南京市高考数学二模试卷(理科)D卷

江苏省南京市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合则（）A . {0,1}B . {−1,0,1}C . {−2,0,1,2}D . {−1,0,1,2}2. （2分） (2017·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 2B .C .D .3. （2分）在矩形ABCD中， = ， = ，设 =（a，0）， =（0，b），当⊥时，求得的值为（）A . 3B . 2C .D .4. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A .B . 3C .D .5. （2分）已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也不必要条件6. （2分）(2020·河南模拟) 若，满足约束条件则的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·安徽模拟) 设，把函数的图象向左平移m个单位长度后，得到函数的图象（是的导函数），则m的值可以为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·邢台模拟) 下列函数满足的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共16分)9. （2分）已知z∈C，且|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为________，最小值为________．10. （1分） (2019高三上·天津期末) 在的展开式中，的系数为________用数字作答.11. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 等差数列{an}中，前n项和为Sn ， a1＜0，S2015＜0，S2016＞0．则n=________时，Sn取得最小值．12. （1分）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=﹣1，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最短距离为________．13. （1分）抛物线y2=2x的准线方程是________14. （10分） (2016高一下·惠来期末) 已知函数f（x）= ．（1）设函数g（x）=f（x）﹣1，求函数g（x）的零点；（2）若函数f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且0＜x1＜x2＜x3＜x4≤10，求的取值范围．三、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2020·上海模拟) 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）16. （5分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：完成被调查人员的频率分布直方图；17. （10分）(2017·重庆模拟) 如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．18. （15分）已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），（1）求导数f'（x）；（2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．19. （15分）(2018·门头沟模拟) 已知椭圆，三点中恰有二点在椭圆上，且离心率为。

南京市高三第二次数学质量检测答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT参考答案 一、选择题 1． C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．(理)D (文)A 8．C 9．B 10．D 11．C 12．D二、填空题13．［３，＋∞］ 14．（０，26] 15．1 16．１００πｃｏｓ２α平方米 三、解答题17．解：由正弦定理，得C B C C R B R C R c b c sin 2sin sin 2sin 22sin 2sin 2222-=⋅-⋅=-则有 )sin()sin(sin 2sin sin 2B A B A C B C +-=- 3分 ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°，∴ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ） 5分故有２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）－ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ（Ａ－Ｂ） 7分化简，得ｃｏｓＡ＝41 9分 又462cos 12sin 2cos =-==+A A C B 12分 18．解：(Ⅰ)由已知BCC １B １是矩形，∴Ｃ１Ｂ１⊥ＢＢ１，又Ｃ１Ｂ１⊥ＡＢ，Ｂ１Ｂ∩ＡＢ＝Ｂ，∴Ｃ１Ｂ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ (理2分，文3分)又∵Ｃ１Ｂ１⊂平面Ｃ１ＡＢ１，∴平面Ｃ１ＡＢ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ (理4分，文5分)(Ⅱ)∵Ｃ１Ｂ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１，Ｃ１Ｂ１⊂平面ＢＣＣ１Ｂ１，∴平面ＢＣＣ１Ｂ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ (理5分，文6分)过A 作AH ⊥ＢＢ１，而Ｂ１Ｂ是平面ＢＣＣ１Ｂ１与平面ＡＢＢ１Ａ１的交线，∴AH ⊥平面Ｂ１ＢＣＣ１，连Ｃ１Ｈ，则Ｃ１Ｈ是AC １在平面Ｂ１ＢＣＣ１上的射影，∴∠ＡＣ１Ｈ就是ＡＣ１与平面ＢＣＣ１Ｂ１所成的角 (理6分，文8分)由Ａ１ＡＢＢ１是菱形，又∠ＡＢＢ１＝６０°，得△ＡＢＢ１为等边三角形，H 是ＢＢ１中点，ＡH ＝２3，ＢＨ＝Ｂ１Ｈ＝２ (理7分，文10分)又在Ｒｔ△Ｃ１Ｂ１Ｈ中，Ｃ１Ｂ１＝３，Ｂ１Ｈ＝２，得Ｃ１Ｈ＝13，在Ｒｔ△ＡＨＣ１中，ｔｇ∠ＡＣ１Ｈ＝3913213321==H C AH (理8分，文12分) (Ⅲ)(理)平面C １ＡＢ１把三棱柱ABC —A １B １C １分成三棱锥A —A １B １C １和四棱锥A —B １BCC １ 10分 设A 到平面A １B １C １的距离为h ，则1111111113131C B A ABC C B A C B A A V hS V -∆-==三棱柱三棱锥 ∴平面Ｃ１ＡＢ１把三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１分成的两部分的体积比为１∶２ 12分19．解：(Ⅰ)Ｓ１＝ａ１＝３ 2分ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝４ｎ－１（ｎ≥２） 4分ａ１满足上述关系式， 故数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝４ｎ－１（ｎ≤ｋ，ｎ∈Ｎ） 5分(Ⅱ)设抽取的是第t 项，则１＜ｔ＜ｋ， 6分由题意得：,7979)14(2),1(792-=--+-=-k t k k k a S t k 即8078242+-=k k t8分 ∴４＜807822+-k k ＜４ｋ解得：３８＜ｋ＜４０，ｋ∈Ｎ，∴ｋ＝３９ 10分∴ｔ＝20240392=+-k k ，即抽取的是第20项，数列的项数ｋ＝３９ 12分 20．解：(Ⅰ)设该校食堂平均每天所支付的总费用为y １，则[]60044004400)1(41500411++=+++⨯=tt t t t t y ≥6084600440042=+⋅t t 3分 当且仅当tt 4004=，即ｔ＝１０时等号成立，故每隔10天购买一次大米，能使每天所支付的总费用最少为６０８４元 6分(Ⅱ)若食堂能接受优惠条件，则至少每隔20天购买一次，即ｔ≥２０，设每天支付的总费用为ｙ２，这时,[]5704400495.015004400)1(412++=⨯⨯+++=tt t t t t y 9分 令tt t f 4004)(+=（ｔ≥２０），设２０≤ｔ１＜ｔ２， 则21212121)100)((4)()(t t t t t t t f t f --=-＜０ ∴f(t )在［２０，＋∞)上单调递增，故当t =20时，y ２的最小值为５８０４元这就是说该校食堂是能接受此价格优惠条件的. 12分21.(Ⅰ)由x ∈［－１，０］知，－ｘ∈（０，１] 1分又由f(x )是奇函数，故得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--∈---∈-+=--=]21,1[ 22)0,21( 1)21(2)()(2x x x x x f x f 3分 当x =0时，f (-0)=-f (0)，故f (0)=0 4分∴函数f(x )在［－１，０］上的解析式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--∈--=-∈-+=]21,1[ 2200)0,21( 1)21(2)(2x x x x x x f 5分 图象略(Ⅱ)假设图象上存在关于直线y=x 对称点(ｘ０，ｙ０)与（ｙ０，ｘ0），不妨设０＜ｘ０＜21， 则点(ｘ０，ｙ０)满足－２（ｘ０－21）２＋１＝ｙ０ ① 点（ｙ０，ｘ０）满足－２ｙ０＋２＝ｘ０ ②由①，②得02054x x -＋１＝０，即410=x 或ｘ０＝１（舍去） 当410=x 时，ｙ０＝87， ∴图象上的点)87,41(与)41,87(关于直线y=x 对称. 10分 ∵函数f(x )是奇函数，∴点)87,41(--与（41,87--）也关于直线y=x 对称. 11分 因为直线y =-2x +2和直线y =-2x -2与直线y=x 不垂直，故线段y =-2x +2，ｘ∈［21，１］与线段ｙ＝－２ｘ－２，ｘ∈［－１，－21］上不可能存在相异两点关于y=x 对称 又直线y=x 与f(x )=-2(x -21)２＋１，ｘ∈（０，21）和f(x )＝２（ｘ＋21）２－１，ｘ∈（－21，０）都无交点，故其图象上也不可能存在相异两点关于直线y=x 对称. 12分注：以上只说明其中一部分，不扣分22.解：(Ⅰ)设动圆P 的半径为R ，则｜ＰＡ｜＝Ｒ＋25，｜ＰＢ｜＝Ｒ＋21， ∴｜ＰＡ｜－｜ＰＢ｜＝２ 1分∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为322y x -＝１（ｘ＞０） 3分 若ａ＝21，则ｌ的方程为ｘ＝21为双曲线的右准线， ∴点P 到点B 的距离与到ｌ的距离之比ｅ＝２. 4分(Ⅱ)若PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－２）代入双曲线方程得：（３－ｋ２）ｘ２＋４ｋ２ｘ－４ｋ２－３＝０⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=⋅--=+∆0334034,022212221 k k x x k k x x 6分 解得ｋ２＞３ ∴｜ＰＱ｜632463)1(61222212-+=-+=-+=k k k x x k 8分当直线的斜率不存在时，ｘ１＝ｘ２＝２，得ｙ１＝３，ｙ２＝－３，｜ＰＱ｜＝６， ∴｜ＰＱ｜的最小值为6. 9分 (Ⅲ)当PC ⊥QC 时，P 、C 、Q 构成Ｒｔ△，∴R 到直线l 的距离｜ＲＣ｜＝a x PQR -=2. ① 11分又∵点P 、Q 都在双曲线1322=-y x 上，∴21,22121=-++∴=-=-Q p Q p x x QBPB x QBx PB ，即｜ＰＱ｜42,24+=-=PQ x x R R ② 13分将②代入①，a PQ a PQ PQ 42,422-=-+=≥６，∴ａ≤－１ 14分另解(Ⅲ)：当PC ⊥QC 时，P 、C 、Q 三点构成直角三角形. ∴点R 到ｌ的距离｜ＲＣ｜＝a x PQR -=2 10分∴｜ＰＱ｜＝２（ｘＲ－ａ）≥６，则ｘＲ－ａ≥３ 又2221322k k x x x R --=+=∴a k k --3222≥３ 12分得ａ≤3613933222222-+-=-+-=--k k k k k∵ｋ２＞３，∴－１＋362-k 的范围是（－１，＋∞）,故有ａ≤－１. 14分。

