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六年级余数问题知识点归纳在数学学习中，余数问题是一个常见的概念，并且在六年级的数学课程中也被广泛涉及。
本文将对六年级余数问题的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用余数问题。
1. 余数的定义余数是指一个数除以另一个数时，余下的未被整除的部分。
例如，当30除以7时，商为4，余数为2，即30除以7等于4余2。
2. 除法的基本性质在进行余数问题的解答过程中，我们需要了解除法的一些基本性质。
这些性质有助于我们更好地理解和解决余数问题。
- 除法的封闭性：任意两个自然数相除所得的商和余数也是自然数。
- 除法的交换性：两个数进行除法运算时，得到的商和余数与除数和被除数的顺序无关。
- 除法的结合性：多个数进行除法运算时，可以先对其中某两个数进行除法，再将商与第三个数进行除法运算。
- 除法与乘法的关系：两个数相除的商与将被除数乘以除数所得的积相等。
3. 余数的性质余数具有一些特定的性质，了解这些性质有助于我们在解决余数问题时更加灵活地运用。
- 余数的范围：余数永远小于除数。
- 余数的特殊性：当被除数小于除数时，余数等于被除数本身。
- 余数与除数的关系：同一个被除数，不同除数下的余数之间存在一定的关系。
4. 余数问题的解法在解决余数问题时，常用的方法有提取法、列竖式法和分段法等。
- 提取法：当被除数过大时，我们可以先提取出能够整除的部分，再对剩余的部分进行除法运算。
- 列竖式法：将被除数和除数写成竖式，逐位进行除法运算，并求出商和余数。
- 分段法：对于一些复杂的余数问题，我们可以将问题分段处理，分别对每个段进行除法计算，最后求得整体的结果。
5. 常见的余数问题类型在六年级的数学学习中，有一些常见的余数问题类型。
- 判断是否能整除：题目中给出一个被除数和一个除数，要求判断是否能够整除，即余数是否为0。
- 求最大余数：题目中给出一个被除数和一个除数，要求求解出最大的余数。
- 求可能的余数：题目中给出一个被除数和一个除数，要求求解出可能的余数的范围。
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
【知识点拨】1.余数的加法定理①a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理①a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【巩固】1、 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．2、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例 3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【例 5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.巩固1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【例 6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】20032与22003的和除以7的余数是________．【例 8】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】(《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】(全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例 10】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】"2"20002222个除以13所得余数是_____.【巩固】 求89143除以7的余数．【巩固】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【巩固】 1996777777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？【例 11】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2a+，则这个自然数是多少？a+，5【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 12】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【例 13】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．课 后 作 业练习1. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？练习3. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．练习4：有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？练习5：若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．练习6：2008222008+除以7的余数是多少？【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．。
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
小学六年级奥数题及答案:余数问题
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把1至_这_个自然数依次写下来得到一个多位数_3456789....._,这个多位数除以9余数是多少?
答案与解析：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：首先，任意连续9个自然数之和能被9整除，也就是说，一直写到_能被9整除。
所以答案为1
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奥数余数问题知识点(一)奥数余数问题什么是奥数余数问题？奥数余数问题是奥数或数学中常见的一个问题类型，要求计算一个数除以另一个数的余数。
通常给定两个整数，求它们相除的余数。
如何计算余数？余数是一个剩余部分，当一个数不能整除另一个数时，所剩下的部分就是余数。
例如，10除以3的余数是1，因为10可以被3整除3次，余下1。
奥数余数问题的常见类型在奥数中，有一些常见的余数问题类型，包括但不限于：1.除数为2或10的倍数的情况：当除数是2的倍数时，余数只能是0或1；当除数是10的倍数时，余数只能是0。
2.关于两个整数除法结果的关系：例如，给定两个整数a和b，求a和b相除的余数。
如果a除以b的余数是r，那么可以得出结论：(a + n * b)除以b的余数也是r，其中n是任意整数。
3.求余数的特殊方法：例如，假设我们要计算一个较大的数除以10的余数，我们可以观察这个数的个位数是多少，因为一个整数除以10的余数就是它的个位数。
奥数余数问题的解决方法解决奥数余数问题通常需要一些数学技巧和观察力，以下是一些常见的解决方法：1.利用除法原理：根据除法原理，我们可以将一个数的余数变为0，然后再加上余数，得到原问题的答案。
例如，计算123除以7的余数，我们可以先将123减去它除以7的余数，得到116，再加上余数4，得到120，即为所求余数。
2.利用模运算性质：模运算是一种求余数的方法，可以用符号%表示。
利用模运算的一些性质，如(a + b) % n = ((a % n) + (b % n)) % n，我们可以在求余数的过程中简化计算。
