lEA F l l 2d )(0-=--=∆⎰ 15-4 长度为l = 180mm 的铸铁杆，以角速度ω绕O 1O 2轴等速旋转。
若铸铁密度ρ=7.54×103kg/m 3，许用应力[σ]= 40MPa ，弹性模量E = 160GPa ，试根据杆的强度确定轴的许用转速，并计算杆的相应伸长。
题15-4图解：1.轴的许用转速离轴为x 处的x d 微段质量的离心惯性力为x ωx A F 2)d (d ⋅=μx 处杆截面的轴力为)4(2d )(2222/2N x l A ωx x A ωx F l x-==**⎰ρρ(a)最大轴力在轴线处（0=x ），其值为822max N,l A ωF ρ=由强度要求 ][822maxN,max σl AF σ≤==ρω得1-1-2362s 51144s 180.01054.710408][8.l σω=⨯⨯⨯⨯=≤ρ 相应之许用转速则为r/min 10929min2πr5.114460π260=⨯==ωn 2.杆的总伸长量由式(a)可得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==222N 42)()(x l E EA x F x ερω 从而有 E l x x l E x x εl l l 12d 422)d (2Δ322/02/0222ρωρω=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰于是得0.030mm m 1000.3m 1016012180.05.11441054.7Δ59323=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-l 15-5 图示涡轮叶片，随涡轮以角速度ω等速旋转。
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解：1. 许用轴向压力计算 杆截面的惯性半径为
题 15-9 图
杆的细长比为 由于
i
I A
a4 12
1 a2
a 23
0.050m 0.01443m 23
于是，杆内横截面上最大正应力为
max
Fd A
P A
1
1
2h Δst
π
500N 104 m2
1
1
2 0.100 1.516 105
1.844 108 Pa 184.4MPa
（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为
Δst
Pl EI
P k
1.516 105 m
500 200 103
m
2.52 103 m
解：惯性力集度为
题 15-3 图
1
qd
F l
轴力方程为
FN
(
x)
qd
(l
x
)
F l
(l
x
)
杆的轴向变形为
l
F lEA
l
0
(l
x)dx
Fl 2EA
15-4 长度为l = 180mm的铸铁杆，以角速度 绕O1O2轴等速旋转。若铸铁密度
=7.54×103kg/m3，许用应力[ ]= 40MPa，弹性模量E = 160GPa，试根据杆的强度确定轴
l
Ro Ri
[ ] E
dx
[ ] E
( Ro
Ri
)
15-6 图a所示等截面刚架，以角速度绕轴AB转动。设刚架各横截面的面积均为A，
材料的密度为，试画刚架的弯矩图，并确定最大弯矩。
4
题 15-6 图
解：刚架所受惯性力如图 b 所示，
q
a 2
2 A
Fd
a/2 0
x 2 Adx
a2 8
2A
刚架的弯矩图如图c所示，最大弯矩为
第 15 章 动载荷
15-2图a所示圆截面轴AB，在截面C处装有飞轮。在矩为MA的扭力偶作用下，轴与
飞轮以角加速度转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为J，轴的转动惯量忽略不计，试分析轴的 受力，画轴的扭矩图。
题 15-2 图 解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为
M ε J
而其方向则与角加速度的方向相反（图 b）。可见，
（1）冲击物直接落在杆的突缘上（图 a）； （2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量 k =200 N/mm（图 b）。
题 15-8 图
解：（1）以 P 作为静载荷置于突缘上，有静位移
Δst
Pl EA