南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学参考答案2023.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．B2．C3．B4．A5．C6．D7．A8．D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．BD10．AB11．BCD12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．114．x 23(α＝p q ，其中p 为偶数，p q 为既约分数，0＜pq＜1)15．5916．17；6717．（本小题满分10分）已知f (x )＝sin ωx －3c os ωx ，ω＞0．（1）若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；（2）若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值．解：(1)f (x )＝sin ωx －3c os ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)．························1分（①f (x )＝-2cos(ωx ＋π6)以下得分段相同；②化简错误或不化简此段不给分，以下按照对应分数段给分。

）因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π，则2π|ω|＝π，ω＞0，故ω＝2，·····················2分所以f (x )＝2sin(2x －π3)，则f (3π2)＝2sin(3π－π3)＝2sin π3＝3．·······················································1分(2)因为函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以2sin(ω·π3－π3)＝0，即sin(π3ω－π3)＝0，所以π3ω－π3＝k π，即ω＝3k ＋1，k ∈Z ．···················································2分当x ∈[0，π4]，则ωx －π3∈[－π3，ωπ4－π3]．因为函数f (x )在[0，π4]上单调，所以ωπ4－π3≤π2，则ω≤103，故0＜ω≤103．···················································································2分由0＜3k ＋1≤103，解得－13＜k ≤79．又k ∈Z ，所以k ＝0，所以ω＝1．······················································································2分（①利用T 2＞π4，得0＜ω≤4，也可得2分；②ω＝1或4，若未说明单调性舍解则扣1分）解：（1）方法1因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，即nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，··············································································2分所以S n ＋1S n ＝n ＋2n.当n ≥2时，S n ＝S n S n －1·S n －1S n －2····S 2S 1·S 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3···42·31×2＝n (n ＋1)．又n ＝1时，上式也成立，所以S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．····································2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *)．··············································································2分【注】若n ＝1两次都不检验，扣1分，检验一次不扣分．方法2因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n(n ≥2)，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，所以当n ≥3时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2...a 3a 2.a 2＝n n －1.n －1n －2 (3)24＝2n ，又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．方法3因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以n (S n ＋1－S n )－2(S n ＋1－a n ＋1)＝0，所以2S n ＝na n ＋1，①···············································································2分所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n ，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n (n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1(n ≥2)，········································································2分所以a n ＋1a n ＝n ＋1n (n ≥2)，即11n n a a n n+=+，在①中令n ＝1得2a 1＝a 2，又a 1＝2，所以a 2＝4，则12212n n a a an n -====- ，故a n ＝2n (n ≥2)又n ＝1和2时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).···············································································2分【注】若没求出a 2＝4，扣1分．法4：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，①所以当n ≥2时，(n －3)S n ＋2a n ＝(n －1)S n －1，②①－②得(n －2)S n ＋1－(2n －3)S n ＋(n －1)S n －1＋2a n ＋1－2a n ＝0，即(n －2)(S n ＋1－S n )－(n －1)(S n －S n －1)＋2a n ＋1－2a n ＝0，……………………………2分即(n －2)a n ＋1－(n －1)a n ＋2a n ＋1－2a n ＝0，即na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ≥2).……………………………………………………………2分以下同法2或法3.法5：因为(n －2)S n ＋1＋2a n ＋1＝nS n ，所以(n －2)S n ＋1＋2(S n ＋1－S n )＝nS n ，所以nS n ＋1＝(n ＋2)S n ，……………………………………………………………2分所以S n ＋1n ＋2＝S n n ，所以S n ＋1(n ＋1)(n ＋2)＝S n n (n ＋1)，所以{S nn (n ＋1)}是常数列，所以S n n (n ＋1)＝S 12＝1，即S n ＝n (n ＋1).…………………………………2分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .又n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝2n (n ∈N *).…………………………………2分【注】若n ＝1不检验，扣1分．（2）由（1）知1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＝14×(112＋122＋…＋1n 2)．方法1因为当n ≥2时，1n 2＜1n 2－1=1n －1－11n +．·······································2分当n ≥2时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜112＋122－1＋132－1＋…＋1n 2－1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－11n +)····················2分＝1＋12(1＋12－1n －1n ＋1)＜74，当n ＝1时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分方法2因为1n 2＜1n (n －1)＝1n －1－1n (n ≥2)，···························································2分当n ≥3时，112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n)····························2分＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74，当n ＝1，2时，上式也成立，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜74，所以1a 1＋1a 2＋···＋1a n ＜716．······································································2分方法3因为2211111()44122121n n n n <=---+．················································2分当n ≥2时，22212111n a a a ++ <111111114235572121n n ⎛⎫+-+-++- -+⎝⎭ =111151542321122112n n ⎛⎫+-=-< ⎪++⎝⎭·································2分因为571216<，当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.所以1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．···································································2分法4：因为当n ≥2时，1n 2＝44n 2＜44n 2－1＝2(12n －1－12n ＋1)，……………………2分所以1a 12＋1a 22＋…＋1a n 2＜14[1＋2(13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)]………………2分＝14[1＋2(13－12n ＋1)]＜512＜716.当n ＝1时，1a 12＝14＜716成立.综上，对一切正整数n ，有1a 12＋1a 22＋···＋1a n 2＜716．……………………………2分补充说明：第二问放缩式子的2分没单独写出来，写在和式中，仍然得2分；后面n ＝1不检验不扣分。

