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![第七讲余数问题解答[五竞]](https://uimg.taocdn.com/d844c650cf84b9d528ea7a72.webp)
第三讲余数问题知识导航余数定理：余数具有可加、可减、可乘性。
既和的余=余的和；差的余=余的差；积的余=余的积。
同余定理：两个自然数除以同一个数，若余数相同，则两个数的差一定能被除数整除。
中国剩余定理。
余数问题解法：转化法：将有余数转化为能整除。
减同余，差同补，逐级满足法，中国剩余定理求解。
找余数的规律精典例题例1：求478×296×351除以17的余数。
例2：有一个大于1的整数，除300，262，205可得到相同的余数，问：这个整数是几？例3：有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，则a=。
例4：11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余几？例5：从1，2，…，100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个数的和都不能被3整除？例6：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个分别是几？例7：有10张卡片，上面分别写着33、36、37、40、42、46、50、53、58、60.甲取走2张，其余的被乙、丙、丁三人取走。
已知乙取走的卡片上的数字之和是丁的3倍，丙取走的卡片上的数字之和是丁的4倍，那么甲取走的两张卡片分别写着几和几？例8：希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人，六年级先坐满几辆车，剩下的16人与五年级坐满一辆车，五年级又坐满若干辆车。
到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级的学生合影一张，每个胶卷可拍36张，全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？家庭作业1、某数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数最小是多少？[分析与解]设这个数为N，根据题意得：N÷3余2N÷5余4N÷7余6观察余数和除数，发现：余数都比除数小1。
(N+1)就能同时被3，5和7整除，最小的数就是3，5，7的最小公倍数。
[3，5，7]=3×5×7=105，N+1=105;N=104.答：这个数是104。
数论专题一、带余除法及同余余数的可加性余数的可乘性例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩1个，4个4个地数剩1个，6个6个地数剩1个，这排吊灯至少有多少个？例2一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
例3求乘积34×37除以13所得的余数例4 19983除以7余数是多少。
练习1 求33335555+ 55553333被7除的余数。
例5 55555555573⋅⋅⋅÷个的余数是多少？二、位值原理例1、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除例2、有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
例3、某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。
数论综合：1、某校的学生总数是一个三位数，平均每个班有35人，统计员提供的学生总数比实际总数少270人，原来，他在记录时粗心的将这个三位数的百位与十位数字对调了。
这个学校的学生最多是多少人？2、一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答题不得分，小明得了23分，已知他未答题目是偶数，他答错了几道？3、A.B.C.E.F.G七盏灯各自装有拉线开关，开始B.D.F亮着，一个小朋友从A到G再从A 到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次，问此时哪几盏灯是亮着的。
4、“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”这就是著名的哥德巴赫猜想，例如8=5+3.但是8只有一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示成不同质数之和的形式，那么，能有两种表示成不同质数之和的形式的最小自然数是几？5.有1,2,3,4,5,6,7,8,9,九张牌，甲乙丙各拿了3张，甲说：我的三张牌的积是48:；乙说：我的三张牌的和是15，丙说：我的三张牌的积是63,。
问，他们各拿的是哪三张牌？6、李老师带领同学们去植树，学生们按人数分恰好分成三组，已知他们共种了312棵树，老师和学生每人种的树一样多，且不超过10棵。
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
第五讲余数问题-（带完整答案）五年级奥数第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a 除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。
求出符合条件的所有的两位数。
分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。
11小于12，所以不行。
大家做题时要仔细认真。
【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。
