2021年高中数学课时跟踪检测十四随机事件的概率概率的意义新人教A版必修

课时跟踪检测（十四） 随机事件的概率 概率的意义[层级一 学业水平达标]1．有以下几个事件：①掷一枚硬币，出现反面；②异性电荷相互吸引；③3＋5>10.其中是必然事件的有( )A ．②B ．③C ．①D ．②③解析：选A ①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件． 2．有以下几个事件：①连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点； ②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2； ④在标准大气压下，水加热到90 ℃时会沸腾． 其中是随机事件的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②是随机事件，③是必然事件，④是不可能事件．3．根据北京市教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为 1 200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为( )A ．460B ．480C ．不少于480D ．不多于480解析：选C 根据题意，知该校近视的学生人数约为40%×1 200＝480，结合实际情况，眼镜商应准备眼镜不少于480副．4．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对．”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确．[层级二 应试能力达标]1．以下事件是随机事件的是( ) A ．导体通电时发热B ．某人投篮5次，没投中一次C ．长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体，其体积为abcD ．在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大解析：选B A 是必然事件，C 为必然事件，D 为不可能事件． 2．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ①概率指的是可能性，错误；②频率为37，而不是概率，错误；③频率不是概率，错误．3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 019次，那么第2 018次出现正面朝上的概率是( )A.12 018B.12 019C.2 0182 019D.12解析：选D 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第2 018次，有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为12.故选D.4．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指( )A ．老师每讲一题，该题有80%的部分李峰能听懂，20%的部分李峰听不懂B ．在老师讲的10道题中，李峰听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对解析：选C 概率的意义就是事件发生的可能性大小．5．下列给出五个事件： ①某地2月3日下雪；②函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在定义域上是增函数； ③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰； ⑤a ，b ∈R ，则ab ＝ba .其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________． 解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案． 答案：③⑤ ④ ①②6．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．解析：P ＝60020 000＝0.03.答案：0.037．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．解析：设总体中的个体数为x ，则10x ＝112，所以x ＝120.答案：1208．某教授为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分．统计结果如下表所示：贫困地区发达地区(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率； (2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)如表所示：贫困地区发达地区(2)随着测试人数的增加，两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55.故可估计概率分别为0.5和0.55.9．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？解：列表如下：由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因为P(和为6)＝312＝14，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．规则改为：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和小于等于6，那么甲获胜；否则乙获胜．此时游戏对双方都公平．(答案不唯一)。

