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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理一、点与圆的位置关系若圆(x －a )2＋(y －b ) 2＝r 2，那么点(x 0，y 0)在 圆上⇔____________________________________； 圆外⇔____________________________________； 圆内⇔____________________________________.答案：（x 0-a ）2+(y 0-b)2=r 2 （x 0-a ）2+(y 0-b)2＞r 2（x 0-a ）2+(y 0-b)2＜r 2二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法： 1．代数法(判别式法)．Δ>0⇔________；Δ＝0⇔________；Δ<0⇔________.2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪⎧d <r ⇔ ；d ＝r ⇔ ；d >r ⇔ .一般宜用几何法．答案：1.相交 相切 相离 2.相交 相切 相离三、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切．3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交．4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切．5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2. 基础自测1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解代数方法处理几何问题的思想.1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( ) A ．k ∈(－2，2) B ．k ∈(－3，3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由圆心到直线的距离公式可得d ＝|2|1＋k2>1，解得－3<k <3，故选B. 答案：B2．过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3) D ．(－3,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：已知圆的圆心为C (a,0)，半径为r ＝3－2a .依题意有|AC |＞r ，即|a |＞3－2a ，∴a 2＞3－2a 且3－2a ＞0，解得a ＜－3或1＜a ＜32.故选A.答案：A3．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________．解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.答案：2x －y ＝04．如图，已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：由题图可知：过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1，半径为2，点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴|AD |＝|CD |－|AC |＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.答案： 21．(2012·天津卷)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析：∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ＝m ＋＋n ＋－2|m ＋2＋n ＋12＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22.设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．故选D. 答案：D2．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝ 2x －4.设圆的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由y ＝2x －4，y ＝x －1联立方程组，解得圆心坐标C (3,2)，所以圆方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 因为切线斜率不存在时，不合题意， 所以设切线方程为y ＝kx ＋3，所以|3k －2＋3|1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 所以切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3.(2)设C (a,2a －4)，则圆方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1，设M (x 0，y 0)，由题意(x 0－a )2＋(y 0－2a ＋4)2＝1，因为MA ＝2MO ，所以x 20＋(y 0－3)2＝4x 20＋4y 20，即x 20＋(y 0＋1)2＝4， 因为点M 存在，所以圆(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1与圆x 2＋(y ＋1)2＝4有公共点，即两圆相交或相切，所以(2－1)2≤d 2≤(2＋1)2，即1≤(a －0)2＋[2a －4－(－1) ]2≤9，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.1．已知圆C ： x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径．圆的圆心为(1，－2)，半径为3，因为点(1，－2)在直线l ：2x ＋y ＝0上，所以，最大距离为圆的半径3.故选C.答案：C2．(2013·江门一模)已知x 、y 满足x 2＋y 2＝4，则z ＝3x －4y ＋5的取值范围是( ) A ．[－5,15] B ．[－10,10] C ．[－2,2] D ．[0,3]解析：z ＝3x －4y ＋5 即直线 3x －4y ＋5－z ＝0，由题意可得直线和圆 x 2＋y 2＝4有交点，故有|0－0＋5－z |9＋16≤2，化简可得－10≤z －5≤10，解得－5≤z ≤15，故选A.答案：A。
1．(2012·广州一模)已知直线l ：x ＋y ＝m 经过原点，则直线l 被圆x 2＋y 2－2y ＝0截得的弦长是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由已知得m ＝0，圆心坐标为P (0,1)，点P 到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝21－12＝ 2.故选B. 答案：B2．(2013·广州一模)直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：圆心到直线的距离是：d ＝|2|1＋－32＝1，可见d ＝r2，所以劣弧所对的圆心角的一半是π3，圆心角是2π3.答案：D3．(2013·广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离r ＝1，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，故选A.另法：设所求的直线方程为：y ＝－x ＋k (k ＞0)，由圆心到直线的距离r ＝1，求得k ＝ 2.故选A.答案：A4．(2012·烟台期末)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x －1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则其长度之比为( )A.73或37B.74或47C.75或57D.76或67解析：点P 的坐标为(0，－3)，设圆心为C ，点P 与圆心C (1,0)之间的距离为|PC |＝12＋－32＝2，由圆的半径为5，所以直径被分成两段的长度分别为5＋2＝7和5－2＝3.故选A.答案：A5．(2013·烟台四校联考)直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0上的点的最近距离是( )A ．± 2 B.2－1 C ．22－1 D ．1解析：圆心坐标为(－2,1)，则圆心到直线y ＝x －1的距离d ＝|－2－1－1|2＝22，又圆的半径为1，则圆上的点到直线的最短距离为22－1.答案：C6．圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝8116与圆(x －sin θ)2＋(y －1)2＝116(θ为锐角)的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交解析：两圆圆心之间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4，因为θ为锐角，所以0<sin θ<1，12<sin θ＋12<32，174<⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122＋4<254，所以172<d <52，又两圆的半径之和为52，两圆的半径之差的绝对值为2，所以两圆相交． 答案：D7．(2013·浙江省重点中学协作体高三摸底测试)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22 D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，所以直线被圆所截的半弦长为1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2.故选D. 答案：D8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：19．(2012·三明质检)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是_______________．解析：因为圆的最长弦为圆的直径，所以直线l 经过圆的圆心(3,3)，因为直线l 过原点，所以其方程为x －y ＝0.答案：x －y ＝010．(2012·江门调研测试)已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆C 的最短路程是______________．解析：点A 关于x 轴的对称点为A ′(－1，－1)，又圆心坐标为C (5,7)，圆的半径r ＝2，根据几何光学的性质，所求的最短路程为|A ′C |－r ＝－1－2＋－1－2－2＝8.答案：811．(2013·深圳一模)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y－at ＋2)2＝1}，如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是________________．解析：由题意知，A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，表示平面坐标系中以M (4,0)为圆心，半径为1的圆，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，表示以N (t ，at －2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N 在直线ax －y －2＝0上．如果命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M 到直线ax －y －2＝0的距离不大于2，即|4a －2|a 2＋1≤2，解得0≤a ≤43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4312．如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．解析：以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|O 1P |2－|O 1M |2＝(x ＋2)2＋y 2－1，同理|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，∴(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即x 2－12x ＋y 2＋3＝0，即(x －6)2＋y 2＝33.这就是动点P 的轨迹方程．13．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)． (1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解析：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)(法一)因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得，半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(法二)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.14．(2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |＝1|OM |＋1|ON |.请将n 表示为m 的函数．解析：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4得，(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0，(*)Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12＞0得k 2＞3 .所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2,由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2得，2＋k 2m 2＝1＋k 2x 21＋1＋k 2x 22， 所以2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 32－2x 1x 2x 21x 22由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3并化简可得5n 2－3m 2＝36,由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3).依题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805， 所以，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．。