数论-余数问题-带余除法-5星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数．例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1．如(21#(21#x))=5，则x可以是．（x小于50）【答案】13，29，37．【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题．可采用枚举与筛选的方法．第一步先把(21#x)看成一个整体y．对于21#y=5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等于(21−5)=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47⋯，即形如21N+5这样的数有无数个．但必须得考虑，这些解都是由y所代表的式子(21#x)运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去．现在只剩下8，与16．第二步求：(21#x)=8与(21#x)=16．对于(21#x)=8可分别解得，把21作被除数时：x=13，把21作除数时为：x=29，50，⋯形如21N+8的整数（N是正整数）．对于(21#x)=16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x=37，58⋯所有形如21N+16这样的整数．（N是正整数）．所以符合条件的答案是13，29，37．2. 字母a,b,c,d,e,f,g分别代表1至7中的一个数字，若a+b+c=c+d+e=c+f+g，则c可取的值有个．【答案】3【分析】a+b+c=c+d+e=c+f+g,a+b+c+c+d+e+c+f+g=(a+b+c+d+e+f+g)+2c=(1+2+3+4+5+6+7)+2c=28+2c28+2c是3的倍数，28÷3⋯1,所以2c÷3⋯2,c=1或4或7都可满足；构造：当c=1时，(28+2)÷3=10,所以a+b=d+e=f+g=9,a=2,b=7,d=3,e=6,f=4,g=5;当c=4，(28+2×4)÷3=12,所以a+b=d+e=f+g=8,a=1,b=7,d=2,e=6,f=3,g=5;当c=7，(28+2×7)÷3=14,所以a+b=d+e=f+g=7,a=1,b=6,d=2,e=5,f=3,g=4.综上，共有3种情况．3. 1×3×5×⋯×1991的末三位数是多少？【答案】625【分析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1×3×5×⋯×991的平方再乘以993×995×997×999的末三位．而993×995×997×999=993×999×995×997=(993000−993)×(995000−995×3)=(993000−993)×(995000−2985),其末三位为7×15=105;然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为(5k)2（k为奇数），由于(5k)2=25k2=25+25(k2−1),而奇数的平方除以8余1，所以k2−1是8的倍数，则25(k2−1)是200的倍数，设25(k2−1)=200m，则(5k)2=25+25(k2−1)=25+200m,所以它与105的乘积(5k)2×105=(25+200m)×105=21000m+2625,所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．4. 如果某整数同时具备如下三条性质：（1）这个数与1的差是质数；（2）这个数除以2所得的商也是质数；（3）这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数，求出所有的两位幸运数．【答案】14【分析】条件（1）也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件（3），除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86，这五个数满足条件；其中86与50不符合（1），32与68不符合（2）．三个条件都符合的只有14，所以这个数是14．5. 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【答案】见解析．【分析】1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数a1，a2，a3，⋯，a500．由于余数只能取0，1，2，⋯，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：11⋯100⋯0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数．6. 用 1、2、3、4、5 各一个可以组成 120 个五位数，你能否从这 120 个数里面找出 11 个数来，使得它们除以 11 的余数各不相同？如果五个数字是 1、3、4、6、8 呢？【答案】 不能；不能．【分析】 （1）不能．五位数有 3 个奇位数字和 2 个偶位数字，将 1、2、3、4、5 分到奇偶位有 C 52=10 种方法，那么形成的五位数最多只能产生 10 种除以 11 的余数，无法出现 11 种除以 11 的余数．（2）不能．与（1）同理．当然，想不到这个的同学一一枚举即可，（1）中很明显余数为 0 的是构造不出来的，此外，余数为 2、4、6 也无法构造出来．（2）中余数为 6、7、10 的是构造不出来的．7. 任意给定一个正整数 n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数．【答案】 见解析．【分析】 考虑如下 n +1 个数：7，77，777，⋯⋯，77⋯7⏟n 位，77⋯7⏟n+1位，这 n +1 个数除以 n 的余数只能为 0，1，2，⋯⋯，n −1 中之一，共 n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 n 的余数相同，不妨设为 77⋯7⏟p 位和 77⋯7⏟q 位（p >q ），那么 77⋯7⏟p 位−77⋯7⏟q 位=77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位 是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为 77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位的数，即由 0 和 7 组成的数．8. 两个不等的自然数 a 和 b ，较大的数除以较小的数，余数记为 a ⊙b ，比如 5⊙2=1，7⊙25=4，6⊙8=2．