江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-≤Z ，则A 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．162．下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若22a b +=，则244a b +≥ 3．复数()31i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.5P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若()0.9P AB =，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P A B =C ．若()0.5P A B =，则()0.25P AB =D ．若B A ⊆，则()0.8P B A =5．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c b a ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-6．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A ．42种 B ．40种 C ．36种 D ．30种7．已知圆22:(1)9C x y -+=，直线:0l x y m ++=，P 为直线l 上的动点．过点P 作圆C 的切线PM ，PN ，切点为M ，N ．若使得四边形PMCN 为正方形的点P 有且只有一个，则正实数m =（ ）A ．1B ．C ．5D ．7 8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X ，Y 满足21Y X =+，则()2()1D Y D X =+B ．若随机变量()2~3,X N σ，且(6)0.84P X <=，则(36)0.34P X <<=C ．若线性相关系数r 的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强D ．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则70m n += 10．如图，在边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若DP ∥平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B ．若AP P 的轨迹长度为2πC ．若AP AP 与平面CEFD ．若Р是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π11．已知函数()()3cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象既关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，也关于直线3π4x =轴对称，且()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值可能是（ ） A ．25B ．65C ．2D ．145三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足24a b ==r r ，且25a b -=r r ，则向量a r ，b r 夹角的余弦值是.13．甲、乙等5人参加A ，B ，C 这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A 活动，则他们参加活动的不同方案有种.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，1λ≠），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知()()1,0,0,1A B -，M 是平面内一动点，且MA MB=则点M 的轨迹方程为.若点Р在圆22:(2)36C x y -+=上，则2PA PB +的最小值是.四、解答题15．已知 a n 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列 b n 的前2n 项和2n T . 16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i ）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？（ii ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：17．如图，在三棱锥P ABC -中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC V 内部一点且PM ⊥平面ABC ．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值． 18．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112e m x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()10F ,，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．(1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．。

南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝() A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝()A．3B．5C．7D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)()α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848 A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为()A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ﹥0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为()A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1，e为自然对数的底数，则() A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是()A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝25C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为211．设函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)，ω＞0，下列说法正确的是()A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝π12对称B ．当ω＝12时，f (x )在[0，π2]上是增函数C ．若f (x )在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥76D ．若f (x )在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥4312．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2．若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则()A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为π4C ．当点T 在平面PBD 内，且TA ＋TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P －ABCD 表面交线的周长为22＋6第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则ab 的最小值为______．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______．（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1－x )＋f (1＋x )＝2，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －x 2．若f (x )≥x ＋b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为______．16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为______cm ．h(第16题图)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝2π3，∠ADC ＝π6，AC 平分∠BAD ．(1)若∠BAD＝π3，AC＝2，求四边形ABCD的面积；(2)若CD＝23AB，求tan∠BAC的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}，当n∈[2k－1，2k)时，a n＝2k，k∈N*．记数列{a n}的前n项和为S n．(1)求a2，a20；(2)求使得S n＜2022成立的正整数n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，△PAB 是边长为2的等边三角形，PD ⊥AB ，PD ＝6．(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0＜p ＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a ＞0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )＜1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．A CDBP(第19题图)21．(本小题满分12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a e x＋sin x－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．(1)若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C 2．A3．答案：B解析：因为|a －2b |＝5，所以(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a.b ＝5，而a ，b 为单位向量，所以1＋4－4a.b ＝5，即a.b ＝0，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a.b ＝5，即|a ＋2b |＝5．故选B ．4．答案：B解析：由已知tan1600°＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos70°＝－0.34200.9397≈－0.36．故选B 5．答案：C解析：如图所示，圆锥的底面半径AO ′＝23，PO ′＝6，由射影定理，得AO ′2＝PO ′.QO ′，代入，解得QO ′＝2，所以2R ＝8，R ＝4，所以S 表面积＝64π．故选C ．6．答案：D解析：由泊松分布的概率分布列，得P (X ＝1)＝P (X ＝2)，所以λe λ＝λ22eλ，解得λ＝2，所以P (X ＝k )＝2k k !e －2，记“两周共销售2件该商品”为事件A ，则P (A)＝2P (X ＝0).P (X ＝2)＋P (X ＝1).P (X ＝1)＝8e4．故选D ．7．答案：A解析：直线AB 的方程为：x a ＋yb ＝1，令x ＝－c ，则y ＝(a ＋c)b 2a ，所以P (－c ，(a ＋c)b 2a )，所以OP 的中点M (－c 2，(a ＋c)b 4a )，将M 点代入椭圆方程，得c 24a 2＋(a ＋c )24a 2＝1，解得e ＝7－12．