3第三章 方差分析

多元统计分析第三章假设检验与⽅差分析第3章多元正态总体的假设检验与⽅差分析从本章开始，我们开始转⼊多元统计⽅法和统计模型的学习。

统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。

按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计⼀个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进⾏统计推断，是⾃然科学和⼯程技术领域常⽤的⼀种研究⽅法。

由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论⽅法研究的出发点。

所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要⽤概率来表明其可靠程度。

统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建⽴模型，作出推断”。

统计推断有参数估计和假设检验两⼤类问题，其统计推断⽬的不同。

参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多⼤?”之类的问题,⽽假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。

本章主要讨论多元正态总体的假设检验⽅法及其实际应⽤，我们将对⼀元正态总体情形作⼀简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的⽐较推断，多个总体均值的⽐较检验和协⽅差阵的推断等。

3.1⼀元正态总体情形的回顾⼀、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,⼀个作为原假设（或称零假设），另⼀个作为备择假设（或称对⽴假设），分别记为0H 和1H 。

1、显著性检验为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来⾃总体),(2σµN 的样本，我们要检验假设100:,:µµµµ≠=H H （3.1）原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有⼀个正确。

备择假设的意思是，⼀旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。

当2σ已知时，⽤统计量nX z σµ-=在原假设0H 成⽴下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。

第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。

本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。

首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。

正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。

在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。

在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。

我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。

接下来，我们需要进行方差分析。

方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。

在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。

首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。

然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。

同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。

接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。

F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。

如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。

最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。

多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。

同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。

通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。

在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。

本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。

二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。

方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。

组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。

组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。

方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。

三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。

2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。

3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。

4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。

5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。

6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。

7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。

8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。

9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。

四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。

在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。

第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。

本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。

方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。

在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。

如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。

进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。

原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。

在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。

接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。

常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。

这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。

在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。

如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。

常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。

这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。

总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。

通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。

研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。

第三章_单因素方差分析与多重比较精品单因素方差分析是统计学中用于比较不同组之间差异的一种方法。

通过对多个组进行方差分析，可以确定是否有统计上显著的差异存在。

然而，在进行多组比较时，会面临多个比较中出现误差增加的问题。

因此，多重比较技术被提出，用于解决这个问题。

首先，我们来了解单因素方差分析。

单因素方差分析是通过比较不同组之间的方差差异来确定是否存在显著的组间差异。

在进行单因素方差分析时，我们需要计算组内的平均平方差（MSW）和组间的平均平方差（MSB），然后计算F值，再通过比较F值与临界F值来确定差异是否显著。

然而，当进行多组比较时，会遇到一种被称为多重比较问题的情况。

多重比较问题是指在进行多次比较时，由于进行多个比较而增加了整体犯错的可能性。

举例来说，如果我们进行了十次不同组的比较，每次比较的显著性水平设定为0.05，那么整体犯错的概率就会增加到0.50，即有一半的可能性会发生错误。

为了解决多重比较问题，研究人员引入了多重比较技术。

多重比较技术有多种方法，其中一种常用的方法是泰基法（Tukey's method）。

泰基法通过比较不同组之间的均值差异来确定哪些组之间存在显著差异。

具体而言，泰基法计算了每对组之间的均值差异，并利用一个修正的显著水平来设置显著性门限。

只有当两组之间的均值差异超过这个门限时，才被认为是显著的。

除了泰基法外，还有其他多重比较方法，例如邓肯多重范围检验（Duncan's multiple range test）和奥内尔法（Bonferroni method）。

这些方法各有优点和局限性，研究人员可以根据实际情况选择最适合的方法。

在使用多重比较技术时，需要注意以下几点。

首先，选择适当的显著性水平是非常重要的。

不同的显著性水平会对结果产生不同的影响。

其次，在进行多次比较时，应该考虑调整显著性水平，以控制整体的犯错率。

此外，还需要根据实际问题选择合适的多重比较方法，以便获得可靠的结果。

第三章_单因素方差分析与多重比较1.引言在统计学中，方差分析是一种用于比较不同组之间差异的方法。

它可以帮助我们确定不同因素之间是否存在显著差异，以及哪些因素对结果有重要影响。

在实际应用中，我们常常需要使用单因素方差分析，即只考虑一种因素对结果的影响。

本章将介绍单因素方差分析的基本原理和方法，以及如何进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。

2.单因素方差分析的基本原理在单因素方差分析中，我们假设只有一个因素对结果有影响，而其他因素对结果没有影响。

我们通过计算组内变异和组间变异来判断不同组之间是否存在显著差异。

组内变异表示同一组内部个体之间的差异，而组间变异表示不同组之间的差异。

如果组间变异显著大于组内变异，则可以认为不同组之间存在显著差异。

为了进行单因素方差分析，我们需要满足以下几个前提条件：1）样本来自正态分布总体；2）各个组的方差相等；3）各个组的观测值之间相互独立。

3.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤通常包括以下几个步骤：1）建立假设：根据实际问题，我们需要建立相应的零假设和备择假设。