人教版高中数学必修三第三章统计3.1.1《随机事件的概率》要点梳理【学习目标】在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．【要点梳理·夯实知识基础】12.频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A 出现的频率．[答案]事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝nAn3．概率(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．[答案](1)可能性(2)概率P(A) 频率fn(A)【考点探究·突破重点难点】考点一：事件类型的判断1.下列事件:①明天下雨;②3>2;③航天飞机发射成功;④x∈R,x2+2<0;⑤某艘商船遭遇索马里海盗;⑥任给x0∈R,x0+2=0.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:D2.下列说法正确的是()A.某人购买福利彩票一注,中奖500万元,是不可能事件B.三角形的两边之和大于第三边,是随机事件C.没有空气和水,人类可以生存下去,是不可能事件D.科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现,是必然事件答案:C3.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生答案:D解析:∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花;∴这个事件一定发生,是必然事件.考点而：试验的结果分析4.下列命题中正确的个数是()①先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果为正面,正面;正面,反面;反面,反面,共计3种.②从12个同类产品(其中10个是正品,2个次品)中,任意抽取3个产品的每一个结果中一定含有正品.③某地举行运动会,从来自A学校的a,b志愿者中选一人,从来自B学校的c,d,e志愿者中选一人共2人为体操馆服务,则有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种选法. A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:①中应该有4个结果,即正面,正面;正面,反面;反面,正面;反面,反面.故①不正确.②③正确.5.先后投掷2枚均匀的一分、二分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则包含3个试验结果的是()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上答案:A解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“一分正面向上,二分正面向上”,“一分正面向上,二分正面向下”,“一分正面向下,二分正面向上”3种试验结果.6.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).(1)写出这个试验的所有结果.(2)“x+y=5”包含的结果有哪些?“x<3且y>1”呢? (3)“xy=4”包含的结果有哪些?“x=y ”呢?解:(1)结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)“x+y=5”包含的结果为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3且y>1” 包含的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (3)“xy=4”包含的结果为(1,4),(2,2),(4,1). “x=y ”包含的结果为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 考点三：随机事件的频率与概率7.下列说法:①频率反映的是事件发生的频繁程度.概率反映的是事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率nm就是事件A 的概率;③频率是不能脱离具体的n 次的试验值,而概率是确定性的,不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确说法的序号是 . 答案:①③④解析:由频率及概率的定义可知①是正确的.在②中,nm是事件A 发生的频率,虽然概率是与频率接近的一个常数,但是概率不一定等于频率,故②是错误的.由概率的定义知③④是正确的.8.在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:①一定会出现;②出现的频率为61;③出现的概率是61;④出现的频率是32.其中正确的是 . 答案:③9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以下.解:由题意知总人数为40+200+400+100+40+20=800.则选修李老师高等数学的学生考试成绩在90分以上,60~69分,60分以下的频率分别为80040＝201；800100＝81；80060＝403.用以上信息估计王小慧得分的概率情况如下:(1)“得90分以上”的概率为201,(2)“得60~69分”的概率为81,(3)“得60分以下”的概率为403.[3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.32.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .45.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.517.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2%12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .15.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 .18.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .三、解答题19.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.20.对一批U盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.3.1.1《随机事件的概率》跟踪检测解答一、选择题1.给出下列3种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是m n =73; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数 是( ) A.0B.1C.2D.3答案:A2.下面事件:①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案:D解析:三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边.3.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案:B4.已知下列事件:①向区间(0,2)内投点,点落在(0,2)区间;②将一根长为a 的铁丝随意截成三段,构成一个三角形;③函数y=a x (a>0,且a ≠1)在R 上为增函数;④解方程x 2-1=0的根为2.其中是随机事件的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:①为必然事件;④为不可能事件. 5.下列事件中,不可能事件为( ) A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边 答案: C6.袋内装有一个黑球与一个白球,从袋中取出一球,在100次摸球中,摸到黑球的频率为0.49,则摸到白球的次数为( ) A.49B.51C.0.49D.0.51答案:B7.某班计划从A ,B ,C ,D ,E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动,则可能的结果有( ) A .5种 B .10种 C .15种 D .20种 答案:B解析:从A ,B ,C ,D ,E 五人中选2人,不同的选法有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.8.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有 ( ) A.64个B.640个C.16个D.160个答案: C9.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A解析:①错误;②出现正面的概率为21,故错误;③频率与概率不是一回事,故错误. 10.一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( ) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案: C11.从一批即将出厂的螺丝中抽查了100颗,仅有2颗是次品.下列说法正确的是( )A .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率一定是2%B .从这批螺丝中随机抽取1颗,一定不是次品C .从这批螺丝中随机抽取100颗,必有2颗是次品D .从这批螺丝中随机抽取1颗,恰为次品的概率约是2% 答案: D解析:抽取出次品的频率是1002=2%,用频率估计概率,抽出次品的概率大约是2%. 12.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是41,我每题都选择第一个选项,则一定有3个题选择结果正确”这句话( ) A.正确 B.错误 C.不一定D.无法解释答案: B 二、填空题13.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一位同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 范围内的概率为 (用分数表示).答案:52解析:数据在155.5~170.5之间有8名学生,则身高在此范围内的频率为208＝52,所以概率约为52.14.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为 ,事件A 出现的频率为 .答案: 52 0.5215.设集合A={x|x 2≤4,x ∈Z },a ,b ∈A ,设直线3x+4y=0与圆(x-a )2+(y-b )2=1相切为事件M ,用(a ,b )表示每一个基本事件,则事件M 所包含的结果为 . 答案:(-1,2),(1,-2) 解析:由直线与圆相切知,543b a +=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知,只有⎩⎨⎧=-=21b a ，⎩⎨⎧==2-1b a 满足等式.16.则a= ,b= ,c= .据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 . 答案: 0.51 241 800 0.5解析:a=200102=0.51,b=500×0.482=241;c=505.0404=800. 易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.17.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1～5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为 . 答案: 0.3518.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 . 答案: 0.03 三、解答题19.从含有两个正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的所有可能结果.(2)设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A 对应的结果. [解析](1)试验所有结果:a 1,a 2;a 1,b 1;a 2,b 1;a 2,a 1;b 1,a 1;b 1,a 2.共6种. (2)事件A 对应的结果为:a 1,b 1;a 2,b 1;b 1,a 1;b 1,a 2. 20.对一批U 盘进行抽检,结果如下表:(1)计算表中各个次品频率.(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,则销售2 000个U 盘,至少需进货多少个U 盘?[解析](1)表中各个次品频率分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘,为保证其中有2 000个正品U 盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x 是正整数,所以x ≥2 041,即至少需进货2 041个U 盘.21.:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解：(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1513.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为87.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为87.22.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.[解析] 设水库中鱼的尾数为n,从水库中任捕一尾,每尾鱼被捕的频率(代替概率)为n2000,第二次从水库中捕出500尾,带有记号的鱼有40尾,则带记号的鱼被捕 的频率(代替概率)为50040,由n 2000=50040,得n=25 000.所以水库中约有25 000尾.。