（1）求 1991⊙2000，(5⊙19)⊙19，(19⊙5)⊙5；（2）已知 11⊙x =2，而 x 小于 20，求 x ；（3）已知 (19⊙x)⊙19=5，而 x 小于 50，求 x ．【答案】 （1）9；3；1；（2）x =3,9,13；（3）x =12,26,33,45．【分析】 （1）1991⊙2000=9；由5⊙19=4，得(5⊙19)⊙19=4⊙19=3；由19⊙5=4，得(19⊙5)⊙5=4⊙5=1．（2）我们不知道11和x哪个大（注意，x≠11），即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论．①x<11，这时x除11余2，x整除11−2=9．又x⩾3（因为x应大于余数2），所以x=3或9．②x>11，这时11除x余2，这说明x是11的倍数加2，但x<20，所以x=11+2=13．因此（2）的解为x=3,9,13．（3）这个方程比（2）又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解．用y表示19⊙x，不管19作除数还是被除数，19⊙x都比19小，所以y应小于19．方程y⊙19=5，说明y除19余5，所以y整除19−5=14，由于y⩾6，所以y=7,14．当y=7时，分两种情况解19⊙x=7．①x<19，此时x除19余7，x整除19−7=12．由于x⩾8，所以x=12．②x>19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x<50，所以x=19+7= 26，x=19×2+7=45．当y=14时，分两种情况解19⊙x=14．①x<19，这时x除19余14，x整除19−14=5，但x大于14，这是不可能的．②x>19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数加14，因为x<50，所以x=19+14=33．总之，方程(19⊙x)⊙19=5有四个解，x=12,26,33,45．9. 箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．【答案】107，109，111，113，115，117【分析】设19克的珠子有a个，17克的珠子有b个，根据题意列方程得19a+17b=2017利用余数分析法解不定方程．由于2017÷19余3所以有17b÷19余3，解得b=8从而得出a=99，即19×99+17×8=2017,即找到一组解为{a=99b=8此时a+b=99+8=107，由于19和17互质，那么只需要将a顺次减少17，b顺次增大19即可得出其他解{a=82b=27{a=65b=46{a=48b=65{a=31b=84{a=14b=103对于a+b的和而言，共可算得6个答案，分别为：107，109，111，113，115，117．10. 一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．【答案】108，100，92，84，76，68，60，52，44．【分析】本题考査学生掌握带余除法及枚举筛选的综合能力．设所求的自然数为n，且设n除以8商x余r，n除以9商a余y，于是有n=8x+r=9a+y(其中x+y=13)．又已知0⩽y⩽8，0⩽r⩽7，下面分类讨论：若y=0，则x=13，得8×13+r=9a，解出r=4，故n=8×13+4=108；若y=1，则x=12，得8×12+r=9a+1，解出r=4，故n=8×12+4=100；类似地，若y=2、3、4、5、6、7、8，则分别有x=11、10、9、8、7、6、5，解得r=4，故n=8×11+4=92；n=8×10+4=84；n=8×9+4=76；n=8×8+4=68；n=8×7+4=60；n=8×6+4=52；n=8×5+4=44．答：满足条件的然数共有9个：108、100、92、84、76、68、60、52、44．说明：本题也可以先确定r=4．由y=13−x代人可得8x+r=9a+(13−x)，即9x−9a=13−r，于是13−r的差应是9的倍数，又0⩽r⩽7，故r=4．。
教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论(五) 余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数性质2：性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
教案教师：__王鑫___学生：_刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1)29＋30＋31＋……＋87＋88(2)（200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3)35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1)1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10(2)1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll 张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l 位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l 位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k 个人，其中有k 个物理学家和k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k 为偶数．欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？12345678910＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