故选A ．y xOBAPM F8．答案：D解析：因为2(a ＋b )＝e 2a ＋2ln b ＋1，所以e 2a －2a －1＝2(b －ln b －1)＝2(e ln b －ln b －1)，易知函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (0)＝0，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (lnb )，所以2a ﹥lnb ，即b ﹤e 2a ，又e 2a －2a －1﹥2(e a －a －1)，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (a )，所以a ﹤lnb ，即b ﹥e a ，综上，e a ＜b ＜e 2a ．故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．答案：BCD解析：对于A 选项，该统计图反映了农村居民人均增长率高于城镇居民人均增长率，未反映出可支配收入高，A 错误；对于B 选项，可得出城镇居民相关数据极差较大，B 正确；对于C 选项，可知农村居民相关数据中位数较大，C 正确；对于D 选项，可知增长率为正，D 正确，综上选择BCD ．10．答案：AD解析：11．答案：AC解析：12．答案：ABD 解析：三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－1416．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD ＝π3，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ＝π6．在△ABC 中，因为∠ABC ＝2π3，所以∠ACB ＝π6，又因为AC ＝2，由AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AB ＝233，·······················································2分所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝33．在△ACD 中，因为∠ADC ＝∠CAD ＝π6，所以CA ＝CD ＝2，所以S △ACD ＝12CA ·CD sin ∠ACD ＝3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝433．···············································································4分（2）因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ，在△ACD 中，由∠ADC ＝π6，AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，得AC ＝12·CD sin ∠CAD ．①在△ABC 中，由∠ABC ＝2π3，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AC ＝32·AB sin ∠ACB ．②···················6分由①②得CDsin ∠CAD ＝3AB sin ∠ACB．又因为CD ＝23AB ，所以2sin ∠ACB ＝sin ∠CAD ．设∠BAC ＝θ，则sin θ＝2sin(π3－θ)，···········································································8分所以sin θ＝2×(32cos θ－12sin θ)，即2sin θ＝3cos θ．因为θ∈(0，π3)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝32，即tan ∠BAC ＝32．················································································10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a 2＝22＝4，·····································································2分因为20∈[24，25)，所以a 20＝25＝32．·······································································4分（2）a n ＝2k 的项数为2k －2k －1＝2k －1．·········································································6分又因为20＋21＋22＋…＋2k －1＝2k －1，所以数列{a n }的前2k －1项和为S2k－1＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k ×2k－1＝21＋23＋25＋ (22)－1＝23(4k －1)．·····································································································8分EA A C CD DBBPP (第19题图)(第19题图)y xz PA DECB当k ＝5时，S 31＝23(45－1)＝682＜2022，S 51＝S 31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，·····························································10分S 52＝S 51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．又因为S n ＋1＞S n ，所以使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值为51．····················································12分19．(本题满分12分)解：（1）取AB 中点E ，连接PE ，DE ．因为△PAB 是边长为2的等边三角形，所以AB ⊥PE ，PE ＝3，AE ＝1．又因为PD ⊥AB ，PD ∩PE ＝P ，PD ，PE ⊂平面PDE ，所以AB ⊥平面PDE ．·····························································································因为DE ⊂面PDE ，所以AB ⊥DE ．在Rt △AED 中，AD ＝2，AE ＝1，所以DE ＝3．在△PDE 中，PD ＝6，DE ＝3，PE ＝3，所以PE 2＋DE 2＝PD 2，所以DE ⊥PE ．···········4分又因为AB ∩PE ＝E ，AB ，PE ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ．又因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．···················································································6分（2）由（1）知，以{EA →，EP →，ED →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则E (0，0，0)，D (0，0，3)，C (－2，0，3)，P (0，3，0)．则DC →＝(－2，0，0)，PD →＝(0，－3，3)．···············································8分设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝0，·PD →＝0，2x ＝0，－3y ＋3z ＝0．取x ＝0，y ＝1，z ＝1．所以n ＝(0，1，1)是平面PCD 的一个法向量．……………10分因为DE ⊥平面PAB ，所以ED →＝(0，0，3)为平面PAB 的一个法向量．所以cos ＜n ，ED →＞＝n ·ED →│n ││ED →│＝22，所以平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小为π4．··················································12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X ≤9时，P (X ＝i )＝(1－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9．当X ＝10时，P (X ＝10)＝(1－p )9．所以P (X ＝i )－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9，－p )9，i ＝10．····························································4分②E (X )＝∑9i ＝1i (1－p )i －1p ＋10(1－p )9＝p ∑9i ＝1i (1－p )i －1＋10(1－p )9．令S ＝∑9i ＝1i (1－p )i －1，则E (X )＝pS ＋10(1－p )9．则S ＝1＋2(1－p )＋3(1－p )2＋…＋8(1－p )7＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )＋2(1－p )2＋…＋7(1－p )7＋8(1－p )8＋9(1－p )9，两式相减，得pS ＝1＋(1－p )＋(1－p )2＋…＋(1－p )7＋(1－p )8－9(1－p )9····························6分＝1－(1－p )9p－9(1－p )9，所以E (X )＝1－(1－p )9p＋(1－p )9＝1p [1－(1－p )10]．因为0＜p ＜1，所以0＜1－(1－p )10＜1，所以E (X )＜1p．······································································································9分（2）当p ＝0.25时，由（1）得E (X )＜4，则a ×E (X )＜4a ＜5a ，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品．····························································12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C 渐近线方程为y ＝±x ，所以b a＝1．又因为双曲线C 经过点(3，1)，所以3a 2－1b2＝1．··················································2分解得a ＝b ＝2．······························································································4分（2）方法1当AB 斜率不存在时，由双曲线对称性知AD 经过原点，此时与题意不符．设AB 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点E (x 3，y 3)，则D (－x 2，y 2)．kx ＋m ，－y 22＝1，消去x ，得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝－m 2＋21－k 2，········································································6分则x 3＝x 1＋x 22＝km 1－k 2，y 3＝kx 3＋m ＝m 1－k 2，则AB 的中垂线方程为y －m 1－k 2＝－1k (x －km 1－k 2)，当x ＝0时，y ＝2m 1－k 2．