3.利用数的性质：例如，当一个数末尾有0时，它必然可以被10整除，所以余数为0；当一个数的各个位上的数字之和能被3整除时，它也能被3整除，所以余数为0。
总结奥数余数问题是奥数或数学中常见的问题类型之一，在解决这类问题时，我们可以利用除法原理、模运算性质和数的性质等方法进行求解。
通过掌握这些解决方法，我们可以更好地应对奥数余数问题的挑战。
第六讲提高篇之余数问题知识点讲解带余除法一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r ＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商(2)当r≠0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商余数三大定理：（1）差的余数等于余数的差（2）和的余数等于余数的和（3）积的余数等于余数的积课上习题【例题1】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数最大是多少？【例题2】22003与20032的和除以7的余数是多少？课后习题基础篇：【闯关1】100 和84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0。
这个除数可能是多少？2除以7 的余数是多少？【闯关2】（1）2014除以11 的余数是多少？（2）14121除以13 的余数是多少？（3）28提高篇：【闯关3】把63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去。
请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【闯关4】100 多名小朋友站成一列。
从第一人开始依次按1,2，3，…，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1,2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11。
请问：一共有多少名小朋友？巅峰篇：【闯关5】有5000 多根牙签，按以下6 种规格分成小包：如果10 根一包，最后还剩9 根；如果9 根一包，最后还剩8 根；如果依次以8、7、6、5 根为一包，最后分别剩7、6、5、4 根。
原来一共有牙签多少根？趣味题：（五猴分桃）五只猴子采的一堆桃，它们约定次日早起来分，半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃子平均分成五堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走其中一堆，第二只猴子醒来，又把桃子平均分成五堆后，还是多了一个，它吃了这个桃子，拿走了其中一堆，第三只，第四只，第五只猴子都依次如此做了，问桃子最少有多少个？第六讲 提高篇之余数问题课后习题：基础篇：【闯关1】100 和84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0。
一、带余除法的定义及性质1、 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3知识框架余数问题－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
六年级余数问题知识点总结在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的问题和知识点。
其中，六年级的学生们也会接触到余数问题。
余数是指一个数除以另一个数时得到的剩下的数值。
下面，我将总结六年级余数问题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 余数的定义与表示方法- 余数是除法运算中的概念，表示被除数除以除数后剩下的数值。
- 一般以 R 表示余数，可以用 R = 被除数 - 商 ×除数来计算余数。
- 也可以用 R = 被除数 mod 除数的方式表示，其中 mod 是取余运算符，意为取得两个数相除的余数。
2. 余数的应用场景- 余数可以用来判断一个数是否是另一个数的倍数。
- 余数也可以用来解决循环问题，例如判断一个数是否是循环小数。
- 余数在计算中具有重要的应用，例如在数据校验、密码学和编码中。
3. 余数的基本性质- 如果两个整数 a、b 对 m 取余后的余数相同，那么 a 和 b 被m 整除的余数也相同。
- 余数也遵循乘法和加法的性质，即 (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
- 对于整数 a、b 和正整数 m，有以下关系：(a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m。
4. 余数与整除的关系- 当被除数能够整除除数时，余数为0，表示没有剩下的数值。
- 如果被除数不能整除除数，余数大于 0，表示还有剩下的数值。
- 除数比被除数大，那么余数一定等于被除数。
5. 余数的求解方法- 在纸面上进行除法运算，直接得到余数。
- 使用科里奥定理，计算被除数除以除数的商和余数。
- 在计算机编程中，可以使用取余运算符直接计算得到余数。
6. 余数问题的常见应用- 判断一个数是否是另一个数的倍数：若余数为0，则是倍数；若余数不为 0，则不是倍数。
- 寻找符合条件的数：利用余数的性质，可以通过对余数的分析来找到满足要求的数。
1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
奥数数：余数要点及解技巧一、基本概念：任意自然数a、b、 q、 r，如果使得 a÷b=q⋯⋯ r，且 0 余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。
二、余数的性：①余数小于除数。
②若 a、 b 除以 c 的余数相同，③ a 与 b 的和除以 c 的余数等于c|a-b 或 c|b-a。
a 除以 c 的余数加上 b除以 c 的余数的和除以 c 的余数。
除以④ a 与 b 的除以 c 的余数等于c 的余数的除以 c 的余数。
a 除以 c 的余数与 b三、同余的定：①若两个整数a、b 除以 m 的余数相同，称a、b于模 m 同余。
②已知三个整数 a、 b、m，如果 m|a-b，就称 a、 b 于模 m 同余，作 a≡ b(modm) ，作 a 同余于 b 模 m。
四、同余的性：①自身性： a≡ a(modm)；② 称性：若a≡ b(modm) ， b≡ a(modm) ；③ 性：若a≡ b(modm) ，b≡ c(modm)， a≡c(modm) ；④和差性：若a≡ b(modm) ，c≡ d(modm) ， a+c≡b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm) ；⑤相乘性：若a≡ b(modm) ，c≡d(modm) ，则 a×c≡ b ×d(modm) ；⑥乘方性：若a≡ b(modm) ，则 an≡ bn(modm) ；⑦同倍性 :若 a≡ b(modm) ，整数 c，则 a× c≡ b×c(modm× c)；五、被 3、 9、 11 除后的余数特征：①一个自然数M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和，则M ≡ n(mod9) 或（ mod3）；②一个自然数M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M ≡11-（ X-Y ） (mod11) ；六、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1≡ 1(modp) 。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.3.