余数的性质：和的余数等于余数的和，差的余数等于余数的差，积的余数等于余数的积． 这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算33371580+⨯-的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．重难点：根据余数的性质进行替换求余．根据周期性求余数．题模一：替换求余例1.1.1（1）135137139⨯+除以5的余数是__________；（2）3579135713579⨯+除以9的余数是__________．【答案】（1）4（2）4【解析】（1）135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4；135137139⨯+除以5的余数是0244⨯+=．（2）3579除以9的余数是6，1357除以9的余数是7，13579除以9的余数是7；因此3579135713579⨯+除以9的余数和67749⨯+=除以9的余数相同，是4．例1.1.2某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．则最后一包有__________个零件．【答案】16【解析】1281779÷=；231716÷=；300171711÷=．所以12823300⨯⨯与9611=594⨯⨯除以17的余数相同．594173416÷=．所以最后一包有16个零件．例1.1.3（1）877844923581368+⨯除以4、9的余数分别是多少？（2）365366367368369370+⨯除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0，2（2）2，2，2【解析】特性求余法和替换求余法结合使用．（1）877844923581368+⨯除以4的余数等于0300+⨯=除以4的余数，即为0．877844923581368+⨯除以9的余数等于75847+⨯=除以9的余数，即为2．（2）365366367368369370+⨯除以7的余数等于1112+⨯=除以7的余数，即为2．数论第16讲_余数的性质 33 ＋ 37 × 15 － 80 5 ＋ 2×1 — 3每个数都用它除以7的余数替换365366367368369370+⨯除以11的余数等于1112+⨯=除以11的余数，即为2．365366367368369370+⨯除以13的余数等于1112+⨯=除以13的余数，即为2．例1.1.4算式200920092010201020112011⨯+⨯+⨯除以31的余数是_________．【答案】15【解析】用替换求余法．这个算式除以31的余数即2525262627272030⨯+⨯+⨯=降以31的余数，2030316515÷=．所以这个算式除以31的余数是15．题模二：周期求余例1.2.1702除以7的余数是多少？【答案】2【解析】2，22，32……这个数列的每个数除以7的余数为2、4、1、2、4、1……，以2、4、1为周期，所以第70个为2．例1.2.2201452的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以13的余数是多少？【答案】4，4，0【解析】52n 的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数一个周期．2014除以4余2，所以201452的个位数字与周期中的第二个数字相同，即为4．52n 除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每6个数一个周期．2014除以6余4，所以所以201452除以7的余数与周期中的第4个数字相同，即为4．52n 除以13的余数是0．所以201452除以13的余数是0．例 1.2.32013201320132013201312345++++除以5，余数是___________．（注：2013a表示2013个a 相乘）【答案】0【解析】20130除以5余数是1； 20132除以5的余数依次是2、4、3、1为周期，所以最后余数是2；20133除以5的余数依次是3、4、2、1为周期，所以最后余数是3；20134除以5的余数依次是4、1为周期，所以最后余数是4；20135除以5的余数是0．故这个算式的结果除以5的余数是：()12340520++++÷=，即余数是0． 例1.2.4108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？【答案】2 【解析】8除以5余3，本题相当于求333333103+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数；3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅它按照3，4，2，1的顺序反复出现，并且342110+++=是5的倍数，这10个数中有2个3，4，2，1，还剩一个3和4．所以所求余数为347+=除以5的余数，余2．例 1.2.5有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数．【答案】401【解析】从第三个数起，每个数都是前面两个数之和，所以除以5的余数也为前面两余数之和．可得余数依次为下：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0……可以看出，每5个余数会有一个为0，20095401......4÷=，所以共401个．例1.2.6算式20087777777+⨯++⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少？【答案】00【解析】通过计算7，77⨯，777⨯⨯，7777⨯⨯⨯的末两位知道这2008个数的末两位以4为周期，按07，49，43，01循环出现．因为749431100+++=，所以原来每连续4个数相加的末两位是是00．20084502÷=，把这2008个数按4个一组分成502组，每组4个数之和的末两位都是0，最后这2008个数之和的末两位也是00．随练1.1164+321+166除以16的余数是多少？【答案】11【解析】和的余数等于余数的和．随练1.2一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】2【解析】本题是要求算式3651234⨯的结果除以6的余数．利用替换求余法易知结果是2．随练1.349015×81364－83778+10除以9的余数是__________．【答案】8【解析】余数可加性、可减性、可乘性之综合运用．