因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆圆心在y 轴上，记圆心为点F ，则F (0，2m 1－k 2)．···············································································8分因为△ABD 的外接圆经过原点，则OF ＝FA ，即|2m 1－k 2|＝x 12＋(y 1－2m 1－k 2)2．又因为x 122－y 122＝1，所以y 12－2m 1－k 2y 1＋1＝0．同理，由OF ＝FB ，得y 22－2m 1－k 2y 2＋1＝0，所以y 1，y 2是方程y 2－2m 1－k2y ＋1＝0的两个根，所以y 1y 2＝1．······································10分则(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1，即k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1，所以k 2×(－m 2＋21－k 2)＋km ×2km 1－k 2＋m 2＝1，化简得k 2＋1＝m 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|m |k 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分方法2设直线AB 方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，y 2)．又因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆的圆心在y 轴上，设为P (0，t )，则PA ＝PB ，即x 12＋(y 1－t )2＝x 22＋(y 2－t )2．由x 122－y 122＝1，x 222－y 222＝1，化简得t ＝y 1＋y 2．····························································6分因为△ABD 的外接圆经过原点O ，所以PA ＝PO ＝|t |，即x 12＋[y 1－(y 1＋y 2)]2＝|y 1＋y 2|，化简得y 1y 2＝1．····································································································8分联立直线AB my ＋n ，－y 22＝1，消去x ，得(m 2－1)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0，所以y 1y 2＝n 2－2m 2－1．················································································10分又因为y 1y 2＝1，所以n 2－2m 2－1＝1，即m 2＋1＝n 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|n |m 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝a e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝a e x ＋cos x －3．因为a ≤0，所以f'(x )＝a e x ＋cos x －3≤cos x －3＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．····················································································································2分又因为f (0)＝a －2＜0，f (a －2)＝a e a －2＋sin(a －2)－3a ＋4＞a (e a －2－3)≥0，因此f (x )有唯一的零点．··························································································4分（2）由（1）知，a ≤0符合题意．（i ）当a ＝2时，由f (x )＝2e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝2e x ＋cos x －3．当x ＜0时，f'(x )≤2e x －2＜0，所以f (x )单调递减；························································6分当x ＞0时，f''(x )＝2e x －sin x ≥2e x －1＞0，所以f'(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x ＞0时，f'(x )＞f'(0)＝0，所以f (x )单调递增，于是f (x )≥f (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，故此时f (x )有唯一的零点x ＝0．················································································8分（ii ）当a ＞2时，f (x )＞2e x ＋sin x －3x －2≥0，此时f (x )无零点；······································9分（iii ）当0＜a ＜2时，首先证明：当x ≥0时，e x＞x 22．设g (x )＝e x－x 22，x ≥0，则g'(x )＝e x －x ，g''(x )＝e x －1≥0，所以g'(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x )≥g'(0)＝1＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此g (x )≥g (0)＝1＞0，即当x ≥0时，e x ＞x 22．··························································10分当x ＞0时，f (x )≥a e x －3x －3＞a 2x 2－3x －3，令a 2x 2－3x －3＝0，得x ＝3±9＋6a a．取x 0＝3＋9＋6a a＞0，则f (x 0)＞0．又f (0)＝a －2＜0，f (－1)＝a e －1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a ＜2时，f (x )至少有两个零点，不合题意．综上，a ＝2或a ≤0．····························································································12分。

2023.051．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．1．集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜4}的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．16 2．已知复数z 满足i z ＝2－i ，其中i 为虚数单位，则―z 为A ．－1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i3．在△ABC 中，角A ，B ，c 的对边分别为a ，b ，c ．若b sin A ＋B 2＝c sin B ，则角C 的大小为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π64．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为A ．丙参加了铅球B ．乙参加了铅球C ．丙参加了标枪D ．甲参加了标枪5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示◖阳仪，◗表示阴仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a 1为天一对应的经历过的两仪数量总和0，a 2为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a 3为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a 15为注意事项：南京市2023届高三年级第二次模拟考试数 学第 I 卷 （选择题 共60分）一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出四个选项，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上。

大衍图(第5题图)A ．84B ．98C ．112D ．1286．直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，绕直角边AC 所在直线旋转一周形成一个几何休，若该几何体外接球表面积为16π3，则AC 长为A ．32B ．1 C ．2D ． 37．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 为其左焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB ．若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为 A ．73B ．63C ．76D ．668．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )．若对任意x ∈R 有f ′(x )＞1，f (1＋x )＋f (1－x )＝0，且f (0)＝－2，则不等式f (x －1)＞x －1 的解集为A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)9．在(x －x2)n 的展开式中 A ．常数项为160B ．含x 2项的系数为60C ．第4项的二项式系数为15D ．所有项的系数和为110．若实数x ，y 满足x 22－y 2＝1，则A ．|x |≥2B ．x 2＋y 2≥2 C ．y x ＜12D ．|x －2y|≤ 2 二.选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·宣城模拟) 若全集，集合，，则为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·河南期中) 若在复平面内，复数所对应的点落在直线上，则A .B .C .D .3. （2分） (2015高一下·凯里开学考) 已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且∥ ，则2 +3 =（）A . （﹣2，﹣4）B . （﹣3，﹣6）C . （﹣5，﹣10）D . （﹣4，﹣8）4. （2分） (2016高二下·南昌期中) 如图，正方体中，两条异面直线BC1与CD1所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°5. （2分）已知抛物线的焦点为，关于原点的对称点为过作x轴的垂线交抛物线于两点．有下列四个命题：①必为直角三角形；②不一定为直角三角形；③直线必与抛物线相切；④直线不一定与抛物线相切．