微分几何讲义

z
Tp S
n
ru
S
p
rv
y
x
图 x 曲面上任意点处的切空间和切平面 在空间 E 中经过点 p , 以为方向的直线称为曲面 S 在点 p 的法线, 它的参数方程是
3
= X ( t ) r ( u , v ) + tn ( u , v )
上式中 t 为法线上点的参数.
(1.16)
4. 曲面的第一基本形式
(1.14)
n (u,v ) =
ru ( u , v ) × rv ( u , v ) ru ( u , v ) × rv ( u , v )
(1.15)
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s = 0 处的各阶导数
= ′′′ ( 0 ) r
( 0 ) = [ 0,0,0 ] r ′ ( 0 ) = [1,0,0] r ′′ ( 0 ) = [ 0, k ,0] r
(1.6)
[0,0, kΚ ]
( s ) 在在 s = 0 处的曲率是 k , 挠率是 Κ , 并且 Frenet 标架为 由上式不难看出 , 曲线 r
上式称为曲线在 s = 0 处的标准展开. 上式中坐标函数 x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) 作为参数 s 的无穷小量的主要部分分别是 s ,
(1.4)
k 2 s 2
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正则曲面 S 在每一点 p ∈ S 处的切空间 Tp S 是由切向量 ru 和 rv 所张成的二维矢量空间, 是 R 的子空间. 因此,当曲面 S 上的切向量作为 R 中的向量时,可以度量它们的长度和夹角. 曲面 S 上任意一个点处的任意一个切向量可以表达为曲面的微分
3 3
= dr ( u , v ) ru ( u , v ) du + rv ( u , v ) dv
向量的长度平方. 如果在同一点 p 处有另一个切向量
= δ r ( u ,v ) ru ( u ,v ) δ u + rv ( u ,v ) δ v
其分量是 (δ u ,δ v ) , 则切向量 dr 和 δ r 的内积为
(1.21)
dr ⋅ δ= r
1 2 2 2 ( dr + δ r ) − ( dr ) − ( δ r ) 2 = Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u ) + Gdvδ v
E= (u,v ) ru (u,v ) ⋅ ru (u,v ) F= (u,v ) ru (u,v ) ⋅ rv (u,v ) G= (u,v ) rv (u,v ) ⋅ rv (u,v )
(1.18)
它们就是基底 {ru , rv } 的度量系数, 这三个标量称为曲面 S 的第一基本量. 将这三个基本量 写成一个对称矩阵
3
3
(0) = Τ r r ( 0 ) = kN N + kΚB −k Τ + k r (0) =
2
(1.2)
则曲线可表达为
k k2 k kΚ 3 s B + o ( s3 ) r ( s )= r ( 0 ) + s − s3 T + s2 + s3 N + 6 2 6 6
2 2
(1.20)
E F du = [du dv ] F G dv
称 Ι 为曲面 S 的第一基本形式. 并且, Ι 与曲面 S 的参数选取是无关的, 只与曲面 S 在空间
E 3 中的几何形状有关, 是曲面内蕴的不变量. 第一形式 Ι 所表达的几何意义是曲面 S 上切
2. 正则曲面
参数曲面 S 用 r = r ( u , v ) 来表示, 曲面 S 在定义区间 ( u , v ) ∈ D 内的某点 p0 = r ( u0 , v0 ) 处分别沿 u , v 方向两条参数曲线的切向量是
= ru ( u0 , v0 )
∂r ∂r = , rv ( u0 , v0 ) ∂u (u0 ,v0 ) ∂v (u0 ,v0 )
(1.10)
如果 ru ( u0 , v0 ) 与 rv ( u0 , v0 ) 是线性无关的,也即 ru × rv ≠ 0 ,则称曲面 S 在点 p0 处是正则的 (Regular). 三次以上连续可微的、且处处是正则点的参数曲面，称为正则参数曲面. 并且约 定矢量 ru × rv 所指向的一侧为曲面的正侧.
1. 曲线参数方程在一点处的标准展开
将曲线在弧长参数 s = 0 处进行泰勒展开
s s2 s3 r ( s) = r ( 0 ) + r ( 0 ) + r ( 0 ) + r ( 0 ) + o ( s3 ) 1! 2! 3!
上式中 o s
(1.1)
( ) 表示 s 的高阶无穷小. 根据 Frenet 公式，有
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B B
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K>0
K<0
N
N
图 x 近似曲线在法平面上投影 从以上图 x 中可以看出, 曲线在 s = 0 处是穿过曲线在该点处的密切平面的. 密切面的正 方向由副法线 B 确定. 当挠率 Κ > 0 时, 曲线是从下而上地穿越过密切面; 而当挠率 Κ < 0 时, 曲线是从上而下地穿越过密切面. 这就是挠率 Κ 正号、负号的几何含义。
du ( t ) dt t =0
和
dv ( t ) . 反之, 切向量 ru 和 rv 的任意一个线性组合 aru + brv , 其中 a 和 b 是任意实数, dt t =0
必定是曲面 S 的一个切向量. 对于正则参数曲面, 因 ru × rv ≠ 0 , 故 ru 和 rv 是线性无关的, 因此曲面 S 在点 p 的全体 切向量构成一个二维矢量空间, 称为曲面 S 在点 p 的切空间, 记为 Tp S ,
(1.12)
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根据切向量的定义, 曲面 S 经过点 p 的 u 向曲线和 v 向曲线的切向量 ru 和 rv , 都是曲面
{r ,T , N , B} .
( s ) 与 r ( s ) 在 s = 0 处具有相同的曲率、挠率和 Frenet 标架, 也共 因此, 曲线 r
( s ) 被称作 r ( s ) 在 s = 0 处的近似曲线, 其性质反映了原 享法平面, 密切面和从切面. 因此 r
曲线的性状.
图 x 曲线的 Frenet 标架 近似曲线在密切面上的投影是曲线
E F F G
显然, EG = − F2
(1.19)
ru rv
2
2
(1 − cos ∠ ( r , r ) ) > 0 , 并且 E > 0 ,
2 u v
G > 0 , 因此(1.19)是一个正
定矩阵. 将公式(1.17)所表达的切向量与自身的内积, 表达为一个二次微分形式
= Ι dr ( u , v ) ⋅ d r ( u , v ) = ( rudu + rv dv ) ⋅ ( rudu + rv dv ) = E ( du ) + 2Fdudv + G ( dv )
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和
kΚ 3 s , 这提示我们可以构造一条新的曲线如下 6
k kΚ 3 ( s) = r s , s2 , s 6 2
(1.5)
( s ) 的弧长参数. 考察在曲线在 很显然这是一条三次曲线, 并且注意此时参数 s 不是曲线 r
3
{ru , rv } 是该切空间
的基底(Bases). 该切空间在空间 E 中所处的平面，称为X (λ , µ ) = r ( u , v ) + λ ru ( u , v ) + µ rv ( u , v )
其中 λ , µ 是切平面上点的参数. 显然, 该切平面的法矢量为
(1.3)
如果将曲线在 s = 0 处的 Frenet 标架 {r ,T , N , B} 取作空间 E 3 的笛卡尔(Descartes)坐标 系的标架，则曲线在 s = 0 处附近的参数方程成为
k2 3 = − x s s s + o ( s3 ) ( ) 6 3 k 2 k 3 y ( s ) = s + s + o ( s ) 2 6 kΚ 3 z ( s) s + o ( s3 ) = 6
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k 2 s, s , 0 2
这是一个抛物线, 如图所示
N
(1.7)
T
图 x 近似曲线在密切平面上投影 近似曲面在从切平面上的投影是曲线
(
)
(1.22)
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