原式的余数等于14611⨯-+=-，不够减补上一个9，也就是说明余数是8．随练1.436629的个位数字是_______，除以7的余数是_______．【答案】1；1【解析】3663661831832998111(mod 10)≡≡≡≡，3661832911(mod 7)≡≡．随练1.5有一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……，这列数左起第2014个数除以5的余数是__________．【答案】2【解析】这个数列除以5的余数依次是1、2、4、2、1、1、2、4、2、1……，5个一周期，20145402......4÷=，所以这列数左起第2014个数除以5的余数是2．作业1123456789123456789++++++++除以3的余数是__________．【答案】1【解析】易知3693690(mod 3)≡≡≡；1471(mod 3)≡≡≡，进而1471471(mod 3)≡≡≡；2241(mod 3)≡≡，55252551122(mod 3)≡⨯⨯≡⨯⨯≡，8448641(mod 3)≡≡．综上，12345678912345678915211(mod 3)++++++++≡⨯+⨯≡．作业220032与22003的和除以7的余数是______．【答案】5【解析】()()667220032222003271324115(mod 7)+≡⨯++-≡⨯+≡． 作业3（1）123456789++的结果除以111的余数是多少？（2）2244686678-的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36（2）12【解析】利用替换求余法计算．（1）本题就是要求算式12121236++=的结果除以111的余数，即为36．（2）本题就是要求算式212-的结果除以22的余数，当不够减时，增加22的倍数，即2122212-+=，所以最后的余数是12．作业4今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二，则：（1）从今天算起，再过2014天是星期几？（2）从今天算起，再过20142014⨯天是星期几？（3）从今天算起，再过20142014天是星期几？【答案】（1）星期五（2）星期四（3）星期二【解析】（1）利用7的整除特性，可以很容易求出2014除以7的余数为5，因此再过2014天是星期五．（2）利用特性求余法和替换求余法，可知20142014⨯除以7的余数等于55⨯除以7的余数，余数为4，因此再过20142014⨯天是星期四．（3）仍然利用特性求余法和替换求余法，可知20142014201420142014⨯⨯⨯个除以7的余数等于20145555⨯⨯⨯个除以7的余数，然后我们利用周期求余法，15除以7余5，25除以7余4，35除以7余6，45除以7余2，55除以7余3，65除以7余1，因此是6个一周期，2014除以6余4，即周期中的第4个，余数为2，因此再过20142014天是星期二．作业5（1）202除以7的余数是__________；（2）1414除以11的余数是__________；（3）12128除以13的余数是__________．【答案】（1）4（2）4（3）2【解析】（1）2的不同次方除以7的余数按照2、4、1的规律反复出现，20除以3余2，所以202除以7的余数与22除以7的余数相同，为4．（2）14除以11的余数是3，所以1414除以11的余数与143除以11的余数相同．3除以11余3；23除以11余9；33除以11余5；43除以11余4；53除以11余1，63除以11余3；⋅⋅⋅．我们可以得到3的次方除以11的余数每5个一周期．14除以5余4，所以143与43除以11的余数相同，余4．（3）28除以13余2，这样只需要计算1212除以13的余数，我们来计算2，22，32，42，⋅⋅⋅除以13的余数，它们依次为：2，4，8，3，6，12，11，9，5，10，7，1，2，4，⋅⋅⋅．这里以12个为一周期，由于121除以12余1，所以1212与12除以13的余数相同．即1212除以13余2．作业6求余数的方法（1）求乘积316419813⨯⨯除以13所得的余数．（2）923除以21的余数是几？（3）7118除以11的余数是几？（4）求25316除以9的余数．（5）观察一列数2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……的规律，这列数的第2008个数被6除的余数是多少？【答案】（1）6（2）9（3）7（4）1（5）4【解析】（1）316419813437236(mod13)⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡．（2）()()45159124533332323133(mod 7)≡⨯≡⨯≡⨯≡⨯≡，故923除以21的余数是339⨯=． （3）()()()234471713223531877725225177(mod 11)≡≡⨯≡⨯≡⨯⨯≡-⨯≡． （4）()25252531631611(mod 9)≡++≡≡．（5）设第2008个数为n ．数列为“偶奇奇偶奇奇……”，周期为3，20081(mod 3)≡，故0(mod 2)n ≡；数列被3除的余数分别为2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……周期为8，20080(mod 8)≡，故1(mod 3)n ≡．再结合0(mod 2)n ≡，易知4(mod 6)n ≡．作业720122012201220121232013++++的计算结果除以10的余数是多少？ 【答案】1 【解析】用替换求余和特殊求余法．20121除以10余1，20122除以10余6，20123除以10余1，20124除以10余6，20125除以10余5，20126除以10余6，20127除以10余1，20128除以10余6，20129除以10余1，201210除以10余0．所以算式的计算结果除以10的余数是()1616561610201161332011616641+++++++++⨯+++=⨯+++=除以10的余数，即余数是1．。
数论-余数问题-余数的判定-5星题课程目标知识提要余数的判定•概念当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法求得余数，但当被除数位数较多时，我们可以找到一个较简单的数，通过这个较简单的数除以除数得到的余数来得原来的数的余数的方法叫做余数的判定。
