圆的证明题专题训练

1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）A．3对 B．2对 C．1对 D．0对（1） (2) (3) (4)3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）A．①②⇒③④ B．①③⇒②④C．①④⇒②③ D．②③⇒①④4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB<AD+DBC．AC+CB>AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①A D2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD BD=；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③(5) (6) (7) (8) 10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）A．2AB CD>; B．2AB CD<;C．2AB CD=; D．AD与2CD的大小关系可能不确定11 .直径为8的⊙O中，弦AB=42cm ，则弦AB所对的圆周角是-----12. ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。

圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.C2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高，EF⊥BC，F 为垂足。

（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD、BC 交于点E，CF⊥AB 于F，CF 交AD 于G。

（1）求证：CG=EG=AG(2) 求证：AD=2CF（2）若AD= 4 3 ，AC=4，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点H，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F。

（1）求证：BF 平分∠DFE；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt△ABC 内接于⊙O，D 为弧AC 的中点，DH⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。

（1）求证：AC=2DH；（2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB 的值8、在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求SECF 。

9、如图，⊙O 中，直径DE⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点 F。

(1)求证△AOG∽△FAO。

(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求SCGF 。

10、如图，在⊙O 中，弦AB、CD 相交于AB 的中点E，连接AD 并延长至 F 点，使DF=AD,连接BC、BF。

（1）、求证：△CBE∽△AFB。

（2）、若∠C=30º，∠CEB=45º,CE= 3 1,求S ABF .11、如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，D 为弧 AC的中点，连接 BD，交 AC 于G,过 D 作DE⊥AB于E 点，交⊙O于H 点，交 AC 于F 点。

专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO=√2BE时，求DE的长．̂的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．（1）求证：BF∥AD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．（1）求证：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．7．（2022秋•湛江校级月考）已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A 于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O 点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝4√3．（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积．12．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝4√3，∠DP A＝45°（1）求⊙O的半径．（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED 交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．15．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．̂=CD̂，16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD 求：∠BCD的度数．17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AĈ上，且AD̂=2CD̂，OA＝4．（1）∠COD＝°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）̂的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．18．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝°；（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD ＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AÊ=CÊ，过点C 作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；̂的长．（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4√2，ON＝1，求⊙O的半径．25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的长；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝2√2，BD=√3，求AB的长．28．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点CCD，作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．（1）用关于x的代数式表示BQ＝，DF＝．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O 于点D，垂足为E，连接AD．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；̂的中点，连接FG，若FG＝2，CD （2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC＝2√2，求⊙O的半径．30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B 作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：∠DBF＝∠ACB；GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．（2）若AG=√62̂上一点，延长DA至点E，31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=√2CD．32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半径；（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面̂所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．40．（2022•安徽一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．41．（2022•和平区一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．42．（2022•和平区二模）已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．43．（2022•南开区二模）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．44．（2022•红桥区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP 与⊙O交于点D．（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．45．（2022秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO 并延长交AB于点E．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．①求证：EB＝EG；②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．̂上任一点（点P与点A、B重合），46．（2022秋•虹口区校级期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB连接AP、BP，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若P A＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；̂的长度．（4）在（3）的条件下，求AB47．（2022秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=√5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．49．（2022•浙江校级自主招生）如图，O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．。

圆有关的证明题1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BCAB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于点D ，若tan B ＝21，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，求：（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos ∠BAP 的值．1．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2）过点B 作BD ⊥MN ，则190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，∵OA=OE AB BC =31313124⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．（2）①连结AO ，交BC 于点F ，∵ AB ＝AC ，∴ ＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．在Rt △ABF 中，AF ＝tan ∠ABF ，∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ． ∴ 452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， ∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）． 即⊙O 的半径为6cm ．5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，∴ AC 2＝AD ·AB ， ∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10， ∵ k ＞0，∴ k ＝10．∴ AB ＝5k ＝510．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，∴ AC ⊥BC ．在Rt △ACB 中，sin B ＝51010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝21， ∴ tan ∠2＝21．∴ CB ACDB CD CD AD ===21．设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ．∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ，∴ 21==CB ACPC PA．∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，∵ PC 2＝PA ·PB ，∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3．∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21==CB AC PC PA ．∵ PA ＝10，∴ PB ＝20．由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．∴ PA ＝201022-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15，∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ．在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ，∴ 四边形EOCD 为矩形．∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝28πa ．8．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE∴ AB DE ＝ABC CDES S ∆∆＝41＝21，即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ），作OM ⊥FG ，垂足为M ，则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ），连结OF ，∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）．∴ OF ＝OA ＝5（cm ）．在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）．∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）．9．⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O PBC O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225（或56.25π）（平方单位）．⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P BAP C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC．∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝55252==x x BC AC 解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2， 即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65， ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝5521556==BC AC。