500 2.00 210 109
π
4 0.0202
m
1.516 105
m
最大冲击载荷为
Fd P1
1
2h Δst
的许用转速，并计算杆的相应伸长。
题 15-4 图
解：1.轴的许用转速
离轴为 x 处的 dx 微段质量的离心惯性力为
dF (Adx)ω2 x
x 处杆截面的轴力为
FN (x)
l /2 Aω2 xdx
x
Aω2 2
(l2 4
x2)
(a)
最大轴力在轴线处（ x 0 ），其值为
FN,max
Aω2l 2 8
C
Wω2 R0 g[σ ]
e
2 R02 2[σ ]
(c)
将式(c)代入式(a)，最后得到
A(
x)
Wω2 R0 g[σ ]
e
2
( R02 x2 2[σ ]
)
2．轴向变形分析
根据胡克定律，叶片微段 dx 的伸长为
d( l )
FN (x)dx EA
[ ]Adx EA
[ ]dx E
由此得叶片的总伸长为
由强度要求
σ max
FN,max A
2l 2 8
[σ]
得
ω
8[σ ] l 2
8 40106 7.54 103 0.1802 sec2
1144.5
1/ sec
相应之许用转速则为
2.杆的总伸长量 由式(a)可得
n
60 2π
ω
60 1144.5r 2π min
10929
r/min
2
从而有
ε(x)
FN (x) EA
料的弹性模量为E，密度为 ，许用应力为[ ]，试按各横截面的正应力均等于许用应力的
原则，确定叶片x截面的面积A(x)，并计算叶片的轴向变形。与叶片的离心力相比，叶片的
重量可以忽略不计。
解：1.等强设计
题 15-5 图
当各横截面上的正应力均等于许用应力 [σ] 时，叶片微段 dx 的受力如图 15-5 所示。由
最大冲击载荷为
Fd P1
1
2h Δst
6
于是，杆内横截面上最大的正应力为
max
Fd A
500N π 104 m2
1
1
2 0.100 2.52 103
1.586 107
Pa
15.86MPa
15-9 图示正方形截面钢杆，横截面的边宽a=50mm，杆长l=1m，材料的弹性模量
E=200GPa，比例极限p=200MPa，一重量P＝1kN的冲击物自高度h处自由下落，稳定安全 因数nst=2.0，杆的质量与撞击物的变形忽略不计。试计算高度h的允许值。
平衡方程 得
Fx 0, [σ]( A dA) (Adx)ω2 x [σ]A 0
dA A
2 xdx [σ ]
经积分，得
lnA
2 x2 2[σ ]
lnC
或写成
2 x2
A( x) Ce 2[σ ]
(a)3由图可知： Nhomakorabea图 15-5
当
x
R0时， A(
x)
A(
R0
)
Wω2 R0 g[σ ]
(b)
将式(b)代入式(a)，得
M A M ε J
由截面法可知，AC 与 CB 段的扭矩分别为
T1 M A J ， T2 0
轴的扭矩图如图 c 所示。
15-3图a所示处于水平状态的等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆长为l，横截
面面积为A，弹性模量为E，材料密度为，杆底滚轮的摩擦力忽略不计，试求杆内横截面上 的最大正应力与杆件的轴向变形。
M
max
7Aa 2 2 16
15-7 在图示圆轴AB上，安装一个带有圆孔的圆盘，并以角速度作等速旋转。设
圆盘材料的密度为，试计算圆轴内的最大弯曲正应力。
题 15-7 图
解：作用在圆轴上的横向惯性力为
Fd
πd12 4
2h
由此在轴内引起的最大弯矩为
5
而最大弯曲正应力则为
M max
Fdl 2
π 8
hl2d12
max
32M max πd 3
4hl 2 d12 d3
15-8 图示圆截面钢杆，直径d =20mm，杆长l =2m，弹性模量E =210GPa，一重量
为P = 500N的冲击物，沿杆轴自高度h =100mm处自由下落。杆与突缘的质量以及突缘与冲 击物的变形均忽略不计,试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。
2 2E
l2 4
x2
Δl
2
l /2 ε( x)dx
0
2
l/2 0
2 2E
l2 4
x2 dx
2l 3 12E
于是得
15-5
Δl
7.54
103 12
1144.52 160 109
0.1803
m
3.00
10
5
m
0.030mm
图示涡轮叶片，随涡轮以角速度 等速旋转。设叶冠A的重量为W，叶片材