3.1.2 概率的意义【教学目标】 【知识与技能】1.学生在具体实例学习中正确理解概率的意义（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A 的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A 发生的频率的近似值．（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．2.能利用概率知识正确解释现实生活中的实际问题. （1）概率与公平性的关系：利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理. （2）概率与决策的关系：在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发生的可能性大. （3）概率与天气预报的关系：降水概率的大小只能说明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的 （4）概率与遗传机理的关系. 【情感与态度】1.通过学生的探究、讨论和试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系，学会用试验、观察、猜想、论证，这种科学的研究方法来解决实际问题．2.利用概率思想正确处理和解释实际问题的理性思维，在实践中不断巩固和应用，提升自己的数学素养.培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识． 【过程与方法】1.发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；2.通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法． 【重点和难点】重点：概率意义的理解和应用.难点：用概率知识解决现实生活中的具体问题. 【教学过程】（预习教材113P ～118P ）一、课前准备1.确定事件和随机事件（1）在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的必然事件,简称必然事件； （2）在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件,简称不可能事件; （3）必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的 , 简称 ；（4）在条件S 下， 的事件，叫做相对于条件S 的随机事件, 简称随机事件. 2.频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的 ，称事件A 出现的比例f n (A)= 为事件A 出现的 . 必然事件出现的频率为 , 不可能事件出现的频率为 .3.概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个 上，把这个常数记作 ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率. 二、新知导学1、概率的正确理解(1)创设情境，引出研究的问题问题1：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面向上，一次反面向上.你认为这种想法正确吗？ (2)引导探究、获得新知探究：全班同学各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录结果，重复上面的过程10次.将全班同学的实验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有什么发现？通过具体的实验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”， “两次反面朝上”， “一次正面朝上，一次反面朝上”.这正体现了随机事件发生的随机性.而且通过实验我们还发现，“两次正面朝上”的概率是0.25，“两次反面朝上”的概率也是0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上”的概率是0.5.上述实验告诉我们，随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中蕴含着规律性.认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性.(3)理解概率的意义用树状图列举出实验的结果，连续两次抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？①“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.这几种结果概率相等吗？ ②两枚硬币落地共有四种结果：(正，正)；(正，反)；(反，正)；(反，反)．这几种结果概率相等吗？ 问题2：如果某种彩票的中奖概率是11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？ 买1000张彩票，相当于做1000次实验，因为每次实验的结果都是随机的，所以每张彩票既可能中奖也可能不中奖，因此买1000张彩票可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖.虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中也具有规律性.随着所买彩票张数的增加，其中中奖彩票所占的比例可能越接近于11000. 归纳升华从以下两个方面理解概率的意义1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A 的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A 发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．变式练习1．（1）下列说法正确的是( )A ．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B ．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”C ．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率解析：A 的结果是频率；B 错的原因是误解了概率是12的含义；C 错的原因是忽略了整体与部分的区别．（2）在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( ) A ．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖B ．这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元C ．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001D ．以上说法都不正确解析：摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×0.001＝10元． 2.游戏的公平性问题3：在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁判员常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？ 请用概率的知识解释其公平性.体育比赛中决定发球权的方法常用抛硬币的形式，裁判员抛起一枚硬币，落下后，让双方猜正反面，猜中的一方，选择哪边场地或者先发球，二者只能二选一 ，因为正面朝上与反面朝上的概率都是0.5，所以任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5.因此，这个规则是公平的.归纳升华各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的.游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等.思考：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下方法：抛掷两枚骰子，得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？这种方法不公平，因为每个班级被选中的概率不相等二至十二班中各班被选中的概率分别为变式练习1．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？__________.2. 有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B ，转盘A 被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B 被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字.现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A 和B ，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？解：列表如下：由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.