•判定方法1、末位判定法整数N被2或5除的余数等于这个数的个位数被2或5除的余数；整数N被4或25除的余数等于这个数的末两位数被4或25除的余数；整数N被8或125除的余数等于这个数的末三位数被8或125除的余数；2、数字求和法整数N被3除的余数等于这个数的各位数字之和被3除的余数；；整数N被9除的余数等于这个数的各位数字之和被9除的余数；3、奇偶位求差法整数N被11除的余数等于这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11除的余数（如果不够减，适当加11的倍数再减）；4、截断作和整数N被99除的余数等于这一个数从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和被99除的余数；5、截断作差整数N被7、11、13除的余数等于这一个整数，从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差被7、11或13整除的余数（如果不够减，适当加7、11、13的倍数再减）精选例题余数的判定1. 11+22+33+44+⋯+20052005除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．2. ab21是一个四位数，由四个阿拉伯数字a,b,1,2组成的其他23个四位数的和等于90669，求a和b的值．【答案】a=9,b=3【分析】所有24个四位数的和等于6666(a+b+3)，因此，除ab21外，其余23个四位数的和为666(a+b+3)−1000a−10b−21=5666a+6566b+19977.所以5666a+6566b=70692，即2833a+3283b=35346. ①因为3283a+3283b⩾35346，即a+b⩾353463283=1025163283，即a+b⩾11．同理得a+b⩽12．所以11⩽a+b⩽12．因为2833≡1(mod3) 3283≡1(mod3) 35346≡0(mod3)即a+b≡0(mod3)．所以a+b=12. ②解由①和②联立的方程组得a=9,b=3．3. 试求不大于100，且使3n+7n+4能被11整除的所有自然数n的和．【答案】1480【分析】通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，⋯，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，⋯；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，⋯；于是3n+7n+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，⋯；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即n=3,4,6,13,14,16,⋯,93,94,96时3n+7n+4能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：3+4+6+13+14+16+⋯+93+94+96=13+43+⋯+283=1480.4. 在等差数列1,8,15,22,29,36,43,⋯中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+1个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？【答案】107【分析】末尾0是由因子2和因子5的乘积得到的．数列中因子2的个数足够多，因此第n+1个数应为53的倍数，并且除以7余1．满足条件的最小数为750．而(750−1)÷7+1=108，因此n最小是107．。
教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：____________【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数被除数除数商余数性质2：=⨯+=÷除数（被除数-余数）商商（被除数-余数）除数=÷性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于313⨯=。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于3412⨯=除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：__________数论（二）数的整除【专题知识点概述】一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.（以上规律仅在十进制数中成立.）5. 部分特殊数的分解：1001=7×11×13；111111=111×1001二、整除性质(1)性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．再看下面这个问题：2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：(2)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：(3)性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．(4)性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．(5)性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；(6)性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；【习题精讲】【例1】（难度级别※）已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例2】（难度级别※）173□是个四位数字。