零假设通常表示不同组之间没有显著差异，而备择假设表示不同组之间存在显著差异。

2）计算统计量：根据计算公式，计算组内平方和和组间平方和，进而计算F值。

3）判断显著性：根据给定的显著性水平，查表或计算P值，判断F 值是否显著。

4）做出结论：根据显著性检验的结果，决定是否接受零假设，进而得到结论。

4.多重比较在单因素方差分析中，如果我们得到了显著的F值，说明不同组之间存在差异，但是并不能告诉我们具体是哪些组之间存在差异。

这时候，我们可以进行多重比较来进一步分析不同组之间的差异。

多重比较可以帮助我们确定哪些组之间存在显著差异，以及差异的大小。

常用的多重比较方法包括Bonferroni法、Tukey法和Duncan法等。

这些方法都可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。

多重比较的步骤通常包括以下几个步骤：1）计算均值差异：首先计算不同组之间的均值差异，可以通过计算置信区间来确定差异的显著性。

第三章⽅差分析（11.18）第三章⽅差分析在⽣产、研究等⼯作中经常要对在不同条件下进⾏观察或试验得到的数据进⾏分析，以判断不同条件对结果有⽆影响。

这时，就需要进⾏⽅差分析。

第⼀节⽅差分析的基本问题⼀、⽅差分析研究的问题⽅差分析是检验若⼲个具有相同⽅差的正态总体的均值是否相等的⼀种假设检验⽅法。

例如，我们要研究不同化肥品种（甲种、⼄种）与某农作物的关系，测定是否不同化肥的增产效果也不同。

则通过⽐较不同品种组的平均数的差异来反映分组变量（如化肥）对因变量（如农作物产量）的影响和作⽤，这就是⽅差分析要解决的内容。

在⽅差分析中，常常⽤到以下术语：响应，是指观察指标的结果或试验结果为响应。

如农作物的产量为响应。

因⼦（因素），是指在观察中或在试验中改变其状态时对响应产⽣影响的因素，也称为因⼦。

如⽤来进⾏分组研究的变量化肥就是因素或因⼦。

⽔平，是指因⼦（因素）在观察或试验中所取的状态称为因⼦（因素）的⽔平。

如化肥的种类甲种、⼄种就是因素的⽔平。

⽅差分析主要有两种。

如果⽅差分析只针对⼀个因素进⾏，称为单因素⽅差分析。

如果同时对多个因素进⾏，称为多因素分析。

在⽅差分析中，通常假定在同⼀条件下的试验结果是来⾃正态总体的⼀个样本；不同条件下的正态总体是相互独⽴的，它们的期望可能不同，但⽅差相同。

要判断不同条件对响应有⽆影响就是要检验各个正态总体的均值是否相等。

在实际应⽤时，⼀般应近似地符合上述要求。

⼆、⽅差分析的基本思想从⽅差分析的⽬的看，是要检验各个正态总体的均值是否相等，⽽实现这个⽬的的⼿段是通过⽅差的⽐较。

我们知道，观察值之间存在着差异，差异的产⽣来⾃于两个⽅⾯，⼀⽅⾯是由因素中的不同⽔平造成的，称为系统性差异；另⼀个⽅⾯是由于抽选样本的随机性⽽产⽣的差异。

两个⽅⾯产⽣的差异可以⽤两个⽅差来计量，⼀个称为⽔平之间的⽅差，⼀个称为⽔平内部的⽅差。

前者既包括系统性因素，也包括随机性因素。

后者仅包括随机性因素。

如果不同⽔平对结果没有影响，那么在⽔平之间的⽅差中，就仅仅有随机因素的差异，⽽没有系统性差异，它与⽔平内部⽅差就应该近似，两个⽅差的⽐值就会接近于1；反之，如果不同的⽔平对结果产⽣影响，在⽔平之间的⽅差中就不仅包括了随机性差异，也包括了系统性差异。