因此甲获胜的概率为1/4, 乙获胜的概率为 3/4,甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平. 3.决策中的概率思想问题4：如果连续10次掷一枚骰子，结果都出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗？为什么？ 此时我们面临两种决策，一种是这枚骰子质地均匀，另一种是这枚骰子质地不均匀.当连续10次抛掷这枚骰子，结果都出现1点，而如果骰子是均匀的，一次试验中每个面出现的可能性是1/6，从而连续10次出现一点的概率是1016⎛⎫⎪⎝⎭≈0.000000016538，这在一次试验中几乎不可能发生.归纳升华如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”(即概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大)可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.变式练习1.设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球,1个黑球;乙箱有1个白球,99个黑球;今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球.问这球从哪一个箱子中取出?变式练习2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )A ．这100个铜板两面是一样的B ．这100个铜板两面是不同的C ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的 4.天气预报的概率解释问题5：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%. 你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点？ A.明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨； B.明天本地下雨的机会是70%.因为70%的概率是说降水的概率，而不是说70%的区域降水.正确的选择B. 归纳升华降水概率的大小只能说明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的变式练习1.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为85%”,这是指( )A.明天该地区有85%的地区降水,其他15%的地区不降水B.明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水C.气象台的专家中,有85%的人认为会降水,另外15%的专家认为不降水D.明天该地区的降水的可能性为85%2．已知使用一剂某种药物治疗某种疾病治愈的概率为90%，则下列说法正确的是( )A ．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物则有90人会治愈B ．如果一个这样的病人服用两剂这样的药物就一定会治愈C ．说明一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D ．以上说法都不对 5.试验与发现孟德尔，奥地利人,遗传学之父,成就是:自由组合定律和分离定律.孟德尔把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆全是黄色的.第二年，当他把第一年收获的黄色豌豆再种下时, 收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的都是圆形豌豆，连一粒皱皮豌豆都没有.第二年，当他把这种杂交圆形豌豆再种下时，得到的却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.试验的具体数据如下：你能从这些数据中发现什么规律吗？ 显性与隐性之比都接近3︰1 孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1，这种现象是偶然的?还是必然的?我们如何用概率思想作出合理解释？6.遗传机理中的统计规律用符号YY 代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy 代表纯绿色豌豆的两个特征.其中Y 为显性因子，y 为隐性因子 思考：对于豌豆的颜色来说．Y 是显性因子，y 是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，表现显性因子的特性，即YY ，Yy 都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性，即yy 呈绿色．在第二代中YY ，Yy ，yy 出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？黄色豌豆(YY ，Yy)︰绿色豌豆(yy) ≈3︰1变式练习1.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________． 解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)． 至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1. 2.一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( ) A.男女、男男、女女 B.男女、女男 C.男男、男女、女男、女女 D.男男、女女三、小结与反思理解概率的意义，丰富对概率事件的体验，增强对概率背景的认识，体会概率的意义.1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．3．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴．4．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.5.概率与公平性的关系：利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理.6.概率与决策的关系:在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发生的可能性大. 四、作业某中学一年级有3个班,要从中选1个班代表学校参加某项活动.有人提议用如下方法挑选班级:先后抛掷两枚硬币,如果两枚硬币都是正面,就选1班;如果一枚硬币是正面,另一枚硬币是反面就选择2班;如果两枚硬币都是反面就选择3班.掷两枚硬币得到的情况见下表,你认为这种方法公平吗? 【课后巩固】1.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有( )A.64个 B.640个 C.16个 D.160个2.某比赛为两名运动员制定下列发球规则：①抛掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球;②从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；③从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.则对于甲、乙公平的规则是（）A.①②B.①③C.②③D.②3.先后抛掷两枚均匀的一分､贰分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大( ) A.至少一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上4.为了估计某水库中有多少条鱼，先从水库里捕捞了2000条鱼做上标记，然后放回水库里去，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞了500条鱼，若其中40条有标记，那么你估计湖里有多少条鱼？5.元旦就要到了,某校将举行联欢活动,每班派一人主持节目,高二(1)班的小明､小华和小丽实力相当,都争着要去,班主任决定用抽签的方法来决定,机灵的小强给小华出主意,要小华先抽,说先抽的机会大,你是怎么认为的?说说看.【我的收获】（学生学后记、教师教后记）在这一节课中，学生反应非常好，能够快速理解概率的意义，对学习的态度非常的端正，在学习过程中提高了学生的数学核心素养,学生能够在实验中总结,在做题中反思,在与同学的互助讨论中共同成长,最后能够较好的完成教学目标.在随机事件那一节已经做过了抛硬币与掷骰子的实验,学生已经有了一定的实验基础,对于遗传与统计规律,学生在生物课上也已经学习到较好的方法与经验,所以这节课学习得也是非常顺利的,在环节“使得样本出现的可能性最大”(即概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大)可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法的教学中,学生可能觉得有一点点的理解偏差,但经过纠正之后,学生还是顺利的完成了学习任务. 【参考文献】 金版学案 <高中同步辅导与检测>编写组 广东高等教育出版社 2019年1月第10次印刷《3.1.2 概率的意义》 李潜教案集 2019.05()P YY =⨯=111224()P yy =⨯=111224()P Yy =--=1111442。