其中正确的命题是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④6. （2分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（）A . i=i-1B . i=i+1C . i=i-2D . i=i+27. （2分） (2016高二下·海南期中) 已知x与y之间的几组数据如表：x123456y021334假设根据如表数据所得线性回归直线l的方程为 = x+ ，则l一定经过的点为（）A . （1，0）B . （2，2）C . （，）D . （3，1）8. （2分） (2016高一下·右玉期中) 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A . 向右平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向左平移9. （2分）已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值为（）A . 32B . 4C . 8D . 210. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B . 1C .D . 311. （2分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④12. （2分）已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=________.14. （1分） (2019高二上·湖南期中) 已知函数，则 ________.15. （1分） (2016高三上·湛江期中) 若（2x﹣1）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），记S2016=，则S2016的值为________．16. （1分）如图，O为原点，从椭圆的左焦点F引圆x2+y2=4的切线FT交椭圆于点P，切点T 位于F、P之间，M为线段FP的中点，M位于F、T之间，则|MO|﹣|MT|的值为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·汕头期末) 在△ABC中，（5a﹣4c）cosB﹣4bcosC=0．（1）求cosB的值；（2）若c=5，b= ，求△ABC的面积S．18. （15分） (2017高二下·南通期中) 某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：房型特大套大套经济适用房舒适100150x标准300y600若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19. （10分） (2017高二下·嘉兴期末) 如图所示，正方体中，分别是的中点，将沿折起，使 .（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20. （10分）(2017·惠东模拟) 设椭圆C： + =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O 为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．21. （5分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=x2+ +alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．22. （10分）(2018·株洲模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为： ,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是 ,与曲线交于两点，求三角形的面积.23. （10分）(2016·中山模拟) 选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

江苏省南京市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设U=R，集合,，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）复数的值等于（）A .B .C . iD . －i3. （2分） (2016高二下·河南期中) 下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过（）x0123y1357A . 点（2，2）B . 点（1.5，2）C . 点（1，2）D . 点（1.5，4）4. （2分）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·南昌模拟) 已知命题甲是“{x| ≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则（）A . 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B . 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C . 甲是乙的充要条件D . 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7. （2分）已知定义在上的偶函数满足且在区间上是增函数则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·武城期中) 设实数x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C . 8D . 139. （2分） (2017高二下·西城期末) 如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A . |a|＜|b|B .C .D . lna＞lnb10. （2分）(2018·长安模拟) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前n项和）.则 =（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高三上·大连期末) 如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________．12. （1分）的展开式中常数项是________ （用数字作答）13. （1分）(2017·蔡甸模拟) 已知| |=2，| |=2 ，| |=2 ，且 + + = ，则• + • + • =________．14. （1分）已知点A（﹣,），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x 轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为________15. （1分）已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=________．三、解答题 (共6题；共70分)16. （10分） (2017高一下·新余期末) 已知函数f（x）= sinxcosx﹣cos2x+ ，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣， ]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．17. （10分） (2016高二上·驻马店期中) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．18. （15分）(2017·江西模拟) 以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率p0，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的p0作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X，求X的数学期望；（3）以（1）中的p0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.4=﹣0.398）19. （15分） (2016高一下·高淳期末) 设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an ﹣1+an ，n∈N* ，已知b1=m，，其中m≠0．（1）求数列{an}的首项和公比；（2）当m=1时，求bn；（3）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn∈[1，3]，求实数m的取值范围．20. （15分）(2017·泰州模拟) 已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．21. （5分） (2016高二上·鞍山期中) 已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2 =0相切（Ⅰ）求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（Ⅱ）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程（Ⅲ）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共70分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、。

江苏省南京市、盐城市2022届高三下学期二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合ln {|()}2A x y x ==－，2{|430}B x x x =-+≤则A B ⋃=（ ） A ．[13]，B ．(2]3，C ．[1)+∞，D ．(2)+∞，2．若()2i i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ，b 为单位向量.若52a b -=，则2a b +=（ ）AB C D ．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0~90︒︒之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600︒的值为（ ）（小数点后保留2位有效数字）30 400.5000 0.6427A ．0.42-B ．0.36-C ．0.36D ．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O 的球面上.若该圆锥的底面半径为6，则球O 的表面积为（ ） A ．32πB ．48πC ．64πD ．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为()()!e 012kk P X k k λλ-==⋯=，，，，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为()0λλ>的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ） A ．42e B ．44e C ．46e D ．48e 7．已知椭圆2222:0()x y C a b a b +＞＞的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，过点F 与x 轴垂直的直线与直线AB 交于点P .若线段OP 的中点在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 8．已知实数1()a b ∈+∞，，，且()22e 2ln 1a a b b +=++，e 为自然对数的底数，则（ ） A ．1b a << B ．2a b a <<C ．2e a a b <<D ．2e e a a b <<二、多选题9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ）A ．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C ．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D ．