平面向量基本定理系数的等值线法学生用

平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然 （二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线 （1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ； （2）当等差线过A 点时，1=k ； （3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ； （4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ； （3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ； （4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ； （6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ； （7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则 当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则 当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是 解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ， 故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=， 则y x +的取值范围 解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小 由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近 此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为 解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值 解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大 计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ， 所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ， 设OB n OA m OC +=，则nm的值为 答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。

第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。

二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。

（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，41=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则)(定值k =μλ，反之也成立。

l AQBOA 1B 1PlOABCC 1平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二） 等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、 确定等值线为1的线；22、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

【典型例题】例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。

（1）跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1cos 3ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.(3)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λ AB →＋μ AD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2(4)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.AAC【强化训练】1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围__________.3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+ （12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，则mn的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。

示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图： 过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则 OM →＝12(OA →＋OB →)． 这是线段AB 的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B组2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b . 设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .① 又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .② 由①②，得⎩⎨⎧ －1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →. ∴C 、P 、L 三点共线．∴AD 、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB → C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB → 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、CC ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC→的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6。