学习资料第三章 概率3．1 随机事件的概率 3．1.2 概率的意义 [A 组 学业达标]1．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2,3，4，5，6）,若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是 ( ）A ．一定出现“6点朝上"B ．出现“6点朝上"的概率大于错误!C ．出现“6点朝上”的概率等于16D ．无法预测“6点朝上”的概率解析：概率反映随机事件发生的可能性的大小，与前面的实验结果无关，选C. 答案:C2．“某彩票中奖概率为错误!"意味着( ） A ．买1 000张彩票就一定能中奖 B ．买1 000张彩票中一次奖 C ．买1 000张彩票一次奖也不中 D ．买彩票中奖的可能性为错误!解析：概率的大小只能说明事件发生的可能性大小，在一次试验中不一定发生． 答案：D3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为85％”，这是指（ ）A ．明天该地区有85%的地区降水，其他15％的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C ．气象台的专家中,有85%的人认为会降水，另外15％的专家认为不降水D ．明天该地区降水的可能性为85％ 答案：D4．某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆甲品牌出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆甲品牌出租车，3 000辆乙品牌出租车，乙公司有3 000辆甲品牌出租车，100辆乙品牌出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理 ( )A ．甲公司B ．乙公司C ．甲与乙公司D ．以上都对解析：根据极大似然法可知认为肇事司机来自乙公司较合理．答案：B5．在下列各事件中,发生的可能性最大的为(）A．任意买1张电影票，座位号是奇数B．掷1枚骰子，点数小于等于2C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球解析:概率分别是P A＝错误!,P B＝错误!,P C＝错误!，P D＝错误!，故选D。