2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．PFQ △面积的最小值为211．设函数()2si 0)n 3(f x x πωω=+，＞，下列说法正确的是（ ）A ．当2ω=时，()f x 的图象关于直线π12x =对称 B ．当12ω=时，()f x 在[0]2π，上是增函数 C ．若()f x 在[0]π，上的最小值为2-，则ω的取值范围为76ω≥D ．若()f x 在[0]π-，上恰有2个零点，则ω的取值范围为43ω≥ 12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =.若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为4π C ．当点T 在平面PBD 内，且2TA TG +=时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P ABCD -表面交线的周长为三、填空题13．实数a ，b 满足()lg lg lg 2a b a b +=+，则ab 的最小值为___________.14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()112f x f x -++=，当]1[0x ∈，时，()22f x x x =-，若()f x x b ≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为___________.16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cm 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为___________cm .四、解答题17．在平面四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，6ADC π∠=，AC 平分BAD ∠. (1)若3BAD π∠=，2AC =，求四边形ABCD 的面积；(2)若CD =，求tan BAC ∠的值.18．已知数列{}n a ，当12[)2k k n -∈,时，2k n a =，N k *∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求2a ，20a ；(2)求使得2022n S <成立的正整数n 的最大值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，PAB △是边长为2的等边三角形，PD AB ⊥，PD =(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小.20．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01)p p <<.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a >元. (1)①写出X 的分布列； ①证明：()1E X p<； (2)某公司意向投资该产品.若0.25p =，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由.21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点)且渐近线方程为y x =±.(1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O .求证：直线AB 与圆221x y +=相切.22．设函数()e sin 32xf x a x x =+--，e 为自然对数的底数，a R ∈.(1)若0a ≤，求证：函数()f x 有唯一的零点； (2)若函数()f x 有唯一的零点，求a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合解一元二次不等式的方法、集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为(2,)A =+∞，[13]B =，，所以[1,)A B =+∞. 故选：C 2．A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】 解：因为()()()2i 12i 12i 2i 2i 25i i 5i 5z -+====+++-，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为12,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限. 故选：A 3．B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】 因为()()22222222444410a ba b a b a b a b a b -++=+-⋅+++⋅=，又52a b -=，所以25a b +=. 故选：B 4．B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得原式sin 20sin 70︒︒=-即得解.【详解】解：sin 20tan1600tan(4360160tan160tan 20cos 2)0︒︒︒︒︒︒=⨯+=-==-sin 200.34200.36sin 700.9397︒︒=-=-≈-故选：B 5．C 【解析】 【分析】设球心到圆锥底面的距离为d ，由题设可得关于d 的方程，求出其解后可得球的半径，从而可求其表面积. 【详解】因为6> 设球心到圆锥底面的距离为d ，则有222(6)d d --=，解得2d =，则圆半径64R d =-=， 表面积2464S R ππ==. 故选：C 6．D 【解析】 【分析】根据题干解方程可得2λ=，进而可得概率. 【详解】依题意得()()12P X P X ===，即2e e 2λλλλ=，解得2λ=，所以22()!k P X k e k -==，所以()022210e 0!e P X -===，()122221e 1!e P X -===，()222222e 2!eP X -===，则两周销售2件的概率为2122222241228C C e e e P e⎛⎫=⋅⋅+= ⎪⎝⎭. 故选：D.【解析】 【分析】联立直线AB 与x c =-，得到()(,)a c b P c a +-，继而得到()(,)22c a c bM a+-，代入椭圆求解即可 【详解】由题意，(,0),(,0),(0,)F c A a B b -由直线方程的截距式可得直线AB 为：1x ya b+=过点F 与x 轴垂直的直线为：x c =-联立1x ya b x c⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得(),a c b x c y a +=-=故()(,)a c b P c a +-，OP 中点()(,)22c a c bM a+-， 代入椭圆方程得2222222()331004422c a c c c e e a a a a ++=⇔+-=⇔+-=，解得e = 故选：A 8．D 【解析】 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为22()e 2ln 1a a b b +=++，所以2ln e 212(ln 1)2(e ln 1)a b a b b b --=--=--，函数()()()e 1e 10,x xf x x f x f x =--⇒->'=在(0,)+∞上单调递增，且()00f =，因为()1ln 0ln 0b b f b >⇒>⇒>所以(2)2(ln )(ln )f a f b f b =>，所以2ln a b >，即2e a b <，又2e 212(e 1)a a a a -->--，所以(2)2(ln )2()f a f b f a =>，所以ln a b <，即e a b <，综上，2e e a a b <<. 故选：D【解析】 【分析】根据表中数据逐一判断即可. 【详解】由增长率高，得不出收入高，即A 错误；由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B 正确； 由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C 正确； 由表中数据，可知增长率为正，即D 正确. 故选：BCD 10．AD 【解析】 【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断； 对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断， 对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅=是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQ S OF y y =⋅⋅-，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP =，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =-，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQP Q Sa OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥， 当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确. 故选：BD.11．AC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可. 【详解】当2ω=时，2sin 2122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12x π=是()f x 图象的一条对称轴，即A 正确；当12ω=时，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则7,3312x πππω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则7,2312πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 不单调，即B错误；若[0,]x π∈，则,333x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意，可知332ππωπ+，解得76ω，即C 正确；若[,0]x π∈-，则,333x πππωωπ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，由题意，可知23ππωππ-<-+-，解得4733ω<，即D 错误. 故选：AC 12．ABD 【解析】【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断AB 的正误，结合椭圆的定义可判断C 的正误，结合空间中垂直关系的转化可判断D 的正误. 【详解】将该四棱锥补成正方体，可知AG 位于其体对角线上，则AG ⊥平面PBD ，即A 正确； 设PB 中点为H ，则FG AH ∥，且4HAB π∠=，即B 正确；因为2TA TG +=，故T 在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转形成的椭球， 又平面PBD 与其长轴垂直，所以截面为圆，即C 错误；设平面EFG 与PB ，PD 交于点M ，N ，连接,,,,,,,PE EC PF FC EM MG GN NF ，因为,,PA BC AE BE PAE CBE ==∠=∠，故PAE CBE ≅， 所以PE CE =，而PG GC =，故EG PC ⊥，同理FG PC ⊥， 而FGEG G =，故PC ⊥平面EFG ，而EM ⊂平面EFG ，则PC EM ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PA BC ⊥， 而BC AB ⊥，PA AB A =，故BC ⊥平面PAB ， 而EM ⊂平面PAB ，故BC EM ⊥，因BC PC C ⋂=， 则EM ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ，则EM PB ⊥，所以BM EM ===FN DN ==又PG =22PM ==，则GM GN ==而12EF BD ==所以交线长为EF EM MG GN FN ++++=D 正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：空间中动点的轨迹，一般可根据平面曲线的定义结合旋转来处理，而截面问题则需结合位置关系的判定与性质或平面的性质来处理. 