数论-余数问题-中国剩余定理-5星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？【答案】1506．【分析】设这个数为x．[7,8,9]=504，504−6=498，则x=498+504n．498+504n−17+498+504n−28+498+504n−39=570 71+72n+62+63n+55+56n=570191n=382n=2x =498+504×2=1506．2. 一个不超过 200 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 9．如果用十进制表示，那么这个数是多少？【答案】 23【分析】 根据结论：“在 n 进制中，一个自然数与它的数字和模 (n −1) 同余”，所以这个数 {÷3⋯2,÷5⋯3,÷7⋯2, 利用物不知数可以求出符合的答案为 23、128、233、…，符合“不超过 200”的只有 23 和 128，经检验，23=(113)4=(35)6=(27)8，128=(2000)4=(332)6=(200)8，只有 23 符合．3. 有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0）．这样的三位数中最小的三个是多少？【答案】 118、119、155【分析】 设这个三位数为 N ，先写出所有的情况再分析：{ N ÷2⋯0、1,N ÷3⋯0、1、2,N ÷4⋯0、1、2、3,N ÷5⋯0、1、2、3、4,N ÷6⋯0、1、2、3、4、5.首先，N 除以 4 不可能余 0 或余 1，否则和 N 除以 2 的余数相同；N 除以 6 不可能余 0 或余 1 或余 2，否则和 N 除以 3 的余数相同．所以情况变为{ N ÷2⋯0、1,N ÷3⋯0、1、2,N ÷4⋯2、3,N ÷5⋯0、1、2、3、4,N ÷6⋯3、4、5.若这个数是偶数，很明显 {N ÷2⋯0,N ÷4⋯2,N ÷6⋯4, 所以 { N ÷2⋯0,N ÷3⋯1,N ÷4⋯2,N ÷5⋯3,N ÷6⋯4, 利用物不知数解出通解为 58+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 118；若这个数是奇数，很明显 {N ÷2⋯1,N ÷4⋯3, 那么 {N ÷2⋯1,N ÷4⋯3,N ÷6⋯5, 因为 N 除以 6 余 5，所以 N 除以 3 余 2，所以 {N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷6⋯5, 此时 N 除以 5 有 2 种情况，若 { N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷5⋯0,N ÷6⋯5, 利用物不知数解出通解为 35+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 155；若 { N ÷2⋯1,N ÷3⋯2,N ÷4⋯3,N ÷5⋯4,N ÷6⋯5, 利用物不知数解出通解为 59+60k(k =0,1,2⋯)，最小符合题意的解是 119；这样的三位数中最小的三个是 118、119、155．4. 有连续的三个自然数 a 、a +1、a +2，它们恰好分别是 9、8、7 的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？【答案】 495【分析】 法一：由 a +1 是 8 的倍数，得到 a 被 8 除余 7，由 a +2 是 7 的倍数，得到 a 被 7 除余 5，现在相当于一个数 a 除以 9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5．运用中国剩余定理求 a （用逐步满足的方法也可以）7 和 8 的公倍数中除以 9 余 1 的最小为 280；7 和 9 的公倍数中除以 8 余 1 的最小是 441；8 和 9 的公倍数中除以 7 余 1 的最小是 288，根据中国剩余定理，280×0+441×7+288×5=4527 符合各个余数条件，但 4527 不是最小的，还需要减去 7、8、9 的公倍数，可知 4527−(7×8×9)×8=495 是满足各个余数条件的最小值，所以 a 至少是 495．法二：仔细观察，可知由于 a 、a +1、a +2 恰好分别是 9、8、7 的倍数，那么 a +9、a +1+8、a +2+7 也分别是 9、8、7 的倍数，即 a +9 是 9、8、7 的公倍数，那么 a +9 的最小值是 9×8×7=504，即 a 至少是 504−9=495．。
余数知识点精讲一、 利用数的整除特征求余数2,5；4,25； 8,125；3,9；注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a ，何时是（11—a ）；利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。
二、 替换求余法：（1） 和的余数等于余数的和，再除以除数的余数：两个数的和除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相加后，再除以除数的余数；17532÷=， 28553÷=两个余数的和为：235+= ，5510÷=两个数的和为：172845+=，45590÷=（2） 差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数；28553÷=，17532÷=两个余数的差为：321-=，1501÷=；两个数的差为：281711-=，11521÷=。
（3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。
28553÷=，17532÷=两个余数的积为：326⨯=，6511÷=；两个数的积为：2817476⨯=，4765951÷=。
三、 余数的周期性变化：连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。
四、 中国剩余定理。
A 、一个数分别除以两个数余数相同，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数（余同）例题：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?B 、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除（缺同）例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。