除以 99,余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.4.求下列各式的余数：(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11(2)19992000 ÷ 7分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4 的各次方除以 7 的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么 3 个一循环 ,所以由 2000÷3 余 2 能够得到 42000 除以 7 的余数是 2,故 19992000÷7的余数是 2.【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛 )有苹果 ,桔子各一筐 ,苹果有 240 个,桔子有 313 个,把这两筐水果分给一些小朋友 ,已知苹果等分到最后余 2 个不够分 ,桔子分到最后还余 7 个桔子不够再分 ,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说 ,已知一个数除 240 余 2,除 313 余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化 ,因为 240 被这个数除余 2,意味着 240-2=238恰被这个数整除 ,而 313被这个数除余 7,意味着这 313—7=306 恰为这个数的倍数 ,我们只需求 238 和 306 的公约数便可求出小朋友最多有多少个了 .240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于 1 的整数 ,除 45,59,101 所得的余数相同 ,求这个数 .分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 , 根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.【第四篇】1.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.2.除以 99 的余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.【第五篇】199419941994(1994个 1994)除以 15 的余数是 ______.分析：法 1：从简单情况入手找规律,发现 1994÷15余14,19941994 ÷ 15余 4,199419941994 ÷余15 9,1994199419941994 ÷ 15余 14,......,发现余数 3 个一循环,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是 4;法 2：我们利用最后一个例题的结论能够发现199419941994能被 3 整除 ,那么19941994199400 0能被 15 整除 ,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是4.。
10、余数问题【求余数】（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）一组，就可得到331组，尚余4个6。
而6666÷7=952……2。
所以，原式的余数是2。
例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21，21÷9=2……3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。
然后，按所得的余数分类。
要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。
这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。
但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。
【同余问题】例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。
这个整数是_____。
（全国第一届“华杯赛”初赛试题）讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。
因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。
以下是为⼤家整理的关于⼩学奥数知识点总结：余数、同余与周期的⽂章，希望⼤家能够喜欢！
余数、同余与周期
⼀、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
⼆、同余的性质：
①⾃⾝性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
⑥乘⽅性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
三、关于乘⽅的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①⼀个⾃然数M，n表⽰M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
②⼀个⾃然数M，X表⽰M的各个奇数位上数字的和，Y表⽰M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
五、费尔马⼩定理：
如果p是质数（素数），a是⾃然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
奥数知识点讲解：余数问题 ⼀、同余的定义： ①若两个整数a、b除以的余数相同，则称a、b对于模同余。
②已知三个整数a、b、，如果|a-b，就称a、b对于模同余，记作a≡b(d )，读作a同余于b模。
⼆、同余的性质： ①⾃⾝性：a≡a(d )； ②对称性：若a≡b(d )，则b≡a(d )； ③传递性：若a≡b(d )，b≡c(d )，则a≡ c(d )； ④和差性：若a≡b(d )，c≡d(d )，则a+c≡b+d(d )，a-c≡b-d(d )； ⑤相乘性：若a≡ b(d )，c≡d(d )，则a×c≡ b×d(d )； ⑥乘⽅性：若a≡b(d )，则an≡bn(d )； ⑦同倍性:若a≡ b(d )，整数c，则a×c≡ b×c(d ×c)； 三、关于乘⽅的预备知识： ①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的.余数特征： ①⼀个⾃然数M，n表⽰M的各个数位上数字的和，则M≡n(d 9)或（d 3）； ②⼀个⾃然数M，X表⽰M的各个奇数位上数字的和，表⽰M的各个偶数数位上数字的和，则M≡-X或M≡11-（X-）(d11)； 五、费尔马⼩定理： 如果p是质数（素数），a是⾃然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(d p)。
⼩升初奥数知识点讲解：完全平⽅数 完全平⽅数特征： 1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成⽴。
2. 除以3余0或余1；反之不成⽴。
3. 除以4余0或余1；反之不成⽴。
4. 约数个数为奇数；反之成⽴。
5. 奇数的平⽅的⼗位数字为偶数；反之不成⽴。
6. 奇数平⽅个位数字是奇数；偶数平⽅个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平⽅之间不可能再有平⽅数。
平⽅差公式：X2-2=（X-）（X+） 完全平⽅和公式：（X+）2=X2+2X+2 完全平⽅差公式：（X-）2=X2-2X+2【⼩升初奥数知识点讲解：余数问题与完全平⽅数】。
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