13．8 【解析】 【分析】利用基本不等式可求ab 的最小值. 【详解】因为log log log log(2)a b ab a b +==+，所以2ab a b =+≥8ab ≥，当且仅当4,2a b ==时等号成立， 故ab 的最小值为8， 故答案为：8. 14．144 【解析】 【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排 【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则4343144A A ⋅=.故答案为：144.15．14-##-0.25【解析】 【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值. 【详解】因为()()112f x f x ++-=，故()f x 的图象关于()1,1中心对称当[1,0]x ∈-时，()2()2f x f x x x =--=+，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可，即21124b x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，故14b ≤-，故答案为：14-.16．120 【解析】 【详解】如图所示，设圆弧圆心为O ，半径为R ，三个小球的球心自左至右分别为1O ，2O ，3O ，设134O OO θ∠=， 由题意可知，1120sin 20O Q OO R θ==-， 且()()()222122120cos22020cos2220sin h O M O M O N O P OO OO R R R θθθ=-=-==-=---=-，即()2220sin 8R θ-=，所以()220220820R R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，解得120R =，故答案为：120. 17．【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解 （2）根据正弦定理与三角比有关知识求解 (1)126DAC BAC BAD π∠=∠=∠=，则22,3DC AC ACD π==∠=，在ABC 中，由正弦定理可知sin sin AB ACACB ABC=∠∠，则AB =，则111222222ABCD ABC ACDS S S=+=⨯+⨯⨯(2)设BAC DACα∠=∠=，在ABC中，由正弦定理可知sin sinAB ACACB ABC=∠∠，即sin3ABπα=⎛⎫-⎪⎝⎭，即3ABACπα⎛⎫=-⎪⎝⎭，在ACD中，由正弦定理可知，即sin sinCD ACDAC ADC=∠∠，12AC=2sinα=，则2sin sin3παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得tanα=.18．(1)24a=，2032a=；(2)51.【解析】【分析】（1）利用给定定义直接计算作答.（2）根据给定定义，对于k值确定出2kna=的所有n值，再分析2022nS<时n值区间，再列式计算作答.(1)因当12[)2k kn-∈,时，2kna=，Nk*∈，而)21222,2-⎡∈⎣，则2224a==，又)515202,2-⎡∈⎣，则520232a==，所以24a=，2032a=.(2)因当12[)2k kn-∈,时，2kna=，Nk*∈，当01[22)n ∈,时，112a =，当12[22)n ∈,时，2232a a ==，当23[22)n ∈,时，34572a a a ====，当34[22)n ∈,时，489152a a a ====，当45[22)n ∈,时，51617312a a a ====，当56[22)n ∈,时，63233632a a a ====，而12345357931222428216222222682S =+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=，又1234563579116322242821623222222222022S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++>，则有2022n S <时，3163n <<，由6631(31)262082(312)22n S n n S <=+-⋅=+-⋅得：3351531511616n <+=，而N n *∈，于是得max 51n =， 所以使得2022n S ＜成立的正整数n 的最大值是51. 19．(1)证明见解析； (2)4π. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. (1)取AB 中点为M ，连接PM ，DM ， 则在等边三角形PAB 中，PM AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PM PD P ⋂=，PM ､PD ⊂面PMD ， 所以AB ⊥面PMD ，因为MD ⊂面PMD ， 所以AB MD ⊥，又2DA AB ==，1AM =，所以60DAB ∠=︒，PM DM ==PD = 所以222PM DM PD +=，即PM DM ⊥， 又PM AB M ⋂=，PM ､AB面PAB ，所以DM ⊥面PAB ，又因为DM ⊂面AC ，所以面PAB ⊥面ABCD ；(2)以点M 为原点，MP 为x 轴，AB 为y 轴，MD 为z 轴建立空间直角坐标系，则(000)M ，，，)0P ，，(00D ，(02C ，由（1）知面PAB 的法向量为0(0MD =，(3,2,3),(3,0,PC PD =-=-设面PCD 的法向量为()m x y z =，，，则00PD m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，20y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩101()m =∴，，，所以面PCD 和面PAB 的二面角的余弦值为cos 3MD m MD mθ⋅===⋅⨯ 所以面PCD 和面PAB 的二面角为4π. 20．(1)①答案见解析；①证明见解析 (2)应该投资，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，1,2,3,...,10X =，19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===-，列出分布列即可；列出()E X ，乘公比错位相减法求和0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++-，分析可证明()1E X p<； （2）由（1）1()4E X p<=，分析即得解 (1)①由题意，1,2,3,...,10X = 故19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===-分布列如下：①02918()(1)2(1)3(1)9(1)10(1)E X p p p p p p p p p =-+-+-++-+-，记0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++-，1239(1)(1)2(1)3(1)9(1)p S p p p p -=-+-+-++-，作差可得，()()()()()()()9128991111119191p pS p p p p p p p--=-+-+-++---=--，则910991(1)1(1)1()10(1)(1)p p E X pS p p p p p ----=+-=+-=<，即证. (2)由（1）可知1()4E X p<=，则试验成本的期望小于4a ，又获利5a 大于成本的期望，则应该投资.21．(1)a b ==(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可；（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数的关系，结合圆的性质进行求解即可. (1)22311a ba b⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得a b ==22:2C x y -=；(2)易知直线AB 一定不为水平直线，设为x my n =+，设()()()112222,,,,A x y B x y D x y -，联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩，整理得()2221220m y mny n -++-=，则212221n y y m -=-， 由于外接圆过原点且关于y 轴对称，设为220x y Ey ++=，则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩， 则()()()()2222222111222112,222y x y y x y y y y y +=++=+，则121y y =，则22212221,11n y y n m m -===+-，则原点到直线AB的距离1d ==，即证.【点睛】关键点睛：利用圆的性质进行求解是解题的关键. 22．(1)证明见解析 (2)(]{},02-∞⋃ 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，再根据零点存在定理判断零点个数； （2）构造函数，根据函数的单调性及最值情况求参数值. (1)当0a ≤时，()e cos 30xf x a x '=+-<恒成立，所以()f x 单调递减， 又() 020f a =-<，11331e 313e 033a a a a f a a a --⎛⎫⎛⎫->---=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一的01,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =，命题得证；(2)由（1）可知，当0a ≤时，()f x 有唯一零点， 当0a >时，()sin 32e e x x x x f x a --⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，设()sin 32exx x g x a --=+，则()g x 有唯一零点， ()cos sin 31e xx x x g x -+-'=，设()cos sin 31h x x x x =-+-，则()cos sin 30h x x x '=--+>，所以()h x 单调递增，又()00h =，列表可知，()g x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增， 即()()min 02g x g a ==-，当2a >时，()0g x >恒成立，无零点，即2a >不符题意，当2a =时，()()man 00g x g ==，即()g x 仅有一个零点0x =，即2a =符合题意， 当02a <<时，()()min 00g x g =<，因为()()11sin1e 0g a -=-+>，9912199271e 313e 0a ag a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫->---=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以存在()11,0x ∈-，290,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()120g x g x ==，即()0,2a ∈不符题意，综上，a 的取值范围为(]{},02-∞⋃. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。