教案教师：__王鑫___学生：_刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论(五)余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数性质2：=⨯+被除数除数商余数除数（被除数-余数）商=÷=÷商（被除数-余数）除数性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
⨯除以5的余数等于例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)313⨯=。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于3412⨯=除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n 次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为：a≡b (mod m )同余式读作：a 同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b (mod m )，那么一定有a－b＝mk,k 是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。
例如：（1）15365(mod 7)≡，因为36515350750-==⨯（2）5620(mod 9)≡，因为56203694-==⨯（3）900(mod10)≡，因为90090910-==⨯由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod )a m ≡例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod 2)a ≡,表示b为一个奇数，可以写为1(mod 2)b ≡我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。
2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。
）性质1：a≡a（mod m）（反身性）性质2：若a≡b (mod m ),那么b≡a (mod m )（对称性）性质3：若a≡b (mod m )，b ≡c(mod m )，那么a≡c (mod m )（传递性）性质4：a≡b (mod m ),c≡d (mod m ),那么a±c≡b±d (mod m )（可加减性）性质5：若a≡b (mod m )，c≡d (mod m ),那么ac≡bd (mod m )（可乘性）性质6：若a≡b (mod m )，那么a n ≡b n (mod m),（其中n 为自然数）欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270性质7：若ac≡bc(mod m)，（c，m）＝1,那么a≡b(mod m)三.弃九法在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式5678953++++=时，5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现5678935++++=，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理1.中国古代趣题：欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245[3,5,7]233[3,5,7]k k ⨯+⨯+⨯±=-，其中k 是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.【习题精讲】【例1】（难度级别※）一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例2】（难度级别※）有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
【例3】（难度级别※）求478×296×351除以17的余数。
【例4】（难度级别※）求12644319÷的余数欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270【例5】（难度级别※）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例6】（难度级别※）用弃九法检验乘法算式5483×9117＝49888511是否正确。
【例7】（难度级别※※）已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【例8】（难度级别※※）号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例9】（难度级别※※）一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？【例10】（难度级别※※）一堆糖果，如果每2块分一堆剩1个，每3块分一堆剩1个….每10个分一堆也剩1个，且这堆糖果的个数在99－5000之间，求这堆糖果的个数？【例11】（难度级别※※※）求自然数100101102234++的个位数字。
【例12】（难度级别※※※）自然数672222...21⨯⨯⨯⨯- 个的个位数字是多少?【例13】（难度级别※※※）若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。
问此数为何？【例14】（难度级别※※※）有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【例15】（难度级别※※※）一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【例16】（难度级别※※※※）将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【例17】（难度级别※※※※）已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。