《概率的意义》教学设计一、教学背景分析1.教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修3第三章《概率》中3.1《随机事件的概率》的第二节3.1.2《概率的意义》，主要内容是正确理解概率的意义，了解概率在实际问题中的应用，进一步理解概率统计中的随机性与规律性的关系.随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提高重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提高了理论基础.因此概率基础知识已经成为一个未来公民必备常识. 在《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。

并通过实例，在具体的情景中了解有关概念的意义，并能解决一些简单的实际问题。

”可见本节内容在整个高中概率学习中的重要性。

本节内容具有高度的抽象性、灵活的应用性特点，它与生活紧密联系.本节内容由三部分构成，其一是概率的正确理解，其二是概率在实际生活中的应用，其三是概率统计中的随机性和规律性的关系。

重点在前两个。

本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材，也是渗透概率统计思想和应用意识，创新意识的很好时机.本节课蕴含了丰富的思想及方法，尤其是在理解概率概念的学习过程中突出体现了用样本估计总体的统计思想，体现偶然与必然、特殊与一般的关系；应用概率知识解决实际问题过程中，体现了转化与化归的思想和类比的方法.2学情分析（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.（2）学生具有初步用样本估计总体，会用类比思想独立分析问题的能力.（3）学生具有随机事件的定义，概率的统计定义，概率与频率的关系知识基础.（4）学生了解了“试验——观察——猜想——找规律”的科学研究方法.（5）学生已经具有画简单的树状图，会列表来计算概率的能力.（6）在“遗传机理中的统计规律”环节学生不具有相关生物学知识.二、教学目标设计1、知识与技能目标（1）通过剖析反例，促进学生对概念的正确理解，不仅澄清日常生活中错误的认识，加深对概率意义的理解.（2）通过对“游戏公平性”的探究，体会概率的意义和应用.在此重点是思想方法的渗透，而不是简单的计算.（3）运用概率知识解释一种主观概率：天气预报.（4）类比同时抛两枚硬币的试验，理解遗传机理.体会概率理论与统计学的关系.2.过程与方法目标（1）通过试验，学生在经历“试验——观察——猜想——找规律”过程中理解概率的意义.（2）通过讨论，体会利用概率解释统计中的极大似然方法的思想.3、情感态度与价值观目标：（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；（2）通过本节课浓厚的生活背景，指导学生形成正确的价值观和人生观．三、教学重难点教学重点：概率的正确理解及其在实际中的应用教学难点：1.对生活中的概率问题进行“试验——观察——猜想——找规律”思维习惯的培养.2. 用概率的知识解释现实生活中的具体问题.四、教学问题诊断分析（1）学生在日常生活中对概率的理解有一些错误的理解.针对错误，引导学生要剖析这些错误概念的产生原因.本节课创造情景，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟试验去检查、修正或改正他们对概率的认识：并收集学生认知方面出现的新成果，帮助学生提高学生的认识水平.整节课教学都应从对不确定现象的认真体验开始，而不是匆忙进入概率计算和套用公式，使学生感到数学有意义、有用而不是抽象、不相关.（2）概率学习的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。

高中数学: 3.1.2 概率的意义学习目标核心素养1．理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例．(重点、难点)2．了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律.1．通过概率意义的理解，培养数学抽象素养．2．借助实际问题中的统计规律，提升数学建模素养.1．对概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．2．实际问题中几个实例(1)游戏的公平性①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．(2)决策中的概率思想如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．(3)天气预报的概率解释天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．(4)试验与发现概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．(5)遗传机理中的统计规律孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是( )A ．若他投100次，一定有50次投中B ．若他投一次，一定投中C ．他投一次投中的可能性大小为50%D ．以上说法均错C [概率是指一件事情发生的可能性大小．]2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )A ．这100个铜板两面是一样的B ．这100个铜板两面是不同的C ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的A [落地时100个铜板朝上面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．]3．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．白 [取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]4．若事件A 发生的概率为13，则13表示________． 事件A 发生的可能性的大小 [13表示事件A 发生的可能性的大小．]对概率的理解1．随机事件A 的概率P (A )反映了什么？[提示] 反映了事件A 发生的可能性的大小．2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？[提示] 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．【例1】经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．思路点拨：结合概率的意义，正确理解概率的含义．[解]这种解释不正确，原因如下：因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?[解]不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？[解]这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例.(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小.(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生.(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.游戏的公平性【例2】某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？[解](1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．1．游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．2．极大似然法的应用在“风险与决策”中经常会遇到统计中的极大似然法：如果我们面临的是从多个可以选择的答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．[跟进训练]1．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，若随机地抽取一箱，再从此箱中任意抽取一球，结果取得白球，则这个球最有可能是从________箱中抽出的(填“甲”或“乙”)．甲[甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次随机抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的，所以我们作出统计推断，该白球是从甲箱中抽出的．]2.有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2,4,6,8,10,12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1,3,5,7,9,11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？[解]根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.概率在实际生活中的应用鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．[解]设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝2 000n. ①笫二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数m ＝40，P (A )≈40500. 由①②两式，得2 000n ≈40500，解得n ≈25 000. 所以估计水库中有鱼25 000尾．处理概率应用问题的技巧(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率.如本题中先求出带记号的鱼的概率.(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值.如本题中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数.[跟进训练]3．某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生？[解] 设初中部有n 名学生，依题意得60150＝500n，解得n ＝1 250. 所以该中学初中部共有学生大约1 250名．1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件A 发生的概率很小时，该事件为不可能事件． ( )(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．[答案] (1)× (2)× (3)√2．某城市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为90%”，这是指( )A ．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水B ．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水C ．气象台的专家中，90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D ．明天该地区降水的可能性为90%D [“明天降水的概率为90%”指“明天降水”这一结果发生的可能性为90%，而非其他含义，故选D.]3．某厂产品的次品率为2%，估算该厂生产的1 000件产品中合格产品的件数可能为________件．980 [1 000×(1－2%)＝980(件)．]4．解释下列概率的含义：(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是2245. [解] (1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．(2)购买商品满200元进行抽奖，中奖的可能性为0.6.(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.(4)一个婴儿将是女孩的可能性是2245.。