稳定性分析
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课程设计
学生姓名：呼静静
学号：0802044306
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子
题目：自动控制系统传递函数稳定性分析
指导教师：史源源职称: 硕士1引言
由于求解高阶系统时域响应十分困难，时域分析法主要适用于低阶系统的性能分析，在高阶系统的性能分析中，应用时域分析法较为困难。
频域分析法主要适用于线性定常系统，是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法，应用十分广泛。
它克服了求解高阶系统时域响应十分困难的缺点，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性，分析系统参数对系统性能的影响，在控制系统的校正设计中应用尤为广泛。
频率特性是频域分析法分析和设计控制系统时所用的数学模型，它既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）方便地转换过来，或用实验法来确定。
本章介绍频率特性的基本概念、典型环节和系统的开环频率特性、乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性、由系统开环频率特性求闭环频率特性的方法、系统性能的频域分析方法以及频率特性的实验确定方法。
2用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据
设G(s)为系统开环传递函数，在G(s)中取s＝jω得到系统开环频率响应G（jω）。
当参变量ω由0变化到+∞时，可在复数平面上画出G（jω）随ω的变化轨迹，称为奈奎斯特图。
奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数G(s)在s复数平面的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有Z＝P-2N
Z是闭环控制系统的特征方程在右半s平面上根的个数，所谓特征方程是传递函数分母多项式为零的代数方程。
P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。
N是当角频率由ω＝0变化到ω＝+∞时G（jω）的轨迹沿逆时针方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。
奈奎斯特稳定判据还指出：Z＝0时，闭环控制系统稳定；Z≠0时，闭环控制系统不稳定。
判据的推广形式。
当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时，必须采用判据的推广形式才能对闭环系统稳定性作出正确的判断。
在推广形式判据中,开环频率响应G（jω）的奈奎斯特图不是按ω
连续地由0变到+∞ 来得到的，ω的变化路径如图所示，称为推广的奈奎斯特路径。
在这个路径中，当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径很小的半圆从右侧绕过。
只要按这条路径来作出G(ω)从ω
＝0变化到ω＝+∞时的奈奎斯特图，则Z＝P-2N和关于稳定性的结论仍然成立。
3对数频率响应稳定判据
这种判据在实质上与奈奎斯特判据相似。
惟一的差别在于,对数判据是
根据 G (j&owega;)的幅值对数图和相角图来确定N 的。
在幅值对数图上特性为正值时的频率区间内，规定相角图上特性曲线由下向上穿过-180°线称为正穿越，而由上向下称为负穿越。
分别用N 和N 表示正穿越次数和负穿越次数,则N ＝N -N 。
判据的结论仍然是Z ＝P －2N ，且Z ＝0时闭环系统稳定，Z ≠0时闭环系统不稳定。
由于频率响应的幅值对数图和相角图易于绘制，因此对数频率响应稳定判据应用更广。
已知系统的开环传递函数为()()()()
1112
2++=
s T s
s T K s H s G ，试分析时间常数1T 和2T 的相
对大小对系统稳定性的影响，并画出他们所对应的奈氏图。
1. 1T ﹤2T
2.1T ﹦2T
3. 1T ﹥2T 已知系统的开环传递函数为G （s ）H(s)=K(T 2S +1)
S T 1
S +1 (K,T 1,T 2>0)
G K (j ω)=K(1+j ωT 2)
j ω (1+j ωT 1)
= K 1+j ωT 2
(1−j ωT 1)
−ω2(1+j ωT 1)(1−j ωT 1)
=
K 1+ω2T 1T 2 +j ωK (T 2−T 1)
−ω2(1+ω2T 12)
=K(1+ω2T 1T 2)
−ω2(1+ω2T 1
2)-j K(T 2−T 1
)
ω(1+ω2T 1)
2
A(ω)=
K 1+ω2T 22j ω
1+ω
T 1
φ(ω)=—180-arctan ωT 1+arctan ωT 2 该系统是Ⅱ型（V=2）系统。
系统开环奈氏曲线的起点：当ω→0时，A （0）=∞，φ（0）=—1800 系统开环奈氏曲线的终点：当ω→∞时，A （∞）→0，φ（∞）→—1800 系统开环奈氏曲线的形状视时间常数T 1和T 2数值大小的不同而不同。
（1） 当T 2〈T 1时，因为0〈ω〈∞，系统的开环奈氏曲线位于第二象限，
如图所示（a ）;
（2） 当T 2〉T 1时，因为0〈ω〈∞，系统的开环奈氏曲线位于第三象限。
如图所示（b ）;
（3） 当T 2=T 1时，φ（ω）=—1800，所以当0〈ω〈∞时，系统开环奈
氏曲线沿负实轴变化;
假设系统的开环传递函数为)
11.0(1)(2
++=s s s s G
绘出系统奈氏曲线，程序如下
>> clear all; >> num=[1 1];
>> den=conv([1 0 0],[0.1 1]); >> sys=tf(num,den); >> figure(1), >> nyquist(sys);
>> figure(2),sys1=feedback(sys,1); >> step(sys1)
假设系统的开环传递函数为)
1(11.0)(2
++=s s s s G
绘出系统奈氏曲线，程序如下
clear all
>> num=[0.1 1];
>> den=conv([1 0 0],[1 1]);sys=tf(num,den); >> figure(1), >> nyquist(sys);
>> figure(2),sys1=feedback(sys,1);
假设系统的开环传递函数为2
1)(s
s G
绘出系统奈氏曲线，程序如下 >> clear all >> num=1;
>> den=[1 0 0];
>> sys=tf(num,den); >> figure(1), >> nyquist(sys);
>> figure(2),sys1=feedback(sys,1); >> step(sys1)。
